两个向量的数量积说课稿
两个向量的数量积说课稿6页
《两个向量的数量积》说课稿各位评委：您们好！我叫李健，来自川师成都学院。
今天我说课的课题是高二下册第九章第2节《两个向量的数量积》（第一课时），现我就教材分析、教学目标分析、教学重难点、教法与学法设计、教学过程、五个方面进行说明。
恳请在座的各位评委批评指正。
一、教材分析本节课是人教B版选修2-1第三章第1.3节的内容，是在学生学习了空间向量的线性运算和空间向量基本定理的基础上进一步学习的内容，是平面向量数量积及其研究方法的推广和拓展。
它丰富了学生的认知结构，为学生学习立体几何提供了新的视角、新的观点、新的方法，并且是本章和今后学习的重要基础。
二、教学目标介于本节课的重要地位和课程标准的要求，根据学生实际学习水平和思维特点，我确立本节课的教学目标如下：知识与技能：（1）掌握空间向量夹角和模的概念及表示方法；（2）掌握两个向量数量积的概念、性质和计算方法及运算律；（3）掌握两个向量数量积的主要用途，会用它解决立体几何中的一些简单问题。
过程与方法：（1）经历空间向量数量积知识的形成过程（2）体会低维与高维相互转化的思维过程（3）发展联想、类比、探究的能力、培养数学表达和交流能力（4）培养用联系的观点看问题，渗透数形结合的思想情感、态度：（1）激发学生求知欲，提高学习兴趣，树立学好数学的信心（2）认识数学的科学价值、应用价值，体会数学的理性精神三、教学重难点分析根据教材内容和学生观察、形象思维能力强，而空间想象能力不足的特点，我制定了以下重难点教学重点：两个向量的数量积的计算方法及其应用教学难点：（1）两个向量的数量积的几何意义（2）如何把立体几何问题转化为向量计算问题四、教法与学法分析教法：教学过程是教师和学生共同参与的过程，启发学生自主性学习,充分调动学生的积极性、主动性；有效地渗透数学思想方法，提高学生素质。
根据这样的原则和所要完成的教学目标，并为激发学生的学习兴趣，我采用如下的教学方法：1、情景教学法、问题教学法 2、讨论探究法、分层教学法 3、启发式教学法。
向量的数量积教学设计
向量的数量积教学设计向量是数学中的一个重要概念，它可以用来描述空间中的任何一个物理量，例如力、速度、加速度等。
向量的数量积是向量运算中的一种基本运算，本篇文章将从定义、性质、应用等方面对向量的数量积进行详细介绍。
一、定义向量的数量积，也叫点积或内积，是指两个向量的乘积再求和的结果。
假设有两个向量A和B，它们的数量积表示为A·B，计算公式为A·B=|A||B|cosθ，其中|A|和|B|分别表示向量A和B的模长，θ表示向量A和B之间的夹角。
二、性质1.数量积具有交换律，即A·B=B·A。
2.数量积具有分配律，即(A+B)·C=A·C+B·C。
3.数量积具有结合律，即k(A·B)=(kA)·B=A·(kB)，其中k为实数。
4.若向量A与向量B的数量积为0，则称A与B垂直或正交。
5.若向量A与向量B的夹角为锐角，则它们的数量积为正数；若夹角为钝角，则数量积为负数。
三、应用1.求向量的模长利用向量的数量积可以求向量的模长，|A|=√(A·A)。
2.求向量的夹角利用向量的数量积还可以求向量之间的夹角，cosθ=(A·B)/(|A||B|)，其中θ为夹角。
3.求向量的投影利用向量的数量积和向量的模长可以求出一个向量在另一个向量上的投影，投影的大小为|A|cosθ，方向与另一个向量相同。
4.判断向量之间的关系利用向量的数量积可以判断两个向量之间的关系，若A·B>0，则向量A和向量B同向；若A·B<0，则向量A和向量B反向；若A·B=0，则向量A和向量B垂直或正交。
向量的数量积是向量运算中的一种基本运算，它具有重要的应用价值。
无论是在物理学、工程学、计算机科学等领域，都有着广泛的应用。
因此，学习向量的数量积是非常有必要的。
人教版高二数学必修四《平面向量的数量积》说课稿
人教版高二数学必修四《平面向量的数量积》说课稿一、引入大家好，我是今天的数学课老师。
本节课我们将学习人教版高二数学必修四中的《平面向量的数量积》这一部分内容。
在这个章节中，我们将学习什么是向量的数量积以及它的性质和应用。
二、概述本节课的重点是向量的数量积。
首先，我们会详细介绍向量的数量积的定义及其几何意义。
然后，我们将讨论数量积的性质，包括交换律、分配律和数量积的几何性质。
最后，我们会应用数量积解决实际问题。
三、向量的数量积及其几何意义1. 向量的数量积定义向量的数量积，也叫点积或内积，定义为两个向量的长度乘积与它们夹角的余弦值的乘积。
记作 $ \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} $。
2. 向量的数量积几何意义向量的数量积有很重要的几何意义。
当两个向量夹角为锐角或直角时，数量积为正；当两个向量夹角为钝角时，数量积为负；当两个向量互相垂直时，数量积为零。
四、数量积的性质1. 交换律向量的数量积满足交换律，即 $ \mathbf{a} \cdot\mathbf{b} = \mathbf{b} \cdot \mathbf{a} $。
2. 分配律向量的数量积还满足分配律，即 $ \mathbf{a} \cdot(\mathbf{b} + \mathbf{c}) = \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} + \mathbf{a} \cdot \mathbf{c} $。
3. 数量积的几何性质数量积的几何性质包括向量的垂直、平行和夹角的余弦值。
•垂直性质：如果两个非零向量的数量积为零，那么它们垂直。
•平行性质：如果两个向量的数量积非零，那么它们平行。
•夹角余弦公式：数量积的定义可以进一步推导出夹角的余弦公式： $ \cos \theta = \frac{\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}}{|\mathbf{a}|\times |\mathbf{b}|} $。
