万安县二中2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析

万安县二中2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析
班级__________ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1． “p q ∨为真”是“p ⌝为假”的（ ）条件
A ．充分不必要
B ．必要不充分
C ．充要
D ．既不充分也不必要
2． 设△ABC 的三边长分别为a 、b 、c ，△ABC 的面积为S ，内切圆半径为r ，则，类比这个结论可
知：四面体S ﹣ABC 的四个面的面积分别为S 1、S 2、S 3、S 4，内切球半径为r ，四面体S ﹣ABC 的体积为V ，
则r=（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
3． 设函数F （x ）=
是定义在R 上的函数，其中f （x ）的导函数为f ′（x ），满足f ′（x ）＜f （x ）对于x
∈R 恒成立，则（ ） A ．f （2）＞e 2f （0），f B ．f （2）＜e 2f （0），f C ．f （2）＞e 2f （0），f D ．f （2）＜e 2f （0），f
4． 双曲线=1（m ∈Z ）的离心率为（ ）
A ．
B ．2
C ．
D ．3
5． 已知{}n a 是等比数列，251
24
a a ==，，则公比q =（ ） A ．12-
B ．-2
C ．2
D ．12
6． 如图是一容量为100的样本的重量的频率分布直方图，则由图可估计样本重量的中位数为（ ）
A ．11
B ．11.5
C ．12
D ．12.5
7．底面为矩形的四棱锥P-ABCD的顶点都在球O的表面上，且O在底面ABCD内，PO⊥平面ABCD，当四棱锥P-ABCD的体积的最大值为18时，球O的表面积为（）
A．36πB．48π
C．60πD．72π
8．对一切实数x，不等式x2+a|x|+1≥0恒成立，则实数a的取值范围是（）
A．（﹣∞，﹣2）B． D．上是减函数，那么b+c（）
A．有最大值B．有最大值﹣C．有最小值D．有最小值﹣
9．在平行四边形ABCD中，AC为一条对角线，=（2，4），=（1，3），则等于（）A．（2，4） B．（3，5） C．（﹣3，﹣5） D．（﹣2，﹣4）
10．已知向量=（1，1，0），=（﹣1，0，2）且k+与2﹣互相垂直，则k的值是（）
A．1 B．C．D．
11．设定义在R上的函数f（x）对任意实数x，y，满足f（x）+f（y）=f（x+y），且f（3）=4，则f（0）+f （﹣3）的值为（）
A．﹣2 B．﹣4 C．0 D．4
12．《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“囷盖”的术：置如其周，令相乘也，又以高乘之，三十六成一，该术相当于给出了由圆锥的底面
周长L与高h，计算其体积V的近似公式V≈L2h，它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取为3，
那么，近似公式V≈L2h相当于将圆锥体积公式中的π近似取为（）
A．B．C． D．
二、填空题
13．在矩形ABCD中，=（1，﹣3），，则实数k=．
14．计算：×5﹣1=．
15．已知点M（x，y）满足，当a＞0，b＞0时，若ax+by的最大值为12，则+的最小值
是．
，对任意的m∈[﹣2，2]，f（mx 16．【盐城中学2018届高三上第一次阶段性考试】已知函数f（x）=3x x
﹣2）+f（x）＜0恒成立，则x的取值范围为_____．
17．多面体的三视图如图所示，则该多面体体积为（单位cm）．
18．已知直线l 的参数方程是（t 为参数），曲线C 的极坐标方程是ρ=8cos θ+6sin θ，则曲线C 上到
直线l 的距离为4的点个数有 个．
三、解答题
19．已知F 1，F 2分别是椭圆=1（9＞m ＞0）的左右焦点，P 是该椭圆上一定点，若点P 在第一象限，
且|PF 1|=4，PF 1⊥PF 2． （Ⅰ）求m 的值； （Ⅱ）求点P 的坐标．
20．（本小题满分12分）
如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为2的菱形，且60o
ABC ∠=，侧面PDC 为等边三角形，
且与底面ABCD 垂直，M 为PB 的中点． （Ⅰ）求证：PA ⊥DM ；
（Ⅱ）求直线PC 与平面DCM 所成角的正弦值．
21．（本小题满分12分）已知函数()2
ln f x ax bx x =+-（,a b ∈R ）．
（1）当1,3a b =-=时，求函数()f x 在1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦
上的最大值和最小值；
（2）当0a =时，是否存在实数b ，当(]0,e x ∈（e 是自然常数）时，函数()f x 的最小值是3，若存在，求
出b 的值；若不存在，说明理由；
22．（本小题满分10分） 已知圆P 过点)0,1(A ，)0,4(B .
