全效学习(浙江专版)中考数学总复习第18课时二次函数的应用课件
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二、必会2 方法 1．建模思想
利用二次函数解决隧道、大桥和拱门等实际问题时，要恰当地 把这些实际问题中的数据落实到平面直角坐标系中的抛物线上， 确定抛物线的解析式，通过解析式解决一些测量问题或其他问 题，构建二次函数模型是关键． 2．数形结合思想 数形结合是重要的数学思想，对于函数应用题，解答 选择题的关键是读懂函数图象，解答综合题的关键是运用数形 结合思想，先求解析式；求运动过程中的函数解析式的关键是 “以静制动”，抓住其中不变的量．此类题型是中考(zhōnɡ kǎo)的热点考题．
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解：(1)设现在实际购进这种水果每千克 a 元，根据题意，得 80(a＋2)＝88a， 解得 a＝20. 答：现在实际购进这种水果每千克 20 元； (2)①由于 y 是 x 的一次函数，设函数关系式为 y＝kx＋b， 将(25，165)，(35，55)的坐标分别代入 y＝kx＋b，得 2355kk＋＋bb＝＝15655，，解得kb＝＝－44101，， ∴y＝－11x＋440.
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方案 B：由题意，得x2≥50－45，10（x－25）≥10，
解得45≤x≤49， 在对称轴右侧，w随x的增大而减小， ∴当x＝45时，w取最大值为1 250元， ∵2 000元＞1 250元，∴方案(fāng àn)A的最大利润更高．
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类型之三 二次函数在几何图形中的应用 [2016·中考预测]如图18－5，一面利用墙，用篱笆围成一个外形为
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(2)当 x＝6＋4＝10 时，y＝－16x2＋2x＋4＝－16×102＋2× 10＋4＝232＞6，∴这辆货车能安全通过； (3)当 y＝8 时，－16x2＋2x＋4＝8，即 x2－12x＋24＝0， ∴x1＋x2＝12，x1x2＝24 ∴两排灯的水平距离的最小值是 |x1 － x2| ＝ （x1－x2）2 ＝ （x1＋x2）2－4x1x2 ＝
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(1)求该抛物线的函数关系式，并计算出拱顶D到地面OA的距离； (2)一辆货运汽车载一长方体集装箱后高为6 m，宽为4 m，如果隧道内设 双向行车道，那么这辆货车能否安全通过？ (3)在抛物线型拱壁上需要安装两排灯，使它们离地面的高度相等 (xiāngděng)．如果灯离地面的高度不超过8 m，那么两排灯的水平距离 最小是多少米？
图18－1
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【解析】 (1)先确定B点和C点坐标，然后利用待定系数法求 出抛物线解析式； (2)由于抛物线的对称轴为直线x＝6，而隧道内设双向行车道， 车宽为4 m，则货运汽车(qìchē)最外侧与地面OA的交点为(2，0)
或 (10，0)，然后计算自变量为2或10的函数值； (3)计算函数值为8所对应的自变量的值即可得到两排灯的水平 距离最小值．
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②设销售利润为w元，则 w＝(x－20)(－11x＋440) ＝－11(x－30)2＋1 100， ∴当x＝30时，w最大值＝1 100. 答：将这种水果(shuǐguǒ)的销售单价定为30元/千克时，能获得最
大利 润1 100元．
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3．[2015·保康县模拟]某商场要经营一种新上市的文具，进价为20元/ 件．试营销阶段发现：当销售单价是25元时，每天的销售量为250 件；销售单价每上涨(shàngzhǎng)1元，每天的销售量就减少10件． (1)写出商场销售这种文具，每天所得的销售利润w(元)与销售单价 x(元)之间的函数关系式； (2)求销售单价为多少元时，该文具每天的销售利润最大； (3)商场的营销部结合上述情况，提出了A，B两种营销方案： 方案A：该文具的销售单价高于进价且不超过30元； 方案B：每天销售量不少于10件，且每件文具的利润至少为25元． 请比较哪种方案的最大利润更高，并说明理由．
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图18－4 【解析】 (1)设现在实际购进这种水果每千克a元，根据原来买 这种水果80 kg的钱，现在可买88 kg列出关于(guānyú)a的一元一
次方程，解方程即可；
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(2)①设y与x之间的函数关系式为y＝kx＋b，将(25，165)，(35， 55)的坐标代入，解方程组即可求出y与x之间的函数关系式； ②设这种水果的销售单价为x元/千克时，所获利润为w元，根据 利润＝销售收入－进货金额(jīn é)得到w关于x的函数关系式为w＝ －11(x－30)2＋1 100，再根据二次函数的性质即可求解．
【解析】 把 y＝5 代入 y＝210x2，得 5＝210x2， 解得 x＝±10，又∵x>0， ∴x＝10，即开始刹车时的速度为 10 m/s.