向量的数量积与向量积教案
向量的数量积与向量积教案一、引言在学习向量的时候，除了了解向量的基本概念和运算法则，还需要掌握向量的数量积与向量积两种特殊的运算方式。
本教案将详细介绍向量的数量积与向量积的概念、性质及其在几何和物理问题中的应用。
二、向量的数量积1. 概念向量的数量积，又称为点积或内积，表示两个向量之间的乘积。
设有向量a、b，则a与b的数量积记作a·b，计算公式为：a·b = |a|·|b|·cosθ其中，|a|和|b|分别表示向量a和b的模长，θ为a与b之间的夹角。
2. 性质（1）交换律：a·b = b·a（2）分配律：a·(b + c) = a·b + a·c（3）数量积的零向量：若a·b = 0，则a与b垂直或其中一个是零向量。
（4）平行性判别：a·b = |a|·|b| 当且仅当 a与b平行或其中一个是零向量。
3. 应用举例（1）工作与力的夹角：设有一个施力向量F和一个位移向量d，则功W等于F·d。
（2）向量的投影：设向量a与b的夹角为θ，则a在b上的投影为|a|·cosθ。
三、向量的向量积1. 概念向量的向量积，又称为叉积或外积，表示两个向量之间的积。
设有向量a、b，则a与b的向量积记作a×b，计算公式为：|a×b| = |a|·|b|·sinθ其中，|a×b|表示a与b的向量积的模长，θ为a与b之间的夹角。
2. 性质（1）反交换律：a×b = -b×a（2）分配律：a×(b + c) = a×b + a×c（3）叉乘的零向量：若a×b = 0，则a与b平行或其中一个是零向量。
（4）垂直性判别：a与b的向量积为零当且仅当 a与b平行或其中一个是零向量。
3. 应用举例（1）面积计算：设有两个向量a和b，它们的向量积|a×b|表示以a和b为邻边的平行四边形的面积。
两个向量的数量积学案
两个向量的数量积【明确目标，有的放矢】 （大约2分钟）要求：把握本节课的目标，带着问题自学课本内容，关注教学教学重点，突破教学难点。
学习目标：掌握空间向量夹角的概念及表示方法，掌握空间向量数量积的概念、性质、计算方法及运算率；初步掌握空间向量数量积的用途，会用它解决立体几何中的一些简单问题.教学重点：空间两个向量的夹角、数量积的概念、计算方法及其应用．教学难点：空间两个向量数量积的几何意义以及把立体几何问题转化为向量计算问题. 一、复习引入1．复习平面向量的夹角和平面向量的数量积的概念？2．向量a 与b 的数量积几何意义：已知向量AB＝a 和轴l ，e 是l 上和l 同方向的单位向量．作点A 在l 上的射影A ′，点B 在l上的射影B ′，则''A B叫做___________________.3 .平面向量数量积的性质： 4. 平面向量数量积的运算律： 5. 正四面体的画法及理解。
【通读教材，学习新知】（大约15分钟）要求:1．读教材52、54页内容，填写以下内容。
2．上课时小组代表展示学习成果。
3．不明白的问题课间小组内交流，不能解决的请组长将问题报给课代表，由课代表汇总后上交老师，上课时提出共同讨论解决。
二、概念形成与深化1．空间向量的夹角的定义：（1）已知两非零向量b a ，，在空间任取一点O ，作射线OA 、OB ，则 叫做向量b a与的夹角，记作且规定 ，显然有.当＜a ，b ＞＝０时，a 与b ；当＜a ，b ＞＝π时，a 与b ； （2）两个向量的夹角唯一确定且＜a ，b ＞＝＜b ，a ＞．思考：上图中>=<∠OB OA AOB ,，下图中∠AOB 还是两向量的夹角吗？（3）b a与互相垂直：若= ，则称b a 与互相垂直，记作： 。
异面直线： 。
异面直线所成的角： 。
异面直线所成角的取值范围 。
两条异面直线互相垂直 。
(做例1及练习） 2.两个向量的数量积 已知空间两个向量b a，，总可以把它们平移到一个平面内，把平面向量数b a ∙叫做__ .记作b a∙，即b a ∙= ．空间向量数量积的性质：（1） 。
高二数学空间向量教案(一-两个向量的数量积)
高二数学空间向量教案（一-两个向量的数量积）空间向量教案一:两个向量的数量积(关键要设基底,把要求的量用基底表示)考点一：空间向量数量积的定义、运算律及性质例1：已知向量ab,a,c3,b,c6,且|a|1,|b|2,|c|3，求向量abc的模解：依题意|abc|2(abc)21763，所以|abc|1763考点二：垂直问题例1：已知空间四边形OABC中，M、N、P、Q分别为BC、AC、OA、OB的中点,若AB=OC,求证:PMQN.O证明:如图,设OAa,OBb,OCc,又P、M分别为OA、BC的中点，1PMOMOP[(ba)c].P2Q1同理，QN[(ba)c].CA2NM1PMQN[|ba|2|c|2]B4又AB=OC，即|ba||c|,PMQN0,PMQN,即PMQN.考点三：夹角问题例1：如图，已知E是正方体ABCDA试求向量AC的棱C1D1的中点，1B1C1D111与DE所成的角。
AD解:设正方体的棱长为m,ABa,ADb,AA1c,则|a||b||c|m,abbcac0aB又AC11A1B1B1C1ab,DEDD1D1ECC2A1D112125ACDEam,又|AC|2m,|DE|m1111222EB1C11coAC11,DEAC1011DE10|AC11||DE|1010AC11与DE所成的角为arcco考点四：长度问题例1：如图（1），在ABC中，C＝60，CD为C的平分线，AC=4，BC＝２.过B点作BNCD,垂足为N，BN的延长线交CA于点E,将图形沿CD折起，使BNE120,求折后所得线段AB的长度。
AMCD解：如图（2），过点A作，垂足为MAM，则ACni302MNMCCN4co302co303,NB2in301又AM∥NE,AM,NB=EN,NB=60|AB||AMMNNB|10,即AB的长度为10。
