一道2018年全国数学联赛题的解法探析与推广

当y\ = y；时』2 =-人，故乃=o,此时点P与点o
重合,与条件不符；
当y： +//2 +y： - 192 =0时，注意到①，有（yf + y；）2=192 + （yj2）2=208.
因胃+分=4/17 >8 = I2yiyj,故满足①以及昇
+必=4/丙的实数y, ）?2存在.对应可得满足条件的
解法2 （利用已有结论）先给岀一个引理： 引理 若两条直线 /, ：y-y（）= -%） （i = 1 ,2） 与抛物线r-.y2 =2px（p >0）有四个交点，则这四个交 点共圆的充要条件是杠+他=0.
限于篇幅.该引理的证明不再给出，其证明可参
阅文[1].
2
2
2
设川（扌‘X ） ' B（亍,乃），P（彳■）'由条件知刃,
2020年2月1日
理科考试研究•数学版
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交点轨迹是解析几何研究的重要专题,解析几何中求 轨迹方程的方法有：定义法、几何法、五步直译法、交 轨法等.交轨法显著特点是“设而不求，消参数”，广义 上讲就是参数法，但又不完全等同.交轨法是将动点 置于具有同一参数的两曲线族的交点上，具体做法 是:首先选一个参数，将两条动直线用含有这个参数 的直线系表示;其次,采用适当方式消去这个参数，则 所得方程即为所求. 3习题演练
即点P的轨迹方程为/ -/ =4.
2
2
题2已知MN是椭圆耳+告=1中垂直于长轴
a I）
的动弦，点4,B是椭圆长轴的两个端点，求直线MA
和直线MB的交点P的轨迹方程.
解析 设 M （ QCOS&, bsin&），贝I」TV （ acosO,-
bsin0).
所以丄- bsi110 j
bsin。
x + a acosO'x - a
维、发展学生能力.善于对教材数学知识进行深入挖
掘，注重知识本质的教学，落实学生的核心素养的
培养.
参考文献：
[1]赖淑明.“交轨法”形式背后的内容[J].中学数学研究 （华南师范大学版）.2017（07） ：32 -33.
（收稿日期：2019-10-04）
-道2018年全国数学联赛题的解法探析与推广
林国红
即胃 +64yjy； - 192,v； =y： + 64}；y, - 192y；. 故（胃-y?） - （/ +n/2 +y： -192） =0.
因为A,O,B,P四点共圆，由引理可得*加=-kl）A
直线PF平分Z.APB等价于P4到PF的角等于
题1 （2017年全国m卷文、理）在直角坐标系 [X = 2 +1
xOy中,直线人的参数方程为 ,（t为参数），直
rX = -2 + m
线人的参数方程为
m
R=T
（m为参数），设人与
12的交点为点P,当*变化时，点P的轨迹为曲线C. 写出C的普通方程.
解析 将参数方程转化为一般方程=
2） = *& +2），两式相乘消k可得/ 一员=4
①
注意到外接圆过点。，可设该圆的方程为
X2 + / +dx +ey =0,与x =弓■联立得仝+ （ 1 +乎）犷+
4
lo
4
ey=0,该四次方程有y=y,,y2,y3.0这四个不同的实
根，故由韦达定理得X +y2 +方+ 0= 0.
所以 y3 = -（7i +y2）-
②
因PF平分厶APB,由角平分线定理知，脇 =
背景,命题人在命制试题时，会对教材予以高度关注,
会从教材中选取典型例题或习题进行加工、改造；再
次,重视概念的理解和数学思想方法的渗透.数学概
念是数学素养的基础，数学运算与推理建立在概念基
础之上，数学思想方法是数学素养的灵魂，唯有如此
复习才能更高质有效.
数学教学需要适度练习，不仅要倡导运用数学知
识解决问题，更倡导在问题解决过程中发散学生思
qcos0 — a
22
两式相乘消去e,得点p轨迹方程为3 -召=i-
a~ b
4反思与启
高三备考首先要熟读考试大纲与说明（新课程标
准）•坐标系与参数方程等知识对大学的数学学习有
非常重要的价值，其知识往往建立在解析几何基础
上，具有一定综合性；其次，要用好教材典例，重视基
础知识及其联系•高考试题会以学生熟悉的问题作为
于点P（不同于点0若PF平分厶APB,求IPFI
的所有可能值. 本赛题是以直线和抛物线相交为背景，题干简洁
明了，主要考查直线与抛物线的位置关系、直线的斜
作者简介：林国红（1977 -）,男，广东佛山人，本科，中学一级教师，研究方向：数学教育.
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率及直线方程、角平分线、圆等基础知识和运算求解
点此时,结合①②知，
\PF\
=今
+
1
=（八y,
+血 丫）2—+4
= y?
+yi -4 —=
.— /U
-
1.
4
4
4
评析从上述解距离公式、抛物线的相
关知识外，还要利用到四次方程的韦达定理、求解六
次方程等,代数变形及运算比较繁琐.从考试的反馈
看，较多的考生由于对运算的信心不足而放弃.
的基本技能，突岀考查学生对数量转化、运算能力、推
理论证能力•作为解答题中的压轴题，难度不小，对考
生的数学思维水平和数学素养有较高的要求.
2解法探析
2
2
解法1 （官方答案）如图1,设（手,
2
力）/（芋』3）,由条件知匕』2』3两两不等且非零.
设直线AB的方程为X = 0 + 1 ,与抛物线方程联
立可得y -4^-4 =0,故y』2=-4.
y2』3两两不等且非零•则紡“= ZL2 214
同理%=討=牛
1耐1 irai
结合①②有,
r n
IP4 12 _ Ipb12 ~ 7
2
匕、2丄/
2
=[（X +力）2 -处『+16（2刃 +『2）2 [（Ti +72）2 -n ] 2 + 16（2y2 +y, ）2
（处-8）2 +16（4胃 +y； -16） （y\ -8）~ + 16（4y； +y： — 16） y； + 64} ] - 192 一* +64y； - 192'
（佛山市乐从中学广东佛山528315）
摘 要：本文对2018年全国髙中数学联赛一试A卷第 11题的解析几何试题进行深入探究，从不同的角度给出四
种证法，并对试题的结论进行推广. 关键词：抛物线；外接圆；平面几何
1题目呈现 题目（2018年全国高中数学联赛一试/1卷第
11题）在平面直角坐标系以"中，设是抛物线長 =4’的过点F（l,0）的弦,A4OB的外接圆交抛物线