黑龙江省齐齐哈尔市高考数学一模试卷(文科)

高考数学一模试卷（文科）
一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）
1.若集合A={2，3，4}，B={x|1+x＞3}，则A∩B=（）
A. {4}
B. {2}
C. {3，4}
D. {2，3}
2.=（）
A. B. C. D.
3.若函数f（x）=是奇函数，则f（a-1）=（）
A. -1
B.
C.
D. 1
4.若x，y满足不等式组，则z=2x-3y的最小值为（）
A. -2
B. -3
C. -4
D. -5
5.已知双曲线=1（a＞0，b＞0）的离心率为e，若e=，则该双曲线的渐近线
方程为（）
A. 2x±3y=0
B. 3x±2y=0
C. 4x±3y=0
D. 3x±4y=0
6.随着计算机的出现，图标被赋予了新的含义，又有了新的用武之
地．在计算机应用领域，图标成了具有明确指代含义的计算机图
形．如图所示的图标是一种被称之为“黑白太阳”的图标，该图
标共分为3部分．第一部分为外部的八个全等的矩形，每一个矩
形的长为3、宽为1；第二部分为圆环部分，大圆半径为3，小
圆半径为2；第三部分为圆环内部的白色区域．在整个“黑白太阳”图标中随机取一点，此点取自图标第三部分的概率为（）
A. B. C. D.
7.在公比为整数的等比数列{a n}中，a2-a3=-2，a1+a3=，则{a n}的前4项和为（）
A. B. C. D.
8.运行如图程序，则输出的S的值为（）
A. 0
B. 1
C. 2018
D. 2017
9.若函数f（x）=e x（x3-3ax-a）有3个零点，则实数a的取值范围是（）
A. （0，）
B. （）
C. （0，）
D. （）
10.在长方体ABCD-A1B1C1D1中，BC=CC1=1，∠AB1D=，则直线AB1与BC1所成角的
余弦值为（）
A. B. C. D.
11.已知函数f（x）=cos x-sin x在（0，α）上是单调函数，且f（α）≥-1，则α的取值
范围为（）
A. （0，]
B. （0，]
C. （0，]
D. （0，]
12.已知半圆C：x2+y2=1（y≥0），A、B分别为半圆C与x轴的左、右交点，直线m
过点B且与x轴垂直，点P在直线m上，纵坐标为t，若在半圆C上存在点Q使∠BPQ=，则t的取值范围是（）
A. [-，0）]
B. [-，0）∪（0，]
C. [-，0）∪（0，]
D. [-，0）∪（0，]
二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13.已知cosα=-，则cos2α=______．
14.设等差数列{a n}的前n项和为S n，且S4=3S2，a7=15，则{a n}的公差为______．
15.甲、乙、丙三个同学同时做标号为A、B、C的三个题，甲做对了两个题，乙做对
了两个题，丙做对了两个题，则下列说法正确的是______
①三个题都有人做对；
②至少有一个题三个人都做对；
③至少有两个题有两个人都做对．
16.已知三棱锥A-BCD的四个顶点都在球O的球面上，且AC=，BD=2，
AB=BC=CD=AD=，则球O的表面积为______．
三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）
17.已知△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，△ABC的面积为S，且S=bc cos A，
C=．
（Ⅰ）求cos B的值；
（Ⅱ）若c=，求S的值．
18.如图，四棱锥P﹣ABCD中，AB∥CD，∠BCD＝，PA⊥BD，AB＝2，PA＝PD＝CD＝
BC＝1．
（1）求证：平面PAD⊥平面ABCD；
（2）求点C到平面PBD的距离．
19.某中学为研究学生的身体素质与体育锻炼时间的关系，对该校200名高三学生平均
每天体育锻炼时间进行调查，如表：（平均每天锻炼的时间单位：分钟）
将学生日均体育锻炼时间在，）的学生评价为“锻炼达标”．
（Ⅰ）请根据上述表格中的统计数据填写下面2×2列联表；
与性别有关？
（Ⅱ）在“锻炼达标”的学生中，按男女用分层抽样方法抽取5人，进行体育锻炼体会交流，再从这5人中选出2人作重点发言，求作重点发言的2人中，至少有1人是女生的概率．
