福建省三明一中高二数学上学期第二次月考试卷 文(特保

2015-2016学年福建省三明一中高二（上）第二次月考数学试卷（文
科）（特保班）
一、选择题：（每题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的）1．下列命题中，不是全称命题的是（）
A．任何一个实数乘以0都等于0
B．自然数都是正整数
C．每一个向量都有大小
D．一定存在没有最大值的二次函数
2．焦点在x轴，且焦点到准线的距离为4的抛物线方程为（）
A．y2=4x B．y2=8x C．y2=±4x D．y2=±8x
3．下列结论正确的是（）
A．（5x）'=5x B．（5x）'=5x ln5 C．D．．
4．已知双曲线实轴的一端点为A，虚轴的一端点为B，且|AB|=5，则该双曲线的方程为（）
A．B．
C．D．
5．已知函数f（x）=2x﹣lnx的单调递减区间为（）
A． B．（0，+∞）C．D．
6．抛物线y2=2px（p＞0）上一点M（x0，8）到焦点的距离是10，则x0=（）
A．1或8 B．1或9 C．2或8 D．2或9
7．已知函数f（x）的导函数f′（x）的图象如图所示，那么函数f（x）的图象最有可能的是（）
A．B．C．D．
8．、是两个非零向量，＞0是与的夹角＜＞为锐角的（）条件
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
9．已知函数f（x）=x3+ax2+（a+6）x+1有极大值和极小值，则实数a的取值范围是（）A．﹣1＜a＜2 B．﹣3＜a＜6 C．a＜﹣3或a＞6 D．a＜﹣1或a＞2
10．如果方程表示椭圆，则实数a的取值范围是（）
A．a＞﹣6 B．﹣2＜a＜3
C．a＜﹣2或a＞3 D．a＞﹣6且a≠0且a≠﹣2且a≠3
11．以椭圆的左右焦点F1，F2为直径的圆若和椭圆有交点，则椭圆离
心率的取值范围是（）
A．B．C．D．
12．已知函数f（x）的定义域为R，f（﹣1）=2，对任意x∈R，f′（x）＞2，则f（x）＞2x+4的解集为（）
A．（﹣1，1）B．（﹣1，+∞）C．（﹣∞，﹣1） D．（﹣∞，+∞）
二、填空题：（每小题5分，共20分）
13．命题“若a∉A，则b∈B”的否命题是．
14．双曲线=1（a＞0，b＞0）的焦点到渐近线的距离等于．
15．椭圆+=1的焦距为6，则k的值为．
16．已知f1（x）=sinx+cosx，记
，则
= ．
三、解答题：（第17题10分，第18～22题每题12分，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．命题p：“方程+=1表示双曲线”（k∈R）；命题q：y=log2（kx2+kx+1）定义域
为R，若命题p∨q为真命题，p∧q为假命题，求实数k的取值范围．
18．已知函数f（x）=x3﹣ax（其中a是实数），且f′（1）=3．
（1）求a的值及曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（2）求f（x）在区间[0，2]上的最大值．
19．已知抛物线C；y2=2px（p＞0）过点A（1，﹣2）；
（1）求抛物线C的方程，并求其准线方程；
（2）是否存在平行于OA（O为坐标原点）的直线l，使直线l与抛物线C有公共点，直线OA 与l的距离等于？若存在，求出直线l的方程，说明理由．
20．已知函数f（x）=x3﹣ax2+bx+c（a，b，c∈R）．
（1）若函数f（x）在x=1或x=3处取得极值，试求a，b的值；
（2）在（1）的条件下，当x∈[﹣2，5]时，f（x）＜c2恒成立，求c的取值范围．
21．已知椭圆的一个顶点为A（0，﹣1），焦点在x轴上，离心率为．
（1）求椭圆的方程；
（2）设椭圆与直线y=kx+m（k≠0）相交于不同的两点M、N，当|AM|=|AN|时，求m的取值范围．
22．已知函数f（x）=alnx﹣bx2图象上点P（1，f（1））处的切线方程为2x﹣y﹣3=0．（1）求函数f（x）的解析式；
（2）求函数f（x）的单调区间；
（3）函数g（x）=f（x）+m﹣ln4，若方程g（x）=0在上恰有两解，求实数m的取值范围．
2015-2016学年福建省三明一中高二（上）第二次月考数学试卷（文科）（特保班）
