湖北高二高中数学月考试卷带答案解析

湖北高二高中数学月考试卷
班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________
一、选择题
1.直线l ：y ＝k(x ＋)与圆C ：x 2＋y 2＝1的位置关系是（ ）
A ．相交或相切
B ．相交或相离
C ．相切
D ．相交
2.若直线l ：y ＝kx －与直线2x ＋3y －6＝0的交点位于第一象限，则直线的倾斜角的取值范围是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
3.已知△ABC 的顶点B 、C 在椭圆＋y 2＝1上，顶点A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC 边上，
则△ABC 的周长是（ ） A ．2 B ．6 C ．4 D ．12
4.已知椭圆，长轴在y 轴上．若焦距为4，则m 等于（ ） A ．4
B ．5
C ．7
D ．8
5.若直线y ＝kx 与圆(x －2)2＋y 2＝1的两个交点关于直线2x ＋y ＋b ＝0对称，则k ，b 的值分别为（ ） A ．k ＝，b ＝－4 B ．k ＝－，b ＝4 C ．k ＝，b ＝4 D ．k ＝－
，b ＝－4
6.设{a n }是公比为q 的等比数列，则“q ＞1”是“{a n }为递增数列”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件
7.如图，四边形ABCD 中，AD ∥BC ，AD ＝AB ，∠BCD ＝45°，∠BAD ＝90°，将△ABD 沿BD 折起，使平面ABD ⊥平面BCD ，构成四面体ABCD ，则在四面体ABCD 中，下列结论正确的是（ ）
A ．平面ABD ⊥平面ABC
B ．平面AD
C ⊥平面BDC C ．平面ABC ⊥平面BDC
D ．平面ADC ⊥平面ABC
8.已知a ＞0，且a≠1，命题p ：函数y ＝log a (x ＋1)在x ∈(0，＋∞)内单调递减，命题q ：曲线y ＝x 2＋(2a －3)x ＋1与x 轴交于不同的两点．若“p q”为假，则a 的取值范围为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
9.已知圆C ：(x －3)2＋(y －4)2＝1和两点A(－m,0)，B(m,0)(m ＞0)，若圆C 上存在点P ，使得∠APB ＝90°，则m 的最大值为（ ） A ．7 B ．6 C ．5 D ．4
10.已知圆M ：x 2＋y 2＋2mx －3＝0(m ＜0)的半径为2，椭圆C ：1的左焦点为F(－c,0)，若垂直于x 轴
且经过F 点的直线l 与圆M 相切，则a 的值为（ ） A ．
B ．1
C ．2
D ．4
11.数列{a n }的通项公式a n ＝ncos ，其前n 项和为S n ，则S 2 015等于（ ）
A ．
B ．3020
C ．3024
D ．0
12.如图，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，侧棱垂直于底面，底面是边长为2的等边三角形，侧棱长为3，则BB 1与平
面AB 1C 1所成的角为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
二、填空题
1.过坐标原点且与圆x 2－4x ＋y 2＋2＝0相切的直线方程为__________．
2.若命题：“ x ∈R ，kx 2－kx －10”是假命题，则实数k 的取值范围是________．
3.已知直线x ＋y －k ＝0(k ＞0)与圆x 2＋y 2＝4交于不同的两点A ，B ，O 是坐标原点，且有|＋
|≥
|
|，
那么k 的取值范围是_________． 4.椭圆
＋y 2＝1的左，右焦点分别为F 1，F 2，点P 为椭圆上一动点，若∠F 1PF 2为钝角，则点P 的横坐标的取
值范围是__________．
三、解答题
1.设圆(x ＋1)2＋y 2＝25的圆心为C ，A(1,0)是圆内一定点，Q 为圆周上任一点．线段AQ 的垂直平分线与CQ 的连线交于点M ，求M 的轨迹方程．
