【典型题】高三数学下期末第一次模拟试卷(含答案)(5)

【典型题】高三数学下期末第一次模拟试卷(含答案)(5)
一、选择题
1．如图所示的圆锥的俯视图为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
2．已知在ABC V 中，::3:2:4sinA sinB sinC =，那么cosC 的值为（ ） A ．1
4
-
B ．
14
C ．23
-
D ．
23
3．已知平面向量a r =（1，－3），b r =（4，－2），a b λ+r r 与a r 垂直，则λ是（ ）
A ．2
B ．1
C ．－2
D ．－1 4．设是虚数单位，则复数(1)(12)i i -+=（ ） A ．3+3i
B ．-1+3i
C ．3+i
D ．-1+i
5．函数()ln f x x x =的大致图像为 （ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
6．函数
()sin(2)2
f x x π
=-的图象与函数()g x 的图象关于直线8x π
=对称，则关于函数
()y g x =以下说法正确的是（ ）
A ．最大值为1，图象关于直线2
x π=
对称
B ．在0,
4π⎛⎫
⎪⎝⎭
上单调递减，为奇函数
C ．在3,88ππ⎛⎫
-
⎪⎝
⎭上单调递增，为偶函数 D ．周期为π，图象关于点3,08π⎛⎫
⎪⎝⎭
对称 7．已知a 为函数f （x ）=x 3–12x 的极小值点，则a= A ．–4 B ．–2
C ．4
D ．2
8．设集合，
，则
=（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
9．祖暅是我国南北朝时代的伟大科学家，他提出的“幂势既同，则积不容异”称为祖暅原理，利用该原理可以得到柱体的体积公式V Sh =柱体，其中S 是柱体的底面积，h 是柱体的高．若某柱体的三视图如图所示（单位：cm ），则该柱体的体积（单位：cm 3）是（ ）
A ．158
B ．162
C ．182
D ．324
10．渐近线方程为0x y ±=的双曲线的离心率是（ ） A ．
2
2
B ．1
C ．2
D ．2
11．某学校组织学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组一次为
[)[)[)20,40,40,60,60,80,[80,100].若低于60分的人数是15人，则该班的学生人数是( )
A ．45
B ．50
C ．55
D ．
12．5
22x x ⎛⎫+ ⎪⎝
⎭的展开式中4x 的系数为 A ．10
B ．20
C ．40
D ．80
二、填空题
13．在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，4c =，42sin a A =，且C 为锐
角，则ABC ∆面积的最大值为________.
14．已知sin cos 1αβ+=，cos sin 0αβ+=，则()sin αβ+__________．
15．在等腰梯形ABCD 中,已知AB DC P ,2,1,60,AB BC ABC ==∠=o 点E 和点F 分别在
线段BC 和CD 上,且21,,36
BE BC DF DC ==u u u r u u u r u u u r u u u r 则AE AF ⋅u u u r u u u r
的值为 ．
16．等边三角形ABC 与正方形ABDE 有一公共边AB ，二面角C AB D --的余弦值为
3
3
，M N ，分别是AC BC ，的中点，则EM AN ，所成角的余弦值等于 ． 17．设复数1(z i i =--虚数单位),z 的共轭复数为z ，则()1z z -⋅=________. 18．抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出.现有抛物线2
2(0)y px p =>，如图一平行于x 轴的光线射向抛物线，经两
次反射后沿平行x 轴方向射出，若两平行光线间的最小距离为4，则该抛物线的方程为__________．
19．已知实数,x y 满足不等式组201030
y x y x y -≤⎧⎪--≤⎨⎪+-≥⎩
，则y
x 的取值范围为__________．
20．设α 为第四象限角，且
sin3sin αα＝13
5
，则 2tan ＝α ________. 三、解答题
21．已知等差数列{}n a 满足：12a =，且1a ，2a ，5a 成等比数列. （1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）记n S 为数列{}n a 的前n 项和，是否存在正整数n ，使得60800n S n >+ ？若存在，求n 的最小值；若不存在，说明理由.