〈〉〈〉BCBDNEMDNECAA(2)二:空间向量的坐标运算考点一：平行问题例1：如图所示，在长方体OAEBO1A点P在棱AA1上，且中，|OA|=3,|OB|=4,|OO|=2,1E1B11O1证明：如图，建立空间直角坐标系，则A(3,0,0),B(0,4,0),O1(0,0,2),A1(3,0,2),B1(0,4,2)由定比分点公式得，P3,0,,Q0,2,2,R3,2,0,S0,4,.|AP|2|PA1|,点S在棱BB1上，且|SB1|2|BS|,点Q、Ｒ分别是棱O1B1、AE的中点。
《向量数量积的概念》 说课稿
《向量数量积的概念》说课稿尊敬的各位评委老师：大家好！今天我说课的课题是《向量数量积的概念》。
下面我将从教材分析、学情分析、教学目标、教学重难点、教法与学法、教学过程以及教学反思这几个方面来展开我的说课。
一、教材分析本节课选自人教版高中数学必修 4 第二章第四节。
向量是近代数学中重要和基本的数学概念之一，它是沟通代数、几何与三角函数的一种工具，有着极其丰富的实际背景。
向量数量积是向量运算的重要内容，它不仅在解决几何问题中有着广泛的应用，而且为后续学习向量的坐标运算、向量的模以及夹角等知识奠定了基础。
二、学情分析学生在之前已经学习了向量的线性运算，对向量的概念和运算有了一定的了解，但对于向量数量积这一新概念的理解和应用可能会存在一定的困难。
此外，学生的抽象思维能力和逻辑推理能力还有待进一步提高。
三、教学目标1、知识与技能目标（1）理解向量数量积的概念，掌握向量数量积的运算律。
（2）能够运用向量数量积的定义和运算律进行计算和证明。
2、过程与方法目标（1）通过物理实例引入向量数量积的概念，培养学生的数学建模能力和从实际问题中抽象出数学问题的能力。
（2）通过对向量数量积性质的探究，培养学生的逻辑推理能力和运算能力。
3、情感态度与价值观目标（1）让学生体会数学与物理的密切联系，激发学生学习数学的兴趣。
（2）培养学生严谨的治学态度和勇于探索的精神。
四、教学重难点1、教学重点向量数量积的概念及其运算律。
2、教学难点对向量数量积概念的理解以及向量数量积的应用。
五、教法与学法1、教法（1）启发式教学法：通过创设问题情境，引导学生思考和探究，激发学生的学习兴趣和主动性。
（2）讲授法：对于一些重要的概念和定理，通过教师的讲解，让学生能够准确理解和掌握。
2、学法（1）自主探究法：让学生通过自主思考和探究，理解向量数量积的概念和性质。
（2）合作学习法：组织学生进行小组讨论和合作学习，培养学生的合作意识和交流能力。
六、教学过程1、导入新课通过回顾物理中力做功的公式：＼（W ＝｜F|＼cdot|s|＼cos\theta\），其中\（F\）是力的大小，＼（s\）是位移的大小，＼（＼theta\）是力与位移的夹角。
人教B版(2019)_向量的数量积_PPT说课稿1
1
F θ
O 位移S
A
问:
一个物体在力F 的作用下产生的位移
为S，那么力F 所做的功应当怎样计算？
力所做的功：W = |F||S|cos，是F与
S的夹角.
2
1.向量数量积的定义
已知两个非零向量 a 与 b ，它们的夹
角为θ，我们把数量 a b cos
叫做 a 与 b 的数量积（或内积），记作
一个物体在力F 的作用下产生的位移为S，那么力F 所做的功应当怎样计算？
（4）两非零向量的夹角的取值范围是
3.平面向量数量积的几何意义：
b在a方向 上的投影
B
b
有向线段OB1的值
╮
O
B1 a A
| b | cos
|a|
记作a b
a b | a || b | cos 叫a与b数量积
a b的几何意义： 两个向量a b的数量积是其中的一个向
分别说出下列各组中两个向量 和 的
一个物体在力F 的作用下产生的位移为S，那么力F 所做的功应当怎样计算？
| a || b | cos 5 2 cos 60 （4）两非零向量的夹角的取值范围是
(2) 两个向量的数量积称为内积，写成 “ ”;
（4）两非零向量的夹角的取值范围是
分别说出下列各组中两个向量 和 的
2
③ 时，| b | cos 0, a b 0
2
例2.已知 | a | 3,| b | 5且满足 a b 12， 求a在b的方向上的投影.
| a | cos a b 12
|b| 5
练习1：已知正ABC的边长为6, M在线段BC上，
且BM =2，求：AB BM。
数量积的概念说课稿
数量积的概念说课稿数量积，又称内积、点乘或标量积，是线性代数中常见的概念之一。
它是定义在向量空间中的两个向量上的一种运算，旨在衡量两个向量之间的相似性或夹角的大小。
下面将详细介绍数量积的定义、性质、计算方法及其在几何学和物理学中的应用。
一、定义及性质：在二维和三维欧几里得空间中，设有两个向量A和B，其坐标分别为(A1, A2, A3)和(B1, B2, B3)。
则向量A和向量B的数量积(内积)定义为：A·B = A1B1 + A2B2 + A3B3其中，·表示数量积运算。
该运算是可交换的，即A·B = B·A。
同时，数量积还有以下一些性质：1. 对于任意向量A，A·A≥0，并且只有当A=0时，A·A=0。
2. 对于任意向量A和B，A·B = 0当且仅当A和B垂直(夹角为90)。
3. 对于任意向量A和B，A·(B+C) = A·B + A·C (分配律)。
4. 对于任意向量A和标量k，(kA)·B = k(A·B) = A·(kB) (结合律)。
以上性质使得数量积成为处理向量相关问题的有力工具。
二、计算方法：1. 坐标法：根据数量积的定义，可直接利用向量的坐标进行计算。
分别对应位置元素相乘，并将乘积相加即可。
2. 分解法：可将向量A和向量B分解为水平和垂直分量。
设A的水平分量为A1，垂直分量为A2；B的水平分量为B1，垂直分量为B2。
则A·B =(A1+B1)·(A2+B2) = A1B1 + A2B2，即可通过水平和垂直分量的乘积相加来简化计算。
3. 几何法：根据向量长度和夹角的定义，可通过数量积来计算向量的模长和夹角。
设向量A的模长为A ，向量B的模长为B ，Ax和Ay分别为A在x轴和y轴的投影长度，Bx和By分别为B在x轴和y轴的投影长度，θ为A和B之间的夹角，则有A·B = A B cosθ。
