空间直角坐标系中的规律问题经典练习题

空间直角坐标系中的规律问题经典练习题
一、题目描述
本练题旨在加强对空间直角坐标系中规律问题的理解和应用能力。

通过解答以下题目，掌握在三维空间中确定点的坐标、计算线段长度和角度等相关技巧。

二、题目列表
1. 已知点A坐标为(3, 2, 4)，点B坐标为(-1, 5, -2)，求线段AB 的长度。

2. 点C在点A(1, 3, -2)和点B(4, -1, 5)的连线上，并且AC:CB = 2:3，求点C的坐标。

3. 已知点D(-2, 6, 1)和点E(5, -3, 2)，求线段DE的中点坐标。

4. 点F在x轴上，且点F到点A(3, -4, 2)的距离为5，求点F的坐标。

5. 已知直线L过点G(2, 1, -3)且与平面P: 2x - y - z = 4垂直，求直线L的方程。

6. 给定点H(4, -2, 1)和平面P: 3x + 2y - z = 8，求点H到平面P 的距离。

7. 已知直线L1的方程为(x - 1) / 2 = (y + 3) / -1 = (z - 2) / 4，直线L2经过点I(3, -2, 1)且与直线L1平行，求直线L2的方程。

三、解答
1. 线段AB的长度可以通过两点之间的距离公式求解：
线段AB的长度= √[(x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2 + (z2 - z1)^2]
将点A(3, 2, 4)和点B(-1, 5, -2)代入计算可得：
线段AB的长度= √[(-1 - 3)^2 + (5 - 2)^2 + (-2 - 4)^2]
= √[16 + 9 + 36]
= √61
≈ 7.81
2. 设点C的坐标为(x, y, z)。

根据点C在点A和点B的连线上，并且AC:CB = 2:3的条件，可得以下方程组：
(x - 1) / (4 - 1) = (y - 3) / (-1 - 3) = (z - (-2)) / (5 - (-2))
(x - 1) / 3 = (y - 3) / (-4) = (z + 2) / 7
解方程组可得：x = 2, y = 0, z = 1。

因此，点C的坐标为(2, 0, 1)。

3. 线段DE的中点坐标可以通过两点坐标的平均值计算：
线段DE的中点坐标 = ((x1 + x2) / 2, (y1 + y2) / 2, (z1 + z2) / 2)
将点D(-2, 6, 1)和点E(5, -3, 2)代入计算可得：
线段DE的中点坐标 = ((-2 + 5) / 2, (6 + (-3)) / 2, (1 + 2) / 2) = (3 / 2, 3 / 2, 3 / 2)
= (1.5, 1.5, 1.5)
因此，线段DE的中点坐标为(1.5, 1.5, 1.5)。

4. 点F到点A的距离可以通过两点之间的距离公式求解：点F到点A的距离= √[(x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2 + (z2 - z1)^2] 设点F的坐标为(x, 0, 0)，将点A(3, -4, 2)代入距离公式得：
5 = √[(x - 3)^2 + (-4)^2 + 2^2]
25 = (x - 3)^2 + 16 + 4
5 = (x - 3)^2 + 20
(x - 3)^2 = 5 - 20
(x - 3)^2 = -15
方程无实数解，因此不存在满足条件的点F。

5. 平面P的法向量为(2, -1, -1)（由平面的法向量系数确定）。

直线L过点G(2, 1, -3)且与平面P垂直，因此直线L的方向向量必与平面P的法向量垂直。

设直线L的方向向量为(a, b, c)，则该向量与平面P的法向量(2, -1, -1)垂直，可得以下方程：
a * 2 +
b * (-1) +
c * (-1) = 0
解方程可得直线L的方向向量为(-1, 2, 2)。

因此，直线L的方程为：
x = 2 - t
y = 1 + 2t
z = -3 + 2t
其中，t为任意实数。

6. 点H到平面P的距离可以使用以下公式进行计算：
点H到平面P的距离= |ax + by + cz + d| / √(a^2 + b^2 + c^2)
将点H(4, -2, 1)和平面P: 3x + 2y - z = 8代入计算可得：
点H到平面P的距离 = |3 * 4 + 2 * (-2) + (-1) * 1 + (-8)| / √(3^2
+ 2^2 + (-1)^2)
= |-12 - 4 - 1 - 8| / √(9 + 4 + 1)
= |-25| / √14
= 25 / √14
≈ 6.70
因此，点H到平面P的距离约为6.70。

7. 直线L2与直线L1平行，因此直线L2的方向向量与直线L1
的方向向量相同。

直线L1的方向向量为(2, -1, 4)（由直线的方向向量系数确定）。

设直线L2的方向向量为(a, b, c)，则该向量与直线L1的方向向量(2, -1, 4)相同，可得以下方程组：
a / 2 =
b / (-1) =
c / 4
解方程组可得直线L2的方向向量为(2, -1, 4)。

且已知直线L2经过点I(3, -2, 1)，因此直线L2的方程为：
x = 3 + 2t
y = -2 - t
z = 1 + 4t
其中，t为任意实数。

以上为空间直角坐标系中的规律问题经典练习题的解答。

希望能对您的学习有所帮助！。