参考答案与试题解析
一、选择题：（每题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的）1．下列命题中，不是全称命题的是（）
A．任何一个实数乘以0都等于0
B．自然数都是正整数
C．每一个向量都有大小
D．一定存在没有最大值的二次函数
【考点】全称命题；命题的真假判断与应用．
【分析】根据全程命题的定义，命题中必须含有全称量词．
【解答】解：A中含有全称量词“任何一个”．
B中含有全称量词“都”．
C中含有全称量词“每一个”．
D中含有特称量词“存在”，是特称命题，不是全称命题．
故选D．
2．焦点在x轴，且焦点到准线的距离为4的抛物线方程为（）
A．y2=4x B．y2=8x C．y2=±4x D．y2=±8x
【考点】抛物线的标准方程．
【分析】根据焦点到准线的距离为4，可得p=4，2p=8，即可求得抛物线方程．
【解答】解：根据焦点到准线的距离为4，可得p=4，∴2p=8，
∴所求抛物线方程为：y2=±8x．
故选：D．
3．下列结论正确的是（）
A．（5x）'=5x B．（5x）'=5x ln5 C．D．．
【考点】导数的运算．
【分析】直接利用导数的运算法则化简求解即可．
【解答】解：（5x）′=5x ln5，（log a x）′=，
可知B正确．
故选：B．
4．已知双曲线实轴的一端点为A，虚轴的一端点为B，且|AB|=5，则该双曲线的方程为（）
A．B．
C．D．
【考点】双曲线的简单性质．
【分析】求出双曲线实轴端点A与虚轴的一端点为B的坐标，利用距离求解即可．
【解答】解：由题意不妨A（4，0），B（0，b），|AB|=5，
可得16+b2=25，解得b=3，
则该双曲线的方程为：．
故选：C．
5．已知函数f（x）=2x﹣lnx的单调递减区间为（）
A． B．（0，+∞）C．D．
【考点】利用导数研究函数的单调性．
【分析】求出函数的导数为f′（x），再解f′（x）＜0得x＜2．结合函数的定义域，即可得到单调递减区间．
【解答】解：函数f（x）=2x﹣lnx的导数为f′（x）=2﹣，
令f′（x）=2﹣＜0，得x＜
∴结合函数的定义域，得当x∈（0，）时，函数为单调减函数．
因此，函数f（x）=2x﹣lnx的单调递减区间是（0，）
故选：A．
6．抛物线y2=2px（p＞0）上一点M（x0，8）到焦点的距离是10，则x0=（）
A．1或8 B．1或9 C．2或8 D．2或9
【考点】抛物线的简单性质．
【分析】由抛物线定义可知，x0+=10，M（x0，8）代入y2=2px可得64=2px0，联立解之可得
x0．
【解答】解：∵抛物线y2=2px，p＞0，∴抛物线的准线方程为x=﹣
∵抛物线y2=2px（p＞0）上一点M（x0，8）到焦点的距离是10，
∴根据抛物线上任一点到焦点F的距离与到准线的距离是相等的，可得x0+=10，
∴p=20﹣2x0，
M（x0，8）代入y2=2px可得64=2px0，
∴32=（20﹣2x0）x0，
∴x02﹣10x0+16=0，
∴x0=2或8．
故选：C．
7．已知函数f（x）的导函数f′（x）的图象如图所示，那么函数f（x）的图象最有可能的是（）
A．B．C．D．
【考点】利用导数研究函数的单调性．
【分析】由导函数图象可知，f（x）在（﹣∞，﹣2），（0，+∞）上单调递减，在（﹣2，0）上单调递增；从而得到答案．
【解答】解：由导函数图象可知，
f（x）在（﹣∞，﹣2），（0，+∞）上单调递减，
在（﹣2，0）上单调递增，
故选A．
8．、是两个非零向量，＞0是与的夹角＜＞为锐角的（）条件
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
【考点】数量积表示两个向量的夹角．
【分析】先看当＞0时，能否推出与的夹角＜＞是否为锐角，再看当与的夹角＜＞为锐角时，＞0是否一定成立，然后根据充分条件、必要条件的定义进行判断．
【解答】解：当＞0时，与的夹角＜＞可能为锐角，也可能为零角，故充分性不成立．
当与的夹角＜＞为锐角时，＞0一定成立，故必要性成立．
综上，＞0是与的夹角＜＞为锐角的必要而不充分条件，
故选B．
