垂径定理练习题和答案

★★14．如图，⊙O 的半径是 5cm，P 是⊙O 外一点,PO=8cm，∠P=30º,则 AB=
cm
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垂径定理练习题和答案
A B
O
P
★★★15．⊙O 的半径为 13 cm，弦 AB∥CD，AB＝24cm，CD＝10cm，那么 AB 和 CD 的距离是
Cm ★★★16．已知 AB 是圆 O 的弦，半径 OC 垂直 AB，交 AB 于 D，若 AB=8，CD=2，则圆的半径 为 ★★★17．一个圆弧形门拱的拱高为 1 米，跨度为 4 米，那么这个门拱的半径为
2
或 1 19、5 20、3 21、8 或 2 22、 2 3 23、3
三.解答题
1、 2 6 2、（1） 25 3 （2） 600 3、40 4、8
5、18 3
16
6、
3
7、（1）3
3
2
25
25
（2） 5 8、（1）略 （2）13 9、
10、30 11、27.9 12、
13、
5
4
3
25
1442.5 14、 15、（1）0.1
★★8．已知 AB 是⊙O 的直径，弦 CD⊥AB，E 为垂足，CD=8，OE=1，则 AB=____________ ★★9．如图，AB 为⊙O 的弦，⊙O 的半径为 5，OC⊥AB 于点 D，交⊙O 于点 C， 且 CD＝l， 则弦 AB 的长是
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★★10．某蔬菜基地的圆弧形蔬菜大棚的剖面如图所示，已知 AB＝16m，半径 OA＝10m，则
米 ★★★18．在直径为 10 厘米的圆中,两条分别为 6 厘米和 8 厘米的平行弦之间的距离是
厘米
★★★19．如图，是一个隧道的截面，如果路面 AB 宽为 8 米，净高 CD 为 8 米，那么这个 隧道所在圆的半径 OA 是___________米
C
O
A
D
B
★★★20．如图，AB 为半圆直径，O 为圆心，C 为半圆上一点，E 是弧 AC 的中点，OE理练习题和答案
B．平分一条弧的直线垂直于这条弧所对的弦 C．弦的垂线必经过这条弦所在圆的圆心 D．在一个圆内平分一条弧和它所对的弦的直线必经过这个圆的圆心
★★★7．如图，某公园的一座石拱桥是圆弧形（劣弧），其跨度为 24 米，拱的半径为 13 米， 则拱高为( )
A．5 米
B．8 米
C．4
D．5
★★3．过⊙O 内一点 M 的最长弦为 10 cm，最短弦长为 8cm，则 OM 的长为（ ）
A．9cm
B．6cm
C．3cm
D． 41cm
★★4．如图，小明同学设计了一个测量圆直径的工具，标有刻度的尺子 OA、OB 在 O 点钉在
一起，并使它们保持垂直，在测直径时，把 O 点靠在圆周上，读得刻度 OE=8 个单位，OF=6
垂径定理练习题和答案
垂径定理
一.选择题
★1．如图 1，⊙O 的直径为 10，圆心 O 到弦 AB 的距离 OM 的长为 3，那么弦 AB 的长是
（）
A．4
B．6
C．7
D．8
★★2．如图，⊙O 的半径为 5，弦 AB 的长为 8，M 是弦 AB 上的一个动点，则线段 OM 长的最
小值为（ ）
A．2
B．3
B
参考答案
一.选择题 1．D 2．B 3．C 4.B 5.D 6.D 7.B 8.D 9.C 二.填空题
1、 5 cm 2、3 cm 3、 6 4、 5 cm 5、 6 3 cm 6、 6 3 cm 7、 5 8、 2 17
5
9、 6 10、4 11、(6，0) 12、3 13、3 14、6 15、7cm 或 17cm 16、5 17、 18、7
中间柱 CD 的高度为
m
★★11．如图，在直角坐标系中，以点 P 为圆心的圆弧与轴交于 A、B 两点，已知 P(4，2) 和 A(2，0)，则点 B 的坐标是
y
P
A O
B
x
★★12．如图，AB 是⊙O 的直径，OD⊥AC 于点 D，BC=6cm，则 OD=
cm
★★13．如图，矩形 ABCD 与圆心在 AB 上的圆 O 交于点 G、B、F、E，GB=10，EF=8，那么 AD=
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C