参考公式：K2=，其中n=a+b+c+d
临界值表
20.已知O为坐标原点，椭圆C：=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1（-c，0），
F2（c，0），过焦点且垂直于x轴的直线与椭圆C相交所得的弦长为3，直线y=-与椭圆C相切．
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）是否存在直线l：y=k（x+c）与椭圆C相交于E，D两点，使得（）
＜1？若存在，求k的取值范围；若不存在，请说明理由！
21.已知函数f（x）=a ln x-2x+x2（a∈R）．
（1）若a=1，求曲线y=f（x）在（1，f（1））处的切线方程；
（2）设f（x）存在两个极值点x1，x2（x1＜x2），且不等式f（x1）≥mx2恒成立，求实数m的取值范围．
22.已知曲线C1的参数方程为（α为参数），P是曲线C1上的任一点，
过P作y轴的垂线，垂足为Q，线段PQ的中点的轨迹为C2．
（Ⅰ）求曲线C2的直角坐标方程；
（Ⅱ）以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，若直线l：sinθ-cosθ=交曲线C2于M，N两点，求|MN|．
23.已知函数f（x）=|x-2|．
（Ⅰ）解不等式f（x）+f（2x+1）≥6；
（Ⅱ）对a+b=1（a，b＞0）及∀x∈R，不等式f（x-m）-（-x）≤恒成立，求实数m的取值范围．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：B={x|x＞2}；
∴A∩B={3，4}．
故选：C．
可求出集合B，然后进行交集的运算即可．
考查列举法、描述法的定义，以及交集的运算．
2.【答案】B
【解析】解：=．
故选：B．
直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．
本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础的计算题．
3.【答案】B
【解析】解：∵f（x）是奇函数，∴f（-x）=-f（x），
∴2-x-2a+x=2a-x-2x，∴2a（2x+2-x）=2x+2-x，
∴2a=1，∴a=0，∴f（a-1）=f（-1）=-．
故选：B．
根据奇函数的定义，构造关于a的方程组，容易求出a的值，从而求出f（x），可求结果．
本题考查函数的奇偶性，根据奇偶性的定义求出a值，是解决该类问题的关键．
4.【答案】D
【解析】解：画出x，y满足不等式组
表示的平面区域，
如图所示；
平移目标函数z=2x-3y知，A（2，3），B（1，0），
C（0，1）
当目标函数过点A时，z取得最小值，
∴z的最小值为2×2-3×3=-5．
故选：D．
画出不等式组表示的平面区域，平移目标函数，
找出最优解，求出z的最小值．
本题考查了简单的线性规划问题，是基本知识的考查．
5.【答案】C
【解析】解：双曲线=1（a＞0，b＞0）的离心率为e，可得e==，
可得：a2+b2=9a2-6ab+b2，化简可得=，
则该双曲线的渐近线方程为：4x±3y=0．
故选：C．
求出双曲线的离心率，利用已知条件列出方程求解a，b比值进而求解渐近线方程．
本题考查双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查．
6.【答案】B
【解析】解：图标第一部分的面积为8×3×1=24，图标第二部分的面积和第三部分的面积为π×32=9π，
图标第三部分的面积为π×22=4π，
故此点取自图标第三部分的概率为，
故选：B．
以面积为测度，根据几何概型的概率公式即可得到结论．
本题考查几何概型的计算，关键是正确计算出阴影部分的面积，属于基础题．
7.【答案】A
【解析】解：设等比数列的首项为a1，公比为q
∵a2-a3=-2，a1+a3=，
∴
两式相除可整理可得，2q2-5q-3=0
由公比q为整数可得，q=3，a1=
代入等比数列的和公式可得S4==，
故选：A．
由a2-a3=-2，a1+a3=，联立方程可求a1、q，然后代入等比数列的前n和公式可求答案．