9．已知函数f（x）=x3+ax2+（a+6）x+1有极大值和极小值，则实数a的取值范围是（）A．﹣1＜a＜2 B．﹣3＜a＜6 C．a＜﹣3或a＞6 D．a＜﹣1或a＞2
【考点】利用导数研究函数的极值．
【分析】题目中条件：“函数f（x）=x3+ax2+（a+6）x+1有极大值和极小值”告诉我们其导数有两个不等的实根，利用二次方程根的判别式可解决．
【解答】解：由于f（x）=x3+ax2+（a+6）x+1，
有f′（x）=3x2+2ax+（a+6）．
若f（x）有极大值和极小值，
则△=4a2﹣12（a+6）＞0，
从而有a＞6或a＜﹣3，
故选C．
10．如果方程表示椭圆，则实数a的取值范围是（）
A．a＞﹣6 B．﹣2＜a＜3
C．a＜﹣2或a＞3 D．a＞﹣6且a≠0且a≠﹣2且a≠3
【考点】椭圆的标准方程．
【分析】利用椭圆的性质求解．
【解答】解：∵方程表示椭圆，
∴，解得a＞﹣6且a≠0且a≠﹣2且a≠3．
故选：D．
11．以椭圆的左右焦点F1，F2为直径的圆若和椭圆有交点，则椭圆离心率的取值范围是（）
A．B．C．D．
【考点】椭圆的简单性质．
【分析】以椭圆的左右焦点F1，F2为直径的圆为：x2+y2=c2，与椭圆联立，得（b2﹣a2）x2=a2b2﹣a2c2，由此利用根的判别式能求出椭圆离心率的取值范围．
【解答】解：以椭圆的左右焦点F1，F2为直径的圆为：x2+y2=c2，
联立，得（b2﹣a2）x2=a2b2﹣a2c2，
∴=，
∴以椭圆的左右焦点F1，F2为直径的圆若和椭圆有交点，
∴≥0，
∴c≥b，
∴椭圆离心率的取值范围是e=，
又0＜e＜1，∴椭圆离心率的取值范围是[，1）．
故选：A．
12．已知函数f（x）的定义域为R，f（﹣1）=2，对任意x∈R，f′（x）＞2，则f（x）＞2x+4的解集为（）
A．（﹣1，1）B．（﹣1，+∞）C．（﹣∞，﹣1） D．（﹣∞，+∞）
【考点】利用导数研究函数的单调性．
【分析】构造函数g（x）=f（x）﹣2x﹣4，利用导数研究函数的单调性即可得到结论．
【解答】解：设g（x）=f（x）﹣2x﹣4，
则g′（x）=f′（x）﹣2，
∵对任意x∈R，f′（x）＞2，
∴对任意x∈R，g′（x）＞0，
即函数g（x）单调递增，
∵f（﹣1）=2，
∴g（﹣1）=f（﹣1）+2﹣4=4﹣4=0，
则∵函数g（x）单调递增，
∴由g（x）＞g（﹣1）=0得x＞﹣1，
即f（x）＞2x+4的解集为（﹣1，+∞），
故选：B
二、填空题：（每小题5分，共20分）
13．命题“若a∉A，则b∈B”的否命题是若a∈A，则b∉B ．
【考点】四种命题．
【分析】利用否命题和原命题的关系写出否命题．
【解答】解：根据否命题的定义可知，命题“若a∉A，则b∈B”的否命题是：若a∈A，则b∉B．
故答案为：若a∈A，则b∉B．
14．双曲线=1（a＞0，b＞0）的焦点到渐近线的距离等于 b ．
【考点】双曲线的简单性质．
【分析】双曲线的一个焦点（c，0），一条渐近线是bx﹣ay=0，由点到直线距离公式可求出双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离．
【解答】解：双曲线的一个焦点（c，0），一条渐近线是bx﹣ay=0，
由点到直线距离公式，双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离是
；
故答案为b．
15．椭圆+=1的焦距为6，则k的值为11或29 ．
【考点】椭圆的简单性质．
【分析】分椭圆的焦点在x轴、y轴两种情况加以讨论，结合椭圆基本量的平方关系解关于k 的方程，即可得到实数k的值．
【解答】解：∵椭圆+=1的焦距为6，∴c=3
当椭圆的焦点在x轴上时，
∵a2=20，b2=k，∴c==3，解之得k=11；
当椭圆的焦点在y轴上时，
∵a2=k，b2=20，∴c==3，解之得k=29
综上所述，得k的值为11或29
故答案为：11或29
16．已知f1（x）=sinx+cosx，记
，则
= ﹣1 ．
【考点】导数的运算．
【分析】利用三角函数求导法则求出f2（x）、f3（x）、f4（x），…观察所求的结果，归纳其中的规律，发现标号的周期性为4，再将代入，每四项的和是一个常数，即可求得正确答案．【解答】解：f2（x）=f1′（x）=cosx﹣sinx，