22．已知A 为圆2
2
:1C x y +=上一点，过点A 作y 轴的垂线交y 轴于点B ，点P 满足
2.BP BA =u u u v u u u v
（1）求动点P 的轨迹方程；
（2）设Q 为直线:3l x =上一点，O 为坐标原点，且OP OQ ⊥，求POQ ∆面积的最小
值.
23．已知菱形ABCD 的顶点A ，C 在椭圆2
2
34x y +=上，对角线BD 所在直线的斜率为
1．
（1）当直线BD 过点(0,1)时，求直线AC 的方程． （2）当60ABC ∠=︒时，求菱形ABCD 面积的最大值．
24．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，34a =，43a S =，数列{}n b 满足：对每
12,,,n n n n n n n S b S b S b *++∈+++N 成等比数列.
（1）求数列{},{}n n a b 的通项公式；
（2）记,,2n
n
n
a C n
b *=
∈N 证明：12+2,.n C C C n n *++<∈N L 25．在直角坐标系xoy 中以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立坐标系.圆1C ，直线2C 的极坐标方程分别为4sin ,cos 2 2.4πρθρθ⎛
⎫
=-= ⎪⎝
⎭
. （I ）12C C 求与交点的极坐标； （II ）
112.P C Q C C PQ 设为的圆心，为与交点连线的中点已知直线的参数方程为
()33{,,.1
2
x t a t R a b b
y t =+∈=+为参数求的值 26．如图，已知三棱柱111ABC A B C -，平面11A AC C ⊥平面ABC ,90ABC ∠=︒，
11
30,,,BAC A A AC AC E F ∠=︒==分别是11,AC A B 的中点.
（1）证明：EF BC ⊥；
（2）求直线EF 与平面1A BC 所成角的余弦值.
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一、选择题 1．C 解析：C 【解析】 【分析】
找到从上往下看所得到的图形即可． 【详解】
由圆锥的放置位置，知其俯视图为三角形．故选C. 【点睛】
本题考查了三视图的知识，俯视图是从物体的上面看得到的视图，本题容易误选B ，属于基础题.
2．A
解析：A 【解析】 【分析】 【详解】
::sin :sin :sin 3:2:4a b c A B C == ，不妨设3,2,4a k b k c k ===，,
则()()()222
3241
cos 2324
k k k C k k
+-=
=-⨯⨯ ，选A.
3．D
解析：D 【解析】 【详解】
试题分析：()()(),34,24,32a b λλλλλ+=-+-=+--r r ，由a b λ+r r 与a r 垂直可知
()
()()·0433201a b a λλλλ+=∴+---=∴=-r r r
考点：向量垂直与坐标运算
4．C
解析：C 【解析】
因为2
(1)(12)1223i i i i i i -+=+--=+，故选 C. 考点：本题主要考查复数的乘法运算公式.
5．A
解析：A 【解析】
【分析】 【详解】
∵函数f （x ）=xlnx 只有一个零点，∴可以排除CD 答案
又∵当x ∈（0，1）时，lnx ＜0，∴f （x ）=xlnx ＜0，其图象在x 轴下方 ∴可以排除B 答案 考点：函数图像．
6．B
解析：B 【解析】 【分析】
先求出函数y=g(x)的解析式，再利用三角函数的图像和性质对每一个选项逐一分析判断. 【详解】
设点P(x,y)是函数()y g x =图像上的任意一点，则点Q (x ,)4
y π
-+在函数y=f(x)的图像
上，
sin[2(-x+)]sin 2()42
y x g x ππ
=-=-=，
对于选项A,函数y=g(x)的最大值为1，但是()012
g π
=≠±，所以图象不关于直线2
x π=
对
称，所以该选项是错误的；
对于选项B,()()g x g x -=-，所以函数g(x)是奇函数，解222+22
k x k π
π
ππ-
≤≤得
+
4
4k x k π
π
ππ-
≤≤，)k Z ∈（,所以函数在0,4π⎛⎫
⎪⎝⎭
上单调递减，所以该选项是正确的； 对于选项C,由前面分析得函数y=g(x)的增区间为3[+,]()4
4
k k k Z π
π
ππ+
∈,且函数y=g(x)不是偶函数，故该选项是错误；
对于选项D,函数的周期为π，解2,,2
k x k x π
π=∴=
所以函数图像的对称中心为,0)(k Z)2k π
∈（
,所以该选项是错误的. 故选：B 【点睛】
本题主要三角函数的解析式的求法，考查三角函数的图像和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
7．D
解析：D 【解析】
试题分析：()()()2
312322f x x x x ==+'--，令()0f x '=得2x =-或2x =，易得
()f x 在()2,2-上单调递减，在()2,+∞上单调递增，故()f x 的极小值点为2，即
2a =，故选D.