高中数学《平面向量》教案：向量的数量积和向量积
高中数学《平面向量》教案：向量的数量积和向量积一、教学目标本课程旨在让学生掌握向量的数量积和向量积的概念、性质和使用方法，特别是向量积在求解平面中的面积和三角形的重心、外心、垂心等几何中的应用。
二、教学内容1. 向量的数量积向量的数量积是指两个向量的数量乘积，即A·B =|A||B|cosθ。
其中，cosθ是两个向量夹角的余弦值。
向量的数量积满足以下几个性质：(1) A·B = B·A，即数量积满足交换律；(2) A·(kB) = k(A·B) = (kB)·A，其中k是常数；(3) A·A = |A|^2即自己与自己的数量积等于向量的长度的平方。
2. 向量的向量积向量的向量积是指两个向量所形成的平行四边形的面积的大小，方向垂直于这两个向量构成的平面。
向量的向量积满足以下几个性质：(1) A×B = -B×A，即向量积满足反交换律；(2) A×(kB) = k(A×B) = (kB)×A，其中k是常数；(3) A×B = 0 当且仅当两个向量共线；(4) A×B的大小等于|A||B|sinθ，其中θ是两个向量所夹角的大小。
三、教学方法1. 以具体的例子讲解向量的数量积和向量积的含义和性质；2. 通过多个实例演示向量的数量积和向量积在几何中的应用；3. 帮助学生理解向量数量积和向量积的物理意义。
四、教学步骤1. 向量的数量积(1) 向量的数量积的概念和性质；(2) 数量积的计算方法和几何意义；(3) 举例说明向量数量积的应用在平面几何和物理中的场景。
2. 向量的向量积(1) 向量的向量积的概念和性质；(2) 向量积的计算方法和几何意义；(3) 举例说明向量的向量积的应用在平面几何和物理中的场景。
五、教学重点和难点1. 向量的数量积的概念、性质和应用；2. 向量的向量积的概念、性质和应用；3. 向量的数量积和向量积在几何中的应用。
两个向量的数量积 说课稿
《两个向量的数量积》说课稿一、教材分析（一）教材的地位和作用《两个向量的数量积》是人民教育出版社高中数学第二册（下）、第九章第5节第4课时的内容。
它既是《空间的直线与平面》在知识上的延伸和发展，又是本节《空间向量》的运用与巩固，也为下一节《夹角与距离》的教学作铺垫，起着链条的作用。
同时，这部分内容较好地反映了平面与空间的内在联系和相互转化，蕴含着类比、归纳、转化、数形结合等丰富的数学思想方法，能较好地培养学生的观察能力、概括能力、探究能力及创新意识。
概括地讲，本节课内容的地位体现在它的基础性，作用体现在它的工具性。
（二）学情分析学生在学习本节内容之前，已熟知了实数的运算体系，掌握了向量的概念及其线性运算，具备了功等物理知识，并且初步体会了研究向量运算的一般方法。
在功的计算公式和研究向量运算的一般方法的基础上,学生基本上能类比得到数量积的含义和运算律,对于运算律不一定给全或给对,对运算律的证明可能会存在一定的困难,教学中老师要注意引导学生分析判断.二、教学目标分析根据课程标准的要求、本教材的特点和高二学生的认知规律，本课的教学目标确定为：知识与技能：理解数量积的含义；掌握数量积的性质和运算律。
数学思想：通过类比的数学思想，培养学生抽象概括、理论推理能力。
问题解决：能运用性质和运算律进行相关的判断和运算。
情感目标：从数学和物理两个角度创设问题情景来引入数量积概念能激发学生的学习兴趣。
通过安排学生讨论影响数量积结果的因素并完成表格和将数量积的几何意义提前有助于学生更好理解数量积的结果是数量而不是向量，培养学生的合作意识和创新精神。
三、重难点分析本节课的重点是掌握平面向量数量积的概念、用平面向量数量积表示向量的模及夹角，难点是平面向量数量积的定义及运算律的理解，平面向量数量积的应用。
四、教法设计1、创设问题情境。
按照两个向量的数量积在生活中的实际背景给出一个实例，充分调动学生的学习兴趣，激发学生的探究心理，顺利引入课题。
向量的数量积教案
向量的数量积教案教案标题：向量的数量积教案一、教学目标：1. 理解向量的数量积的概念和性质；2. 掌握向量的数量积的计算方法；3. 运用向量的数量积解决几何和物理问题。
二、教学准备：1. 教材：教科书、教学参考书；2. 教具：黑板、白板、教学投影仪、计算器；3. 知识点讲解的例题和练习题。
三、教学过程：1. 导入（5分钟）向学生简要介绍向量的数量积是什么，为何重要以及在哪些应用中会使用到，引发学生对本课内容的兴趣。
2. 理论讲解（15分钟）对向量的数量积的概念进行详细的讲解，包括定义、计算公式、性质等。
强调其与向量的夹角之间的关系和两个向量之间数量积的几何意义。
3. 示例演练（20分钟）通过几个具体的例子，让学生熟悉如何计算向量的数量积，重点讲解一些常见的特殊情况，如零向量与其他向量的数量积为零等。
4. 练习与巩固（15分钟）提供一定数量的练习题，让学生独立完成，巩固所学知识。
教师可以根据学生的进度进行辅导和解答。
5. 拓展应用（10分钟）引导学生思考如何应用向量的数量积解决几何和物理问题，如求两条直线的夹角、判断两条向量的垂直关系等。
6. 总结与讨论（5分钟）与学生一起总结本节课的重点内容和要点，解答学生提出的问题。
可以进行小组或全班讨论，鼓励学生发表观点和提出疑问。
四、课堂作业：布置一定数量的课后作业，要求学生综合应用向量的数量积解答问题。
可以包括计算题和应用题。
五、板书设计：在黑板或白板上，清晰地书写本节课的重点知识和公式，以供学生复习和记忆。
六、教学反思：通过本节课的教学，学生掌握了向量的数量积的计算方法和应用技巧，提高了解决问题的能力。
在以后的教学中，可以结合具体应用情境，引导学生进一步思考和探索向量的数量积的应用。
湘教版高中高一数学必修二《向量的数量积》说课稿
湘教版高中高一数学必修二《向量的数量积》说课稿一、教材分析《向量的数量积》是湘教版高中高一数学必修二中的一章内容。
