甘肃省天水市一中2011届高三数学第三次模拟考试题 理 旧人教版

某某市一中2011届高考第三次模拟考试数学试卷(理)
本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分共150分，考试时间120分钟． 注意事项：第Ⅰ卷答案涂在机读卡上，第Ⅱ卷各题的答案或解答过程均写在答题纸内的
指定处，写在试卷上的无效．
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的）． 1．若集合{}2,1m A =，{}4,2=B ，则“2=m ”是“{}4=B A ”的 （ ） A 充分不必要条件 B 必要不充分条件
C 充要条件
D 既不充分也不必要条件
2．=-2)1(2
1
i （ ）
A ．2－2i
B ．2+2i
C ．－i
D ．i
3．已知),2,2
3(,54)2sin(ππ
ααπ∈=
-则)tan(απ-等于 （ ）
A ．43
B ．34-
C ．43-
D ．3
4
4．已知等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，若45818,a a S =-=则( ) A ．18 B. 36 C. 54 D. 72 5．设函数x
x
x f +-=
121)(，若函数)(x g 的图象与)1(1
+-x f 的图象关于直线x y =对称，
则)2(g 等于 ( )
A 54-
B 4
5
- C 1- D 2- 6.若不等式组03434
x x y x y ≥⎧⎪+≥⎨⎪
+≤⎩所表示的平面区域被直线4
3y kx =+分为面积相等的两部
分，则k 的值是 （ ）
（A ）
73 （B ） 37 （C ）43 （D ） 347．下列同时满足条件：（1）是奇函数（2）在[]1,0上是增函数（3）在[]1,0上最小值为0
的函数是 （ ）
A x x y 55
-= B x x y 2sin += C x
x
y 2121+-= D 1-=x y 8已知函数)1.0(log )(≠>=a a x x f a 满足)2(a f >)3(a f ，则0)1
1(>-x
f 的解是（ ）
A. 0<x<1
B. x<1
C. x>0
D. x >1
9．有七名同学站成一排照毕业纪念照，其中甲必须站在正中间，并且乙、丙两位同学要站在一起，则不同的站法有 ( )
A ．240种
B ．192种
C ．96种
D ．48种
10.对于已知直线a ，如果直线b 同时满足下列三个条件：①与直线a 异面；②与直线a 所成的角为定值θ③与直线a 的距离为定值d,那么这样的直线b 有 ( )
A.1条
B.2条
C.3条
D.无数条
11．已知P 是双曲线14
82
2=-y x 右支上的一动点，21,F F 分别是左右焦点,O 为坐标原点,则
OP
PF PF 2
1+的取值X 围是 ( )
A (2,3)
B (2, 6] C[2, 3] D[2,6]
12若向量),sin 3,cos 1(),0.1(θθ++==OB OA 则OA 与OB 的夹角的取值X 围是
（ ）
A ⎥⎦⎤⎢
⎣⎡2,6ππ B ⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡3,0π C ⎥⎦⎤⎢⎣⎡3,6ππ D ⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,3ππ 第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填写在答题纸相应位置上． 13若（8
1
2)2
x
-展开式的第3项为56，则
2
lim()n
n x x x →∞
++
+=。

14．正三棱椎S —ABC 内接于半径为6的球， 过侧棱SA 及球心O 的平面截三棱锥及球面 所得截面如图，则此三棱锥的侧面积是
15已知以F 为焦点的抛物线2
4y x =上的两点A 、B 满足
3AF FB =,则弦AB 的中点到准线的距离为_________
16．给出定义：若2
1
21+≤<-
m x m （其中m 为整数），则m 叫做离实数x 最近的整数，A
记作{}x = m. 在此基础上给出下列关于函数{}x x x f -=)(的四个命题： ①函数y=)(x f 的定义域为R ，值域为⎥⎦
⎤⎢⎣⎡21,0
②函数y=)(x f 的图像关于直线2
k
x =
（Z k ∈）对称； ③函数y=)(x f 是周期函数，最小正周期为1；
④函数y=)(x f 在⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡-
21,21上是增函数。