【考点】函数的导数与极值点
【名师点睛】本题考查函数的极值点．在可导函数中，函数的极值点0x 是方程'()0f x =的解，但0x 是极大值点还是极小值点，需要通过这个点两边的导数的正负性来判断，在0x 附近，如果0x x <时，'()0f x <，0x x >时'()0f x >，则0x 是极小值点，如果0x x <时，'()0f x >，0x x >时，'()0f x <，则0x 是极大值点.
8．B
解析：B 【解析】 试题分析：集合
，故选B.
考点：集合的交集运算.
9．B
解析：B 【解析】 【分析】
先由三视图还原出原几何体，再进行计算 【详解】
由三视图得该棱柱的高为6，底面可以看作是由两个直角梯形组合而成的，其中一个上底为4，下底为6，高为3，另一个的上底为2，下底为6，高为3，则该棱柱的体积为
264633616222++⎛⎫⨯+⨯⨯=
⎪⎝⎭
. 故选B. . 【点睛】
本题首先根据三视图，还原得到几何体——棱柱，根据题目给定的数据，计算几何体的体积，常规题目.难度不大，注重了基础知识、视图用图能力、基本计算能力的考查.易错点有二，一是不能正确还原几何体；二是计算体积有误.为避免出错，应注重多观察、细心计算
10．C
解析：C 【解析】 【分析】
本题根据双曲线的渐近线方程可求得a b =，进一步可得离心率.容易题，注重了双曲线基础知识、基本计算能力的考查. 【详解】
根据渐近线方程为x ±y ＝0的双曲线，可得a b =，所以c 2a =
则该双曲线的离心率为 e c
a
==， 故选C ． 【点睛】
理解概念，准确计算，是解答此类问题的基本要求.部分考生易出现理解性错误.
11．B
解析：B 【解析】
根据频率分布直方可知成绩低于60分的有第一、二组数据，
在频率分布直方图中，对应矩形的高分别为0.005，0.01，每组数据的组距为20， 则成绩低于60分的频率P=(0.005+0.010)×20=0.3. 又因为低于60分的人数是15人， 所以该班的学生人数是15÷0.3=50. 本题选择B 选项.
12．C
解析：C 【解析】
分析：写出103152r r r
r T C x -+=n n ，然后可得结果
详解：由题可得()
52
10315
522r
r
r
r r r
r T C x C x x --+⎛⎫== ⎪
⎝⎭
n n 令103r 4-=,则r 2=
所以22
552240r r C C n =⨯=
故选C.
点睛：本题主要考查二项式定理，属于基础题。

二、填空题
13．【解析】【分析】由利用正弦定理求得再由余弦定理可得利用基本不等式可得从而利用三角形面积公式可得结果【详解】因为又所以又为锐角可得因为所以当且仅当时等号成立即即当时面积的最大值为故答案为【点睛】本题主
解析：4+
【解析】 【分析】
由4c =，a A =，利用正弦定理求得4
C π
=
.，再由余弦定理可得
2
2
16a b =+，利用基本不等式可得(82
ab ≤
=+，从而利用三角形
面积公式可得结果.
