大学物理 2刚体力学

B
L/2
X
L
JC
2 L
x 2dx
mL2
/ 12
2
平行轴定理
前例中JC表示相对通过质心的轴的转动惯量， JA表示相对通过棒端的轴的转动惯量。两轴 平行，相距L/2。可见：
J A＝JC＋m
L 2
2
1 12
mL2
1 4
mL2
1 mL2 3
推广上述结论，若有任一轴与过质心的轴 平行，相距为d，刚体对其转动惯量为J，
解：取半径为r宽为dr的薄圆环,
Z
dm dV 2rdr l
dJ r 2dm 2lr3dr
O r dr
J dJ R 2lr3dr 1 R4l
0
2
m
R2l
J
1 mR 2 2
可见，转动惯量与l无关。所以，实心圆柱对其轴的
转动惯量也是mR2/2。
3. 求一质量为m的均匀实心球对其一条直径 为轴的
转动惯量。 Z
r
Z
解： 一球绕Z轴旋转，
dZ
离 球心Z高处切一厚为dz 的薄圆盘。其半径为
O X
R
r R2 Z2
Y
其体积：
dV r2dZ (R2 Z 2)dZ
其质量： dm dV (R2 Z 2)dZ
其转动惯量： dJ 1 r2dm 1 (R2 Z 2 )2 dZ
2
2
dJ 1 r 2dm 1 (R2 Z 2 )2 dZ
有前两个因素。形状即质量
•质量的分布
分布，与转轴的位置结合决
•转轴的位置
定转轴到每个质元的矢径。
J r2dm
质量为线分布 dm dl
质量为面分布 dm ds
质量为体分布 dm dV
其中、、 分别为质量的线密度、面密度和体密度。
注 只有对于几何形状规则、质量连续且均匀分布 意 的刚体，才能用积分计算出刚体的转动惯量
作用在刚体上的轴的力矩
Z
F
f1
O r P f2
转动平面
Mz
r
F
Mz rF sin
转动定律
Fi
fi
mi ai
Fi sini fi sini miai
将切向分量式两边同乘以 变换得
ri
,
Firi sini firi sini miri2
Z
fi i
Fi
ri
mi
i
Firi sini firi sini (miri2 )
ωω
花样滑冰运动 员通过改变身体姿 态即改变转动惯量 来改变转速.
涡旋星系
例1、如图所示,一质量为m的子弹以水平
速度射入一静止悬于顶端长棒的下端,穿 出后速度损失3/4,求子弹穿出后棒的角
速度。已知棒长为l,质量为M.
解:以f代表棒对子弹的阻力,对子弹有:
子弹对棒的反作用力对棒的 M 冲量矩为：
mva ( 1 Ml 2 ma 2 )
1
1 (
Ml
3
2
ma 2 )2
23
a
30
M
l
mga (1 cos 300 ) Mg l (1 cos 300 ) 2
v 1 g (2 3 )( Ml 2)( Ml 2 3ma 2 ) ma 6
例3、如图所示，将单摆和一等长的匀质直杆悬挂在
同一点，杆的质量m与单摆的摆锤相等。开始时直杆 自然下垂，将单摆的摆锤拉到高度，令它自静止状态 下垂,于铅垂位置和直杆作弹性碰撞。求碰撞后直杆下
端达到的高度h。
解:碰撞前单摆摆锤的速度为
l l
m ho
a
v0 2gh0
令碰撞后直杆的角速度为，
摆锤的速度为v＇。
c
由角动量守恒，有
hc
ml (v0 v) J
式中J 1 ml 2 3
h’
b
h
在弹性碰撞过程中机械能也是守恒的:
1 2
m(v02
v2 )
1 2
J 2
ml (v0 v) J
式中J 1 ml 2
v 1 4mgh
R R 2m M
例2、一个飞轮的质量为69kg，半径为
0.25m,正在以每分1000转的转速转动。现 在要制动飞轮，要求在5.0秒内使它均匀 减速而最后停下来。摩擦系数为0.2。求 闸瓦对轮子的压力N为多大？
F
0
解：飞轮制动时有角加速度
0
t
fr N
0 1000r / min 104.7rad/s
0 t 5s 20.9rad/s 2
外力矩是摩擦阻力矩，角加速度为负值。
M＝ fr R NR J mR 2
NR mR 2
N mR
0
例3、一根长为l、质量为m的均匀细直棒，其一端 有一固定的光滑水平轴，因而可以在竖直平面内转
动。最初棒静止在水平位置，求它由此下摆角时的
角加速度和角速度。
解：棒下摆为加速过程，外
力矩为重力对O的力矩。 棒 O
上取质元dm,当棒处在下摆
l
角时，该质量元的重力对轴
的元力矩为
dM l cosgdm gl cosdl
dm dl
gdm
dM l cosgdm gl cosdl O
重力对整个棒的合力矩为
l
M＝ dM
L
0 gl
cosdl
gL2 cos 1 mgL cos
则有：J＝JC＋md2。
这个结论称为平行轴定理。
右图所示刚体对经过棒端 且与棒垂直的轴的转动惯量
mL
如何计算？(棒长为L、球半
径为R）
mO
J L1
1 3
mL L2
Jo
2 5
mo R2
J L2 J0 m0d 2 J0 m0(L R)2
J
1 3
m
L
L2
2 5
mo R2
mo (L
R)2
三、转动定律
第二章 刚体和流体力学
刚体:在外力作用下形状和大小保持不变的物体.