其中正确的命题的序号是
三、 解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本题满分10分）（本题满分10分）
ABC ∆的三个内角A B C ，，依次成等差数列．
（Ⅰ）若C A B sin sin sin 2
=，试判断ABC ∆的形状；
（Ⅱ）若ABC ∆为钝角三角形，且c a >，试求21
32222
C A A sin
sin cos +-的取值X 围．
18．（本小题共12分）数列{}n a 满足112,(3)2n
n n a a a λ+==-+，（1,2,3
n =）
（Ⅰ） 当21a =-时，求λ及3a ；
（Ⅱ）是否存在实数λ，使得数列{}n a 为等差数列或等比数列？若存在，求出其通项公式，若不存在，说明理由； 19．（本题满分12分）如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，PA ⊥底面ABCD ，2PA AB ==，点E 是棱PB 的
中点.
（Ⅰ）证明：AE ⊥平面PBC ；
（Ⅱ）若1AD =，求二面角B EC D --的平面角的余弦值.
20．（本题满分12分）某学校数学兴趣小组有10名学生，其中有4名女同学；英语兴趣小组有5名学生，其中有3名女学生，现采用分层抽样方法（层内采用不放回简单随机抽样）从数学兴趣小组、英语兴趣小组中共抽取3名学生参加科技节活动。

（1）求从数学兴趣小组、英语兴趣小组各抽取的人数；
（2）求从数学兴趣小组抽取的学生中恰有1名女学生的概率；
（3）记ξ表示抽取的3名学生中男学生数，求ξ的分布列及数学期望。

21.（本小题满分12分）已知1F 、2F 是椭圆122
22=+b
y a x 的两个焦点，O 为坐标原点，
点)2
2
,
1(-P 在椭圆上,线段2PF 与y 轴的交点M 满足20PM F M +=；⊙O 是以F 1F 2为直径的圆，一直线l ：m kx y +=与⊙O 相切，并与椭圆交于不同的两点A 、B . （Ⅰ）求椭圆的标准方程； （Ⅱ）当λ=•OB OA 4
3
32,≤≤⋅λ且满足
OB OA 时，求△AOB 面积S 的取值X 围. 22．（本题满分12分）设函数1
()(2)ln 2f x a x ax x
=-+
+（a ∈R ）. （Ⅰ）当0=a 时，求)(x f 的极值； （Ⅱ）当0≠a 时，求)(x f 的单调区间；
（Ⅲ）当2=a 时，对于任意正整数n ，在区间⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡+
+n n 16,21上总存在m +4个数12,,a a 31234,,,,,,,m m m m m a a a a a a ++++使得<+++)()()(21m a f a f a f 1()m f a ++
234()()()m m m f a f a f a +++++成立，试问：正整数m 是否有最大值？若有求其最大值；
否则，说明理由.
某某市一中2008级2010～2011学年度第二学期第二阶段考试（理）答案
二、填空题：
13. 1 14．1527 15
3
8
135122
1=+=++x x 16．①②③ 三、 解答题：
17答案（本题满分10分）解：（Ⅰ）∵C A B sin sin sin 2
=，∴ac b =2
.
∵C B A ,,依次成等差数列，∴B C A B -=+=π2,3
π
=B .
由余弦定理B ac c a b cos 22
2
2
-+=，
ac ac c a =-+22，∴c a =.
∴ABC ∆为正三角形. （Ⅱ）2
1
2cos 2sin 32sin
2
-+A A C =
2
1
sin 232cos 1-+-A C
=
12223sin A cos A π⎛⎫-- ⎪⎝⎭
=
A A A sin 43cos 41sin 23-+ =
A A cos 4
1
sin 43+ =)6sin(21π+A ∵223A ππ<<,∴25366
A πππ<+<，
∴
126sin A π⎛
⎫<+<
⎪⎝
⎭11426sin A π⎛⎫<+< ⎪⎝⎭. ∴代数式23
2cos 2sin 32sin
2
++A A C 的取值X 围是144⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭
，.
18． 解：（本小题共12分）(Ⅰ)
12212,1,(3)2,(1,2,3)a a a a n λ==-=-+=
32λ∴=
，故2
32322a a =-+，所以3112
a =.
（Ⅱ）
112,(3)2n n n a a a λ+==-+，
21(3)224a a λλ∴=-+=- ， 232(3)421016a a λλλ=-+=-+，
若数列{}n a 为等差数列，则2
13227130a a a λλ+=∴-+=
494130∆=-⨯<∴方程没有实根，故不存在λ，使得数列{}n a 为等差数列.
若数列{}n a 为等比数列，则2132a a a =，即22
2(21016)(24)λλλ-+=- 解得：4λ=.12n
n n a a +∴=+
212323431
12222n n n a a a a a a a a --∴-=-=-=-= 将1n -个式子相加，2
11222n n a a --=++
+，
12(12)
2212
n n n a --∴=+=-(2,)n n N ≥∈
又11,2n a ==符合条件，2n n a ∴=*
()n N ∈
11222
n n n n a a ++∴==，故数列{}n a 为等比数列．通项公式为2n n a =
19． （本题满分12分）
20．（本题满分12分）
（1）抽取数学小组的人数为2人；英语小组的人数为1人；…2分
（2）2
10
1416C C C p ⋅==158
； ………………………5分 （3）2421032(0)525C p C ξ===，11642103(1)5C C p C ξ⋅==+2
42
10228
575C C =， 262103(2)5C p C ξ==+1164210231575C C C ⋅=，2
62
1022
(3)515
C p C ξ===。