在这一章中，学生将学习到计算向量的数量积的方法和性质，掌握数量积的几何意义和应用。
根据教材中的内容安排，本章的主要目标如下： 1. 了解向量的数量积的定义； 2. 掌握计算向量的数量积的方法； 3. 理解向量的数量积的几何意义； 4. 学会应用向量的数量积解决实际问题。
二、教学目标根据教材分析，我们可以确定本节课的教学目标： 1. 知识与技能：学生能够准确理解向量的数量积的定义，能够熟练计算向量的数量积； 2. 过程与方法：学生能够通过几何方法理解向量的数量积的几何意义，能够应用向量的数量积解决实际问题； 3. 情感态度价值观：培养学生正确的数学学习兴趣和学习态度，提高学生解决实际问题的能力。
三、教学重点与难点本节课的教学重点和难点如下： 1. 教学重点：向量的数量积的定义，计算向量的数量积的方法； 2. 教学难点：向量的数量积的几何意义，应用向量的数量积解决实际问题。
四、教学过程本节课的教学过程安排如下：1. 热身与导入 (5分钟)通过展示一幅运动员奔跑的图片，引发学生对向量的讨论，提出问题：“你们觉得运动员在比赛过程中遇到的问题可以用向量表示吗？有哪些运动员的物理量可以用向量表示？”鼓励学生积极参与讨论。
2. 知识讲解 (10分钟)在学生对向量有一定认识的基础上，通过讲解向量的数量积的定义来引入本节的主题。
重点解释数量积的概念和意义，并举例说明如何计算数量积。
3. 计算练习 (15分钟)将学生分成小组，发放习题册，让学生通过小组讨论来计算向量的数量积。
教师巡回指导，及时解答学生的疑惑，并给予肯定和鼓励。
4. 几何意义解释 (15分钟)通过几何方法解释向量的数量积的几何意义。
引导学生思考，通过数量积的计算结果，能否判断两个向量之间的夹角大小，从而引出余弦定理的概念。
5. 应用实例讨论 (15分钟)给出实际问题，要求学生运用向量的数量积解决问题。
高二数学教案 9.5两个向量的数量积
§9.5两个向量的数量积教学目的：⒈掌握空间向量夹角和模的概念及表示方法；⒉掌握两个向量数量积的概念、性质和计算方法及运算律；⒊掌握两个向量数量积的主要用途，会用它解决立体几何中的一些简单问题．教学重点：两个向量的数量积的计算方法及其应用．教学难点：两个向量数量积的几何意义．授课类型：新授课课时安排：1课时教具：多媒体、实物投影仪教学过程：一、复习引入：1．空间向量的概念：在空间，我们把具有大⑶空间的两个向量可用同一平面内的两条有2．空间向量的运算定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘向量运算如下b a +=+=;b a -=-=;)(R a ∈=λλ运算律：⑴加法交换律：a b b a +=+ ⑵加法结合律：)()(c b a c b a ++=++ ⑶数乘分配律：b a b aλλλ+=+)( 3．平行六面体：平行四边形ABCD 平移向量a 到D C B A ''''的轨迹所形成的几何体，叫做平行六面体，并记作：ABCD －D C B A ''''4. 平面向量共线定理方向相同或者相反的非零向量叫做平行向量．由于任何一组平行向量都可以平移到同一条直线上，所以平行向量也叫做共线向量．向量b 与非零向量a 共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使b ＝λa . 要注意其中对向量a 的非零要求．5 共线向量如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量．a 平行于b 记作b a //．当我们说向量a 、b 共线（或a //b ）时，表示a 、b 的有向线段所在的直线可能是同一直线，也可能是平行直线．6． 共线向量定理：空间任意两个向量a 、b （b≠0 ），a //b 的充要条件是存在实数λ，使a ＝λb . 推论：如果l 为经过已知点A 且平行于已知非零向量a 的直线，那么对于任意一点O ，点P在直线l 上的充要条件是存在实数t 满足等式t +=a ．其中向量a 叫做直线l 的方向向量.空间直线的向量参数表示式：t +=a 或)(t -+=t t +-=)1(，中点公式．)(21OB OA OP +=7．向量与平面平行：已知平面α和向量a，作=，如果直线OA平行于α或在α内，那么我OA a们说向量a平行于平面α，记作：//aα．通常我们把平行于同一平面的向量，叫做8．共面向量定理：如果两个向量,a b不共线，p与向量,a b共面的充要条件是存在实数,x y使=+p xa yb推论：空间一点P位于平面MAB内的充分必要条件是存在有序实数对,x y，使MP xMA yMB=+①或对空间任一点O，有OP OM xMA yMB=++②或,(1)=++++=③OP xOA yOB zOM x y z上面①式叫做平面MAB的9 空间向量基本定理：如果三个向量,,a b c不共面，那么对空间任一向量p，存在一个唯一的有序实数组,,x y z ，使p xa yb zc =++若三向量,,a b c 不共面，我们把{,,}a b c 叫做空间的一个基底，,,a b c 叫做基向量，空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个 推论：设,,,O A B C 是不共面的四点，则对空间任一点P ，都存在唯一的三个有序实数,,x y z ，使OP xOA yOB zOC =++二、讲解新课：1 空间向量的夹角及其表示：已知两非零向量,a b ，在空间任取一点O ， 作,OA a OB b ==，则AOB ∠叫做向量 a 与b 的夹角，记作,a b <>；规定0,a b π≤<>≤，显然有,,a b b a <>=<>； 若,2a b π<>=，则称a 与b 互相垂直，记作：a b ⊥. 2．向量的模：设OA a=，则有向线段OA的长度叫做向量a的长度或模，记作：||a.3．向量的数量积：已知向量,a b，则||||cos,⋅⋅<>叫做,a b的数量a b a b积，记作a b⋅，即a b⋅=||||cos,⋅⋅<>．