各质点间的相对位置永不发生变化的质点系。 一、刚体的平动和转动 平动：用质心运动讨论
刚体在运动中，其上任意两点的连线始终保持平行。
A
A
B
A
B
B
转动：对点、对轴
转轴
定轴转动：各质元均作圆周 运动，其圆心都在一条固定 不动的直线（转轴）上。
J1 , 则2
1
2、转动惯量可变的物体。
当J增大时，就减小； 当J减小时，就增大，从而J保持不变.
F
F
实际中的一些现象 Ⅰ、芭蕾舞演员的高难动作
艺术美、人体美、物理美相互结合
Ⅱ当滑冰、跳水、体操运 动员在空中为了迅速翻转 也总是曲体、减小转动惯 量、增加角速度。当落地 时则总是伸直身体、增大 转动惯量、使身体平稳地。
f ldt l f dt J
因,
由两式得
v0
mv
请问:1.子弹和棒的总动量守恒吗? M 为什么?
2.总角动量守恒吗?若守恒, 其
方程应如何写?
v0
mv
如图，已知：M , m, l, a
子弹射入并嵌在棒内，求子弹的初速。
解：过程分两步
o
1、子弹与棒发生完全非弹性碰撞
角动量守恒
2、子弹与棒摆动，机械能守恒。
2
2
代入转动定律，可得
M
1 mgL cos
2
3g cos
J
1 mL2
2L
3
dm dl
gdm
M J J d J d d J d dt d dt d
Md Jd
代入M＝1 mgl cos
2
1 mgL cosd Jd
2
1 mgL cosd
Jd
02
0
1 mgL sin 1 J 2
dt
d dt d
2 Md
1
2 1
Jd
1 2
J
2 2
1 2
J12
W
1 2
J
2 2
1 2
J12
刚体定轴转动的动能定理
合外力矩对定轴转动刚体所做的功等于刚体 转动动能的增量。
六 、包括刚体的系统的场中机械能守恒定律
刚体的重力势能是组成它的各个质元的重力
势能之和.
Ep mi ghi g mihi
加速转动 减速转动
方方向向一 相致 反
r v
一 、刚体的转动动能
E ki
1 2
mivi 2
1 2
miri 2 2
Ek
i
(1 2
miri 2
2
)
1 2
(
miri 2 ) 2
1 2
J 2
J (miri2 )
i
刚体对给定轴的转动惯量(moment of inertia)
刚体绕定轴转动时转动动能等于刚体的转动惯量
t2
Mdt
t1
L2 L1
dL
J 22
J11
t2 t1
Mdt
J 22
J11
二 、 角动量守恒定律及其应用
M 0
J 常矢量 或 J22 J11
当物体所受的合外力矩为零时,物体的角动量保
持不变.这一结论称为角动量守恒定律.
角动量守恒定律的两种情况：
1、转动惯量保持不变的单个刚体。
当M
0时，J2
与角速度平方乘积的一半。
比较：
Ek
1 2
J 2
Ek
1 2
mv 2
二、转动惯量
对于质量元连续分布的刚体，其转动惯量可写成
J r2dm
其中r是质量元到转轴的距离。
刚体对某一转轴的转动惯量等于每个质元的质量
与这一质元到转轴的距离平方的乘积之总和。
与转动惯量有关的因素：实质与转动惯量有关的只
•刚体的质量
3
1 2
m(v02
v2 )
1 2
J
2
c hc
二式联立解得：
h’
h
v v0 , 3v0
b
2
2l
按机械能守恒，碰撞后摆锤达到的高度显然为
而杆的质心达到的高度满足
由此得
h
2hc
3h0 2
1 2
J 2
mghc
[例]如图示已知： M=2m，h， =60 ° 求：碰撞后瞬间盘的 0 ？ P 转到 x 轴时盘的 =? ?