【详解】 因为4c =，又42sin sin c a C A
==， 所以2
sin C =
，又C 为锐角，可得4C π=.
因为()
2
2
2
2
162cos 222a b ab C a b ab ab =+-=+-≥-， 所以()
82222
ab ≤
=+-， 当且仅当()
822a b ==+时等号成立， 即12sin 44224
ABC S ab C ab ∆=
=≤+， 即当()
822a b ==+时，ABC ∆面积的最大值为442+. 故答案为442+. 【点睛】
本题主要考查余弦定理、正弦定理以及基本不等式的应用，属于简单题. 对余弦定理一定要
熟记两种形式：（1）2
2
2
2cos a b c bc A =+-；（2）222
cos 2b c a A bc
+-=，同时还要熟
练掌握运用两种形式的条件.另外，在解与三角形、三角函数有关的问题时，还需要记住
30,45,60o o o 等特殊角的三角函数值，以便在解题中直接应用.
14．【解析】【详解】因为所以①因为所以②①②得即解得故本题正确答案为
解析：1
2
-
【解析】 【详解】 因为，
所以，①
因为，
所以，②
①②得，
即， 解得
， 故本题正确答案为
15．【解析】在等腰梯形ABCD 中由得所以考点：平面向量的数量积
解析：
2918
【解析】
在等腰梯形ABCD 中,由AB DC P ,2,1,60,AB BC ABC ==∠=o 得
12AD BC ⋅=u u u r u
u u r ,1AB AD ⋅=u u u r u u u r
,12
DC AB =u u u r u u u r ,所以()()
AE AF AB BE AD DF ⋅=+⋅+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r
22121111129131231218331818AB BC AD AB AB AD BC AD AB BC AB ⎛⎫⎛⎫=+⋅+=⋅+⋅++⋅=++-=
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
u u u
r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r .考点：平面向量的数量积.
16．【解析】【分析】【详解】设AB=2作CO ⊥面ABDEOH ⊥AB 则
CH ⊥AB ∠CHO 为二面角C−AB−D 的平面角CH=3√OH=CHcos ∠CHO=1结合等边三角形ABC 与正方形ABDE 可知此四棱锥为
解析：1
6
【解析】 【分析】 【详解】
设AB =2,作CO ⊥面ABDE
OH ⊥AB ，则CH ⊥AB ，∠CHO 为二面角C −AB −D 的平面角， CH =3√，OH =CH cos ∠CHO =1，
结合等边三角形ABC 与正方形ABDE 可知此四棱锥为正四棱锥，
3,11(),22
12
AN EM CH AN
AC AB EM AC AE
AN EM ====+=-∴⋅=
u u u r
u u u
r u u u r u u u u r u u u r u u u r u u u r u u u u r 故EM ,AN 1
126
33=⋅，
17．【解析】分析：由可得代入利用复数乘法运算法则整理后直接利用求模公式求解即可详解：因为所以故答案为点睛：本题主要考查的是共轭复数的概念与运算以及复数的乘法的运算属于中档题解题时一定要注意和
【解析】
分析：由1i z =--，可得1i z =-+，代入()1z z -⋅，利用复数乘法运算法则整理后，直接利用求模公式求解即可.
详解：因为1i z =--，所以1i z =-+，
()()()()()111121z z i i i i ∴-⋅=++⋅-+=+⋅-+
3i =-+==
.
点睛：本题主要考查的是共轭复数的概念与运算以及复数的乘法的运算，属于中档题．解题时一定要注意21i =-和()()()()a bi c di ac bd ad bc i ++=-++
18．【解析】【分析】先由题意得到必过抛物线的焦点设出直线的方程联立直线与抛物线方程表示出弦长再根据两平行线间的最小距离时最短进而可得出结果【详解】由抛物线的光学性质可得：必过抛物线的焦点当直线斜率存在时 解析：24y x =
【解析】
【分析】
先由题意得到PQ 必过抛物线的焦点，设出直线PQ 的方程，联立直线PQ 与抛物线方程，表示出弦长，再根据两平行线间的最小距离时，PQ 最短，进而可得出结果.