f3（x）=（cosx﹣sinx）′=﹣sinx﹣cosx，
f4（x）=﹣cosx+sinx，f5（x）=sinx+cosx，
以此类推，可得出f n（x）=f n+4（x）
又∵f1（x）+f2（x）+f3（x）+f4（x）=0，
∴=f1（）+f2（）+f3（）=﹣sin+cos=
﹣1，
故答案为：﹣1．
三、解答题：（第17题10分，第18～22题每题12分，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．命题p：“方程+=1表示双曲线”（k∈R）；命题q：y=log2（kx2+kx+1）定义域
为R，若命题p∨q为真命题，p∧q为假命题，求实数k的取值范围．
【考点】复合命题的真假．
【分析】先对命题p，q 化简，再由命题p∨q为真命题，p∧q为假命题知命题p，q一个为真，一个为假．从而解出实数k的取值范围．
【解答】解：p：由（k﹣3）（k+3）＜0得：﹣3＜k＜3；
q：令t=kx2+kx+1，由t＞0对x∈R恒成立．
（1）当k=0时，1＞0，∴k=0符合题意．
（2）当k≠0时，，
由△=k2﹣4×k×1＜0得k（k﹣4）＜0，解得：0＜k＜4；
综上得：q：0≤k＜4．
因为p∨q为真命题，p∧q为假命题，所以命题p，q一个为真，一个为假．
∴或；
∴﹣3＜k＜0或3≤k＜4．
18．已知函数f（x）=x3﹣ax（其中a是实数），且f′（1）=3．
（1）求a的值及曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（2）求f（x）在区间[0，2]上的最大值．
【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程．
【分析】（1）求导函数，利用f′（1）=3，确定a的值，从而可得切点坐标，即可求得切线的方程；
（2）求导函数，确定函数的单调性，即可求得函数在区间[0，2]上的最大值．
【解答】解：（1）由于函数f（x）=x3﹣ax，则可得f′（x）=3x2﹣a，
∵f′（1）=3，∴3﹣a=3，∴a=0
又当a=0时，f（x）=x3，∴f（1）=1，
所以，曲线y=f（x）在（1，f（1））处的切线方程为y﹣1=3（x﹣1），即y=3x﹣2．
（2）由于f′（x）=3x2≥0，
则f（x）在（0，2）上f′（x）＞0，即f（x）在[0，2]上为增函数，
∴f（x）max=f（2）=8．
19．已知抛物线C；y2=2px（p＞0）过点A（1，﹣2）；
（1）求抛物线C的方程，并求其准线方程；
（2）是否存在平行于OA（O为坐标原点）的直线l，使直线l与抛物线C有公共点，直线OA 与l的距离等于？若存在，求出直线l的方程，说明理由．
【考点】抛物线的简单性质．
【分析】（1）将（1，﹣2）代入抛物线方程求得p，则抛物线方程可得，进而根据抛物线的性质求得其准线方程．
（2）先假设存在符合题意的直线，设出其方程，与抛物线方程联立，根据直线与抛物线方程有公共点，求得t的范围，利用直线AO与L的距离，求得t，则直线l的方程可得．
【解答】解：（1）将（1，﹣2）代入y2=2px，
得（﹣2）2=2p•1，所以p=2．
故所求的抛物线C的方程为y2=4x，其准线方程为x=﹣1．
（2）假设存在符合题意的直线l，
其方程为y=﹣2x+t，代入抛物线方程得y2+2y﹣2t=0．
因为直线l与抛物线C有公共点，
所以△=4+8t≥0，解得t≥﹣．
另一方面，由直线OA到l的距离d=
可得=，解得t=±1．
因为﹣1∉[﹣，+∞），1∈[﹣，+∞），
所以符合题意的直线l存在，其方程为2x+y﹣1=0．
20．已知函数f（x）=x3﹣ax2+bx+c（a，b，c∈R）．
（1）若函数f（x）在x=1或x=3处取得极值，试求a，b的值；
（2）在（1）的条件下，当x∈[﹣2，5]时，f（x）＜c2恒成立，求c的取值范围．
【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的极值．
【分析】（1）根据所给的函数的解析式，对函数求导，使得导函数等于0，得到关于a，b的关系式，解方程组即可，写出函数的解析式．