2.在平面直角坐标系xOy 中，已知圆P 在x 轴上截得线段长为2，在y 轴上截得线段长为2． （1）求圆心P 的轨迹方程； （2）若P 点到直线y ＝x 的距离为
，求圆P 的方程．
3.已知单调递增的等比数列{a n }满足：a 2＋a 3＋a 4＝28,且a 3＋2是a 2和a 4的等差中项． （1）求数列{a n }的通项公式a n ；
（2）令b n ＝a n ,S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n , 求使S n ＋n·2n ＋1＞50成立的最小的正整数n ．
4.如图在矩形ABCD 中，已知AB=3AD ，E ，F 为AB 的两个三等分点，AC ，DF 交于点G ．
（1）证明：EG DF ；
（2）设点E 关于直线AC 的对称点为，问点是否在直线DF 上，并说明理由．
5.如图，四棱锥P －ABCD 的底面ABCD 是平行四边形，BA ＝BD ＝，AD ＝2，PA ＝PD ＝
，E ，F 分别是
棱AD ，PC 的中点．
（1）证明：EF ∥平面PAB ； （2）若二面角P －AD －B 为60°． ①证明：平面PBC ⊥平面ABCD ；
②求直线EF 与平面PBC 所成角的正弦值．
6.在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆
的左、右焦点分别为F ¢与F ，圆
：
．
（1）设M 为圆F 上一点，满足，求点M 的坐标；
（2）若P 为椭圆上任意一点，以P 为圆心，OP 为半径的圆P 与圆F 的公共弦为QT ，证明：点F 到直线QT 的距离FH 为定值．
湖北高二高中数学月考试卷答案及解析
一、选择题
1.直线l ：y ＝k(x ＋)与圆C ：x 2＋y 2＝1的位置关系是（ ）
A ．相交或相切
B ．相交或相离
C ．相切
D ．相交
【答案】D
【解析】方法一：圆的圆心到直线的距离，∵，∴所判断的位置关
系为相交．方法二：直线过定点，而点在圆内部，故直线与圆相交．【考点】直线与圆的位置关系．
2.若直线l：y＝kx－与直线2x＋3y－6＝0的交点位于第一象限，则直线的倾斜角的取值范围是（）A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由直线恒过定点，作出两直线的图象，如图所示．从图中看出，直线的倾斜角的取值范围应为．
【考点】两条直线的位置关系的应用．
3.已知△ABC的顶点B、C在椭圆＋y2＝1上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，
则△ABC的周长是（）
A．2 B．6 C．4 D．12
【答案】C
【解析】如图，设椭圆的另外一个焦点为，
则．
【考点】椭圆的定义及其应用．
4.已知椭圆，长轴在y轴上．若焦距为4，则m等于（）
A．4B．5C．7D．8
【答案】D
【解析】将椭圆的方程转化为标准形式为，显然且
，解得．
【考点】椭圆的定义与简单的几何性质．
5.若直线y＝kx与圆(x－2)2＋y2＝1的两个交点关于直线2x＋y＋b＝0对称，则k，b的值分别为（）
A．k＝，b＝－4
B．k＝－，b＝4
C．k＝，b＝4
D．k＝－，b＝－4
【答案】A
【解析】因为直线
与圆
的两个交点关于直线
对称，则
与直线
垂直，且
过圆心，所以解得
．
【考点】直线与圆的位置关系．
6.设{a n }是公比为q 的等比数列，则“q ＞1”是“{a n }为递增数列”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件
【答案】D
【解析】当数列
的首项时，若，则数列是递减数列；当数列的首项时，要使数列
为递增数列，则，所以“
”是“数列
为递增数列”的既不充分也不必要条件，故选D ．
【考点】等比数列的性质．
7.如图，四边形ABCD 中，AD ∥BC ，AD ＝AB ，∠BCD ＝45°，∠BAD ＝90°，将△ABD 沿BD 折起，使平面ABD ⊥平面BCD ，构成四面体ABCD ，则在四面体ABCD 中，下列结论正确的是（ ）
A ．平面ABD ⊥平面ABC
B ．平面AD
C ⊥平面BDC C ．平面ABC ⊥平面BDC
D ．平面ADC ⊥平面ABC
【答案】D
【解析】由平面图形易知，∵平面平面，∴平面，∴，又，∴平面，又平面，∴平面平面． 【考点】线面位置关系的判定．
