隐性轨迹题型面面观

高二数学 2021年1月
隐性轨迹题型面面观
7
■福建省龙岩市永定区城关中学
童其林(特级教师)
我们在解题时常碰到隐性轨迹问题，隐 性轨迹就是轨迹不太明显，需要我们去发现。

理论上说，我们学过的轨迹都可能成为隐性
轨迹，下面我们就谈谈常见的隐性轨迹问题"
1.隐性轨迹是直线或在直线上的某些点
! !已知圆C 1 %2 +y 2 *=4与圆C 2 :
(% —3)2 + (y —3)2=4,过动点 P (a,*)分别 作圆C 1，圆C 2的切线PM ,PN CM ,N 分别
为切点)，若 |PM = |PN |，则 a 2+ *2—4a — 6*+ 13的最小值是(
)。

=7 工—< 1 S m + n = &m — n 十n ) 一n n
4,则 S m +n 一4>0。

选 A 。

N 评：当公差不为零时，等差数列的Q 项公
式是关于”的一次函数，等差数列的前”项和
S
公式是关于”的二次函数，而」是关于”的一
”
次函数，(”2 ) , (m,S ) , (m +”，邑+” )共线,
\ n/ \ m / \
m^rn /
这就为数形结合提供了理论基础%
2.隐性轨迹是圆或圆弧
! #
(2020年北京
卷第5题)如图2,已知半
径为1的圆经过点(3,4),
则其圆心到原点距离的最 小值为(
)。

A. 4
B. 5
C.6
D. 7 图 2
解析：设圆心为C%,
&),贝0
//% — 3)2 十(& — 4)2 = 1,化简 得
(% —3)2 十(y —4)2 = 1。

由图知， OC |十1 ) OM =5,即
|OC |)5 — 1 = 4,当且仅当C 在线段OM 上
时取得等号，选A 。

N 评：圆心 C 的轨迹是以 M (3,4)为圆
A. 2
B. 2
C. //3
D. 13
解析：由题意知PM 丄C 1M ,PN 丄C 2N ,
C 1(0,0),C 2(3,3)O
由 PM = PN ,得 PC 1 |2 —4 =
PC 2 2 —4,!卩 a 2 + *2 = (a — 3 )2 + (* — 3 )2 ,
贝U a + * = 3 o
a 2+*2 ―4a ―6*+ 13= ( ―2)2 + (*―3)2。

至此，我们有两种解决问题的方法。

法一：这式子可看
成是定点(2,3)到直线
1”
%+ & = 3 上动点(a,*)
[
Wo/的距离的平方,在直线 '
T
外定点到直线上动点的 图］距离中，垂直线段最短。

'
故(a — 2)2 + (* — 3)2的最小值为最短距
2 +
3 ― 3 \ 2
离的平方，即(——2— ) =2。

选B 。

法二：(a — 2)2 + (* — 3)2 = (a — 2)2 + a 2
= 2a 2—4a +4 = 2(a — 1)2 +2)2,当且仅当
a = 1时取得最小值2,选B 。

N 评：法一通过隐性轨迹转化为N 到直线
的距离问题，法二通过配方法求得最小值。

!"设S
n 为等差数列1”｝的前n 项
和，若 S ” = — , S m = — (m 0 n ),则 S m + ” — 4
n
的符号是(
)。

A.正
B.负
C.非负
D.非正
解析：要求出S m + n ，可先求出首项和公
差，这是常用方法。

也可以通过点(n,S n ),
m + n,S m +n )共线，求得 S m +n ,
m + n /
Q Q Q Q m n m +n n
m n m-\~n n (m + n )2
19
高二数学2021年1月
心，1为半径的圆，所以OC|的最大值是|OM+1,fght|OM—1。

!$（龙岩市2020年5月质检题理数第11题）如图3在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，P是正方形ADD#]内（包括边界）的动点,M是CD的中点，且（PBA&（PMD，则当$PAD的面积最大时，|PA|的值为（）。

A普B普
，琴 D.^
解析：由题意可知，---------1
/4a n a2，贝U a1十a2020的最大值是（）o
A.4—2/2
B.8—/2
C.4+22
D.8十/2
解析：依题意知，a n十#十/4a n—a；，可化为（a n+1—2）2十（a”—2）2&40
令* **n&（a n—2）2，则*n十#十*n&40
同理，*”十2十*n+1&4,于是*n+2&*n0
*1&Qa1—2）2,*2020&*2&（a2—2）2。

则*]十*2020&*1十*2&4,艮卩（a]—2）2十（a2020—2）2&4"
32,e一432//,4一2//3e34十//
2/2,E>ax&4十/2，选C o
N评：本题有一定的难度，得到类似于圆的模型（a]—2）2十（a2020—2）2&4是解题的关键。

3.隐性轨迹是椭圆
!&已知O为坐标原点，点E、F的坐标分别为（一1,0）和（1,0）,点A、P、Q运动时满足|#E&2EF,AQ&C H，PQ・#F&0,恥〃1莎。

