5_FFT及其应用
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n2
次
F (x ) = p0 + x ( p1 + x ( p2 + L + ( pn - 2 + xpn - 1 ) L )
需要做n-1次乘法 由于n个自变量之间是有一定联系的（所有n 次单位根），我们考虑是否有一种更优的算 法使总的时间复杂度小于秦九韶算法
优化的算法——FFT
根据单位根的某些性质，可以将DFT的计算 式分解成奇次乘幂部分和偶次乘幂部分，一 直分解到奇次和偶次乘幂部分分别只有一项 为止，这样，一些计算结果可以被不同的自 变量需要做的计算所利用，从而使乘法次数 n n lo g 再一次减少，下降为 2 2 ，这比秦九韶 n 2 次又减少了很多 算法的约
离散Fourier变换的定义
离散Fourier变换
Cm
1 n- 1 T - j (2 p k / n )m = å f (k )e n m= 0 n
其逆变换为
T f (k ) = n
n- 1
å
m=0
C m e j (2pk / n )m
离散Fourier变换的定义
令
T p k = f (k ), n w = e - j2p / n ,
谢谢☺
FFT及其应用 FFT及其应用
无21班 刘畅 梁冰 张宇 许明 胡艳芳
引出离散Fouห้องสมุดไป่ตู้ier变换的必要性
Fourier变换的方法在信号处理和数值计算上 有着很广泛的应用，在计算过程中，由于计 算机处理的是离散的序列，因此在时域上要 对连续信号进行抽样（A/D）使之成为序列。 然而序列的Fourier变换在频域上依然是连续 Fourier 的，为了使计算机能够进行计算，我们需要 在频域上也得到一个离散的序列。考虑到 Fourier级数的定义，我们可以引出离散 Fourier变换 N- 1 2p jn wt DFT [ (n ) ]= å f (nT )e , w = x N n= 0
2
FFT的应用
快速傅里叶变换的应用十分广泛，凡是可以 利用傅里叶变换来进行分析、综合、变换的 地方，都可以利用FFT算法及运用数字计算 技术来加以实现 FFT在数字通信、语音分析、图像处理、匹 配滤波等方面有广泛的应用
FFT的应用
利用Fourier变换的卷积特性，可以大大减小 卷积过程中运算的时间复杂度。
n- 1
k = 0, 1, . . . , n - 1 F (wm ) = n C
m
得
F (w ) =
m
å
k= 0
pk ( w )
m k
相当于把 wn = 1的第m个根代入如下多项式求值
F (x ) = p0 + p1x + p2x + L + pn - 1x
2
n- 1
FFT的引出
如果直接计算多项式的值，需要做大约 乘法 如果用秦九韶算法
用硬件实现FFT
在通用计算机上用FFT的程序处理已经很快， 但如果用计算FFT的专用附件，将会使速度 再提升数十倍，这就是硬件实现的FFT 当前这种器件种类很多，各有不同的优势， 应用非常广泛
FPGA硬件实现
仿真结果
通过上面的例子，我们可以看到FFT是一种 非常好的算法，大家将来都会经常用到。然 而，在具体应用时，它未必一定是最优算法， 不可以生搬硬套，应该具体问题具体分析。
次
F (x ) = p0 + x ( p1 + x ( p2 + L + ( pn - 2 + xpn - 1 ) L )
需要做n-1次乘法 由于n个自变量之间是有一定联系的（所有n 次单位根），我们考虑是否有一种更优的算 法使总的时间复杂度小于秦九韶算法
优化的算法——FFT
根据单位根的某些性质，可以将DFT的计算 式分解成奇次乘幂部分和偶次乘幂部分，一 直分解到奇次和偶次乘幂部分分别只有一项 为止，这样，一些计算结果可以被不同的自 变量需要做的计算所利用，从而使乘法次数 n n lo g 再一次减少，下降为 2 2 ，这比秦九韶 n 2 次又减少了很多 算法的约
离散Fourier变换的定义
离散Fourier变换
Cm
1 n- 1 T - j (2 p k / n )m = å f (k )e n m= 0 n
其逆变换为
T f (k ) = n
n- 1
å
m=0
C m e j (2pk / n )m
离散Fourier变换的定义
令
T p k = f (k ), n w = e - j2p / n ,
谢谢☺
FFT及其应用 FFT及其应用
无21班 刘畅 梁冰 张宇 许明 胡艳芳
引出离散Fouห้องสมุดไป่ตู้ier变换的必要性
Fourier变换的方法在信号处理和数值计算上 有着很广泛的应用，在计算过程中，由于计 算机处理的是离散的序列，因此在时域上要 对连续信号进行抽样（A/D）使之成为序列。 然而序列的Fourier变换在频域上依然是连续 Fourier 的，为了使计算机能够进行计算，我们需要 在频域上也得到一个离散的序列。考虑到 Fourier级数的定义，我们可以引出离散 Fourier变换 N- 1 2p jn wt DFT [ (n ) ]= å f (nT )e , w = x N n= 0
2
FFT的应用
快速傅里叶变换的应用十分广泛，凡是可以 利用傅里叶变换来进行分析、综合、变换的 地方，都可以利用FFT算法及运用数字计算 技术来加以实现 FFT在数字通信、语音分析、图像处理、匹 配滤波等方面有广泛的应用
FFT的应用
利用Fourier变换的卷积特性，可以大大减小 卷积过程中运算的时间复杂度。
n- 1
k = 0, 1, . . . , n - 1 F (wm ) = n C
m
得
F (w ) =
m
å
k= 0
pk ( w )
m k
相当于把 wn = 1的第m个根代入如下多项式求值
F (x ) = p0 + p1x + p2x + L + pn - 1x
2
n- 1
FFT的引出
如果直接计算多项式的值，需要做大约 乘法 如果用秦九韶算法
用硬件实现FFT
在通用计算机上用FFT的程序处理已经很快， 但如果用计算FFT的专用附件，将会使速度 再提升数十倍，这就是硬件实现的FFT 当前这种器件种类很多，各有不同的优势， 应用非常广泛
FPGA硬件实现
仿真结果
通过上面的例子，我们可以看到FFT是一种 非常好的算法，大家将来都会经常用到。然 而，在具体应用时，它未必一定是最优算法， 不可以生搬硬套，应该具体问题具体分析。