8.已知a ＞0，且a≠1，命题p ：函数y ＝log a (x ＋1)在x ∈(0，＋∞)内单调递减，命题q ：曲线y ＝x 2＋(2a －3)x ＋1与x 轴交于不同的两点．若“p q”为假，则a 的取值范围为（ ） A ． B ． C ．
D ．
【答案】A 【解析】当
时，函数在内单调递减；当
时，函数y
在
内不是单调递减的．若为假，则
，曲线
与轴交于不同的两点等价于
，
即
或
；若为假，则
，若使“
或”为假，则
，即
，故选A ．
【考点】命题的真假判定与应用．
9.已知圆C ：(x －3)2＋(y －4)2＝1和两点A(－m,0)，B(m,0)(m ＞0)，若圆C 上存在点P ，使得∠APB ＝90°，则m 的最大值为（ ） A ．7 B ．6 C ．5 D ．4
【答案】B 【解析】点
在以
为直径的圆上，因此两圆有公共点，应满足
，
所以，故选B ． 【考点】两圆的位置的应用．
10.已知圆M ：x 2＋y 2＋2mx －3＝0(m ＜0)的半径为2，椭圆C ：1的左焦点为F(－c,0)，若垂直于x 轴
且经过F 点的直线l 与圆M 相切，则a 的值为（ ） A ．
B ．1
C ．2
D ．4
【答案】C 【解析】圆的方程可化为
，则由题意得，即，∴
，则圆心的坐标为
，由题意知直线的方程为
，又∵ 直线与圆
相切，∴
，∴
，∴
．
【考点】椭圆的标准方程及直线与圆的位置关系．
【方法点晴】本题主要考查了椭圆的标准方程及其简单的几何性质的应用、之间与圆的位置关系的应用，属于基础题题，同时着重考查了学生的运算能力和分析、解答问题的能力，本题的解答中，把圆的方程化为圆的标准方程，可求解，即圆心的坐标为，再由直线的方程为，利用直线与圆相切，∴，从而求解．
11.数列{a n }的通项公式a n ＝ncos ，其前n 项和为S n ，则S 2 015等于（ ）
A ．
B ．3020
C ．3024
D ．0
【答案】A 【解析】因为函数
的周期
，所以
．
【考点】数列的性质的应用和数列的求和．
【方法点晴】本题主要考查了数列的求和问题，本题涉及到三角函数的周期性和数列的周期性的应用，属于基础题，着重考查了转化的思想方法的应用和推理、计算能力，本题的解答中，根据函数
的周期
可得
即每四项的和为定值，所以可计算
的值，推理数列的周期是解答本
题的关键．
12.如图，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，侧棱垂直于底面，底面是边长为2的等边三角形，侧棱长为3，则BB 1与平
面AB 1C 1所成的角为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】A 【解析】记点
到平面的距离为
与平面
所成角为，连接，利用等体积法，
，即
，得
，则
，所以
，故选A ．
【考点】三棱锥的体积及直线与平面所成的角的求解．
【方法点晴】本题主要考查了三棱锥的体积的转换和直线与平面所成角的求解，着重考查了学生的空间想象能力及转化与化归的思想方法，属于中档试题，本题的解答中，利用三棱锥等体积法，求解三棱锥的高
，即点
到平面
的距离为，可得
与平面
所成角正弦值
即可求解直线与平面所成的角．
二、填空题
1.过坐标原点且与圆x 2－4x ＋y 2＋2＝0相切的直线方程为__________． 【答案】 【解析】圆的圆心为，半径为，易知过原点与该圆相切时，直线必有斜率．设斜率为，则直线方程为
，则
，所以
，所以
，∴直线方程为
．
【考点】圆的切线方程的求解．
2.若命题：“ x ∈R ，kx 2－kx －10”是假命题，则实数k 的取值范围是________． 【答案】 【解析】命题：“
”是真命题．当时，则有
；当
时，则有
，且
，解得
，综上所述，实数的取值范围是
．
【考点】存在性命题的应用．
3.已知直线x ＋y －k ＝0(k ＞0)与圆x 2＋y 2＝4交于不同的两点A ，B ，O 是坐标原点，且有|＋
|≥
|
|，
那么k 的取值范围是_________． 【答案】 【解析】当时，
三点为等腰三角形的三个顶点，其中，
，从而圆心到直线的距离为，此时；当
时，
，又直线与
圆
存在两交点，故
，综上，的取值范围为
． 【考点】直线和圆的方程的应用及向量的运算．