本题主要考查了利用基本量q，a1表示数列中的项，而在建立关于q，a1的方程时，常利用两式相除解方程，等比数列的前n项和公式．
8.【答案】D
【解析】解：模拟程序的运行，可得程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S=2017+（sin+sin）+（sin+sin）+…+（sin+sin）的值，
可得：S=2017+（sin+sin）+（sin+sin）+…+（sin+sin）=2017．
故选：D．
由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．
本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．
9.【答案】D
【解析】解：令g（x）=x3-3ax-a，
若f（x）=e x g（x）有3个零点，
即g（x）有3个零点，
g′（x）=3x2-3a，
当a≤0时，g′（x）≥0，g（x）递增，至多1个零点，
当a＞0时，g′（x）=0，x=±，
由题意知g（-）＞0，g（）＜0，
故a＞，
故选：D．
令g（x）=x3-3ax-a，求出函数的导数，通过讨论a的范围，得到关于a的不等式，求出a的范围即可．
本题考查了函数的单调性，落在问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，是一道常规题．
10.【答案】D
【解析】解：以D为原点，DA为x轴，
DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐
标系，
设AB=a，则A（1，0，0），D（0，0，0），
B1（1，a，1），
=（-1，-a，-1），=（0，-a，-1），
∵∠AB1D=，∴cos==，
解得a=，B1（1，，1），B（1，0），
C1（0，，1），
=（0，），=（-1，0，1），
设直线AB1与BC1所成角为θ，
则cosθ===．
∴直线AB1与BC1所成角的余弦值为．
故选：D．
以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线AB1与BC1所成角的余弦值．
本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
11.【答案】C
【解析】解：函数f（x）=cos x-sin x=2cos（x+）在（0，α）上是单调函数，∴+α≤π，∴0＜α≤．
又f（α）≥-1，即 cos（α+）≥-，则α+∈（，]，∴α∈（0，]，
故选：C．
利用两角和的余弦公式化简函数的解析式，利用余弦函数的单调性以及余弦函数的图
象，可得 cos（α+）≥-，则α+∈（，]，由此可得α的取值范围．
本题主要考查两角和的余弦公式，余弦函数的单调性以及余弦函数的图象，属于基础题．12.【答案】A
【解析】解：根据题意，设PQ与x轴交于点T，
则|PB|=|t|，
由于BP与x轴垂直，且∠BPQ=，则在Rt△PBT
中，
|BT|=|PB|=|t|，
当P在x轴上方时，PT与半圆有公共点Q，PT与
半圆相切时，|BT|有最大值3，此时t有最大值，
当P在x轴下方时，当Q与A重合时，|BT|有最大
值2，|t|有最大值-，则t取得最小值-，
t=0时，P与B重合，不符合题意，
则t的取值范围为[-，0）]；
故选：A．
根据题意，设PQ与x轴交于点T，分析可得在Rt△PBT中，|BT|=|PB|=|t|，分p在x
轴上方、下方和x轴上三种情况讨论，分析|BT|的最值，即可得t的范围，综合可得答案．
本题考查直线与圆方程的应用，涉及直线与圆的位置关系，属于基础题．
13.【答案】
【解析】解：∵cosα=-，
∴cos2α=2cos2α-1=2×（-）2-1=．
故答案为：．
由已知利用二倍角的余弦函数公式即可计算得解．
本题主要考查了二倍角公式在三角函数化简求值中的应用，属于基础题．
14.【答案】2
【解析】解：∵等差数列{a n}的前n项和为S n，且S4=3S2，a7=15，
∴，
解得a1=3，d=2．
故答案为：2．
利用等差数列前n项和公式和通项公式列出方程组，能求出等差数列的公差．
本题考查等差数列的公差的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，
