上海市闸北区第二学期高三数学（文科）期中练习卷 .4

闸北区第二学期高三数学（文科）期中练习卷 .4
一、填空题（本题满分55分）本大题共有11题，要求在答题纸相应题序的空格内直接填写
结果，每个空格填对得5分，否则一律得零分．
1．已知z 和
i
z -+12
都是纯虚数,那么=z ． 2．函数)cos(sin x x y --=π)R (∈x 的单调递增区间为 ．
3．某高中共有在读学生430人，其中高二160人，高一人数是高三人数的2倍．为了解学生身体状况，现采用分层抽样方法进行调查，在抽取的样本中有高二学生32人，则该样本中的高三学生人数为 ．
4．在平面直角坐标系xOy 中，到点)0,2(-A 和到直线2=x 距离相等的动点的轨迹方程为 ．
5．下列三个命题：①若||||b a b a -=+，则0=⋅b a ； ②若0≠a ，c a b a ⋅=⋅，则
c b =；③若||||||b a b a =⋅，则b a //．其中真命题有 ．（写出所有真命题的
序号）
6．有一公园的形状为ABC ∆，测得3=AC 千米，1=AB 千米，
60=∠B ，则该公园的占地面积为 平方千米．
7．设一个正方体的各个顶点都在一个表面积为π12的球面上，则该正方体的体积为 ． 8．设)(x f 是R 上的奇函数，)(x g 是R 上的偶函数，若x
x g x f 2)()(=+，则函数
)()(x g x f -的值域为 ．
9．甲、乙两个袋子中均装有红、白两种颜色的小球，这些小球除颜色外完全相同，其中甲袋装有4个红球、2个白球，乙袋装有1个红球、5个白球．现分别从甲、乙两袋中各随机抽取1个球，则取出的两球颜色不同的概率为______．（用分数作答）
10．若函数x x f a x log 2
)(|
3|-=-无零点，则a 的取值范围为 ． 11．设2log log ==y x b a ，2=+b a ，则y x +的取值范围为 ．
二、选择题（本题满分20分）本大题共有4题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个
结论是正确的，必须把答题纸上相应题序内的正确结论代号涂黑，选对得5分，否则一律得零分.
12．设∈b a ,R ，则 “b a >” 是“3
3
b a >” 的 【 】 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．不充分也不必要条件 13．以下四个命题：①正棱锥的所有侧棱相等；②直棱柱的侧面都是全等的矩形；③圆柱的母线垂直于底面；④用经过旋转轴的平面截圆锥，所得的截面一定是全等的等腰三角形．其中，真命题的个数为 【 】 A ．4 B ．3 C ．2 D ．1
14．一林场现有树木两万棵，计划每年先砍伐树木总量的%10，然后再种植2500棵
树．经过若干年如此的砍伐与种植后，该林场的树木总量大体稳定在 【 】
A ．18000颗
B ．22000颗
C ．25000颗
D ．28000颗 15．已知)1,2(-A ，)1,1(-B ，O 为坐标原点，动点P 满足OB n OA m OP +=，其中
R ∈n m 、，且2222=-n m ，则动点P 的轨迹是 【 】 A ．焦距为3的椭圆 B ．焦距为32的椭圆 C ．焦距为3的双曲线 D ．焦距为32的双曲线
三、解答题（本题满分75分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸的规定区域（对
应的题号）内写出必要的步骤． 16．（满分12分）本题有2小题，第1小题5分，第2小题7分．
设函数)12(log )(2+=x
x f ，R ∈x . （1）求)(x f 的反函数)(1x f
-； （2）解不等式)(2x f )5log (21
+≤-x f
.
17．（满分14分）本题有2小题，第1小题6分，第2小题8分．
某分公司经销某种品牌产品，每件产品的成本为2元，并且每件产品需向总公司交a 元（62≤≤a ）的管理费，预计当每件产品的销售价为x 元（97≤≤x ）时，一年的销售量为)12(x -万件．
（1）求该分公司一年的利润L （万元）与每件产品的售价x 的函数关系式；
（2）当每件产品的售价为多少元时，该分公司一年的利润L 最大，并求L 的最大值)(a Q ．
18．（满分15分）本题有2小题，第1小题7分，第2小题8分．
如右图，圆柱的轴截面ABCD 为正方形，'
O 、O 分别为上、 下底面的圆心，E 为上底面圆周上一点，已知
60E DO '
=∠，圆 柱侧面积等于π16． （1）求圆柱的体积V ；
（2）求异面直线B E 与DO 所成角θ的大小．
19．（满分16分）本题有2小题，第1小题8分，第2小题8分．
在数列}{n a 中，51=a ，2431+-=+n a a n n ，其中*
N ∈n ．
（1）设n a b n n 2-=，证明数列}{n b 是等比数列；
（2）记数列}{n a 的前n 项和为n S ，试比较n S 与20112
+n 的大小．
20．（满分18分）本题有2小题，第1小题9分，第2小题9分．
在ABC ∆中，A 、B 为定点，C 为动点，记A ∠、B ∠、C ∠的对边分别为a 、b 、
c ，已知2=c ，12
cos 2
=C
ab ． （1）证明：动点C 一定在某个椭圆上，并求出该椭圆的标准方程；
（2）设点O 为坐标原点，过点B 作直线l 与（1）中的椭圆交于M N ，两点，若ON OM ⊥，求直线l 的方程．
高三数学（文科）期中练习卷评分标准与参考答案（.4）
一、1. i 2； 2．Z k k k ∈+-],4
2,432[π
πππ； 3．18；
4．x y 82
-=；
5．①③； 6．2
3