【方法点晴】本题主要考查了直线与圆的位置关系的应用及平面的概念、运算，着重考查了分类讨论思想方法和转化的思想方法，属于中档试题，本题的解答中，根据时，
三点为等腰三角形的三个顶
点，可解得此时此时，当
时，可判定直线和圆
存在两个公共点，即可求解实数的取值
范围． 4.椭圆
＋y 2＝1的左，右焦点分别为F 1，F 2，点P 为椭圆上一动点，若∠F 1PF 2为钝角，则点P 的横坐标的取
值范围是__________． 【答案】
【解析】设椭圆上一点
的坐标为
，则
．∵
为钝角，∴，即
①∵
，代入①得
，即
，解得
，∴
． 【考点】直线与圆锥曲线的综合应用．
【方法点晴】本题主要考查了椭圆的标准方程及其简单的几何性质和解不等式的应用，综合性较强，属于中档试题，其中
为钝角推断出
，即
是解答本题的关键，本题的解答中把
代入
，得到不等式，正确求解不等式的解集，从而得到的取值范围，求解不等式是本题的一个易错点．
三、解答题
1.设圆(x ＋1)2＋y 2＝25的圆心为C ，A(1,0)是圆内一定点，Q 为圆周上任一点．线段AQ 的垂直平分线与CQ 的连线交于点M ，求M 的轨迹方程． 【答案】
．
【解析】由线段的垂直平分线的性质可得，
，又
，所以
根据椭圆的定义判断轨迹为椭圆，求出的值，即可求解椭圆的方程． 试题解析：∵M 为AQ 垂直平分线上一点，则|AM|＝|MQ|， ∴|MC|＋|MA|＝|MC|＋|MQ|＝|CQ|＝5，故M 的轨迹为椭圆．∴a ＝，c ＝1，
则b 2＝a 2－c 2＝
，
∴椭圆的标准方程为．
【考点】椭圆的定义及标准方程的应用．
2.在平面直角坐标系xOy 中，已知圆P 在x 轴上截得线段长为2，在y 轴上截得线段长为2．
（1）求圆心P 的轨迹方程； （2）若P 点到直线y ＝x 的距离为，求圆P 的方程．
【答案】（1）
；（2）
．
【解析】（1）设圆心为
，半径为，由题意知，由此能求出圆心的轨迹方程；（2）
由题意得，根据点到直线的距离公式得，可分和两种情况，求解圆的方程．
试题解析：（1）设P(x ，y)，圆P 的半径为r ．则y 2＋2＝r 2，x 2＋3＝r 2．∴y 2
＋2＝x 2＋3， 即y 2－x 2＝1．∴P 点的轨迹方程为y 2－x 2＝1． （2）设P 的坐标为(x 0，y 0)， 则
，即|x 0－y 0|＝1．∴y 0－x 0＝±1，即y 0＝x 0±1．
①当y 0＝x 0＋1时，由
得
．∴
，∴r 2＝3．
∴圆P 的方程为x 2＋(y －1)2＝3． ②当y 0＝x 0－1时，由
得
．∴
，∴r 2＝3．
∴圆P 的方程为x 2＋(y ＋1)2＝3．
综上所述，圆P 的方程为x 2＋(y±1)2＝3．
【考点】直线与圆的位置关系及圆的方程的求解．
3.已知单调递增的等比数列{a n }满足：a 2＋a 3＋a 4＝28,且a 3＋2是a 2和a 4的等差中项． （1）求数列{a n }的通项公式a n ； （2）令b n ＝a n ,S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n , 求使S n ＋n·2n ＋1＞50成立的最小的正整数n ． 【答案】（1）
；（2）
．
【解析】（1）根据题设条件，建立方程组即可求解数列的首项和公比，从而求解数列的通项公式；（2）求
出数列
的通项公式，利用错位相减法求出数列的和，即可求解最小的正整数的值．
试题解析：（1）设{a n }的公比为q ，由已知，得
∴
，
即，解得或
(舍去)，∴a n ＝a 1q n －1＝2n ．
（2）
设T n ＝1×2＋2×22＋3×23＋…＋n×2n ，①
则2T n ＝1×22＋2×23＋…＋(n －1)×2n ＋n×2n ＋1，② ①－②得－T n ＝(2＋22＋…＋2n )－n×2n ＋1＝－(n －1)·2n ＋1－2， ∴S n ＝－T n ＝－(n －1)×2n ＋1－2． 由S n ＋n·2n ＋1＞50，得－(n －1)·2n ＋1－2＋n·2n ＋1＞50，则2n ＞26，
故满足不等式的最小的正整数n ＝5．
【考点】等比数列的通项公式及数列求和．
4.如图在矩形ABCD中，已知AB=3AD，E，F为AB的两个三等分点，AC，DF交于点
G．
（1）证明：EG DF；