是基础题．
15.【答案】③
【解析】解：若甲做对A，B，乙做对A，B，丙做对A，B，则C无人做对，所以①错误；
若甲做对A，B，乙做对A，C，丙做对B，C，则没有一个题被三个人都做对，所以②错误；
做对的情况可分为三种情况：
三个人做对的都相同；三个人中有两个人做对的相同；三个人每个人做对的都不完全相同，
分类可知三种情况都满足③的说法．
故答案为：③．
运用题目所给条件，进行合情推理，即可得出结论．
本题考查学生合情推理的能力，属于中档题．
16.【答案】4π
【解析】【分析】
本题考查多面体外接球表面积的求法，考查空间想象能力与思维能力，是中档题．
由题意画出图形，结合已知可得BD中点O为外接球的球心，求出半径，则答案可求．【解答】
解：如图，
取BD中点O，连接OA，OC，由BD=2，AB=BC=CD=AD=，
得OA=OB=OC=OD=1，则球的半径为1．
∴球O的表面积为4π×12=4π．
故答案为：4π．
17.【答案】解：（Ⅰ）∵S=bc sin A=bc cos A，
∴sin A=2cos A，可得：tan A=2，
∵△ABC中，A为锐角，
又∵sin2A+cos2A=1，
∴可得：sin A=，cos A=，
又∵C=，
∴cos B=-cos（A+C）=-cos A cos C+sin A sin C=．
（Ⅱ）在△ABC中，sin B==，
由正弦定理，可得：b==3，
∴S=bc cos A=3．
【解析】（Ⅰ）由已知利用三角形面积公式可得tan A=2，利用同角三角函数基本关系式可求sin A，cos A，由三角形内角和定理，两角和的余弦函数公式可求cos B的值．（Ⅱ）利用同角三角函数基本关系式可求sin B，利用正弦定理可得b的值，即可得解S 的值．
本题主要考查了三角形面积公式，同角三角函数基本关系式，三角形内角和定理，两角和的余弦函数公式，正弦定理在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．
18.【答案】证明：（1）∵AB∥CD，∠BCD=，PA=PD=CD=BC=1，
∴BD=，，，
∴，
∵AB=2，∴AD=
，∴AB2=AD2+BD2，∴AD⊥BD，
∵PA⊥BD，PA∩AD=A，∴BD⊥平面PAD，
∵BD⊂平面ABCD，
∴平面PAD⊥平面ABCD．
解：（2）取AD中点O，连结PO，则PO⊥AD，且PO=，
由平面PAD⊥平面ABCD，
知PO⊥平面ABCD，
由BD⊥平面PAD，得BD⊥PD，
又PD=1，BD=，∴△PBD的面积为，
又△BCD的面积为，V P-BCD=V C-PBD，
设点C到平面PBD的距离为d，
则，
解得d=，
∴点C到平面PBD的距离为．
【解析】（1）推导出AD⊥BD，PA⊥BD，从而BD⊥平面PAD，由此能证明平面PAD⊥平面ABCD．
（2）取AD中点O，连结PO，则PO⊥AD，且PO=，由V P-BCD=V C-PBD，能求出点C
到平面PBD的距离．
本题考查面面垂直的证明，考查点到平面的距离的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．
19.【答案】解：（Ⅰ）列联表如下：
K2==≈6.061》5.024，
所以能在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为“锻炼达标”与性别有关．
（Ⅱ）”锻炼达标“的学生有50人，男女生人数比为3：2，故用分层抽样方法抽取5人，有3人是男生，记为a，b，c，有2人是女生，记为d，e，
则从这5人中选出2人，选法有：ab，ac，ad，ae，bc，bd，be，cd，ce，de，共10种，设事件A表示“作重点发言的2人中，至少有1人是女生”，则事件A发生的情况为：ad，bd，cd，ae，be，ce，de共7种，
所以所求概率为．
【解析】（Ⅰ）计算得K2，结合临界值表可得；
（Ⅱ）“锻炼达标“的学生有50人，男女生人数比为3：2，故用分层抽样方法抽取5人，有3人是男生，记为a，b，c，有2人是女生，记为d，e，用列举法以及古典概型概率公式可得．
本题考查了独立性检验，属中档题．
20.【答案】解：（Ⅰ）∵在=1（a＞b＞0）中，令x=c，可得y=±，
