高中数学2_3_1平面向量基本定理互动课堂学案苏教版必修4

高中数学 平面向量基本定理互动课堂学案 苏教版必修4
疏导引导 1.平面向量基本定理
如果e 1和e 2是一平面内的两个不平行的向量，那么该平面内的任一向量a ,存在唯一的一对实数a 1,a 2,使得，我们把不共线向量e 1,e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底，记为{e 1,e 2}，a 1e 1+a 2e 2叫做向量a 关于基底{e 1,e 2}的分解式.
规律总结 ①由平面向量基本定理知，平面内任一向量都可以沿两个不共线的方向分解成两个向量的和，并且这种分解是惟一的.
②a 1e 1+a 2e 2叫做e 1,e 2的一个线性组合，由平面向量基本定理知，若e 1,e 2不共线，那么由e 1,e 2的所有线性组合构成的集合{a 1e 1+a 2e 2,a 1,a 2∈R}就是平面内的全体向量，所以我们把e 1,e 2叫做这一平面内所有向量的一组基底.平面向量基本定理虽然没有指出a 1,a 2的计算方法，但它却和平行向量基本定理一起，深刻地揭示了平面向量的基本结构，是继续深入研究向量的基础.同时这个定理体现了化归的数学思想方法，在用向量解决几何问题时，我们可以选择适当的基底，将问题中涉及的向量向基底化归，从而使问题解决.
2.平面向量基本定理的证明（选学）
要证明这个定理要从两方面入手，首先要证明存在性，第二要证明惟一性.
证明：在平面内任取一点O ，作1OE =e 1,2OE =e 2,OA =a ,由于e 1与e 2不平行，可以进行如下作图，过点A 作2OE 的平行（或重合）直线，交直线1OE 于点M ，过A 点作1OE 的平行（或重合）直线，交直线2OE 于点N ，于是依据平行向量基本定理，存在两个惟一的实数a 1,a 2分别有
OM =a 1e 1,ON =a 2e 2
所以OA =OM +ON =a 1e 1+a 2e 2.证明表示的惟一性：如果存在另一对实数x,y 使OA =x e 1+y e 2,则a 1e 1+a 2e 2=x e 1+y e 2.
即（x-a 1）e 1+(y-a 2)e 2=0.
由于e 1与e 2不平行，如果x-a 1,y-a 2中有一个不等于0，不妨设y-a 2≠0,则e 2=211a y a x --e 1,由平行向量基本定理得，e 1与e 2平行，这与假设矛盾，因此x-a 1=0,y-a 2=0即x=a 1,y=a 2.综上,平面向量基本定理得证.
3.直线l 的向量参数方程式及线段的中点的向量表达式
已知A 、B 是直线l 上任意两点，O 是l 外一点,如下图所示，则对直线l 上任一点P ，存在实数t,使关于基底{，}的分解式为
(*) 并且满足上式的点P 一定在l 上. （1）证明如下：设点P 在直线l 上，则由平行向量基本定理知，存在实数t,使 AP =t AB =t(OB -OA )
所以OP =OA +AP =OA +t OB -t OA =（1-t ）OA +t OB
设点P 满足等式OP =（1-t ）OA +t OB , 则AP =t AB ,即P 在l 上.
（2）由上面的证明可知，对直线l 上任意一点P ，一定存在惟一的实数t 满足向量等式（*）.反之，对每一个数值t,在直线l 上都有惟一的一个点P 与之对应；向量等式（*）叫做直线l 的向量参数方程式，其中实数t 叫做参变数，简称参数.
（3）在（*）式中，令t=
21，点M 是AB 的中点，则OM =21（OA +OB ）,这是线段AB 中点的向量表达式.
活学巧用
【例1】如右图所示，四边形OADB 是以向量OA =a ,OB =b 为邻边的平行四边形，又BM=31BC ，CN=3
1CD ，试用a ,b 表示OM 、ON 、MN .
解析：=-=a -b ，
BM =
31=61BA =61a -6
1b ， ∴OM =+BM =b +61a -61b =61a +6
5b . 又∵=a +b ,得=32=32a +32b ，
∴MN =
ON -OM =21a -6
1b . 【例2】如右图所示，在ABCD 中，AH=HD ，BF=MC=4
1BC ，且AB =a ,AD =b ,沿向量AB ,AD 分解向量MD AF MH AM ,,,.
解析：“沿向量，分解向量”就是用向量，表示该向量.
BM =-=b -41b =43b , AM =+BM =a +4
3b . =-=21b -(a +43b )=-a -4
1b . =+=a +4
1b . HM =AF =a +4
1b , HD MD =-HM =21b -(a +41b )=-a +4
1b . ∴AM =a +43b , =-a -41b , =a +4
1b , =-a +41b . 【例3】已知向量a =-e 1+3e 2+2e 3,b =4e 1-6e 2+2e 3,c =-3e 1+12e 2+11e 1,问a 能否表示成a =λb +μc 的形式？若能，写出表达式；若不能，说明理由.
解析：能.假设a =λb +μc ,将a 、b 、c 代λa =λb +μc 得-e 1+3e 2+2e 3=(4λ-3μ)e 1-(6λ-12μ)e 2+(2λ+11μ)e 3,
即⎪⎩⎪⎨⎧+=--=-=-,1122,1263,341μλμλμλ解得⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧=-=.51,101μλ
∴a =c b 5
1101+-. 【例4】平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知A （3，1），B （-1，3），若点C 满足=α+β,其中α、β∈R 且α+β=1,则点C 的轨迹方程为（ ）
+2y-11=0 B.(x-1)2+(y-2)2
=5 C.2x-y=0 +2y-5=0
解析：设OC =(x,y),OA =(3,1),OB =(-1,3).
∵OC =αOA +β·OB ,∴(x,y)=α(3,1)+β(-1,3).
∴⎩⎨⎧+=-=.
3,3βαβαy x 又∵α+β=1,∴x+2y -5=0.应选D.
答案：D
【例5】如右图所示，设一直线上三点A 、B 、P 满足AP =λPB (λ≠1),O 是平面上任一点，则（ ）
A.=λλ++1OB OA
B.=λ
λ-+1OB OA C.=
λλ+-1OB OA D.=λλ--1OB OA 解析：由=λ得 -=λ(-)，
∴=λ
λ++1OB OA (λ≠-1). 答案：A
【例6】O 是平面上一定点，A 、B 、C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足OP =OA +λ(|
|||AC AC AB AB +),λ∈［0，+∞)，则P 点的轨迹一定过△A BC 的（ ） A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心 解析：|
|,||AC AB 分别表示与，同向的单位向量. |
|||AC AB +表示以点A 为起点 ，在△A BC 中，∠A 平分线上的向量，设为AQ ， ∵OP =OA +λ(|
|||AC AC AB AB +), ∴AP =λ(
|
|||AC AC AB AB +)=λ,
∴与共线，∴P的轨迹一定通过△A BC的内心. 答案：B。