【金版优课】高二数学人教B版选修2-1练习：2-1-1曲线与方程的概念b

04课后课时精练
一、选择题
1．下列命题正确的是( )
A ．方程＝1表示斜率为1，在y 轴上的截距为2的直线x
y －2B ．△ABC 三个顶点的坐标分别是A (0,3)，B (－2,0)，C (2,0)，BC 边上的中线的方程是x ＝0
C ．到x 轴的距离为5的点的轨迹方程为y ＝5
D ．曲线2x 2－3y 2－2x ＋m ＝0过原点的充要条件是m ＝0解析：A 表示去掉点(0,2)的直线；B 中，BC 边上的中线方程为x ＝0(0≤y ≤3)；C 中轨迹方程为y ＝±5.
答案：D
2．方程(x 2－4)2＋(y 2－4)2＝0表示的图形是( )A ．两个点 B ．四个点C ．两条直线
D ．四条直线
解析：由Error!得Error!或Error!或Error!
或Error!故方程(x 2－4)2＋(y 2－4)2＝0表示的图形是四个点．答案：B
3．下面各对方程中，表示相同曲线的一对方程是( )A ．y ＝x 与y ＝x 2
B ．(x －1)2＋(y ＋2)2＝0与(x －1)(y ＋2)＝0
C ．y ＝与xy ＝11
x D ．y ＝lg x 2与y ＝2lg x
解析：A 中y ＝x 表示直线，而y ＝＝|x |表示折线；B 中(x －1)
x 22＋(y ＋2)2＝0
表示点(1，－2)，而(x －1)(y ＋2)＝0表示两条直线；D
中y ＝lg x 2的图象分布在y 轴的两侧且对称，而y ＝2lg x 的图象只可能分布在y 轴右侧．
答案：C
4．方程y ＝表示的曲线是( )
|x |
x 2解析：当x >0时，y ＝＝；
|x |x 21
x 当x <0时，y ＝－.1
x 答案：C
5．[2014·鞍山高二质检]方程(x ＋y －1)＝0所表示的x 2＋y 2－
4曲线的轨迹是( )
解析：原方程等价于Error!或x 2＋y 2＝4.其中当x ＋y －1＝0时，有意义，等式才成立，即x 2＋y 2≥4，此时它表示直线x 2＋y 2－4x ＋y －1＝0上不在圆x 2＋y 2＝4内的部分；当x 2＋y 2＝4时方程表示整个圆，所以方程对应的曲线是D.
答案：D
6．已知a 、b 为任意实数，若点(a ，b )在曲线f (x ，y )＝0上，且点(b ，a )也在曲线f (x ，y )＝0上，则f (x ，y )＝0的几何特征是( )
A ．关于x 轴对称
B ．关于y 轴对称
C ．关于原点对称
D ．关于直线y ＝x 对称
解析：依题意，点(a ，b )与点(b ，a )都在曲线f (x ，y )＝0上，而两点关于直线y ＝x 对称，故选D.
答案：D 二、填空题
7．已知方程①x －y ＝0；②－＝0；③x 2－y 2＝0；④＝1，x y x
y 其中能表示直角坐标系的第一、三象限的角平分线C 的方程的序号是________．
解析：①是正确的；②不正确，如点(－1，－1)在第三象限的－＝0；③不正确．如点x y (－1,1)满足方程x 2－y 2＝0，但它不在曲线C 上；④不正确．如点
(0,0)在曲线C 上，但其坐标不满足方程＝1.
x
y 答案：①8. 曲线y ＝－与曲线y ＋|
x |＝0的交点个数是________
1－x 2个．
解析：y ＝－，即x 2＋y 2＝1(y ≤0)，而y ＝－|x |＝Error!1－x 2画出它们在同一直角坐标系中的图象如右图所示，可知有两个交点．
答案：2
9．[2014·银川高二检测]方程|x －1|＋|y －1|＝1的曲线所围成图形的面积是________．
解析：|x －1|＋|y －1|＝1可写成
Error!或Error!
或Error!或Error!其图形如右图所示．它是边长为的正方形，
2
其面积为2.
答案：2
三、解答题
10．判断下列命题是否正确．
(1)过点P(0,3)的直线l与x轴平行，则直线l的方程为|y|＝3.
r2－x2
(2)以坐标原点为圆心，半径为r的圆的方程是y＝.
解：(1)不对，过点P(0,3)的直线l与x轴平行，则直线l的方程为y＝3，而不是|y|＝3.
r2－x2
(2)不对，设(x0，y0)是方程y＝的解，
则y0＝，即x＋y＝r2.
r2－x202020
＝r.
x20＋y20
即点(x0，y0)到原点的距离等于r，点(x0，y0)是这个圆上的
点．因此满足以方程的解为坐标的点都是曲线上的点．但是，以原
点为圆心、半径为r 的圆上的一点如点(，－r )，却不是y ＝r 23
2的解，这就不满足曲线上的点的坐标都是方程的解．所以，r 2－x 2以原点为圆心，半径为r 的圆的方程不是y ＝，而应是y ＝±r 2－x 2.
r 2－x 211．若曲线y 2－xy ＋2x ＋k ＝0过点(a ，－a )(a ∈R )，求k 的取值范围．
解：∵曲线y 2－xy ＋2x ＋k ＝0过点(a ，－a )，∴a 2＋a 2＋2a ＋k ＝0，
∴k ＝－2a 2－2a ＝－2(a ＋)2＋.
1
21
2∴k ≤，
12∴k 的取值范围是(－∞，]．
1
212．证明：到点O (0,0)和点A (1,1)距离相等的点的轨迹方程是x ＋y －1＝0.
证明：(1)设点P (x 1，y 1)是轨迹上的任意一点，∵|PO |＝|PA |，
∴＝，x 2
1＋y 21(x 1－1)2＋(y 1－1)2平方整理得x 1＋y 1－1＝0.
∴点P 的坐标(x 1，y 1)是方程x ＋y －1＝0的解．
(2)∵上述每个步骤皆可逆，
∴以方程x＋y－1＝0的解为坐标的点都在曲线上，
由(1)(2)可知，x＋y－1＝0即为到点O和点A距离相等的点的轨迹方程．。