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2．某商店经营一种小商品，进价为每件20元，据市场(shìchǎng) 分析，在一个月内，售价定为每件25元时，可卖出105件，而 售价每上涨1元，就少卖5件． (1)当售价定为每件30元时，一个月可获利多少元？ (2)当售价定为每件多少元时，一个月的获利最大？最大利润是 多少元？
第18课时(kèshí) 二次函数的应用
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[小题热身]
1．某车的刹车距离 y(m)与开始刹车的速度 x(m/s)之间满足
二次函数 y＝210x2(x>0)，若该车某次的刹车距离为 5 m，
则开始刹车时的速度为
(C)
A．40 m/s
B．20 m/s
C．10 m/s
D．5 m/s
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[考点(kǎo diǎn)管理]
一、必知2 知识点 1．根据数量关系列函数解析式并求最大(小)值或设计方案
在生产和生活中，经常会涉及求最大利润，最省费用等问题， 这类问题经常利用函数来解答，其步骤一般是：先列出函数 解析式，再求出自变量的取值范围，最后根据函数解析式和 自变量的取值范围求出函数的最大(小)值．
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【解析】 (1)根据“总利润(lìrùn)＝单件的利润(lìrùn)×销售量”列 出二次
函数关系式即可； (2)将得到的二次函数配方后即可确定最大利润(lìrùn)． 解：(1)w＝y(x－40)＝(x－40)(－10x＋1 200)＝ 10x2＋1 600x－48 000； (2)w＝－10x2＋1 600x－4 8000＝－10(x－80)2＋16 000， 则当销售单价定为80元时，该公司每天获得的利润(lìrùn)最大， 最大利润(lìrùn)是16 000元．
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解：(1)一个月可获利(30－20)×[105－5(30－25)]＝800(元)； (2)设售价为每件x元时，一个月的获利为y元， 由题意(tí yì)，得y＝(x－20)×[105－5(x－25)] ＝－5x2＋330x－4 600＝－5(x－33)2＋845， 当x＝33时，y的最大值是845， 故当售价定为每件33元时，一个月获利最大， 最大利润是845元．
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三、必明1
易错点
在商品(shāngpǐn)经营规划运营中，经常遇到求最大利润、最大
销量等问题，解决此类问题的关键是，通过二次函数的解析式，
确定其最值，并注意实际问题的x值要使实际问题有意义.
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类型之一 利用二次函数(hánshù)解决抛物线型问题
[2015·青岛]如图 18－1，隧道的截面由抛物线和长方形构 成，长方形的长是 12 m，宽是 4 m．按照图中所示的直角坐 标系，抛物线可以用 y＝－16x2＋bx＋c 表示，且抛物线上的点 C 到墙面 OB 的水平距离为 3 m，到地面 OA 的距离为127 m.
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解：(1)由题意，得销售量＝250－10(x－25)＝－10x＋500，则 w＝(x－20)(－10x＋500)＝－10x2＋700x－10 000； (2)w＝－10x2＋700x－10 000＝－10(x－35)2＋2 250， ∴当x＝35时，w有最大值2 250， 即销售单价为35元时，该文具每天的销售利润(lìrùn)最大； (3)方案A：由题可得20＜x≤30， ∵a＝－10＜0，对称轴为x＝35， 抛物线开口向下，在对称轴左侧，w随x的增大而增大， ∴当x＝30时，w取最大值为2 000元；
122－4×24＝ 144－96＝4 3(m)．
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1．教练对小明推铅球的录像进行技术分析，发现铅球行进 高度 y(m)与水平距离 x(m)之间的关系为 y＝－112(x－4)2 ＋3，如图 18－2，由此可知铅球推出的距离是__1_0___m.
