2013年温州中学保送生模拟测试数学试卷(含答案)

2013年温州中学自主招生模拟数学试卷
（考试时间120分钟，满分150分）
一试
一.选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分，每小题只有一个正确答案，请将你认为正确的答案填入答题卷的相应位置上。

1. 方程x ＝
3
-553
5x 3+
+ 的根是x ＝( )
A.4-15
B.4+15
C.15-4
D.3-5
2. 将自然数1~22分别填在下面的“□”内（每个“□”只能填一个数）, 在形成的11个分数中, 分数值为整数的最多能有( )个
A.6
B.8
C.10
D.12
3. 如图，平面直角坐标系内，正三角形ABC 的顶点B ，C 的坐标分别为（1，0），（3，0），过坐标原点O 的一条直线分别与边AB ，AC 交于点M ，N ，若OM=MN ，则点M 的坐标为( ) A.)4
3
,
45( B.（2，1） C.(2, 23) D.( 22,23) 4. 已知正整数1210,,
,a a a 满足：
3
,1102
>≤<≤j
i a i j a ，则10a 的最小可能值是( ) A.78 B.92 C.86 D.98
5. 一个梯子有10级台阶，规定每步可以迈一级台阶或两级台阶，最多可迈3级台阶，从地面上到最上面一级台阶，一共有（ ）钟迈法？ A.44 B.81 C.149 D.274
6.将2，3，4，5，6，7，8，9，10，11这10个数填入图中10个格子中，使得‘田’字形的4个格子中所填数字之和都等于P ，则P 的最大值为（ ） A.20 B.24 C.28 D.32
7. 方程2006
2420042005(1)(1)2006x
x x x x +++++=的实数解的个数为( )
A.1
B.2
C.2005
D.36
8. 将号码分别为1、2、…、9的九个小球放入一个袋中，这些小球仅号码不同，其余完全相同。

甲从袋中摸出一个球，其号码为a ，放回后，乙从此袋中再摸出一个球，其号码为b 。

则使不等式a −2b +10>0成立的事件发生的概率等于（ ） A.
81
52 B.
81
59 C.
81
60 D.
81
61
y
x
M
N O
C
B
A
9. 方程组0,
0,
0x y z xyz z xy yz xz y ++=⎧⎪+=⎨⎪+++=⎩
的有理数解(,,)x y z 的个数为 （ ） A. 1 B. 2 C.3 D. 4
10. . 4444
2
222
123100123100
+++++++
+的值是( ). A.45939
5; B.159405; C.460595; D.160605
. 二.填空题：本大题共6小题，每小题5分，满分30分，请将答案填在答题卷上。

11. 将2个a 和2个b 共4个字母填在如图所示的16个小方格内，每个小方格内至多填1
个字母，若使相同字母既不同行也不同列，则不同的填法共有________种（用数字作答）。

12. 使不等式1111
200712213
a n n n +++<-+++对一切正整数n 都成立的最小正整数a 的
值为 ． 13. 方程1
233
213+⋅-+=m
n
n m 的非负整数解(),=m n ．
14. 如图，设P 为△ ABC 外一点，P 在边AC 之外，在∠B 之内．S △PBC ：S △ PCA ：S △ PAB ＝4：2：3．又知△ ABC 三边a ，b ，c 上的高为ha ＝3，h b ＝5，hc ＝6，则P 到三边的距离之和为 ．
15. 如图，正六边形111111A B C D E F 的边长为1，它的6条对角线又围成一个
正六边形222222A B C D E F ，如此继续下去，则所有这些六边形的面积和是 ． 16. 方程2x
-92x
-112x -172x -192x -152x -172x -112x -13+
=+ 的解是x ＝ ．
2013年温州中学自主招生模拟数学答题卷
一试
一. 选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分。

二. 填空题：本大题共6小题，每小题5分，满分30分。

11.______________; 12.________________; 13._________________;
14.______________; 15.________________; 16._________________;
三. 解答题：本大题共3小题，满分30分，每小题应写出相应的解题过程证明过程及演算 步骤。

17.（本题满分8分）
设实数z y x ，，满足0=++z y x ，且()()()22
2
2
≤-+-+-x z z y y x ，求x 的最大值
和最小值
18.（本题满分10分）
设二次函数2
(0,1)y ax bx c a c =++>>，当x = c 时，y = 0；当0＜x ＜c 时，0y >． （1）请比较ac 和1的大小，并说明理由； （2）当x ＞0时，求证：021a b c x x x
++>++．
19.（本题满分12分）
解方程组⎪⎪
⎩
⎪⎪⎨⎧=-+-=-+-=-+-=-+-66206
244443
3332
222w z y x w z y x w z y x w z y x
O D C B A 二试
一.（本题满分15分） 如图，在平行四边形ABCD 中，AB x =，1BC =，对角线AC 与BD 的夹角45BOC ∠=︒，记直线AB 与CD 的距离为()h x ．求()h x 的表达式，并写出x 的取值范围．
二.（本题满分25分）
如图，M ，N 分别为锐角三角形ABC ∆（A B ∠<∠）的外接圆Γ上弧BC 、AC 的中点．过点C 作PC MN ∥交圆Γ于P 点，I 为ABC ∆的内心，连接PI 并延长交圆Γ于T ． ⑴求证：MP MT NP NT ⋅=⋅；
⑵在弧AB （不含点C ）上任取一点Q （Q A ≠，T ，B ），记AQC ∆，QCB △的内心分别为1I ，2I ，求证：Q ，1I ，2I ，T 四点共圆．
B
温州中学自主招生模拟题数学答案 一试
一.选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分。