【详解】
由抛物线的光学性质可得：PQ 必过抛物线的焦点(
,0)2p F ， 当直线PQ 斜率存在时，设PQ 的方程为()2
p y k x =-，1122(,),(,)P x y Q x y ， 由2()22p y k x y px
⎧=-⎪⎨⎪=⎩得：2
22()24p k x px px -+=，整理得2222244)0(8k x k p p x k p -++=， 所以2122
2k p p x x k ++=，2
124p x x =， 所以2122
222k PQ x x p p p k +=++=>； 当直线PQ 斜率不存在时，易得2PQ p =；
综上，当直线PQ 与x 轴垂直时，弦长最短，
又因为两平行光线间的最小距离为4，PQ 最小时，两平行线间的距离最小； 因此min 24PQ p ==，所求方程为24y x =.
故答案为24y x =
【点睛】
本题主要考查直线与抛物线位置关系，通常需要联立直线与抛物线方程，结合韦达定理、弦长公式等求解，属于常考题型.
19．【解析】【分析】作出可行域表示与（00）连线的斜率结合图形求出斜率的最小值最大值即可求解【详解】如图不等式组表示的平面区域（包括边界）所以表示与（00）连线的斜率因为所以故【点睛】本题主要考查了简单 解析：1,
22⎡⎤⎢⎥⎣⎦
【解析】
【分析】
作出可行域，
y x
表示(),x y 与（0，0）连线的斜率，结合图形求出斜率的最小值，最大值即可求解. 【详解】
如图，不等式组201030y x y x y -⎧⎪--⎨⎪+-⎩
………表示的平面区域ABC V （包括边界），所以y x 表示(),x y 与（0，0）连线的斜率，因为()()1,22,1A B ，，所以122
OA OB k k ==
，，故1,22y x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦. 【点睛】
本题主要考查了简单的线性规划问题，涉及斜率的几何意义，数形结合的思想，属于中档题. 20．－【解析】因为＝＝＝＝＝4cos2α－1＝2(2cos2α－1)＋1＝2cos2α＋1＝所以cos2α＝又α是第四象限角所以sin2α＝－tan2α＝－点睛：三角函数求值常用方法：异名三角函数化为同
解析：－
34
【解析】
因为
3sin sin αα＝()2sin sin ααα+ ＝22sin cos cos sin sin ααααα
+ ＝()22221sin cos cos sin sin αααα
α+- ＝24sin cos sin sin αααα
- ＝4cos 2α－1＝2(2cos 2α－1)＋1＝2cos 2α＋1 ＝135，所以cos 2α＝45
. 又α是第四象限角，所以sin 2α＝－
35，tan 2α＝－34. 点睛：三角函数求值常用方法：异名三角函数化为同名三角函数，异角化为同角，异次化为同次，切化弦，特殊值与特殊角的三角函数互化．
三、解答题
21．(1) 通项公式为2n a = 或42n a n =-;(2) 当2n a = 时，不存在满足题意的正整数n ；当42n a n =- 时，存在满足题意的正整数n ，其最小值为41.
【解析】
【详解】
（1）依题意，2,2,24d d ++成等比数列，
故有()()22224d d +=+，
∴240d d -=，解得4d =或0d =.
∴()21442n a n n =+-⋅=-或2n a =.
（2）当2n a = 时，不存在满足题意的正整数n ；
当42n a n =-，∴()224222n n n S n ⎡⎤+-⎣⎦
==.
令2260800n n >+，即2304000n n -->，
解得40n >或10n <-（舍去），
∴最小正整数41n =.