O’
O
刚体的一般运动
既平动又转动：质心的平动加绕质心的转动
二、定轴转动的角量描述
转动平面
P
X
参考 转轴 方向
P X
Q
X
各质元的线速度、加速度一般不同， 但角量（角位移、角速度、角加速度）都相同
描述刚体整体的运动用角量最方便。
d
dt
dddt ddt22
dt
v r
角速度方向规定为沿轴方向， 指向用右手螺旋法则确定。
令
P、x 重合时
E =0。 P
则：
mgR sin
1 2
J
2 o
Fra Baidu bibliotek
1 2
J 2
(5)
由 (3)(4)(5) 得：
gh cos 2 g sin
2R2
R
1 .
g (h 4
3R)
2R 2
( 60o)
M mgR
g
J
2mR 2
2R
[例]已知：均匀直杆 m，长为 l，初始水平静止，轴光滑，
Ep mg
mi hi m
hc
mi yi m
h
mi
PC
hi hC
O
E p mghC
刚体的重力势能等于其重力与质心高度之积.
机械能守恒定律
若在刚体转动过程中,只有重力做功,其他非保守内 力不做功,则刚体在重力场中机械能守恒.
E
1 2
J 2
mghC
常量
一、 刚体的角动量定理
刚体绕定轴转动时,各质元某一瞬时均以相同的 角速度绕该定轴作圆周运动.
滑轮（当作均匀圆盘）上面绕有细
绳，绳的一端固定在滑轮边上，另
一端挂一质量为m的物体而下垂。
mg
忽略轴处摩擦，求物体m由静止下
落高度h时的速度和此时滑轮的角
速度。
解： 对M：M＝TR＝J
对m : mg T ma
J＝1 MR2 2
a R
解方程得：a
m
m M
2
g
mg
4mgh v 2ah
2m M
Li mi ri2
Lz Li miri2 Jz
i
Lz
i
J z
刚体对某定轴的角动量等于刚体对此轴的转动惯量
与角速度的乘积.
M
J
J
d
M
d
(J)
dL
dt
dt
dt
t2
Mdt
t1
L2 L1
dL
J2
J1
冲量矩,又叫角动量.
外力矩对系统的角冲量(冲量矩)等于角动量的增量.
若J可以改变,则
i
i
i
合外力矩M
0
J
M J M J J (miri2 )
i
M J
M J
刚体绕定轴转动时，作用于刚体上的合外力矩 等于刚体对转轴的转动惯量与角加速度的乘积。
刚体定轴转动的转动定律
M
J与
F
ma地位相当
m反映质点的平动惯性, J反映刚体的转动惯性.
转动定律应用举例
例1 一个质量为M、半径为R的定
解： m下落：
mgh
1 2
mv2
v 2gh (1)
碰撞 t 极小，对 m +盘系统，冲力远大于重力，故重力对 O力矩可忽略，角动量守恒：
mvRcos J o
(2)
J 1 MR2 mR2 2mR2
(3)
2
由 (1)(2)(3) 得：
o
2gh cos
2R
(4)
对 m+M+地球系统，只有重力做功， E守恒，
1、求质量为m、半径为R的均匀圆环的转动惯量。
轴与圆环平面垂直并通过圆心。
dl
解：细圆环 dm dl
R
JC R2dm R2dl
L
R2 dl R22R mR2
L
又解: J R2dm R2 dm mR2
J是可加的，所以若为薄圆筒（不计厚度）结果相同。
例2 求质量为m、半径为R、厚为l 的均匀圆盘 的转动惯量。轴与盘平面垂直并通过盘心。
2
2
mgL sin 3g sin
J
L
J 1 mL2 3
四、 力矩的功
dW
F•
dr
F ds
F rd
Md
Z
式中 F F cos
M F r
W 2 Md 1
O
rd P
dr
F
力矩做功是力做功的角量表达式.
力矩的瞬时功率 p dW M
dt
五、刚体定轴转动的动能定理
M J d J J d d J d
2
2
Z
r
Z
dZ J dJ
O
R
Y
R 1 (R2 Z 2 )2 dZ R2
X
8 R5 2 mR2
15
5
m 4 R3
3
4、求长为L、质量为m的均匀细棒对图中不同
轴的转动惯量。 解：取如图坐标
J r2dm
dm=dx
x dx
A L
B X
JA
L x2dx mL2 / 3
0
A
C
L/2