a b a b已知向量AB a=和轴l，e是l上与l同方向的单位向量，作点A在l上的射影A'，作点B在l上的射影B'，则A B''叫做向量AB在轴l上或在e上的正射影.可以证明A B''的长度||||cos,||''=<>=⋅．A B AB a e a e 4．空间向量数量积的性质：（1）||cos,⋅=<>．a e a a e（2）0⊥⇔⋅=．a b a b（3）2=⋅．||a a a5．空间向量数量积运算律：（1）()()()a b a b a b λλλ⋅=⋅=⋅．（2）a b b a ⋅=⋅（交换律）．（3）()a b c a b a c ⋅+=⋅+⋅（分配律）．三、讲解范例：例1 用向量方法证明：直线和平面垂直的判定定理已知：,m n 是平面α内的两条相交直线，直线l 与平面α的交点为B ，且,l m l n ⊥⊥求证：l α⊥．证明：在α内作不与,m n 重合的任一直线g ，在,,,l m n g 上取非零向量,,,l m n g ，∵,m n 相交，∴向量,m n 不平行，由共面定理可知，存在唯一有序实数对(,)x y ，使g xm yn =+， ∴l g xl m yl n ⋅=⋅+⋅，又∵0,0l m l n ⋅=⋅=，∴0l g ⋅=，∴l g ⊥，∴l g ⊥，所以，直线l 垂直于平面内的任意一条直线，即得l α⊥．例2．已知空间四边形ABCD 中，AB CD ⊥，AC BD ⊥，求证：AD BC ⊥．证明：（法一）()()AD BC AB BD AC AB ⋅=+⋅-2AB AC BD AC AB AB BD =⋅+⋅--⋅()0AB AC AB BD AB DC =⋅--=⋅=．（法二）选取一组基底，设,,AB a AC b AD c ===， ∵AB CD ⊥，∴()0a c b ⋅-=，即a c b a ⋅=⋅，同理：a b b c ⋅=⋅， ∴a c b c ⋅=⋅，∴()0c b a ⋅-=，∴0AD BC ⋅=，即AD BC ⊥．说明：用向量解几何题的一般方法：把线段或角度转化为向量表示，并用已知向量表示未知 例3．如图，在空间四边形OABC 中，8OA =，6AB =，4AC =，5BC =，45OAC ∠=，60OAB ∠=，求OA 与BC 的解：∵BC AC AB =-，∴OA BC OA AC OA AB ⋅=⋅-⋅||||cos ,||||cos ,OA AC OA AC OA AB OA AB =⋅⋅<>-⋅⋅<> 84cos13586cos12024162=⨯⨯-⨯⨯=-∴243cos ,855||||OA BC OA BC OA BC ⋅--<>===⨯⋅， 所以，OA 与BC 的夹角的余弦值为35-．说明：由图形知向量的夹角时易出错，如,135OA AC <>=易错写成,45OA AC <>=，切记！四、课堂练习：1．已知向量a b ⊥，向量c 与,a b 的夹角都是60，且||1,||2,||3a b c ===，试求：（1）2()a b +；（2）2(2)a b c +-；（3）(32)(3)a b b c -⋅-． 解：∵向量a b ⊥，向量c 与,a b 的夹角都是60，且||1,||2,||3a b c ===， ∴22231,4,9,0,,32a b c a b a c b c ===•=•=•= （1）222()2a b a a b b +=+•+1045=++=；（2）2(2)a b c +-=222(2)2224a b c a b a c b c +++•-•-• ＝1+16+9+0-3-12=11；（3）(32)(3)a b b c -⋅-=2333223a b a c b b c •-•-+•＝0-272-8+18=722.已知线段AB 、BD 在平面αBD ⊥AB ，线段AC ⊥α，如果AB=a,BD=b,AC=c,求C 、D 间的距离.解：∵AC α⊥，,AB BD α⊂,∴,AC AB AC BD ⊥⊥，又∵AB BD ⊥,∴0,0AC AB AC BD •=•=，0AB BD •=,∴22||()CD CD CD CA AB BD =•=++=222c a b ++. ∴||CD =五、小结 ：由于空间任意两个向量都可以转化为共面向量，所以空间两个向量的夹角的定义、取值范围、两个向量垂直的定义和表示符号及向量的模的概念和表示符号，两个向量的数量积的意义等，都与平面向量是相同的．六、课后作业：七、板书设计（略）八、课后记：。
【B版】人教课标版高中数学选修2-1《两个向量的数量积》教案1-新版
3.1.3两个向量的数量积一、教学目标1.掌握空间向量夹角和模的概念及表示方法；2.掌握两个向量数量积的概念、性质和计算方法及运算律；3.掌握两个向量数量积的主要用途，会用它解决立体几何中的一些简单问题．二、教学重点两个向量的数量积的计算方法及其应用．三、教学难点两个向量数量积的几何意义．四、教学过程（一）复习引入：1.空间向量的概念：2.空间向量的运算：（1）加法；（2）减法；（3）数乘3.共线向量定理：空间任意两个向量a //b （b ≠0 ）<=>存在实数λ，使a ＝λb .4.共面向量定理：如果两个向量,a b 不共线，p 与向量,a b 共面<=>存在实数,x y 使p xa =+5.空间向量基本定理：如果三个向量,,a b c 不共面，那么对空间任一向量p ，存在一个唯一的有序实数组,,x y z ，使p xa yb zc =++ 若三向量,,a b c 不共面，我们把{,,}a b c 叫做空间的一个基底，,,a b c 叫做基向量，空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底（二）讲解新课这节课我们来学习向量的第四种运算，两个向量的数量积。
