物理竞赛讲11

物理竞赛讲义（高一）第一讲：静力学第一节：矢量的运算1、 矢量：有大小、方向才能决定的，且其加减运算满足平行四边形法则的物理量叫矢量。

2、 矢量的运算： ① 加法：△平行四边形定则右图：C A B =+ 大小：222cos()C A B AB πα=+-- 222cos A B AB α=++证法：1°余弦定理：（略）2°222(cos )(sin )C A B B αα=++2222222cos 2cos sin 2cos A B AB B A B AB αααα=+++=++ 方向：sin tan cos B A B αϕα=+讨论：C 的大小在（0、180°）范围内，cos α是α的减函数，α↑、C ↓（AB 大小一定） 当α＝0时，C ＝A ＋B α＝π时，C ＝|A －B| 故 |A －B|≤C ≤A ＋B例1、F 1＝3N 、F 2＝8N ，则F 合的可能值。

A 、6N B 、12N C 、3N D 、8N △三角形定则右图C A B =+ 例2、小孩游泳速度是河水流速的12，河赛d ＝100M ，小孩应沿什么方向游向对岸，才能使他被河水冲行距离最短？这个距离是多少？（与上游岸线60°角，173米）分析：小孩相对地的速度，是两个速度的矢量和。

1°若V 1＞V 2，则冲行最短距离为0。

最少位移为d ，2°若V 1＜V 2，则不可能垂直过河，但一定存在最少位移。

3°不论哪种情况，都有min 1d t v =对于本题，2v 大小、方向恒定，1v 大小一定、方向不定，故12v v v =+不确定△ 多边形定则：C A B =+A B D C D E ⇒++=+=A B D F E F +++=+ 一般地n 个矢量12n A A A ++相当于把n 个矢量的图示依次首尾相接，最后由1A 的起点O ，到n A 的终点有向线段，就是合矢量的图示。

说明：矢量加法满足交换率，结合率（用多边形法则可证） ∴在多边形法则中，结果与1n A A 的顺序无关。

例3、水平地面有一质量M 的木箱A ，A 与地面间摩擦系数为μ欲使A 匀速移动，F 至少多大？（作图法求解）21μ⎛⎫⎪⎪+⎭③ 乘法：a 、与标量相乘 C k A = 方向不变。

大小扩大到k 倍，（K 也可小于1）b 、矢量乘以矢量 △标积：（相乘后变成标量） 定义：C A B = cos A B θ=规定：只准用符号“· ” ，又称点积。

如：功，cos W F S F S θ== △ 矢积（相乘后仍为矢量）定义：C A B =⨯⇒:sin C A B θ⎧=⎪⎨⎪⎩大小方向:右螺旋定则注意：点积满足交换率：A B B A = （叉）矢积不满足交换率：A B B A =-第二节：重力、弹力、摩擦力1．重力 重力来源于地球对物体的吸引，在地球表面附近，物体的重力大小 G ＝mg 其方向竖直向下。

物体的各个部分都受到重力的作用．我们把它等效地认为是作用在物体的重心上。

实际上，重心是同向平行力的合力作用点。

同向平行力的合力：大小：12F F F =+合 方向：原方向 作用点满足：1122F F χχ= 12d χχ+=]例1、在一个半径为R 的匀质圆盘状薄板上。

挖去一个半径为r 的圆孔（r ＜R ）孔的圆心距盘的圆心为d ，求剩下部分的重心位置。

2、弹力： 物体由于发生弹性形变而作用于迫使它发生形变的物体上的力叫弹力。

弹力的方向沿两物体接触面的法线方向，弹力的大小可由胡克定律或物体的其他受力情况采确定。

一个常见的典型情况是弹簧的弹力，这一弹力的规律是：在弹性限度内，弹簧弹力F 的大小与弹簧的形变x(伸长量或压缩量)成正比，即胡克定律 f ＝一kx ，上式中k 叫此弹簧的劲度系数，是表征弹簧本身特征的一个物理量。