图18－2
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2．[2016·中考预测]如图18－3，有一个抛 物线形的拱形桥洞，桥洞离水面的最大 高度(gāodù)为4 m，跨度为10 m．把它 的截面边缘的图形放在如图所示的直角 坐标系中．在对称轴右边1 m处，桥洞 离水面的高是
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解：(1)由题意得点 B 的坐标为(0，4)，点 C 的坐标为3，127， ∴412＝ 7＝－－16× 16×023＋2＋b× b×0＋3＋c，c，解得bc＝＝42，， ∴该抛物线的函数关系式为 y＝－16x2＋2x＋4. ∵y＝－16x2＋2x＋4＝－16(x－6)2＋10， ∴拱顶 D 到地面 OA 的距离为 10；
2．根据点的坐标，求距离、长度等 在实际问题中，有些物体的运动路线是抛物线，有些图形 (túxíng)是抛物线，经常会涉及求距离、长度等问题，一般 可以把它转化成求点的坐标问题．
第六页，共38页。
【智慧锦囊】 建立平面直角坐标(zhí jiǎo zuò biāo)系，把代数问题与几何问题进行互
相转化， 充分运用三角函数、解直角三角形、相似、全等、圆等知识解 决问题，充分运用几何知识、求解析式是解题关键．
(2)设销售该运动服的月利润为y元，那么售价为多少时，当月
的利润最大，最大利润是多少？
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解：(1)①销售该运动服每件的利润是(x－60)元； ②设月销量 W 与 x 的关系式为 W＝kx＋b， 由题意，得111000kk＋＋bb＝＝128000，，解得kb＝＝－4020， ， ∴W＝400－2x； (2)由题意得 y＝(x－60)(400－2x) ＝－2x2＋520x－24 000＝－2(x－130)2＋9 800， ∴售价为 130 元时，当月的利润最大，最大利润是 9 800 元．
___92__65__m__．之二 利用(lìyòng)二次函数解决商品销售问题 [2015·邵阳]为了响应政府提出的由中国制造向中国创造转型的号
召，某公司自主设计了一款成本为40元的可控温杯，并投放市场进 行试销售，经过调查发现该产品每天的销售量y(件)与销售单价x(元) 满足一次函数关系：y＝－10x＋1 200. (1)求出利润w(元)与销售单价x(元)之间的关系式(利润＝销售额－成 本)； (2)当销售单价定为多少时，该公司每天获取的利润最大？最大利润 是多少元？
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2．水果店王阿姨到水果批发市场打算购进一种水果销售，经过还价 (huán jià)，实际价格每千克比原来少2元，发现原来买这种水果80 kg的钱，现在可买88 kg. (1)现在实际购进这种水果每千克多少元？ (2)王阿姨准备购进这种水果销售，若这种水果的销售量y(kg)与销售 单价x(元/千克)满足如图18－4所示的一次函数关系． ①求y与x之间的函数关系式； ②请你帮王阿姨拿个主意，将这种水果的销售单价定为多少时，能 获得最大利润？最大利润是多少？(利润＝销售收入－进货金额)
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1．[2015·梅州]九年级数学兴趣小组经过市场调查，得到某种运动
服每月的销量与售价的相关信息如下表：
售价(元/件) 月销量(件)
100 110 120 130 … 200 180 160 140 …
已知该运动服的进价为每件60元，设售价为x元．
(1)请用含x的式子(shìzi)表示： ①销售该运动服每件的利润是____x_－__6_0_元； ②月销量是___4_0_0_－__2_x__件；(直接写出结果)
二、必会2 方法 1．建模思想
利用二次函数解决隧道、大桥和拱门等实际问题时，要恰当地 把这些实际问题中的数据落实到平面直角坐标系中的抛物线上， 确定抛物线的解析式，通过解析式解决一些测量问题或其他问 题，构建二次函数模型是关键． 2．数形结合思想 数形结合是重要的数学思想，对于函数应用题，解答 选择题的关键是读懂函数图象，解答综合题的关键是运用数形 结合思想，先求解析式；求运动过程中的函数解析式的关键是 “以静制动”，抓住其中不变的量．此类题型是中考(zhōnɡ kǎo)的热点考题．
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解：(1)设现在实际购进这种水果每千克 a 元，根据题意，得 80(a＋2)＝88a， 解得 a＝20. 答：现在实际购进这种水果每千克 20 元； (2)①由于 y 是 x 的一次函数，设函数关系式为 y＝kx＋b， 将(25，165)，(35，55)的坐标分别代入 y＝kx＋b，得 2355kk＋＋bb＝＝15655，，解得kb＝＝－44101，， ∴y＝－11x＋440.