首先请同学们回忆，在平面向量中，如何定义两个平面向量的数量积的？已知向量,a b ，则||||cos ,a b a b ⋅⋅<>叫做,a b 的数量积，记作a b ⋅，即a b ⋅=||||cos ,a b a b ⋅⋅<>．由于两个空间向量,a b 总可以平移到同一个平面内，因此平面向量的数量积a b ⋅=||||cos ,a b a b ⋅⋅<>就是两个空间向量的数量积.但如何定义空间中两个向量的夹角呢？想想我们是如何定义平面向量的夹角的？由于空间任意两个向量都可以转化为共面向量，所以空间两个向量的夹角的定义、取值范围、两个向量垂直的定义和表示符号及向量的模的概念和表示符号，两个向量的数量积的意义等，都与平面向量是相同的．1.空间向量的夹角：已知两非零向量,a b ，在空间任取一点O ，作,OA a OB b==，则AOB ∠叫做向量a 与b 的夹角，记作,a b <>； (1)范围：规定0,a b π≤<>≤；(2)显然有,,a b b a <>=<>；(3)若,2a b π<>=，则称a 与b 互相垂直，记作：a b ⊥.2.空间向量的数量积：已知向量,a b ，则||||c o s ,a b a b ⋅⋅<>叫做,a b 的数量积，记作a b ⋅，即a b ⋅=||||cos ,a b a b ⋅⋅<>．说明：两个向量的数量积是一个实数.3.空间向量数量积的性质：(1)||cos ,a e a a e ⋅=<>．(2)0a b a b ⊥⇔⋅=．(3)2||a a a =⋅．≤4.空间向量数量积运算律：(1)()()()a b a b a b λλλ⋅=⋅=⋅．(2)a b b a ⋅=⋅（交换律）．(3)()a b c a b a c ⋅+=⋅+⋅（分配律）．（三）讲解范例：例1.在正方体AC /中，求下列各对向量的夹角：（1）><//,C A ；（2）><//,A C ；（3）><//,D A ；（4）><//,A B ；例2.已知平面βα⊥，l =βα ，点A 、B 在α内，它们在l 上的正射影分别为//B A ，；点C 、D 在β内，它们在l 上的正射影分别为//D C ，，求证：////D C B A CD AB ⋅=⋅例 3.如图，在空间四边形OABC 中，8OA =，6AB =，4AC =，5BC =，45OAC ∠=，60OAB ∠=，求OA 与BC解：∵BC AC AB =-，∴OA BC OA AC OA AB ⋅=⋅-⋅ ||||cos ,||||cos ,OA AC OA AC OA AB OA AB =⋅⋅<>-⋅⋅<>84cos13586cos12024162=⨯⨯-⨯⨯=- ∴243cos ,855||||OA BC OA BC OA BC ⋅--<>===⨯⋅， 所以，OA 与BC 的夹角的余弦值为35-． 说明：由图形知向量的夹角时易出错，如,135OA AC <>=易错写成,45OA AC <>=，切记！例4．已知空间四边形ABCD 中，AB CD ⊥，AC BD ⊥，求证：AD BC ⊥． 证明：（法一）()()AD BC AB BD AC AB ⋅=+⋅-2A B A C B D A C A B A B B D =⋅+⋅--⋅ ()0A B A C A B B D A B D C =⋅--=⋅=．（法二）选取一组基底，设,,AB a AC b AD c ===，∵AB CD ⊥，∴()0a c b ⋅-=，即a c b a ⋅=⋅，同理：a b b c ⋅=⋅， ∴a c b c ⋅=⋅，∴()0c b a ⋅-=，∴0AD BC ⋅=，即AD BC ⊥． 说明：用向量解几何题的一般方法：把线段或角度转化为向量表示，并用已知向量表示未知向量，然后通过向量运算取计算或证明五、教学总结由于空间任意两个向量都可以转化为共面向量，所以空间两个向量的夹角的定义、取值范围、两个向量垂直的定义和表示符号及向量的模的概念和表示符号，两个向量的数量积的意义等，都与平面向量是相同的．A。
2012年6月两个向量的数量积(说课稿)
两个向量的数量积一、教材分析《两个向量的数量积》是人教版高中数学第二册（下）第九章第五节空间向量及其运算中的一小节内容，在此之前已经学习的空间向量的加减与数乘运算、共线和共面向量以及空间向量的基本定理。
空间两个向量的夹角、数量积是高中数学向量的重要内容，也是高考的重要考查内容。
从知识的网络结构上看，空间向量夹角、数量积既是平面向量夹角、数量积概念的延续和拓展，又是后续空间向量数量积的计算坐标化和空间向量在立体几何中应用的教学基础，因此，本节课的内容十分重要，它对知识起到了承上启下的作用。
二、教学目标本节课所面向的是高中二年级的学生，他们有一定抽象思维能力，而形象思维在学习中占有不可替代的低位，所以教师应紧紧抓住数形结合的方法进行引导。
根据教学大纲的要求、学生的实际水平以及上述教材的分析，确定本节课的教学目标为：1.知识目标①掌握空间向量夹角和模的概念及表示方法；空间向量的数量积公式及向量的夹角公式②握空间向量的数量积及其运算律，并且运用公式解决立体几何中的有关问题2.能力目标①比较平面、空间向量，培养学生观察、分析、类比转化的能力②探究空间几何图形，将几何问题代数化，提高分析问题、解决问题的能力3.情感目标①激发学生的学习热情和求知欲，培养严谨的学习态度以及空间想象的能力②提高学生的空间想象力，培养学生探索精神和创新意识三、教学重点、难点根据这节课内容特点及学生的认知规律，学生对抽象的反函数缺乏感性认识，为此在教学过程中让学生自己去感受反函数的性质。
根据以上目标和大纲要求确定如下重难点：重点：空间两个向量的夹角、数量积的概念、计算方法及其应用难点：空间向量数量积的几何意义以及立体几何问题的转化下面，为了讲清楚重点、难点，使学生能达到本节课设定的教学目标，我再从教法和学法上谈谈：四、教法、学法本节课为新授课。
在整个新知形成过程中，教师的身份始终是设计者、组织者、引导者、合作者。
为提高学生、形数转化、分析归纳及语言表述等基本的数学思维能力，针对本节课知识类比特点，我采用学生回答、学生补充教师总结与多媒体辅助教学Powerpoint等教学手段，激发起学生学习的积极性，使之从感性到理性抽象概括，总结规律。
