(新课标)高考数学一轮复习 第八章 第6讲 知能训练轻松闯关-人教版高三全册数学试题

【优化方案】（新课标）2016高考数学一轮复习 第八章 第6讲 知
能训练轻松闯关
1．已知0＜θ＜π4，则双曲线C 1：x 2
sin 2θ－y 2
cos 2
θ＝1与C 2：y 2cos 2θ－x
2
sin 2θ
＝1的( ) A ．实轴长相等 B ．虚轴长相等 C ．离心率相等 D ．焦距相等
解析：选D ．由双曲线C 1知：a 2＝sin 2θ，b 2＝cos 2θ⇒c 2＝1，由双曲线C 2知：a 2＝cos 2
θ，b 2＝sin 2θ⇒c 2＝1．
2．(2015·福建宁德模拟)已知椭圆x 2a 2＋y 29＝1(a >0)与双曲线x 24－y 2
3
＝1有相同的焦点，
则a 的值为( )
A ． 2
B ．10
C ．4
D ．34
解析：选C ．因为椭圆x 2a 2＋y 29＝1(a >0)与双曲线x 24－y 2
3
＝1有相同的焦点(±7，0)，则
有a 2
－9＝7，∴a ＝4．
3．(2014·高考课标全国卷Ⅰ)已知F 为双曲线C ：x 2－my 2
＝3m (m >0)的一个焦点，则点F 到C 的一条渐近线的距离为( )
A ． 3
B ．3
C ．3m
D ．3m
解析：选A ．双曲线C 的标准方程为x 23m －y 23＝1(m >0)，其渐近线方程为y ＝± 3
3m
x
＝±m
m
x ，即my ＝±x ，不妨选取右焦点F (3m ＋3，0)到其中一条渐近线x －my ＝0的距
离求解，得d ＝3m ＋3
1＋m
＝3．
4．(2015·河南开封模拟)设F 1，F 2分别为双曲线x 2a 2－y 2
b
2＝1(a ＞0，b ＞0)的左，右焦点．若
在双曲线右支上存在点P ，满足|PF 2|＝|F 1F 2|，且F 2到直线PF 1的距离等于双曲线的实轴长，
则该双曲线的离心率为( )
A ．43
B ．53
C ．54
D ．414
解析：选B ．易知|PF 2|＝|F 1F 2|＝2c ，所以由双曲线的定义知|PF 1|＝2a ＋2c ，因为F 2
到直线PF 1的距离等于双曲线的实轴长，所以(a ＋c )2＋(2a )2＝(2c )2，即3c 2－2ac －5a 2
＝0，
两边同除以a 2，得3e 2
－2e －5＝0，解得e ＝53
或e ＝－1(舍去)．
5．(2015·兰州市、张掖市高三联考)已知双曲线x 2a 2－y 2
b
2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点
分别为F 1、F 2，以|F 1F 2|为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点为(3，4)，则此双曲线的方
程为( )
A ．x 216－y 2
9＝1 B ．x 23－y 24＝1
C ．x 29－y 2
16
＝1
D ．x 24－y 2
3
＝1
解析：选C ．由题意知，圆的半径为5，又点(3，4)在经过第一、三象限的渐近线y ＝
b a
x 上，因此有⎩
⎪⎨⎪
⎧a 2＋b 2
＝254＝3×b a ，
解得⎩
⎪⎨⎪⎧a ＝3b ＝4，所以此双曲线的方程为x 29－y 2
16＝1．
6．已知双曲线x 2
9－y 2
a
＝1的右焦点的坐标为(13，0)，则该双曲线的渐近线方程为
________．
解析：依题意知(13)2
＝9＋a ，所以a ＝4，
故双曲线方程为x 29－y 24＝1，
则渐近线方程为x 3±y
2
＝0．
即2x ±3y ＝0．
答案：2x ＋3y ＝0或2x －3y ＝0
7．(2015·浙江六市六校联盟模拟)如图所示，已知双曲线以长方形ABCD 的顶点A ，B 为左、右焦点，且双曲线过C ，D 两顶点．若AB ＝4，BC ＝3，则此双曲线的标准方程为________．
解析：设双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2
b
2＝1(a ＞0，b ＞0)．由题意得
B (2，0)，
C (2，3)，
∴⎩⎪⎨⎪⎧4＝a 2＋b 2
，4
a 2－9
b
2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝1，
b 2＝3，
∴双曲线的标准方程为x 2