负号表示F 的方向与x 的方向相反。

△ 弹簧的串并联① 并联：（要求受力端并齐伸长量相同）11F χ=∆ 22F k χ=∆ 121212()()F F F k k k k k k χχ=+=+∆=∆⇒+② 串联：1122F k k χχ==11Fk χ=22Fk χ=121211()()F k k F k k χχ=+=+ 12111k k k ⇒=+=⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 例2、如图1-9，求烧断AB 瞬间BC 的张力。

3、摩擦力 两个互相接触的物体间有相对运动或者有相对运动趋势时，这两个物体的接触面上就会出现阻碍相对运动的进行或者是阻碍相对运动的发生的力，这就是摩擦力。

前者称为动摩擦力，后者称为静摩擦力。

摩擦力的方向总是沿接触面的切线方向起阻碍作用。

△ 条件：① 不光滑；② 挤压 N ≠0 ③ 有相对运动（or趋势）△ 方向：⎧⎨⎩切线阻碍相对运动△ 关于静摩擦力 ① 约束反力 可（大、小）；可（有、无）；可（前、后）都与压强无关。

② 最大静摩擦力略大于滑动摩擦力（有时忽略它们的差别）例6、汽车质量m ，以v 前进与地μ。

前方突然有一墙，求问为避免撞墙，转弯好还是煞车好？4、物体的平衡及平衡条件△平衡的表现形式:()⎧⎨⎩静平衡:静止动平衡匀直匀转 △平衡的种类⎧⎪⎨⎪⎩稳定平衡不稳平衡随遇平衡△平衡条件及应用1、共点力平衡条件： 0F ∑=外2、有固定转轴物体的平衡条件M M +-∑=∑ orM M ∑=∑顺逆3、一般体系的平行条件0()00MFF FFχγZ∑=⎧⎪∑=⎧⎪⎨⎪∑=⇒∑=⎨⎪⎪⎪∑=⎩⎩以任一点为轴例1、如图1-11，求汽车离左桥墩x时，两桥墩的支持力。

例2、质量均匀分布的梯子，靠在光滑墙上，梯子与地面静摩擦因数为μ。

求梯子的倾角范围。

例3如图1-12所示，一人对一均匀细杆的一端施力，力的方向总与杆垂直，要将杆从地板上无滑动地慢慢拾到竖直位置，试求杆与地板之间的静摩擦因数至少应为多大?例4一支杆秤，其秤锤己丢失，仅留下秤杆及一根细线。

不用其他器材，如何确定丢失的秤锤的质量?例5 如图1-13．半径分别为r1和r2、的两个均匀圆柱体置于同一水平面上，在大圆柱上绕有一根细绳，通过细绳对大圆柱施以水平拉力F。

设所有接触处的静摩擦因数均为µ。

为使在力F的作用下，大圆柱能翻过小圆柱，问µ应满足何条件?例5 重为G的圆柱位于可动的水平平板与固定的领角为α的斜面之间，如面1-14所示，圆柱体与水平板间的动摩擦因数和静摩擦因数均为μ1圆柱体与斜面间的动摩擦因数和静摩擦因数均为从μ2为使水平板能向左匀速运动，至少要对它施以多大的力?不考虑圆柱以外的物体施于水平面的阻力。

例6 如图1-15，在一个置于水平面上的表面光滑的半径为R的半圆柱面上，置有一条长为πR的均匀链条，锈条的质量为M，其两端刚好分别与两侧的水平面相接触，求此链中张力的最大值为多少?例7、四个半径均为只的光沿球，留正于一个水平放置的半球形碗内，该四球球心恰在同一水平面上。

现将一个相同的第五个球放在前述四球之上，而此系统仍能维持平衡，求碗的半径为多少?例8 如图1-17，质量为M的n(n＞3)个均匀圆柱体，依次搁置在倾角为300的斜面上．并以铅垂设置的挡板挡住，挡板长L，其下端以绞镁固定，挡板可绕其下端自由转动。

圆柱体半径均为R，各圆柱体与斜面间和圆柱体与挡板间的静摩擦因数均为13μ=，而各圆柱体之间的摩擦则可忽略不计。

今以水平力F作用于挡板的上端而维持此系统的平衡，试求F的最大值为多少?第二章：运动学一、运动的描述：位移、速度、加速度如图2-1，设质点沿某一平面曲线运动，若给定一参考点O ，就可以用一个矢量确定质点的位置。