22．(1) 2
214
x y += (2) 3.2 【解析】
【分析】
（1）设出A 、P 点坐标，用P 点坐标表示A 点坐标，然后代入圆方程，从而求出P 点的轨
迹；
（2）设出P 点坐标，根据斜率存在与否进行分类讨论，当斜率不存在时，求出POQ ∆面积的值，当斜率存在时，利用点P 坐标表示POQ ∆的面积，减元后再利用函数单调性求出最值，最后总结出最值.
【详解】
解：（1） 设(),P x y ，
由题意得：()()1,,0,A x y B y ，
由2BP BA =u u u v u u u v ，可得点A 是BP 的中点，
故102x x +=， 所以12
x x =， 又因为点A 在圆上， 所以得2
214
x y +=， 故动点P 的轨迹方程为2
214
x y +=. （2）设()11,P x y ，则10y ≠，且221114
x y +=， 当10x =时，11y =±，此时()33,0,2POQ Q S ∆=
； 当10x ≠时，11,OP y k x =
因为OP OQ ⊥, 即11
,OQ x k y =- 故1133,x Q y ⎛
⎫- ⎪⎝⎭
，
OP ∴=
OQ ==， 22111
1322POQ x y S OP OQ y ∆+==⋅①， 221114
x y +=代入①
2111143334322POQ y S y y y ∆⎛⎫-=⋅=- ⎪ ⎪⎝⎭ ()101y <≤ 设()()4301f x x x x
=-<≤ 因为()24f x 30x '=-
-<恒成立， ()f x ∴在(]0,1上是减函数， 当11y =时有最小值，即32POQ S ∆≥
, 综上：POQ S ∆的最小值为3.2
【点睛】
本题考查了点的轨迹方程、椭圆的性质等知识，求解几何图形的长度、面积等的最值时，常见解法是设出变量，用变量表示出几何图形的长度、面积等，减元后借助函数来研究其最值.
23．（1）20x y ++=（2
）【解析】
【分析】
【详解】
Ⅰ）由题意得直线BD 的方程为1y x =+．
因为四边形ABCD 为菱形，所以AC BD ⊥．
于是可设直线AC 的方程为y x n =-+． 由2234{x y y x n
+==-+，得2246340x nx n -+-=． 因为A C ，在椭圆上，
所以212640n ∆=-+>
，解得33
n -<<． 设A C ，两点坐标分别为1122()()x y x y ，，
，， 则1232n x x +=，212344
n x x -=，11y x n =-+，22y x n =-+． 所以122
n y y +=． 所以AC 的中点坐标为344n n ⎛⎫ ⎪⎝⎭
，． 由四边形ABCD 为菱形可知，点344n n ⎛⎫ ⎪⎝⎭
，在直线1y x =+上，
所以
3144
n n =+，解得2n =-． 所以直线AC 的方程为2y x =--，即20x y ++=． （Ⅱ）因为四边形ABCD 为菱形，且60ABC ∠=o ， 所以AB BC CA ==．
所以菱形ABCD
的面积2S AC =
． 由（Ⅰ）可得
2223162
-+==
n AC ，
所以2316)S n n ⎛=-+<<
⎝⎭， 故当0
n =时，有max 164=
⨯=S 24．（1）()21n a n =-，()1n b n n =+；（2）证明见解析.
【解析】
【分析】
(1)首先求得数列{}n a 的首项和公差确定数列{}n a 的通项公式，然后结合三项成等比数列的充分必要条件整理计算即可确定数列{}n b 的通项公式；
(2)结合(1)的结果对数列{}n c 的通项公式进行放缩，然后利用不等式的性质和裂项求和的方法即可证得题中的不等式.
【详解】
(1)由题意可得：1112432332a d a d a d +=⎧⎪⎨⨯+=+⎪⎩
，解得：102a d =⎧⎨=⎩， 则数列{}n a 的通项公式为22n a n =- .
其前n 项和()()02212n n n S n n +-⨯==-.