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方案 B：由题意，得x2≥50－45，10（x－25）≥10，
解得45≤x≤49， 在对称轴右侧，w随x的增大而减小， ∴当x＝45时，w取最大值为1 250元， ∵2 000元＞1 250元，∴方案(fāng àn)A的最大利润更高．
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类型之三 二次函数在几何图形中的应用 [2016·中考预测]如图18－5，一面利用墙，用篱笆围成一个外形为
第十三页，共38页。
(2)当 x＝6＋4＝10 时，y＝－16x2＋2x＋4＝－16×102＋2× 10＋4＝232＞6，∴这辆货车能安全通过； (3)当 y＝8 时，－16x2＋2x＋4＝8，即 x2－12x＋24＝0， ∴x1＋x2＝12，x1x2＝24 ∴两排灯的水平距离的最小值是 |x1 － x2| ＝ （x1－x2）2 ＝ （x1＋x2）2－4x1x2 ＝
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(1)求该抛物线的函数关系式，并计算出拱顶D到地面OA的距离； (2)一辆货运汽车载一长方体集装箱后高为6 m，宽为4 m，如果隧道内设 双向行车道，那么这辆货车能否安全通过？ (3)在抛物线型拱壁上需要安装两排灯，使它们离地面的高度相等 (xiāngděng)．如果灯离地面的高度不超过8 m，那么两排灯的水平距离 最小是多少米？
图18－1
第十一页，共38页。
【解析】 (1)先确定B点和C点坐标，然后利用待定系数法求 出抛物线解析式； (2)由于抛物线的对称轴为直线x＝6，而隧道内设双向行车道， 车宽为4 m，则货运汽车(qìchē)最外侧与地面OA的交点为(2，0)
或 (10，0)，然后计算自变量为2或10的函数值； (3)计算函数值为8所对应的自变量的值即可得到两排灯的水平 距离最小值．
第二十四页，共38页。
②设销售利润为w元，则 w＝(x－20)(－11x＋440) ＝－11(x－30)2＋1 100， ∴当x＝30时，w最大值＝1 100. 答：将这种水果(shuǐguǒ)的销售单价定为30元/千克时，能获得最
大利 润1 100元．
第二十五页，共38页。
3．[2015·保康县模拟]某商场要经营一种新上市的文具，进价为20元/ 件．试营销阶段发现：当销售单价是25元时，每天的销售量为250 件；销售单价每上涨(shàngzhǎng)1元，每天的销售量就减少10件． (1)写出商场销售这种文具，每天所得的销售利润w(元)与销售单价 x(元)之间的函数关系式； (2)求销售单价为多少元时，该文具每天的销售利润最大； (3)商场的营销部结合上述情况，提出了A，B两种营销方案： 方案A：该文具的销售单价高于进价且不超过30元； 方案B：每天销售量不少于10件，且每件文具的利润至少为25元． 请比较哪种方案的最大利润更高，并说明理由．
第二十一页，共38页。
图18－4 【解析】 (1)设现在实际购进这种水果每千克a元，根据原来买 这种水果80 kg的钱，现在可买88 kg列出关于(guānyú)a的一元一
次方程，解方程即可；
第二十二页，共38页。
(2)①设y与x之间的函数关系式为y＝kx＋b，将(25，165)，(35， 55)的坐标代入，解方程组即可求出y与x之间的函数关系式； ②设这种水果的销售单价为x元/千克时，所获利润为w元，根据 利润＝销售收入－进货金额(jīn é)得到w关于x的函数关系式为w＝ －11(x－30)2＋1 100，再根据二次函数的性质即可求解．
【解析】 把 y＝5 代入 y＝210x2，得 5＝210x2， 解得 x＝±10，又∵x>0， ∴x＝10，即开始刹车时的速度为 10 m/s.