∵过焦点且垂直于x轴的直线与椭圆C相交所得的弦长为3，
∴=3，
∵直线y=-与椭圆C相切，
∴b=，
∴a=2
∴a2=4，b2=3．
故椭圆C的方程为+=1；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知c=1，则直线l的方程为y=k（x+1），
联立，可得（4k2+3）x2+8k2x+4k2-12=0，
则△=64k4-4（4k2+3）（4k2-12）=144（k2+1）＞0，
∴x1+x2=-，x1x2=，
∴y1y2=k2（x1+1）（x2+1）=-，
∵（）＜1，
∴•＜1，
∴（x2-1，y2）（x1-1，y1）=x1x2-（x1+x2）+1+y1y2＜1，
即++1-＜1，
整理可得k2＜4，
解得-2＜k＜2，
∴直线l存在，且k的取值范围为（-2，2）．
【解析】（Ⅰ）由题意可得=3，以及直线y=-与椭圆C相切，可得b=，解之即
得a，b，从而写出椭圆C的方程；
（Ⅱ）联立方程组，根据韦达定理和向量的运算，即可求出k的取值范围．
本题考查了直线方程，椭圆的简单性质、向量的运算等基础知识与基本技能方法，考查了运算求解能力，转化与化归能力，属于中档题．
21.【答案】解：（1）a=1时，f′（x）=-2+2x，
故f′（1）=1，又f（1）=-1，
故切线过（1，-1），
切线方程是：x-y-2=0；
（2）f（x）=a ln x-2x+x2（x＞0），
f′（x）=，
令f′（x）=0，得2x2-2x+a=0，
∵f（x）存在两个极值点x1，x2（x1＜x2），
∴△=4-8a＞0，故x1+x2=1，x1x2=＞0，
故0＜a＜，
故0＜x1＜，＜x2＜1，
由f（x1）≥mx2恒成立，
得m≤==1-x1+2x1ln x1-，
令h（x）=1-x+2x lnx-（0＜x＜），
h′（x）=2ln x-+1，
∵0＜x＜，∴-3＜1-＜0，
故h′（x）＜0，故h（x）在（0，）递减，
故h（x）＞h（）=--ln2，
故m≤--ln2，
即实数m的范围是（-∞，--ln2]．
【解析】（1）代入a的值，求出切线方程即可；
（2）求出函数的导数，由f（x1）≥mx2恒成立，得m≤1-x1+2x1ln x1-，令h（x）=1-x+2x lnx-
（0＜x＜），根据函数的单调性求出m的范围即可．
本题考查了切线方程问题，考查函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及转化思想，是一道综合题．
22.【答案】解：（Ⅰ）利用cos2α+sin2α=1消去α可得（x-3）2+（y-1）2=4，
设PQ的中点坐标为（x，y），则P点坐标为（2x，y），则PQ中点的轨迹方程为（2x-3）2+（y-1）2=4．
（Ⅱ）∵直线的直角坐标方程为y-x=1，
∴联立y-x=1与（2x-3）2+（y-1）2=4得x=，∴|MN|==．
【解析】（Ⅰ）利用cos2α+sin2α=1消去α可得圆C1的普通方程，设PQ的中点坐标为（x，y），则P点坐标为（2x，y），将P的坐标代入C1的方程即可得；
（Ⅱ）先把l的极坐标方程化为直角坐标方程，再代入C2的直角坐标方程可得M，N的横坐标，再根据弦长公式可得弦长|MN|．
本题考查了简单曲线的极坐标方程，属中档题．
23.【答案】解：（Ⅰ）f（x）+f（2x+1）=|x-2|+|2x-1|=
当x＜时，由3-3x≥6，解得x≤-1；
当≤x≤2时，x+1≥6不成立；
当x＞2时，由3x-3≥6，解得x≥3．
所以不等式f（x）≥6的解集为（-∞，-1]∪[3，+∞）．
（Ⅱ）∵a+b=1（a，b＞0），
∴（a+b）（+）=5++≥5+2=9，
∴对于∀x∈R，恒成立等价于：对∀x∈R，|x-2-m|-|-x-2|≤9，
即[|x-2-m|-|-x-2|]max≤9
∵|x-2-m|-|-x-2|≤|（x-2-m）-（x+2）|=|-4-m|
∴-9≤m+4≤9，
∴-13≤m≤5．
【解析】（Ⅰ）根据绝对值不等式的解法，利用分类讨论进行求解即可．
（Ⅱ）利用1的代换，结合基本不等式先求出+的最小值是9，然后利用绝对值不等式
的性质进行转化求解即可．
本题主要考查绝对值不等式的解法，以及不等式恒成立问题，利用1的代换结合基本不等式，将不等式恒成立进行转化求解是解决本题的关键．。