求动点P到E的最大值°解析：因为\AE\&/|lQ&4,所以点A 在以E为圆心，4为的圆上。

因为^#Q&（QQ,PQ・#F&0,所以PQ 为线段AF的中垂线。

因为厲〃"，所以点P在AE上。

PF&PA,贝U PE十PF& \PE丨十|PA&|EA|&4>|EF&2。

点P 的轨迹是以E、F为焦点的椭圆。

因为c&1, a&2,所以a2&4,*2&3。

轨迹P的方程为22
4十3&1。

根据椭圆性质，可得PE|的最大值为3。

NO:说是通过定义解答了本题，其实是从许多的隐性轨迹转化而成的，一是N A在以E为圆心，4为半径的圆上，即得到AE
PA&2|PD\,以AD所/j
在直线为—轴，AD的中〜
一/.•彷::……"'m...才垂线为y轴建立直角坐标///
系，设A（—1,0）,D（1,0）。

/''B
设P%，），所以（％十1）2图3
十y2=4（%—1）+4y2。

/5\216
也即（％—3）十y2&9，点p的轨迹是以（5,0）为圆心，/为半径的圆（在正方形
4/ ADD.1内的部分）o|PA|的最大值为寸。

点评：本题是立体几何与解析几何的综
合问题，难点之一是要探求N P在平面ADD,A i满足的条件，难N之二是在此条件下求出N P的轨迹（阿波罗尼斯圆弧）。

!%（龙岩市2020年高中毕业班/月月考卷）已知数列｛a”｝满足a”十1&2十
(a122cos!，
法一：令｛1a i十a2020
[a202022sin!
4十2/2sin（十4）<4十22，当且仅当!& 4时等号成立，选C o
法二：由不等式关系知%-+y3 l//十，故a1+a2020&(a】一2)十(a2 020—2)+432=
/l a12)2+(a20202)2
4十22，当且仅当a1&a2020&2十2时等号成立，选C"
法三：（a】—2）2十（a2020—2）2&4,即点（a],a2020）在（—一2）2十（y—2）2&4上。

令e&%十y,艮卩—十y—e&0,贝U9& E—4
20
=4；二是PQ为线段AF的中垂线；三是N P在AE上，然后落实在|PE+|PF=4这个定值上，点、P在右端N时取到最大值。

4.隐性轨迹是抛物线
!'如图4,三
条直线a、*%两两平
行，直线a%间的距
离为p，直线*%间的
距离为2,A、B为直线a上两定点，且AB =2p,MN是在直线*上滑动的长度为2p 的线段。

假设9是A AMN的外心C到直线c的距离，试探求：当A AMN的外心C在什么位置时，9+BC丨最小，最小值是多少？
解析：以直线*为%轴，以过A点且与直线*垂直的直线为y轴建立直角坐标系。

设△AMN的外心为C#%，y)，则A(0,p),M(%―p,0),N(%+p,0)。

由题意知|CA=|CM|，故：
/%2+(y一p)2=/(%一％+p)+y2。

化简得%2=2py。

点C的轨迹是以原点为顶点，y轴为对
解题篇经典题突破方法
高二数学2021年1月"丄曲
称轴，开口向上的抛物线E。

由此可得直线c恰为轨迹E的准线。

由抛物线的定义知9=CF,其中F(0,2)是抛物线的焦点。

则9+BC=|CF+|BC|。

线段BF与抛物线的交点即为所求的点。

直线BF的方程为y=4%+2p,联立
f1丄1
y=—%+-—p9
方程组+42得
-%2=2py,
%=—^p(1+//7),
9+1
[y=-16-p。

点c坐标为(U/^p,斗f p)。

此时9+BC|的最小值为BF=亍p。

N评：求出N C的轨迹是解决问题的关键。

本题似曾相识，却又很新颖，有较强的探究性。

(责任编辑徐利杰)
(上接第13页)
22
67.已知双曲线W：=—±=1(a>0,
a*
*>0)的左、右焦点分别为F1、F2，点N(0, *),右顶点是M，且MN・M.=—1, (NMF2=120°。

(1)求双曲线W的方程；
(2)过点Q(0,—2)的直线=交双曲线W 的右支于A、B两个不同的点(B在A、-之间)，若点>(7,0)在以线段AB为直径的圆的外部，试求A AQR与A BQH面积之比"的取值范围。

68已知椭圆％2+4=1的左、右两个顶点分别为A、B,曲线C是以A、B两点为顶点，焦距为2/的双曲线，设点P在第一象限且在曲线C上，直线AP与椭圆相交于另一点T。

(1)求曲线C的方程；
(2)设P G两点的横坐标分别为％1、％2,求证：％i・%2为一定值；
(3)设△TAB与SOB(其中O为坐标原点)的面积分别为S1与S2，且P?・PB3
15,求S1—S2的取值范围。

69.在直角坐标系%Oy中，已知定点
F1(0,—3),F2(0,3)，动点p满足|PF1—\P f2=2,设点P的曲线为C,直线=y= 8%+m与曲线C交于A,B两点。

(1)写出曲线C的方程，并指出曲线C 的轨迹；
(2)当m=1时，求实数8的取值范围；
(3)证明：存在直线=，满足l O X+OB&
\A B I，并求实数8m的取值范围。

(责任编辑徐利杰)
21。