广西南宁市2012届高三第一次适应性测试 数学(理)

南宁市
2012届高中毕业班第一次适应性测试
数 学 试 题（理)
本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分。

考试
结束后，将本试卷和答题卡一
并交回。

第I 卷
注意事项：
1．答题前,考生在答题卡上务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将
自己的姓名、准考证号填写清楚，并贴好条形码。

请认真核对条形码上的准考证号、姓名和科目。

2．每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标
号涂黑，如需改动,用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号,在试．．题卷上作答无效．．．．．．．
.
3．第I 卷,共12小题，每小题5分,共60分。

在每小题给出的四
个选项中，只有一项是符合题目要求的。

一、选择题
1．设复数3,2i Z Z Z i +=-+为的共轭复数，则Z 为 （ ）
A ．1+i
B ．2+i
C ．2—i
D ．-1+i 2．函数2log (1)(1)a
y x x =++>-的反函数为 （ ）
A ．2
(2)x y a
x -=->
B ．2
1()x y a
x R -=-∈
C ．2
1(2)x y a
x +=-> D ．2
1()x y a
x R +=-∈
3．设x,y 是两个实数，命题：“x ，y 中至少有一个数大于1”成立的
充分不必要条件是（ ）
A ．2x y +=
B ．2x y +>
C ．2
22x
y +> D ．1xy > 4．等比数列{}n
a 中，2380a a +=，则
6
2
S s =
（ )
A ．—10
B ．10
C ．20
D ．21
5．设函数()2cos(2)4
f x x π=-，将()y f x =的图像向右平移(0)ϕϕ>个单位，使
得到的图像关于原点对称，则ϕ的最小值为 （ ） A ．8
π
B ．38
π
C ．4
π
D ．34
π
6．在棱长为1的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中,E 、F 分别为棱 AA 1、BB 1的中点，G 为棱A 1B 1上一点，且A 1G (01)λλ=≤≤， 则点G 到平面D 1EF 的距离为 （ ) A ．3 B ．22 C ．
23
λ
D ．
53
7．从6个运动员中选出4人参加4×100米的接力赛,如果甲、乙两
人都不跑第一棒，那么不同的参赛方法的种数为 ( ） A ．360 B ．240 C ．180
D ．120
8．函数()x
f x e
ax -=+存在与直线20x y -=平行的切线，
则实数a 的取值范
围是 （ ） A ．(],2-∞
B ．(),2-∞
C ．(2,)+∞
D ．[)2,+∞
9．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且它的图像关于直线x=1
对称,若函数
()1)f x x <≤，则(5.5)f - （ ）
A B ．1.5
C ．
D ． 1.5-
10．已知F 是抛物线2
y x =的焦点，A ，B 是该抛物线上的两点，若||||3AF BF +=，则线段AB 的中点到y 轴的距离为 （ )
A ．34
B ．1
C ．74
D ．54
11．正三棱锥A —BCD 内接于球O,
2，
则球O 的表面积为( ）
A ．643
π
B ．323
π
C ．163
π
D ．83
π
12．已知,a b 是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c 满足
()()0a c b c -⋅-=,则||c 的最大值是
（ ）
A
B ．2
C ．1
D ．
2
第II 卷
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分,共20分。

把答案填在答
题卡中的横线上。

13．已知3(,2),cot 2,2
παπαα∈=-则sin = .
14．2
5
(1)(1)x x x -++的展开式中5
x 项的系数等于 。

（用数学作
答）
16．已知双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的右焦点为
F ，右准线为l ,离心率为
5
4
e =
，过y 轴上一点A(0,b)作AM ⊥l ,垂足为M ，则直线FM 的斜
率为 。

16．已知正四棱锥S —ABCD 的侧棱长与底面边长都相等,E 是SB 的
中点，则AE,SD 所成的角的大小为 .
三、解答题:本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明,证明过
程或演算步骤。

17．（本小题满分10分)（注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．）
已知函数21
()2cos ,.2
f x x x x R =
--∈ （1）求函数()f x 的最小值和最小正周期；
（2）设
ABC ∆的内角A,B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且()0c f C =
=，
若sin 2sin ,B A =求a ，b 的值.
18．（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．
)
某班将要举行篮球投篮比赛、比赛规则是：每位选手可以选择在
A 区投篮2次或选择在
B 区投篮3次,在A 区每进一球得2分，不进球得0分;在B 区每进一球得3分，不进球得0分，得分高的选手胜出.已知参赛选手甲在A 区和B 区每次投篮进球的概率分别是91.10
3
和
(1）如果选手甲以在A 、B 区投篮得分的期望高者为选择投篮区
为标准，问选手甲应该选择哪个区投篮?
(2)求选手甲在A 区投篮得分高于在B 区投篮得分的概率。

19．（本小题满分12分）(注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．
）
如图，在多面体ABCDE 中，DB ⊥平面ABC,AE//DB ，且ABC ∆是
边长为2的等边三角形，AE=1，CD 与平面ABDE 所成角的正弦值为
6.4
（1）在线段DC 上是否存在一点F ，使得EF ⊥平面DBC ？若存在,求线段DF 的长度，若不存在，说明理由; （2)求二面角D —EC —B 的平面角的余弦值。

20．（本小题满分12分）(注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．）
设数列{}n
a 的前n 项和为n
S ，已知1
11,21(*).n n a
S S n n N +==++∈
(1）求数列{}n
a 的通项公式；
（2）若1n
n n
n b
a a +=
-，数列{}n
b 的前n 项和为*
,n T n N ∈，证明： 2.n
T
<
22．（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．）
已知椭圆W 的中心在原点，焦点在x 轴上，离心率为
6
,两条准线间的距离为6，椭圆的左焦点为F ，过左焦点与x 轴的交点M 任作一条斜率不为零的直线l 与椭圆W 交于不同的两点A 、B,点A 关于x 轴的对称点为C 。

（1）求椭圆W 的方程; （2）求证：().CF FB R λλ=∈
22．(本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．)
设函数2
()ln(1)f x x
a x =++有两个极值点12,x x ,且12,.x x
（1)求a 的取值范围,并讨论()f x 的单调性； (2）证明：2
12ln 2().4
f x ->
学必求其心得，业必贵于专精。