9分 ∴ξ的分布列为：
153752751250⨯+⨯+⨯+⨯=ξE 5
=. ………………………12分
21.（本小题满分12分） 解：（Ⅰ）
20PM F M +=∴点M 是线段2PF 的中点∴OM 是12PF F ∆的中位线
又12OM F F ⊥112PF F F ∴⊥
2222211112c a b a b c
=⎧⎪⎪
∴+=⎨⎪⎪=+⎩解得2222,1,1a b c ===
∴椭圆的标准方程为2
212
x y +=┅┅┅┅┅┅┅5分
（Ⅱ）
圆O 与直线l 相切∴
1=即：221m k =+
2
212
x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩
消去y ：222
(12)4220k x kmx m +++-= 设1122(,),
(,)A x y B x y
2121222
422
,1212km m x x x x k k -+=-⋅=++
121222121222
()()
()112y y kx m kx m k x x km x x m k k ⋅=++=⋅+++-=
+
2
12122
22
2112213
31241
12
k OA OB x x y y k
k k k λ+⋅=⋅+⋅==++∴≤≤+∴≤≤
22．（本题满分12分）
解：（Ⅰ）依题意，知()f x 的定义域为(0,)+∞. 当0a =时，1()2ln f x x x =+ ，22
2121
()x f x x x x -'=-=. 令()0f x '=，解得12
x =. 当102x <<
时，()0f x '<；当1
2
x >时，()0f x '> . 又1()22ln 22
f =-，
所以()f x 的极小值为22ln 2-，无极大值 ．…………………………（3分）
（Ⅱ）221()2a f x a x x
-'=-+ 22
2(2)1ax a x x +--= ． 令()0f x '=，解得1211,2
x x a =-
=. …………………………（4分） 若0a >，令()0f x '<，得102x <<；令()0f x '>，得12
x > ． 若0a <，
①当2a <-时，112
a -<， 令()0f x '<，得10x a <<-或12
x >； 令()0f x '>，得112x a -<<. ②当2a =-时，2
2
(21)()0x f x x -'=-≤. ③当20a -<<时，得112
a -
>， 令()0f x '<，得102x <<或1x a
>-； 令()0f x '>，得112x a <<-. 综上所述，当0a >时，()f x 的递减区间为1(0,)2，递增区间为1(,)2+∞. 当2a <-时，()f x 的递减区间为1
1(0,),(,)2a -+∞；递增区间为11(,)2
a -. 当2a =-时，()f x 递减区间为(0,)+∞.当20a -<<时，()f x 的递减区间为11(0,),(,)2a
-+∞，递增区间为11(,)2a -. …………………………（8分）
（Ⅲ）当2a =时，1()4f x x x
=+， 由222141()4x f x x x -'=-+=，知11,62
x n n ⎡⎤∈++⎢⎥⎣⎦时，
()0f x '≥ ．1()()42f x f ==min ，1()(6)f x f n n
=++max . 依题意得：11()4(6)2mf f n n
<++ 对一切正整数成立． ……………（10分） 令16k n n
=++ ，则8k ≥（当且仅当1n =时取等号）. 又()f k 在区间1[6,)n n +++∞单调递增，得min 1()328
f k =， 故1328
m <，又m 为正整数，得32m ≤， 当32m =时，存在123212
a a a ==⋅⋅⋅==，12348m m m m a a a a ++++====， 对所有n 满足条件.
所以，正整数m 的最大值为32． …………………………………（12分）。