（2）要求一个恒成立问题，f（x）＜c2恒成立，即c2﹣c＞x3﹣6x2+9x，只须c2﹣c＞（x3﹣6x2+9x）．设g（x）=x3﹣6x2+9x，下面利用导数求其最大值即可．
max
【解答】解：（1）∵函数f（x）在x=1或x=3处取得极值
∴f'（1）=0，f'（3）=0…
又∵f'（x）=3x2﹣2ax+b
∴…
∴a=6，b=9…
经检验，当a=6，b=9时，函数f（x）在x=1或x=3处取得极值…
∴a=6，b=9…
（2）由（1）得所求的函数解析式为f（x）=x3﹣6x2+9x+c；
∵当x∈[﹣2，5]时，f（x）＜c2恒成立，
∴x3﹣6x2+9x+c＜c2，对x∈[﹣2，5]恒成立，
∴c2﹣c＞x3﹣6x2+9x，∴c2﹣c＞（x3﹣6x2+9x）max
设g（x）=x3﹣6x2+9x，
g′（x）=3x2﹣12x+9=3（x﹣3）（x﹣1），
列表：
x （﹣2，1） 1 （1，3） 3 （3，5）
g′（x）+ 0 ﹣0 +
g（x）↑极大值4 ↓极小值0 ↑
且g（﹣2）=﹣50，g（5）=20，
故函数g（x）的g（x）最大值=f（5）=20，
∴c2﹣c＞20，解得c＜﹣4或c＞5．
故c的取值范围是：c＜﹣4或c＞5．…
21．已知椭圆的一个顶点为A（0，﹣1），焦点在x轴上，离心率为．
（1）求椭圆的方程；
（2）设椭圆与直线y=kx+m（k≠0）相交于不同的两点M、N，当|AM|=|AN|时，求m的取值范围．
【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的简单性质．
【分析】（1）设出椭圆方程，利用椭圆的一个顶点为A（0，﹣1），离心率为，确定几何量，
从而可得椭圆的方程；
（2）设P为弦MN的中点，直线与椭圆方程联立得（3k2+1）x2+6mkx+3（m2﹣1）=0，由于直线与椭圆有两个交点，可得m2＜3k2+1，|AM|=||AN|，可得AP⊥MN，由此可推导出m的取值范围．
【解答】解：（1）∵椭圆的焦点在x轴上，故设椭圆的方程为：…
又椭圆的一个顶点为A（0，﹣1），离心率为
∴即…
又a2=b2+c2∴…
∴a2=3…
∴椭圆的方程为：…
（2）设P（x P，y P）、M（x M，y M）、N（x N，y N），P为弦MN的中点，
直线y=kx+m与椭圆方程联立，消去y可得（3k2+1）x2+6mkx+3（m2﹣1）=0，
∵直线与椭圆相交，∴△=（6mk）2﹣12（3k2+1）（m2﹣1）＞0，∴m2＜3k2+1，①
由韦达定理，可得P（）
∵|AM|=||AN|，∴AP⊥MN，
∴
∴2m=3k2+1②
把②代入①得2m＞m2解得0＜m＜2
∵2m=3k2+1＞1，∴m＞
∴＜m＜2．
22．已知函数f（x）=alnx﹣bx2图象上点P（1，f（1））处的切线方程为2x﹣y﹣3=0．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）求函数f（x）的单调区间；
（3）函数g（x）=f（x）+m﹣ln4，若方程g（x）=0在上恰有两解，求实数m的取
值范围．
【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程．
【分析】（1）利用导数的运算法则可得f′（x），由题意可得，解出即
可；
（2）分别解出f′（x）＞0，f′（x）＜0，即可得出其单调区间；
（3）利用导数的运算法则可得g′（x），列出表格，要满足条件，则g（x）max＞0，，
g（2）≤0即可．
【解答】解：（1）∵f（x）=alnx﹣bx2，（x＞0），∴，
∵函数f（x）=alnx﹣bx2图象上点P（1，f（1））处的切线方程为2x﹣y﹣3=0，
∴即，
∴，
∴a=4，b=1，
∴函数f（x）的解析式为f（x）=4lnx﹣x2
（2）∵函数f（x）的定义域为（0，+∞），
∴由（1）有，
令，解得：
令，解得：…
∴函数f（x）的单调增区间是；单调减区间是．
（3）由（1）可知：g（x）=f（x）+m﹣ln4=4lnx﹣x2+m﹣ln4（x＞4），
∴=﹣，
令g′（x）=0，解得x=．
∴当x变化时，如下表：
可得函数的大致图象：
由图象可知：要使方程g（x）=0在上恰有两解，则，即，解得2＜m≤4﹣2ln2，
∴实数m的取值范围是（2，4﹣2ln2]．。