1、位矢：（位置矢量的简称），确定质点的位置的矢量，（如图2-1中的1r OA =、2r OB =）。

2、位移：描述质点位置变化的矢量（如图2-1中的21r r r ∆=-）3、路程：质点运动轨迹曲线长度（如图2-1中的AB ）4、速度和速率： 平均速度： rv t∆=∆平均 平均速度率： u AB t =∆平均即时速度： t 0limA r v t ∆→∆=∆ 即时速率： t 0lim A su t∆→∆=∆显然：v u A A v v u ==≠平均平均5、加速度：如图2-2，设质点在A 点时速度为1v ，在B 点2v ，则：平均加速度：21v v va t t-∆==∆∆平均 即时加速度：()1200lim limt t v v va t t∆→∆→∆+∆∆==∆∆1200lim lim n t t v v a a t t τ∆→∆→∆∆=+=+∆∆其中：n a 称法向加速度，跟速度方向变化快慢有关，其大小2n v a ρ=ρ为曲线在该点的曲率半径 a τ为切向加速度。

（描述速度大小变化快慢） 二、质点运动学的数学性1、与“质”无关：如匀变速度直线运动公式中，都与m 无关。

所以，有的书上就称上为“点的运动学” 2、质点轨迹与数学曲线的关系：同：都是动点轨迹异：数学，不关心运动与时间关系 物理，运动要通过时间来实现例如：对曲线椭圆数学：平面上一个动点P ，到两个定点的距离的和为定长，则P 点轨迹即椭圆。

描述：22221x y A B+= or ：cos sin x A y B ϕϕ==物理：质点P 在平方反比有心力作用下运动。

且轨道能量小于零，则P 点轨迹为椭圆。

描述：除标准方程外，还有轨道能量：2GMm E A =- 周期： 32A T GM= 等另外，满足一定条件的两个简谐运动的合成，质点轨迹也为椭圆。

描述：cos sin x A t y B tωω=⎧⎨=⎩ 3、用物理方法求曲率半径由于质点运动学的数学性很强，使得运动学题目更像数学题。

在应用上，我们不但可以用数学方法解决物理问题，而且还可以倒过来，用物理方法解决数学问题。

用物理方法求曲率半径便是其中之一。

方法：22n nv v a a ρρ=⇒=例1、求平抛物体（0v ）的轨迹在抛出点的曲率半径。

解：0v v = n a g a == 由2n v a ρ= 22n v v a gρ⇒==例2、接上题，求下落h 时的曲率半径。

解：如图2-3202v v gh =+ 0020cos 2v v v ghθ==+ 2cos n v a g θρ==⇒()3222cos v gh vg gv ρθ+== 例3、求椭圆：22221x y A B+= 在顶点处的曲率半径。

（A ＞B ）解：如图2-4，令斜面倾角α满足： cos BAα=设一质点在些斜面上做匀速圆周运动，速率为v ，半径为A ，其加速度2v a A=方向指向圆心O '在P 点：1cos v v α=（y 方向）21v a A=（－x 方向）11v a ⊥ 故有： 222211221v v B A B a A v Aρ==⋅=在Q 点：2v v = （－x 方向） 22cos v a Aα=（－y 方向） 22v a ⊥ ⇒ 2222222v A A A v a v B Bρ⋅==⋅= ( 21ρρ>，合理吗？)例4、求cos y A α=，0x =处曲率半径 解：设0x v t = ()0cos y A v t ⇒=显然：()000sin x y v v v v A v t =⎧⎪⎨=-⎪⎩()2000cos x ya a v A v t =⎧⎪⎨=-⎪⎩ 0x =时，即0t = 200y nx a a v A a v v v ⎧===⎪⎨==⎪⎩ 2201A v v A A ρ⇒== 例5、如图2-5，一只狐狸以不变的速度V 1沿直线AB 逃跑，猎犬以不变的速率V 2追击，运动方向始终对准狐狸，设某时刻狐狸在F 处，猎犬在D 处，且FD=AB ，FD=L ，求猎犬此时加速度之大小及D 点处轨迹曲线的曲率半径。