2018高考一轮数学(课件)第5章 热点探究课3 数列中的高考热点问题

因此{bn}是首项为 1，公比为13的等比数列.12 分
记{bn}的前 n 项和为 Sn，
则 Sn＝11－－1313n＝32－2×13n－1.15 分
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第十一页，编辑于星期六：二十二点 三十三分。
高三一轮总复习
[答题模板] 第一步：求出{an}的首项 a1； 第二步：求出{an}的通项公式； 第三步：判定{bn}为等比数列； 第四步：求出{bn}的前 n 项和； 第五步：反思回顾，查看关键点，易错点注意解题规范． [温馨提示] 若干个能唯一确定一个数列的量称为该数列的“基本量”．首 项与公差是等差数列的“基本量”，首项与公比是等比数列的“基本量”．在 解决等差数列或等比数列的相关问题时，“基本量法”是常用的方法．
项和．
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第十页，编辑于星期六：二十二点 三十三分。
高三一轮总复习 [规范解答] (1)由已知，a1b2＋b2＝b1，b1＝1，b2＝13，得 a1＝2.3 分 所以数列{an}是首项为 2，公差为 3 的等差数列，通项公式为 an＝3n－1.6 分
(2)由(1)知 anbn＋1＋bn＋1＝nbn，得 bn＋1＝b3n，9 分
当 n≥7 时，bn≤b7＝lg12070＝lg110208<lg 1＝0.
故数列lg
a1n的前
6
项和最大.15
分
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第九页，编辑于星期六：二十二点 三十三分。
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热点 2 数列的通项与求和(答题模板)
“基本量法”是解决数列通项与求和的常用方法，同时应注意方程思想的
应用．
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第二十页，编辑于星期六：二十二点 三十三分。
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(2)证明：由题设和(1)中的计算结果知，
Tn＝x21x23…x22n－1＝122342…2n2－n 12.7 分 当 n＝1 时，T1＝14.
当 n≥2 时，因为 x22n－1＝2n2－n 12＝2n2－n12 2>2n－21n22－1＝2n2－n 2＝n－n 1， 12 分
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第十八页，编辑于星期六：二十二点 三十三分。
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☞角度 2 数列与不等式的交汇
横坐标．
设 n∈N*，xn 是曲线 y＝x2n＋2＋1 在点(1,2)处的切线与 x 轴交点的
(1)求数列{xn}的通项公式； (2)记 Tn＝x21x23…x22n－1，证明：Tn≥41n.
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第十七页，编辑于星期六：二十二点 三十三分。
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[规律方法] 解决此类问题要抓住一个中心——函数，两个密切联系：一是 数列和函数之间的密切联系，数列的通项公式是数列问题的核心，函数的解析 式是研究函数问题的基础；二是方程、不等式与函数的联系，利用它们之间的 对应关系进行灵活的处理．
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第八页，编辑于星期六：二十二点 三十三分。
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(2)当 a1>0，且 λ＝100 时，令 bn＝lga1n， 由(1)知，bn＝lg120n0＝2－nlg 2.9 分
所以数列{bn}是单调递减的等差数列，公差为－lg 2. b1>b2>…>b6＝lg12060＝lg16040>lg 1＝0，
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第二页，编辑于星期六：二十二点 三十三分。
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热点 1 等差、等比数列的综合问题
解决等差、等比数列的综合问题，关键是理清两种数列的项之间的关系，并 注重方程思想的应用，等差(比)数列共涉及五个量 a1，an，Sn，d(q)，n，“知三 求二”．
已知{an}是等比数列，前 n 项和为 Sn(n∈N*)，且a11－a12＝a23， S6＝63.
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第五页，编辑于星期六：二十二点 三十三分。
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[规律方法] 1.若{an}是等差数列，则{ban}(b>0，且 b≠1)是等比数列；若{an} 是正项等比数列，则{logban}(b>0，且 b≠1)是等差数列．
2．对等差、等比数列的综合问题，应重点分析等差、等比数列项之间的关 系，以便实现等差、等比数列之间的相互转化．
所以 Tn>122×12×23×…×n－n 1＝41n.
综上可得，对任意的 n∈N*，均有 Tn≥41n.14 分
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第二十一页，编辑于星期六：二十二点 三十三 分。
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[规律方法] 解决数列与不等式的综合问题时，如果是证明题要灵活选择不 等式的证明方法，如比较法、综合法、分析法、放缩法等；如果是解不等式问 题要使用不等式的各种不同解法，如列表法、因式分解法等．总之解决这类问 题把数列和不等式的知识巧妙结合起来综合处理就行了．
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第十四页，编辑于星期六：二十二点 三十三分。
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热点 3 数列与函数、不等式的交汇
数列与函数的交汇一般体现在两个方面：一是以数列的特征量 n，an，Sn 等 为坐标的点在函数图象上，可以得到数列的递推关系；二是数列的项或前 n 项 和可以看作关于 n 的函数，然后利用函数的性质求解数列问题．
(1)求数列{an}的通项公式； (2)若点(bn，an)在函数 y＝log2 x 的图象上，求数列{bn}的前 n 项和 Tn.