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2．某商店经营一种小商品，进价为每件20元，据市场(shìchǎng) 分析，在一个月内，售价定为每件25元时，可卖出105件，而 售价每上涨1元，就少卖5件． (1)当售价定为每件30元时，一个月可获利多少元？ (2)当售价定为每件多少元时，一个月的获利最大？最大利润是 多少元？
第18课时(kèshí) 二次函数的应用
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[小题热身]
1．某车的刹车距离 y(m)与开始刹车的速度 x(m/s)之间满足
二次函数 y＝210x2(x>0)，若该车某次的刹车距离为 5 m，
则开始刹车时的速度为
(C)
A．40 m/s
B．20 m/s
C．10 m/s
D．5 m/s
第二页，共38页。
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[考点(kǎo diǎn)管理]
一、必知2 知识点 1．根据数量关系列函数解析式并求最大(小)值或设计方案
在生产和生活中，经常会涉及求最大利润，最省费用等问题， 这类问题经常利用函数来解答，其步骤一般是：先列出函数 解析式，再求出自变量的取值范围，最后根据函数解析式和 自变量的取值范围求出函数的最大(小)值．
第十七页，共38页。
【解析】 (1)根据“总利润(lìrùn)＝单件的利润(lìrùn)×销售量”列 出二次
函数关系式即可； (2)将得到的二次函数配方后即可确定最大利润(lìrùn)． 解：(1)w＝y(x－40)＝(x－40)(－10x＋1 200)＝ 10x2＋1 600x－48 000； (2)w＝－10x2＋1 600x－4 8000＝－10(x－80)2＋16 000， 则当销售单价定为80元时，该公司每天获得的利润(lìrùn)最大， 最大利润(lìrùn)是16 000元．
第四页，共38页。
解：(1)一个月可获利(30－20)×[105－5(30－25)]＝800(元)； (2)设售价为每件x元时，一个月的获利为y元， 由题意(tí yì)，得y＝(x－20)×[105－5(x－25)] ＝－5x2＋330x－4 600＝－5(x－33)2＋845， 当x＝33时，y的最大值是845， 故当售价定为每件33元时，一个月获利最大， 最大利润是845元．
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三、必明1
易错点
在商品(shāngpǐn)经营规划运营中，经常遇到求最大利润、最大
销量等问题，解决此类问题的关键是，通过二次函数的解析式，
确定其最值，并注意实际问题的x值要使实际问题有意义.
第九页，共38页。
类型之一 利用二次函数(hánshù)解决抛物线型问题
[2015·青岛]如图 18－1，隧道的截面由抛物线和长方形构 成，长方形的长是 12 m，宽是 4 m．按照图中所示的直角坐 标系，抛物线可以用 y＝－16x2＋bx＋c 表示，且抛物线上的点 C 到墙面 OB 的水平距离为 3 m，到地面 OA 的距离为127 m.