A
B
★★★15．一根横截面为圆形的下水管道的直径为 1 米，管内有少量的污水（如图），此时 的水面宽 AB 为 0.6 米．
（1）求此时的水深（即阴影部分的弓形高）； （2）当水位上升到水面宽为 0.8 米时，求水面上升的高度．
O
A
B
★★★16．已知：如图， AB 是 O 的直径， C 是 O 上一点，CD⊥AB，垂足为点 D ， F 是
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O
A
D
B
C
★★7．已知：如图，AD 是⊙O 的直径，BC 是⊙O 的弦，AD⊥BC，垂足为点 E，BC=8， AD=10．
求：（1）OE 的长；（2）∠B 的正弦值
A
．O
B
E
C
D
★★★8．如图所示，破残的圆形轮片上，弦 AB 的垂直平分线交弧 AB 于点 C，交弦 AB 于点 D。已知：AB=24cm，CD=8cm
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B A
O
P
C
D
★★★6． 已知：如图所示，点 P 是⊙O 外的一点，PB 与⊙O 相交于点 A、B，PD 与⊙O 相交
于 C、D，AB=CD.求证：（1）PA=PC；（2） AE EC
B A
O P
C D
五.作图题 ★★1．已知弧 AB,用直尺和圆规平分这条弧．
A
★★★4．如图，AB、CD 是⊙O 的弦，且 AB=CD，OM⊥AB，ON⊥CD，垂足分别是点 M、N， BA、DC 的延长线交于点 P ． 求证：PA=PC
★★★5．已知：如图，点 P 是⊙O 外的一点，PB 与⊙O 相交于点 A、B，PD 与⊙O 相交于 C、 D，AB=CD． 求证：（1）PO 平分∠BPD；（2）PA=PC
★★4．已知 AB 是⊙O 的弦，AB＝8cm，OC⊥AB 与 C，OC=3cm，则⊙O 的半径为
cm
★★5．如图，⊙O 的直径 AB 垂直于弦 CD，垂足为 E，若∠COD＝120°，OE＝3 厘米，则 CD
＝
厘米
A
O
C
ED
B
图4
★★6．半径为 6cm 的圆中，垂直平分半径 OA 的弦长为
cm.
★★7．过⊙O 内一点 M 的最长的弦长为 6cm ，最短的弦长为 4cm ，则 OM 的长等于 cm
C．7 米 D．5 3 米
★★★8．⊙O 的半径为 5cm，弦 AB//CD，且 AB=8cm,CD=6cm,则 AB 与 CD 之间的距离为
()
A． 1 cm B． 7cm
C． 3 cm 或 4 cm D． 1cm 或 7cm
★★★9．已知等腰△ABC 的三个顶点都在半径为 5 的⊙O 上，如果底边 BC 的长为 8，那么 BC
★★★13．本市新建的滴水湖是圆形人工湖。为测量该湖的半径，小杰和小丽沿湖边选取 A、B、C 三根木柱，使得 A、B 之间的距离与 A、C 之间的距离相等，并测得 BC 长为 240 米， A 到 BC 的距离为 5 米，如图 5 所示。请你帮他们求出滴水湖的半径。
★★★14．如图是地下排水管的截面图（圆形），小敏为了计算地下排水管的直径，在圆形
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三.解答题 ★★1．已知⊙O 的弦 AB 长为 10，半径长 R 为 7，OC 是弦 AB 的弦心距，求 OC 的长
★★2．已知⊙O 的半径长为 50cm，弦 AB 长 50cm. 求：（1）点 O 到 AB 的距离；（2）∠AOB 的大小 ★★3．如图，直径是 50cm 圆柱形油槽装入油后，油深 CD 为 15cm，求油面宽度 AB
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O
A
B
C
★★★11．1300 多年前，我国隋代建造的赵州石拱桥的桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对 的弦长）为 37.4 米，拱高（弧的中点到弦的距离，也叫拱形高）为 7.2 米，求桥拱的半径 （精确到 0.1 米）
★★★12．已知：在△ABC 中，AB=AC=10, BC=16.求△ABC 的外接圆的半径.