（1）若圆P 还过点)2,6(-C ，求圆P 的方程； （2）若圆心P 的纵坐标为，求圆P 的方程.
23．（本题满分15分）
已知抛物线C 的方程为2
2(0)y px p =>，点(1,2)R 在抛物线C 上．
（1）求抛物线C 的方程；
（2）过点(1,1)Q 作直线交抛物线C 于不同于R 的两点A ，B ，若直线AR ，BR 分别交直线:22l y x =+于
M ，N 两点，求MN 最小时直线AB 的方程．
【命题意图】本题主要考查抛物线的标准方程及其性质以及直线与抛物线的位置关系等基础知识，意在考查运算求解能力.
24．如图，四边形ABEF 是等腰梯形，,2,42,22AB EF AF BE EF AB ====，四边形
ABCD 是矩形，AD ⊥平面ABEF ，其中,Q M 分别是,AC EF 的中点，P 是BM 的中点．
（1）求证:PQ 平面BCE ； （2）AM ⊥平面BCM .
万安县二中2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析（参考答案）
一、选择题
1． 【答案】B 【解析】
试题分析：因为p 假真时，p q ∨真，此时p ⌝为真，所以，“p q ∨ 真”不能得“p ⌝为假”，而“p ⌝为假”时p 为真，必有“p q ∨ 真”，故选B. 考点：1、充分条件与必要条件；2、真值表的应用. 2． 【答案】 C
【解析】解：设四面体的内切球的球心为O ， 则球心O 到四个面的距离都是R ， 所以四面体的体积等于以O 为顶点，
分别以四个面为底面的4个三棱锥体积的和．
则四面体的体积为
∴R= 故选C ．
【点评】类比推理是指依据两类数学对象的相似性，将已知的一类数学对象的性质类比迁移到另一类数学对象上去．一般步骤：①找出两类事物之间的相似性或者一致性．②用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题（或猜想）．
3． 【答案】B
【解析】解：∵F （x ）=，
∴函数的导数F ′（x ）==
，
∵f ′（x ）＜f （x ）， ∴F ′（x ）＜0，
即函数F （x ）是减函数，
则F （0）＞F （2），F （0）＞F ＜e 2
f （0），f ，
故选：B
4． 【答案】B
【解析】解：由题意，m 2
﹣4＜0且m ≠0，∵m ∈Z ，∴m=1
∵双曲线的方程是y 2﹣x 2
=1 ∴a 2=1，b 2
=3， ∴c 2=a 2+b 2=4
∴a=1，c=2，
∴离心率为e==2． 故选：B ．
【点评】本题的考点是双曲线的简单性质，考查由双曲线的方程求三参数，考查双曲线中三参数的关系：c 2=a 2+b 2．
5． 【答案】D 【解析】
试题分析：∵在等比数列}{a n 中，4
1,2a 52==a ,21,81q 253
=∴==∴q a a .
考点：等比数列的性质.