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第十六页，编辑于星期六：二十二点 三十三分。
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[解] (1)当 n≥2 时， an＝Sn－Sn－1＝2n2＋2n－[2(n－1)2＋2(n－1)]＝4n，2 分 当 n＝1 时，a1＝S1＝4＝4×1， 所以数列{an}的通项公式为 an＝4n.6 分 (2)由点(bn，an)在函数 y＝log2 x 的图象上得 an＝log2bn，且 an＝4n，所以 bn ＝2an＝24n＝16n，10 分 故数列{bn}是以 16 为首项，公比为 16 的等比数列． Tn＝1611－－1166n＝16n＋115－16.14 分
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第七页，编辑于星期六：二十二点 三十三分。
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若 a1≠0，则 a1＝2λ. 当 n≥2 时，2an＝2λ＋Sn,2an－1＝2λ＋Sn－1， 两式相减得 2an－2an－1＝an， 所以 an＝2an－1(n≥2)，从而数列{an}是等比数列， 所以 an＝a1·2n－1＝2λ·2n－1＝2λn. 综上，当 a1＝0 时，an＝0；当 a1≠0 时，an＝2λn.6 分
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(2)由(1)得ann＝1＋(n－1)·1＝n，所以 an＝n2.8 分 从而 bn＝n·3n. Sn＝1·31＋2·32＋3·33＋…＋n·3n，① 3Sn＝1·32＋2·33＋…＋(n－1)·3n＋n·3n＋1.② ①－②得－2Sn＝31＋32＋…＋3n－n·3n＋1 ＝3·11－－33n－n·3n＋1＝1－2n2·3n＋1－3. 所以 Sn＝2n－14·3n＋1＋3.15 分
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第四页，编辑于星期六：二十二点 三十三分。
高三一轮总复习 (2)由题意，得 bn＝12(log2an＋log2an＋1) ＝12(log22n－1＋log22n)＝n－12， 即{bn}是首项为12，公差为 1 的等差数列.10 分 设数列{(－1)nb2n}的前 n 项和为 Tn，则 T2n＝(－b21＋b22)＋(－b23＋b24)＋…＋(－b22n－1＋b22n) ＝b1＋b2＋b3＋b4＋…＋b2n－1＋b2n ＝2nb12＋b2n＝2n2.15 分
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第六页，编辑于星期六：二十二点 三十三分。
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[对点训练 1] 已知数列{an}的前 n 项和为 Sn，常数 λ>0，且 λa1an＝S1＋Sn 对一切正整数 n 都成立．
(1)求数列{an}的通项公式； (2)设 a1>0，λ＝100.当 n 为何值时，数列lga1n的前 n 项和最大？ [解] (1)取 n＝1，得 λa21＝2S1＝2a1，a1(λa1－2)＝0. 若 a1＝0，则 Sn＝0. 当 n≥2 时，an＝Sn－Sn－1＝0－0＝0， 所以 an＝0(n≥1).2 分
(1)求{an}的通项公式； (2)若对任意的 n∈N*，bn 是 log2an 和 log2an＋1 的等差中项，求数列{(－1)nb2n} 的前 2n 项和．
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第三页，编辑于星期六：二十二点 三十三分。
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[解] (1)设数列{an}的公比为 q. 由已知，有a11－a11q＝a12q2， 解得 q＝2 或 q＝－1.2 分 又由 S6＝a1·11－－qq6＝63，知 q≠－1， 所以 a1·11－－226＝63，得 a1＝1. 所以 an＝2n－1.6 分
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第十二页，编辑于星期六：二十二点 三十三分。
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[对点训练 2] 数列{an}满足 a1＝1，nan＋1＝(n＋1)an＋n(n＋1)，n∈N*. (1)证明：数列ann是等差数列； (2)设 bn＝3n· an，求数列{bn}的前 n 项和 Sn. 【导学号：51062178】 [解] (1)证明：由已知可得na＋n＋11 ＝ann＋1，2 分 即na＋n＋11－ann＝1. 所以ann是以a11＝1 为首项，1 为公差的等差数列.6 分
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第十九页，编辑于星期六：二十二点 三十三分。
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[解] (1)y′＝(x2n＋2＋1)′＝(2n＋2)x2n＋1，曲线 y＝x2n＋2＋1 在点(1,2)处的切 线斜率为 2n＋2，
从而切线方程为 y－2＝(2n＋2)(x－1).2 分 令 y＝0，解得切线与 x 轴交点的横坐标 xn＝1－n＋1 1＝n＋n 1， 所以数列{xn}的通项公式 xn＝n＋n 1.6 分
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热
热
点
点
一
第五章 数 列
三
热点探究课(三) 数列中的高考热点问题
热
热 点
点 探 究
二
训
练
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第一页，编辑于星期六：二十二点 三十三分。
高三一轮总复习
[命题解读] 数列在中学数学中既具有独立性，又具有较强的综合性，是初 等数学与高等数学的一个重要衔接点．本专题的热点题型有：一是等差、等比 数列的综合问题；二是数列的通项与求和；三是数列与函数、不等式的交汇， 难度中等．
(本小题满分 15 分)已知{an}是公差为 3 的等差数列，数列{bn}满足 1 b1＝1，b2＝3，anbn＋1＋bn＋1＝nbn.
(1)求{an}的通项公式；
(2)求{bn}的前 n 项和． [思路点拨] (1)取 n＝1，先求出 a1，再求{an}的通项公式．
(2)将 an 代入 anbn＋1＋bn＋1＝nbn，得出数列{bn}为等比数列，再求{bn}的前 n
数列与不等式的交汇考查方式主要有三种：一是判断数列中的一些不等关 系；二是以数列为载体，考查不等式恒成立问题；三是考查与数列有关的不等 式的证明．
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第十五页，编辑于星期六：二十二点 三十三分。
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☞角度 1 数列与函数的交汇
＋2n.
(2017·浙江五校 4 月联考)已知数列{an}的前 n 项和为 Sn，且 Sn＝2n2
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第二十二页，编辑于星期六：二十二点 三十三 分。
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第二十三页，编辑于星期六：二十二点 三十三 分。