二.填空题：本大题共6小题，每小题5分，满分30分。

11.__3960________; 12.__2009__________; 13.__(3,0)(2,2)_____;
14.___8___________; 15.___ ______; 16.______6.5________;
三.解答题：本大题共3小题，满分30分，每小题应写出相应的解题过程证明过程及演算 步骤。

17.解：将y x z --=代入
()()()2222≤-+-+-x z z y y x ，
0133322≤-++x xy y 若有解 0)13(12922≥--=∆x x
3232≤≤-
∴x 32max =x ， 当3
1
-==z y 满足
32
min -=x ， 当3
1==z y 满足
18.解：(1)当x = c 时，y = 0，即2
0, (1)0ac bc c c ac b ++=++=，又c>1，所以
10ac b ++=
设一元二次方程2
0ax bx c ++=两个实根为1212,()x x x x ≤
由120c
x x a
=
>，及x = c >1，得 120 0x x >>，
又因为当0＜x ＜c 时，0y >，所以1x c =， 于是二次函数2
y ax bx c =++的对称轴：2b
x c a
=-≥ 即2b ac ≤- 所以12b ac ac =--≤- 即1ac ≤
(2)因为0＜x=1＜c 时，0y >，所以0a b c ++> 由1ac ≤及0,1a c >>得：01a << 因为
22()(23)2()(223)221(1)(2)(1)(2)
a b c a b c x a b c x c a b c x a ac c x c
x x x x x x x x x +++++++++--++++==++++++
而0a b c ++>，01a <<，1c >，223(1)(21)(1)0a ac c a c c --+=--+->
所以当x ＞0时，2()(232)20(1)(2)a b c x a ac c x c x x x +++-+-+>++，即021a b c
x x x
++>++
19.解：令p=x+z 、q=xz ，我们有p2=x2+z2+2q ，p3=x3+z3+3pq ，p4=x4+z4+4p2q −2q2。

同样，
令s=y+w 、t=yw ，有s2=y2+w2+2t ，s3=y3+w3+3st ，s4=y4+w4+4s2t −2t2。

在此记号系统下，原方程组的第一个方程为p=s+2。

（3.1）
于是p2=s2+4s+4，p3=s3+6s2+12s+8，p4=s4+8s3+24s2+32s+16。

现在将上面准备的p2、p3、p4和s2、s3、s4的表达式代入，得x2+z2+2q=y2+w2+2t+4s+4，x3+z3+3pq=y3+w3+3st+6s2+12s+8，x4+z4+4p2q −2q2=y4+w4+4s2t −2t2+8s3+24s2+32s+16。

利用原方程组的第二至四式化简，得q=t+2s −1， （3.2） pq=st+2s2+4s −4， （3.3）
2p2q −q2=2s2t −t2+4s3+12s2+16s −25。

（3.4）
将（3.1）和（3.2）代入（3.3），得
12-=
s
t ，
（3.5）
将（3.5）代入（3.2），得
225-=
s
q ， （3.6）
将（3.1）（3.5）（3.6）代入（3.4），得s=2。

所以有t=0，p=4，q=3。

这样一来，x 、z 和y 、w 分别是方程0342
=+-X X 和022
=-Y Y 的两根，即
⎩⎨⎧==13z x 或⎩⎨⎧==31z x ，且⎩⎨⎧==02w y 或⎩
⎨⎧==20
w y 。

详言之，方程组有如下四组解：x=3，y=2，z=1，
w=0；或x=3，y=0，z=1，w=2；或x=1，y=2，z=3，w=0；或x=1，y=0，z=3，w=2。

二试
一.解：由平行四边形对角线平方和等于四条边的平方和得
2222211
()(1)22
OB OC AB BC x +=+=+． ①
在△OBC 中，由余弦定理222
2cos BC OB OC OB OC BOC =+-⋅∠，
所以
22
1OB OC OC +⋅=， ②
由①，②得
2OB OC ⋅=． ③
所以：1
44sin 2
ABCD OBC S S OB OC BOC ∆==⋅⋅
∠OC =⋅212x -=，
故：()AB h x ⋅212x -=， 所以 ：21
()2x h x x -=．
由③可得，2
10x ->，故1x >．
因为22
2OB OC OB OC +≥⋅
，结合②，③可得：221(1)22x +≥
解得（结合1x >）
11x <≤．
综上所述，21
()2x h x x
-=
，11x <≤．
二.解：⑴连NI ，MI ．由于PC MN ∥，P ，C ，M ，N 共圆，故PCMN 是等腰梯形．因此NP MC =，PM NC =．
A
B
C
M
N
P
T
I
连AM ，CI ，则AM 与CI 交于I ，因为
MIC MAC ACI MCB BCI MCI ∠=∠+∠=∠+∠=∠， 所以MC MI =．同理 NC NI =． 于是
NP MI =，PM NI =．
故四边形MPNI 为平行四边形．因此PMT PNT S S =△△（同底，等高）．
又P ，N ，T ，M 四点共圆，故180TNP PMT ∠+∠=︒，由三角形面积公式
1sin 2PMT S PM MT PMT =⋅∠△ 1
sin 2PNT S PN NT PNT ==⋅∠△
1
sin 2
PN NT PMT =⋅∠
于是PM MT PN NT ⋅=⋅．
⑵因为1111NCI NCA ACI NQC QCI CI N ∠=∠+∠=∠+∠=∠，
B
所以1NC NI =，同理2MC MI =．由MP MT NP NT ⋅=⋅得NT MT
MP NP
=
． 由⑴所证MP NC =，NP MC =，故 12NT MT
NI MI =
． 又因
12I NT QNT QMT I MT ∠=∠=∠=∠， 有
12I NT I MT ∆∆∽． 故12NTI MTI ∠=∠，从而
1212I QI NQM NTM I TI ∠=∠=∠=∠．
因此Q ，1I ，2I ，T 四点共圆．。