高中数学课件-第2章 数学归纳法的应用

1 k＋1
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＝2 kkk＋＋11＋1<k＋kk＋＋11＋1＝2 k＋1. 这就是说，n＝k＋1 时，不等式也成立． 根据(1)(2)可知不等式对任意 n∈N＋成立．
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即 1－12n＞112278，12n＜1128，
∴12n＜127.
∴n＞7，∴n 取 8，选 B.
【答案】 B
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4．用数学归纳法证明 1＋12＋13＋…＋2n－1 1<n(n∈N＋，n>1)时，第一步即证 明不等式__________成立.
【导学号：94910040】
【解析】 因为 n>1，所以第一步 n＝2，即证明 1＋12＋13<2 成立． 【答案】 1＋12＋13<2
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5．证明：1＋
1＋ 2
1 ＋…＋ 3
1 n<2
n(n∈N＋)．
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【证明】 (1)当 n＝1 时，不等式成立．
(2)假设 n＝k 时，不等式成立，
即
1＋
1＋ 2
1 ＋…＋ 3
1 k<2
k.
那么 n＝k＋1 时，
1＋
1＋ 2
1 ＋…＋ 3
1k＋
1 k＋1<2
k＋
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1．用数学归纳法证明 2n≥n2(n≥5，n∈N＋)成立时第二步归纳假设的正确写
法是( )
A．假设 n＝k 时命题成立
B．假设 n＝k(k∈N＋)时命题成立
C．假设 n＝k(k≥5)时命题成立
D．假设 n＝k(k>5)时命题成立
【解析】 由题意知 n≥5，n∈N＋，
∴应假设 n＝k(k≥5)时命题成立．
＝
1 2k
＋
1 2k＋1
＋
2k＋1 2＋…＋2k＋11－1.
∴共增加 2k 项． 【答案】 D
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3．用数学归纳法证不等式 1＋12＋14＋…＋2n1－1＞16247成立，起始值至少取
() A．7
B．8
C．9
D．10
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【解析】
左边等比数列求和 Sn＝11－－1212n＝21－12n＞16247，
阶
阶
段
段
一
三
3.2 数学归纳法的应用
学
阶 段 二
业 分 层 测
评
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用数学归纳法证明不等式 试证明：2n＋2>n2(n∈N＋)．
【精彩点拨】
验证n＝1，2，3时， 不等式成立
―→
假设n＝k成立， 推证n＝k＋1
―→
n＝k＋1成立， 结论得证
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【自主解答】 (1)当 n＝1 时，左边＝21＋2＝4，右边＝1，左边>右边； 当 n＝2 时，左边＝22＋2＝6，右边＝22＝4，所以左边>右边； 当 n＝3 时，左边＝23＋2＝10，右边＝32＝9，所以左边>右边． 因此当 n＝1,2,3 时，不等式成立．
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通过本例可知，在证明 n＝k＋1 时命题成立的过程中，针对目标 k2＋2k＋1， 采用缩小的手段，但是由于 k 的取值范围k≥1太大，不便于缩小，因此，用增 加奠基步骤把验证 n＝1 扩大到验证 n＝1，2，3的方法，使假设中 k 的取值范 围适当缩小到 k≥3，促使放缩成功，达到目标.
【答案】 C
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返回首页Βιβλιοθήκη 下一页2．利用数学归纳法证明不等式 1＋12＋13＋…＋2n－1 1<f(n)(n≥2，n∈N＋)的过
程，由 n＝k 到 n＝k＋1 时，左边增加了( )
A．1 项
B．k 项
C．2k－1 项
D．2k 项
【解析】
1
＋
1 2
＋
1 3
＋
…
＋
1 2k＋1－1
－
1＋12＋13＋…＋2k－1 1
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(2)假设当 n＝k(k≥3 且 k∈N)时，不等式成立． 当 n＝k＋1 时， 2k＋1＋2＝2·2k＋2＝2(2k＋2)－2>2k2－2＝k2＋2k＋1＋k2－2k－3 ＝(k2＋2k＋1)＋(k＋1)(k－3)(因 k≥3，则 k－3≥0，k＋1>0) ≥k2＋2k＋1＝(k＋1)2. 所以 2k＋1＋2>(k＋1)2. 故当 n＝k＋1 时，原不等式也成立． 根据(1)(2)知，原不等式对于任何 n∈N＋都成立．