6． 【答案】C
【解析】解：由题意，0.06×5+x ×0.1=0.5，所以x 为2，所以由图可估计样本重量的中位数是12． 故选：C ．
7． 【答案】
【解析】选A.设球O 的半径为R ，矩形ABCD 的长，宽分别为a ，b ， 则有a 2＋b 2＝4R 2≥2ab ，∴ab ≤2R 2，
又V 四棱锥P －ABCD ＝1
3
S 矩形ABCD ·PO
＝13abR ≤23R 3. ∴2
3
R 3＝18，则R ＝3， ∴球O 的表面积为S ＝4πR 2＝36π，选A. 8． 【答案】B
【解析】解：由f（x）在上是减函数，知
f′（x）=3x2+2bx+c≤0，x∈，
则
⇒15+2b+2c≤0⇒b+c≤﹣．
故选B．
9．【答案】C
【解析】解：∵，
∴==（﹣3，﹣5）．
故选：C．
【点评】本题考查向量的基本运算，向量的坐标求法，考查计算能力．
10．【答案】D
【解析】解：∵=（1，1，0），=（﹣1，0，2），
∴k+=k（1，1，0）+（﹣1，0，2）=（k﹣1，k，2），
2﹣=2（1，1，0）﹣（﹣1，0，2）=（3，2，﹣2），
又k+与2﹣互相垂直，
∴3（k﹣1）+2k﹣4=0，解得：k=．
故选：D．
【点评】本题考查空间向量的数量积运算，考查向量数量积的坐标表示，是基础的计算题．
11．【答案】B
【解析】解：因为f（x）+f（y）=f（x+y），
令x=y=0，
则f（0）+f（0）=f（0+0）=f（0），
所以，f（0）=0；
再令y=﹣x，
则f（x）+f（﹣x）=f（0）=0，
所以，f（﹣x）=﹣f（x），
所以，函数f（x）为奇函数．
又f（3）=4，
所以，f（﹣3）=﹣f（3）=﹣4，
所以，f（0）+f（﹣3）=﹣4．
故选：B．
【点评】本题考查抽象函数及其应用，突出考查赋值法的运用，判定函数f（x）为奇函数是关键，考查推理与运算求解能力，属于中档题．
12．【答案】B
【解析】解：设圆锥底面圆的半径为r，高为h，则L=2πr，
∴=（2πr）2h，
∴π=．
故选：B．
二、填空题
13．【答案】4．
【解析】解：如图所示，
在矩形ABCD中，=（1，﹣3），，
∴=﹣=（k﹣1，﹣2+3）=（k﹣1，1），
∴•=1×（k﹣1）+（﹣3）×1=0，
解得k=4．
故答案为：4．
【点评】本题考查了利用平面向量的数量积表示向量垂直的应用问题，是基础题目．
14．【答案】9．
【解析】解：×5﹣1=×=×=（﹣5）×（﹣9）×=9，
∴×5﹣1=9，
故答案为：9．
15．【答案】4．
【解析】解：画出满足条件的平面区域，如图示：
，
由，解得：A（3，4），
显然直线z=ax+by过A（3，4）时z取到最大值12，
此时：3a+4b=12，即+=1，
∴+=（+）（+）=2++≥2+2=4，
当且仅当3a=4b时“=”成立，
故答案为：4．
【点评】本题考查了简单的线性规划，考查了利用基本不等式求最值，解答此题的关键是对“1”的灵活运用，是基础题．
16．【答案】
2
2,
3⎛⎫- ⎪⎝⎭
【解析】
17．【答案】cm3．
【解析】解：如图所示，由三视图可知：
该几何体为三棱锥P﹣ABC．
该几何体可以看成是两个底面均为△PCD，高分别为AD和BD的棱锥形成的组合体，
由几何体的俯视图可得：△PCD的面积S=×4×4=8cm2，
由几何体的正视图可得：AD+BD=AB=4cm，
故几何体的体积V=×8×4=cm3，
故答案为：cm3
【点评】本题考查由三视图求几何体的体积和表面积，根据已知的三视图分析出几何体的形状是关键．18．【答案】2
【解析】解：由，消去t得：2x﹣y+5=0，
由ρ=8cosθ+6sinθ，得ρ2=8ρcosθ+6ρsinθ，即x2+y2=8x+6y，
化为标准式得（x﹣4）2+（y﹣3）2=25，即C是以（4，3）为圆心，5为半径的圆．
又圆心到直线l的距离是，
故曲线C上到直线l的距离为4的点有2个，
故答案为：2．
【点评】本题考查了参数方程化普通方程，考查了极坐标方程化直角坐标方程，考查了点到直线的距离公式的应用，是基础题．
三、解答题
19．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）由已知得：|PF2|=6﹣4=2，