人教版高中选修(B版)2-13.1.3两个向量的数量积课程设计 (2)
人教版高中选修(B版)2-13.1.3两个向量的数量积一、课程设计目的本次课程设计旨在让学生掌握两个向量的数量积的概念、性质和计算方法，理解向量的内积与向量夹角的关系，通过实际问题的探究和解决，提高学生的运算能力和实际应用能力。
二、教学内容1.两个向量的数量积的概念和性质。
2.两个向量的数量积计算方法。
3.向量的内积与向量夹角的关系。
三、教学目标1.掌握两个向量的数量积的定义和性质。
2.熟练掌握两个向量的数量积计算方法。
3.理解向量的内积与向量夹角的关系。
4.能够应用两个向量的数量积计算实际问题。
四、教学重点和难点1.两个向量的数量积的计算方法。
2.向量的内积与向量夹角的关系。
五、教学方法1.教师讲授。
2.课堂练习。
3.实际问题探究。
六、教学过程1. 课前预习1.请同学们预习与本课程相关的知识点，了解向量的基本概念和性质。
2.让同学们查阅相关资料，了解向量的内积概念和计算方法。
2. 导入新课1.教师通过引入实际问题，向学生阐述向量的内积概念。
2.教师带领学生探究向量的内积与向量夹角的关系。
3. 讲解新课1.教师讲解两个向量的数量积的定义和性质。
2.教师讲解两个向量的数量积计算方法。
4. 操作练习1.教师带领学生完成两个向量的数量积计算实际问题的练习。
2.学生自主完成课堂练习。
5. 总结1.教师对本节课学习内容进行总结。
2.教师强调学生对向量的数量积的理解和掌握重要性。
七、教学评价1.观察学生在课堂上的表现。
2.对学生课堂练习情况进行评价。
3.课外作业的评价。
八、教学反思1.教师需要进一步完善教材和教学方法，提高课程的针对性。
2.针对学生的学习特点，教师需要适应不同的教学方式，帮助学生更好地掌握知识点。
3.教师需要根据学生的学习反馈及时调整课程的教学策略，提高教学效果。
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两个向量的数量积
一、教材分析
空间两个向量的夹角、数量积是高中数学向量的重要内容，也是高考的重要考查内容。
从知识的网络结构上看，空间向量夹角、数量积既是平面向量夹角、数量积概念的延续和拓展，又是后续空间向量数量积的计算坐标化和空间向量在立体几何中应用的教学基础。
二、教学目标
根据上述教材分析，考虑到学生已有的认知心理特征，制定如下教学目标：1.知识目标：掌握空间向量夹角和模的概念及表示方法；掌握空间向量的数量积
及其运算律。
2.能力目标：体会类比和归纳的数学思想，并能利用两个向量的数量积公式解决立体几何中的一些简单问题。
3.情感目标：激发学生的学习热情和求知欲，培养严谨的学习态度以及空间想象
的能力。
三、教学重点和难点
本着课程标准，在吃透教材基础上，我确立了如下教学重点和难点：
】
教学重点：空间两个向量的夹角、数量积的概念、计算方法及其应用。
教学难点：空间向量数量积的几何意义以及立体几何问题的转化。
下面，为了讲清楚重点、难点，使学生能达到本节课设定的教学目标，我再从教法上谈谈：
四、教法分析
1.本节属于概念教学，可采用以语言传递信息、分析概念的讲授法。
2.本节涉及到一些比较抽象的概念，可以借助多媒体，利用三维动态演示，来提高学生对概念的理解。
3.在重点和难点上，采用举例的方法来提高学生的实际解题能力。
4.通过知识对比来加强学生的知识迁移能力，顺便对已学过知识的复习。
最后我来具体谈一谈这节课的教学过程：
五、教学过程
{
学生是认知的主体，遵循学生的认知规律和本节课的特点，我设计了如下的教学过程：
1.复习旧课，引入新课
1）让学生回顾平面向量数量积及其运算律。
○1定义○2夹角○3几何意义：数量积等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cosθ的乘积。
○4性质○5运算律
2）举两个实际例子进行练习，并引出空间两个向量数量积课题。
设计意图：从学生已有认知平面向量相关知识出发，为类比出空间向量夹角和数量积概念做铺垫。
2.运用例子，理解概念，说明定义
1、两向量夹角的定义
已知两个非零向量a 、b，在空间任取一点O，做OA=a 、OB=b，则∠AOB ,叫做向a与b的夹角，记作<a ,b>。
通常规定，0≤(a,b)≤180°，在这个规定下，两个向量的夹角就被唯一确定了，并且<a，b>=<b，a>。
如果<a，b>=90°，则称a与b互相垂直，并记作a，b垂直。
|
2、模长的定义
设OA=a，则有向线段OA的长度叫做向量a的长度或模。
记作|a|。
3、数量积
已知空间两个向量a，b,则|a| |b|cos<a，b>叫做向量a，b的数量积，记作。
即：=|a||b|cos<a,b>.
4、射影，利用幻灯片动态立体的展示射影的形成。
（形象直观，加深印象）
5.通过类比平面向量的性质和运算律，直接得出空间向量的性质运算律。
3.提出问题，加深理解
1）如何理解零向量的方向
2）空间向量的数量积满足结合律吗即(a·b)·c=a·(b·c)吗为什么
4.例题讲解
^
讲解课本中的例题，让学生初步感知空间向量数量积的应用，以及在解决立
体几何问题时比传统方法的优越之处。
5.课堂练习
通过前面有关概念，解题步骤的讲解，接下来让学生亲自实践，自觉运用所学知识与解题思想，从而将知识化为自己所有。
○
1已知向量a b ⊥，向量c 与,a b 的夹角都是60，且||1,||2,||3a b c ===， 试求：（1）2()a b +；（2）2(2)a b c +-；（3）(32)(3)a b b c -⋅-．
○
2让学生尝试做课后练习1和3题，并进行随机提问。
设计意图：第1题是为了巩固学生对向量性质和运算律的记忆。
后两道是为了让学生体会空间向量数量积在立体几何中的应用。
6.课堂小结，布置作业
引导学生从知识内容和思想方法两个方面进行总结，通过小结使学生对本节课的知识结构有一个清晰的认识，使学生完成知识建构，培养其能力。