（2）设点E关于直线AC的对称点为，问点是否在直线DF上，并说明理由．
【答案】（1）证明见解析；（2）在直线上．
【解析】（1）建立适当的平面直角坐标系，求出直线和的方程，利用斜率之间的关系证明；（2）求出点关于直线的对称点为的坐标，判断的坐标是否满足的方程即可做出证明．
试题解析：（1）如图，以AB所在直线为x轴，以AD所在直线为y轴建立直角坐标系，
设AD长度为1，则可得，，，，．
所以直线AC方程为，①
直线DF方程为，②
由①②解得交点．
∴EG斜率，又DF斜率，
∴，即有EG DF．
（2）设点，则中点M，
由题意得解得．
∵，∴点在直线DF上．
【考点】直线的方程和两直线垂直的判定．
5.如图，四棱锥P－ABCD的底面ABCD是平行四边形，BA＝BD＝，AD＝2，PA＝PD＝，E，F分别是
棱AD，PC的中点．
（1）证明：EF∥平面PAB；
（2）若二面角P－AD－B为60°．
①证明：平面PBC⊥平面ABCD；
②求直线EF与平面PBC所成角的正弦值．
【答案】（1）证明见解析；（2）①证明见解析；②．
【解析】（1）要证明平面，可以先证明平面，利用线面平行的判定定理，即可证明平面；（2）①要证明平面平面，可用面面垂直的判定定理，即只需证明平面即可；
②由①平面，所以为直线与平面所成的角，由及已知，得为直角，即
可计算的长度，在中，即计算直线与平面所成的角的正弦值．
试题解析：（1）证明：如图，取PB中点M，连接MF，AM．
因为F为PC中点，故MF∥BC且MF＝BC．由已知有BC∥AD，BC＝AD．
又由于E为AD中点，因而MF∥AE且MF＝AE，故四边形AMFE为平行四边形，
所以EF∥AM．又AM⊂平面PAB，而EF⊄平面PAB，所以EF∥平面PAB．
（2）①证明：如图，连接PE，BE．
因为PA＝PD，BA＝BD，而E为AD中点，故PE⊥AD，BE⊥AD，
所以∠PEB为二面角P－AD－B的平面角．
在△PAD中，由PA＝PD＝，AD＝2，可解得PE＝2．
在△ABD中，由BA＝BD＝，AD＝2，可解得BE＝1．
在△PEB中，PE＝2，BE＝1，∠PEB＝60°，由余弦定理，可解得PB＝，
从而∠PBE＝90°，即BE⊥PB．
又BC∥AD，BE⊥AD，从而BE⊥BC，因此BE⊥平面PBC．
又BE⊂平面ABCD，所以平面PBC⊥平面ABCD．
②连接BF．由①知，BE⊥平面PBC，所以∠EFB为直线EF与平面PBC所成的角．
由PB＝及已知，得∠ABP为直角．
而MB＝PB＝，可得AM＝，故EF＝．
又BE＝1，故在Rt△EBF中，sin∠EFB＝＝．
所以直线EF与平面PBC所成角的正弦值为．
【考点】直线与平面平行的判定及直线与平面垂直的判定与性质；直线与平面所成角的求解．
【方法点晴】本题主要考查了直线与平面平行的判定及直线与平面垂直的判定与性质，直线与平面所成角的求解，熟练掌握线面位置关系的判定定理与性质定理是解答基础，同时根据题设条件确定直线与平面所成的角是解答的关键，本题的第二问的解答中，根据平面，可以确定为直线与平面所成的角，可放置在中，即计算直线与平面所成的角的正弦值．
6.在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆的左、右焦点分别为F ¢与F，圆：
．
（1）设M为圆F上一点，满足，求点M的坐标；
（2）若P为椭圆上任意一点，以P为圆心，OP为半径的圆P与圆F的公共弦为QT，证明：点F到直线QT的距离FH为定值．
【答案】（1）或；（2）．
【解析】（1）由椭圆的性质求出，设，由，得，再由，能求出点的坐标；（2）设，圆的方程为，圆的方程为，由此求出直线的方程为，由此能证明点到直线的距离的定值．
试题解析：（1）F¢（-，0），F（，0），设M（m，n），由，
得．即．①又．②
由①，②，得，．∴M（，），或M（，-）．
（2）设，则圆的方程为．
即．③又圆F的方程为．④
由③，④得直线QT的方程为．
所以．
因为在椭圆上，所以，即，
所以．
【考点】直线与圆锥曲线的综合应用．
【方法点晴】本题主要考查了点的坐标的求解、点到直线的距离为定值的证明及直线与圆锥曲线的综合应用，解答是要仔细审题、认真作答，同时注意函数与方程思想的合理运用，属于有一定难度的试题，本题的解答中，由圆的方程，圆的方程，求出直线的方程为，由点到直线的距离可化简的定值，得以证明．。