在△PF1F2中，由勾股定理得，，
即4c2=20，解得c2=5．
∴m=9﹣5=4；
（Ⅱ）设P点坐标为（x0，y0），由（Ⅰ）知，，，
∵，，
∴，解得．
∴P（）．
【点评】本题考查椭圆方程的求法，考查了椭圆的简单性质，属中档题．
20．【答案】
【解析】由底面ABCD为菱形且60o
ABC
∠=，∴ABC
∆，ADC
∆是等边三角形，
取DC中点O，有,
OA DC OP DC
⊥⊥，
∴POA
∠为二面角P CD A
--的平面角，∴90o
POA
∠=．
分别以,,
OA OC OP所在直线为,,
x y z轴，建立空间直角坐标系如图，
则(0,1,0),2,0),(0,1,0)
A P D
B C
-．……3分
（Ⅰ）由M为PB中点，
22
M∴
3
(
2
DM=
(3,0,3),
PA=-0),0,
DC PA DM PA DC
=∴==
∴PA⊥DM……6分
（Ⅱ）由(0,2,0)
DC=，0
PA DC
⋅=，∴PA⊥DC，
∴平面DCM的法向量可取(3,0,
PA=……
(0,1,
PC=，设直线PC与平面DCM所成角为θ
则sin |cos ,||
|4||||6PC PA PC PA PC PA θ⋅=<>===．
即直线PC 与平面DCM 所成角的正弦值为4
．…… 12分 21．【答案】
【解析】【命题意图】本题考查利用导数研究函数的单调性与最值、不等式的解法等基础知识，意在考查逻辑思维能力、等价转化能力、分析与解决问题的能力、探究能力、运算求解能力．
（2）当0a =时，()ln f x bx x =-．
假设存在实数b ，使()(]()
ln 0,e g x bx x x =-∈有最小值3，
11
()bx f x b x x
-'=-
=
．………7分 ①当0b ≤时，()f x 在(]0,e 上单调递减，()min 4
()e 13,f x f be b e
==-==（舍去）．………8分 ②当10e b <
<时，()f x 在10,b ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在1,e b ⎛⎤
⎥⎝⎦
上单调递增， ∴2
min 1()1ln 3,e f x g b b b ⎛⎫==+== ⎪⎝⎭
，满足条件．……………………………10分
③当1e b ≥时，()f x 在(]0,e 上单调递减，()min 4
()e e 13,e
f x
g b b ==-==（舍去），………11分 综上，存在实数2
e b =，使得当(]0,e x ∈时，函数()
f x 最小值是3．……………………………12分
22．【答案】（1）04752
2
=++-+y x y x ；（2）4
25)2()25(2
2=
-+-y x . 【解析】
试题分析：（1）当题设给出圆上三点时，求圆的方程，此时设圆的一般方程02
2
=++++F Ey Dx y x ，将三点代入，求解圆的方程；（2）AB 的垂直平分线过圆心，所以圆心的横坐标为2
5
，圆心与圆上任一点连线段为半径，根据圆心与半径求圆的标准方程.
试题解析：（1）设圆P 的方程是02
2
=++++F Ey Dx y x ，则由已知得
⎪⎩
⎪⎨⎧=+-+-+=++++=++++0
26)2(60
04040001222
222F E D F D F D ，解得⎪⎩⎪⎨⎧==-=475F E D ． 故圆P 的方程为04752
2
=++-+y x y x .
（2）由圆的对称性可知，圆心P 的横坐标为25
241=+，故圆心)2,2
5(P ， 故圆P 的半径25)20()251(||2
2=-+-==AP r ，
故圆P 的标准方程为4
25)2()25(2
2=-+-y x .
考点：圆的方程
23．【答案】（1）2
4y x =；（2）20x y +-=．
【解析】（1）∵点(1,2)R 在抛物线C 上，2
2212p p =⨯⇒=，…………2分 即抛物线C 的方程为2
4y x =；…………5分
24．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．【解析】
考点：直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定.。