； 7．8； 8．)0,(-∞； 9．
18
11
； 10．),3(+∞； 11．),2(+∞． 二、12. C ； 13．B ； 14．C ； 15．D ． 三、16．解：（1）)12(log )(21
-=-x x f ，),0(+∞∈x ． (5)
分
（2）由)(2x f )5log (21
+≤-x f
，得
05log 2>+x ，且)12(log 22+x )12(log 5log 22-≤+x ，
0223)2(22≤+⨯-∴x ， ………………………………………………………………5分
221≤≤∴x ，10≤≤⇒x
综上，得10≤≤x ． ………………………………………………………………2分 17．解：（1）该分公司一年的利润L （万元）与每件产品的售价x 的函数关系式为： )12)(2(x a x L ---=，]9,7[∈x ．………………………………………………………6分
（2）当42<≤a 时，此时，92
14
8<+≤a ，
所以，当2
14
+=a x 时，L 的最大值4)10()(2a a Q -=， ………………………………3分
当64≤≤a 时，此时，102
14
9≤+≤a ，
所以，当9=x 时，L 的最大值)7(3)(a a Q -=． (3)
分
答：若42<≤a ，则当每件产品售价为
2
14
+a 元时，该分公司一年的利润L 最大，最大值4
)10()(2
a a Q -=；若64≤≤a ，则当每件产品售价为9元时，该分公司一年的利润L
最大，最大值)7(3)(a a Q -=． (2)
分
18．解：（1）设圆柱的底面半径为r ，由题意，得 ππ1622=⨯r r
解得：2=r ．…………………………………………………5分 .1622ππ=⨯=∴r r V ……………………………2分 （2）连接B O '
，由于DO B O //'
，
所以，'EBO ∠即为B E 与DO 所成角θ， …………………1分 过点E 作圆柱的母线交下底面于点F ，连接FB ，FO ，
由圆柱的性质，得EFB ∆为直角三角形，四边形OF EO '
为矩形，
52BO '==DO ，由 60E DO '=∠，由等角定理，得
60AOF =∠
所以，
120BOF =∠
可解得，32F =B …………………………………………………………………………2分 在EFB ∆Rt 中，72FB EF B E 22=+=
………………………………………………2分
由余弦定理，.7035112cos '
2
'2
'2=⨯⨯-+=EO
BO EO BO BE θ .7035
11arccos =∴θ ………3分
19．解：（1）由2431+-=+n a a n n 得)2(3)1(21n a n a n n -=+-+， …………………3分
又0121≠=-a ，02≠-n a n ，得
32)
1(21=-+-+n
a n a n n ， ………………………………3分
所以，数列}2{n a n -是首项为3，公比为3的等比数列， ………………………………2分
（2）n
n n n n a n a 3232+=⇒=-，
)1()13(2
3++-=
n n S n
n ，…………………………………………………………………2分 )34025
323(232011)1()13(23201122-+=--++-=--n n n n n S n n n …………1分
设函数x x f x
323)(+=，
由于x y 3=和x y 32=都是R 上的增函数，所以x x f x
323)(+=是R 上的增函数．…1分
又由于34025733)6(<=f ，3
4025
36575)7(>
=f ， 所以，当}6,5,4,3,2,1{∈n 时，34025)6()(<≤f n f ，此时，<n S 20112
+n ； (2)
分
所以，当*
N ∈n 且7≥n 时，3
4025)7()(>≥f n f ，此时，>n S 20112
+n ．………2分
20．解：（1）在PAB △中，由余弦定理，有C ab b a cos 222
2
2
-+=， ……………1分
2222
cos 12)cos 1(24||2
>=+=++=+C
ab C ab b a ，…………………………3分
所以，点P 的轨迹C 是以A B ，为焦点，长轴长222=a 的椭圆．…… ………………1分
如图，以A 、B 所在的直线为x 轴，以A 、B 的中点为坐标原点建立直角坐标系．
则，(1
0)A -，和(10)B ，． 椭圆C 的标准方程为：12
22
=+y x ．………………………………………………………4分 （2）设11()M x y ，，22()N x y ，
①当MN 垂直于x 轴时，MN 的方程为1x =，不符题意． (1)
分
②当MN 不垂直于x 轴时，设MN 的方程为(1)y k x =-．
由⎪⎩
⎪⎨⎧-==+)1(,1222
x k y y x 得：0)1(24]21[2222=-+-+k x k x k ，………………………………2分
所以2221214k k x x +=+，2
22121)
1(2k
k x x +-=⋅． 于是：2
2
21212
212
2121]1)([)1)(1(k
k x x x x k x x k y y +-=++-=--=⋅． ……………2分 因为ON OM ⊥，所以0=⋅ON OM ，
所以0212
2
22121=+-=⋅+⋅k
k y y x x ， ………………………………………………………2分
所以，2±=k ， ……………………………………………………………………1分 所以，直线l 的方程为：).1(2-±=x y ……………………………………………………1分。