★★4．如图，已知⊙O 的半径长为 R=5，弦 AB 与弦 CD 平行，他们之间距离为 7，AB=6 求： 弦 CD 的长．
A
B
O
C
D
★★5．如图，已知 AB 是⊙O 的直径，CD⊥AB，垂足为点 E，如果 BE=OE，AB=12m，求△ACD 的周长
C
A
O EB
D
★★6．如图，已知 C 是弧 AB 的中点，OC 交弦 AB 于点 D．∠AOB=120°，AD=8．求 OA 的长
AC 的中点， OF 与 AC 相交于点 E ， AC 8 cm， EF 2 cm.
（1）求 AO 的长； （2）求 sin C 的值.
A
F EO D
C
B
★★★★17．如图，在半径为 1 米，圆心角为 60°的扇形中有一内接正方形 CDEF，求正方 形 CDEF 面积。
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弧上取了 A , B 两点并连接 AB ，在劣弧 AB 上取中点 C 连接 CB ，经测量 BC 5 米， 4
ABC 36.87 °，根据这些数据请你计算出地下排水管的直径。 （ sin 36.87 ° 0.60 ， cos 36.87 ° 0.80 ， tan 36.87 ° 0.75 ）
（1）求作此残片所在的圆（不写作法，保留作图痕迹）； （2）求（1）中所作圆的半径.
C
A
D
B
★★★9．如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，圆心 O 在这个三角形的高 AD 上，AB=10，BC=12． 求⊙O 的半径
★★★10．如图，已知⊙O 的半径长为 25，弦 AB 长为 48，C 是弧 AB 的中点．求 AC 的长． 6 / 11
4
（2）0.1 或 0.7 16、（1）5 （2）
17、 2 3
12
5
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四.证明题 略 五.作图题 略
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四.证明题 ★★1．如图，AB 是⊙O 的弦（非直径），C、D 是 AB 上的两点，并且 AC=BD。求证：OC=OD
★★2．如图， AB 是⊙ O 的弦，点 D 是弧 AB 中点，过 B 作 AB 的垂线交 AD 的延长线于
C． 求证：AD＝DC
A
O·
D
B
C
★★3．已知：如图所示：是两个同心圆，大圆的弦 AB 交小圆于 CD，求证：AC=BD
边上的高为( )
A．2
B．8
C．2 或 8 D．3
二.填空题
★1．已知 AB 是⊙O 的弦，AB＝8cm，OC⊥AB 与 C，OC=3cm，则⊙O 的半径为
cm
★2．在直径为 10cm 的圆中，弦 AB 的长为 8cm，则它的弦心距为
cm
★3．在半径为 10 的圆中有一条长为 16 的弦，那么这条弦的弦心距等于
于点 D。若 AC=8cm，DE=2cm，则 OD 的长为
cm
★★★21．已知等腰△ABC 的三个顶点都在半径为 5 的⊙O 上，如果底边 BC 的长为 8，那么 BC 边上的高为
★★★22．如图，将半径为 2 cm 的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心 O ，则折痕 AB 的
长为
Ｏ
Ａ
Ｂ
★★★23．如图，⊙O 的的半径为 5，直径 AB⊥弦 CD，垂足为 E，CD=6，那么 ∠B 的余切值 为_________
个单位，则圆的直径为（ ）
A．12 个单位 B．10 个单位
C．1 个单位
D．15 个单位
★★5．如图，⊙O 的直径 AB 垂直弦 CD 于 P ，且 P 是半径 OB 的中点， CD 6cm ，则 直径 AB 的长是（ ）
A． 2 3cm
B． 3 2cm C． 4 2cm
D． 4 3cm
★★6．下列命题中，正确的是（ ） A．平分一条直径的弦必垂直于这条直径