则()()()()1,1,12n n n n n b n n b n n b -++++++成等比数列，即：
()()()()2
1112n n n n n b n n b n n b ++=-+⨯+++⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦，
据此有：
()()()()()()()()2222121112121n n n n n n n n n b b n n n n n n b n n b b ++++=-++++++-+，
故()()()()
()22112121(1)(1)(1)(2)n n n n n n b n n n n n n n n n +--++==++++--+.
(2)结合(1)中的通项公式可得：
2
n
C==<=<=
，
则
)
12
2022
n
C C C
+++<+++=
L L
【点睛】
本题主要考查数列通项公式的求解，，裂项求和的方法，数列中用放缩法证明不等式的方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
25．（
I）(4,),(2)
24
ππ
（II）1,2
a b
=-=
【解析】
【分析】
【详解】
（I）圆1
C的直角坐标方程为22
(2)4
x y
+-=，直线2C的直角坐标方程为40
x y
+-=
联立得
22
(2)4
{
40
x y
x y
+-=
+-=
得1
1
{
4
x
y
=
=
2
2
2
{
2
x
y
=
=
所以1
C与
2
C交点的极坐标为
(4,)
24
ππ
（II）由（I）可得，P，Q的直角坐标为（0,2），（1,3），故，PQ的直角坐标方程为20
x y
-+=
由参数方程可得1
22
b ab
y x
=-+，所以1,12,1,2
22
b ab
a b
=-+==-=
解得
26．（1）证明见解析；（2）
3
5
.
【解析】
【分析】
(1)由题意首先证得线面垂直，然后利用线面垂直的定义即可证得线线垂直；
(2)建立空间直角坐标系，分别求得直线的方向向量和平面的法向量，然后结合线面角的正弦值和同角三角函数基本关系可得线面角的余弦值.
【详解】
(1)如图所示，连结11
,
A E
B E，
等边1
AAC △中，AE EC =，则1A E AC ⊥， 平面ABC ⊥平面11A ACC ，且平面ABC ∩平面11A ACC AC =，
由面面垂直的性质定理可得：1A E ⊥平面ABC ，故1A E BC ⊥，
由三棱柱的性质可知11A B AB ∥，而AB BC ⊥，故11A B BC ⊥，且1111A B A E A =I ， 由线面垂直的判定定理可得：BC ⊥平面11A B E ，
结合EF ⊆平面11A B E ，故EF BC ⊥.
(2)在底面ABC 内作EH ⊥AC ，以点E 为坐标原点，EH ,EC ,1EA 方向分别为x ,y ,z 轴正方向建立空间直角坐标系E xyz -.
设1EH =，则3AE EC ==1123AA CA ==3,3BC AB ==， 据此可得：()()()
1330,3,0,,,0,0,3,3,022A B A C ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭， 由11AB A B =u u u r u u u u r 可得点1B 的坐标为1333,322B ⎛⎫ ⎪⎝⎭
， 利用中点坐标公式可得：333,344F ⎛⎫ ⎪⎝⎭
，由于()0,0,0E ，
故直线EF
的方向向量为：34EF ⎛⎫= ⎪⎝⎭u u u r 设平面1A BC 的法向量为(),,m x y z =u r ，则：
(
)(
)133,,3302233,,022m A B x y z x y z m BC x y z x y u u u v v u u u v v ⎧⎛⎫⋅=⋅-=+-=⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪⋅=⋅-=-= ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎩
， 据此可得平面1A BC
的一个法向量为()
m =u r
，34EF ⎛⎫= ⎪⎝⎭u u u r
此时4cos ,5EF m EF m EF m ⋅===⨯u u u r u r u u u r u r u u u r u r ， 设直线EF 与平面1A BC 所成角为θ，则43sin cos ,,cos 55
EF m θθ===u u u r u r . 【点睛】 本题考查了立体几何中的线线垂直的判定和线面角的求解问题，意在考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力；解答本题关键在于能利用直线与直线、直线与平面、平面与平面关系的相互转化，通过严密推理，同时对于立体几何中角的计算问题，往往可以利用空间向量法，通过求解平面的法向量，利用向量的夹角公式求解.。