第二十六页，共38页。
解：(1)由题意，得销售量＝250－10(x－25)＝－10x＋500，则 w＝(x－20)(－10x＋500)＝－10x2＋700x－10 000； (2)w＝－10x2＋700x－10 000＝－10(x－35)2＋2 250， ∴当x＝35时，w有最大值2 250， 即销售单价为35元时，该文具每天的销售利润(lìrùn)最大； (3)方案A：由题可得20＜x≤30， ∵a＝－10＜0，对称轴为x＝35， 抛物线开口向下，在对称轴左侧，w随x的增大而增大， ∴当x＝30时，w取最大值为2 000元；
122－4×24＝ 144－96＝4 3(m)．
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1．教练对小明推铅球的录像进行技术分析，发现铅球行进 高度 y(m)与水平距离 x(m)之间的关系为 y＝－112(x－4)2 ＋3，如图 18－2，由此可知铅球推出的距离是__1_0___m.
图18－2
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2．[2016·中考预测]如图18－3，有一个抛 物线形的拱形桥洞，桥洞离水面的最大 高度(gāodù)为4 m，跨度为10 m．把它 的截面边缘的图形放在如图所示的直角 坐标系中．在对称轴右边1 m处，桥洞 离水面的高是
第十二页，共38页。
解：(1)由题意得点 B 的坐标为(0，4)，点 C 的坐标为3，127， ∴412＝ 7＝－－16× 16×023＋2＋b× b×0＋3＋c，c，解得bc＝＝42，， ∴该抛物线的函数关系式为 y＝－16x2＋2x＋4. ∵y＝－16x2＋2x＋4＝－16(x－6)2＋10， ∴拱顶 D 到地面 OA 的距离为 10；
2．根据点的坐标，求距离、长度等 在实际问题中，有些物体的运动路线是抛物线，有些图形 (túxíng)是抛物线，经常会涉及求距离、长度等问题，一般 可以把它转化成求点的坐标问题．
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【智慧锦囊】 建立平面直角坐标(zhí jiǎo zuò biāo)系，把代数问题与几何问题进行互
相转化， 充分运用三角函数、解直角三角形、相似、全等、圆等知识解 决问题，充分运用几何知识、求解析式是解题关键．
(2)设销售该运动服的月利润为y元，那么售价为多少时，当月
的利润最大，最大利润是多少？
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解：(1)①销售该运动服每件的利润是(x－60)元； ②设月销量 W 与 x 的关系式为 W＝kx＋b， 由题意，得111000kk＋＋bb＝＝128000，，解得kb＝＝－4020， ， ∴W＝400－2x； (2)由题意得 y＝(x－60)(400－2x) ＝－2x2＋520x－24 000＝－2(x－130)2＋9 800， ∴售价为 130 元时，当月的利润最大，最大利润是 9 800 元．
___92__65__m__．之二 利用(lìyòng)二次函数解决商品销售问题 [2015·邵阳]为了响应政府提出的由中国制造向中国创造转型的号
召，某公司自主设计了一款成本为40元的可控温杯，并投放市场进 行试销售，经过调查发现该产品每天的销售量y(件)与销售单价x(元) 满足一次函数关系：y＝－10x＋1 200. (1)求出利润w(元)与销售单价x(元)之间的关系式(利润＝销售额－成 本)； (2)当销售单价定为多少时，该公司每天获取的利润最大？最大利润 是多少元？
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2．水果店王阿姨到水果批发市场打算购进一种水果销售，经过还价 (huán jià)，实际价格每千克比原来少2元，发现原来买这种水果80 kg的钱，现在可买88 kg. (1)现在实际购进这种水果每千克多少元？ (2)王阿姨准备购进这种水果销售，若这种水果的销售量y(kg)与销售 单价x(元/千克)满足如图18－4所示的一次函数关系． ①求y与x之间的函数关系式； ②请你帮王阿姨拿个主意，将这种水果的销售单价定为多少时，能 获得最大利润？最大利润是多少？(利润＝销售收入－进货金额)
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1．[2015·梅州]九年级数学兴趣小组经过市场调查，得到某种运动
服每月的销量与售价的相关信息如下表：
售价(元/件) 月销量(件)
100 110 120 130 … 200 180 160 140 …
已知该运动服的进价为每件60元，设售价为x元．
(1)请用含x的式子(shìzi)表示： ①销售该运动服每件的利润是____x_－__6_0_元； ②月销量是___4_0_0_－__2_x__件；(直接写出结果)