－y 2
3＝1．
答案：x 2
－y 2
3
＝1
8．(2015·武汉模拟)已知F 1，F 2分别是双曲线x 2a 2－y 2
b
2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点，P
为双曲线右支上的任意一点．若|PF 1|
2
|PF 2|
＝8a ，则双曲线的离心率e 的取值范围是________．
解析：设|PF 2|＝y ，则(y ＋2a )2＝8ay ⇒(y －2a )2
＝0⇒y ＝2a ≥c －a ⇒e ＝c a
≤3．
答案：(1，3]
9．已知双曲线关于两坐标轴对称，且与圆x 2＋y 2
＝10相交于点P (3，－1)，若此圆过点P 的切线与双曲线的一条渐近线平行，求此双曲线的方程．
解：切点为P (3，－1)的圆x 2＋y 2
＝10的切线方程是3x －y ＝10． ∵双曲线的一条渐近线与此切线平行，且双曲线关于两坐标轴对称， ∴两渐近线方程为3x ±y ＝0．
设所求双曲线方程为9x 2－y 2
＝λ(λ≠0)．
∵点P (3，－1)在双曲线上，代入上式可得λ＝80，
∴所求的双曲线方程为x 2809－y 2
80＝1．
10．已知离心率为4
5的椭圆的中心在原点，焦点在x 轴上，双曲线以椭圆的长轴为实轴，
短轴为虚轴，且焦距为234．
(1)求椭圆及双曲线的方程；
(2)设椭圆的左、右顶点分别为A 、B ，在第二象限内取双曲线上一点P ，连结BP 交椭圆
于点M ，连结PA 并延长交椭圆于点N ，若BM →＝MP →
，求四边形ANBM 的面积．
解：(1)设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，则根据题意知双曲线的方程为x 2a 2－y 2
b
2＝1且
满足
⎩⎪⎨⎪⎧a 2－b 2a
＝45，2a 2＋b 2＝234，
解方程组得⎩⎪⎨⎪
⎧a 2
＝25，b 2＝9. ∴椭圆的方程为x 225＋y 29＝1，双曲线的方程为x 225－y 2
9
＝1．
(2)由(1)得A (－5，0)，B (5，0)，|AB |＝10，设M (x 0，y 0)，则由BM →＝MP →
，得M 为BP 的中点，所以P 点坐标为(2x 0－5，2y 0)．
将M 、P 坐标代入椭圆和双曲线方程，
得⎩⎪⎨⎪⎧x 2025＋y 20
9＝1，（2x 0
－5）2
25－4y 2
9＝1，
消去y 0，得2x 2
0－5x 0－25＝0．
解得x 0＝－5
2
或x 0＝5(舍去)．
∴y 0＝332．由此可得M (－52，332)，∴P (－10，33)．
则直线PA 的方程是y ＝－33
5(x ＋5)，
代入x 225＋y 2
9
＝1，得2x 2
＋15x ＋25＝0．
解得x ＝－5
2或x ＝－5(舍去)，
∴x N ＝－5
2，则x N ＝x M ，所以MN ⊥x 轴．
∴S 四边形ANBM ＝2S △AMB ＝2×12×10×33
2
＝153．
1．(2015·唐山市高三年级统考)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2
b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的焦点为F 1，
F 2，且C 上点P 满足PF 1→
·PF 2→
＝0，|PF 1→
|＝3，|PF 2→
|＝4，则双曲线C 的离心率为( )
A ．
102
B ． 5
C ．52
D ．5
解析：选D ．依题意得，2a ＝|PF 2|－|PF 1|＝1，|F 1F 2|＝|PF 2|2
＋|PF 1|2
＝5，因此该双
曲线的离心率e ＝|F 1F 2|
|PF 2|－|PF 1|
＝5．
2．(2015·山西阳泉高三第一次诊断)已知F 1、F 2分别为双曲线C ：x 2－y 2
＝1的左、右焦点，点P 在双曲线C 上，且∠F 1PF 2＝60°，则|PF 1|·|PF 2|等于( )
A ．2
B ．4
C ．6
D ．8
解析：选B ．由题意知a ＝1，b ＝1，c ＝2， ∴|F 1F 2|＝22，
在△PF 1F 2中，由余弦定理得
|PF 1|2＋|PF 2|2
－2|PF 1||PF 2|cos 60°
＝|F 1F 2|2
＝8，
即|PF 1|2＋|PF 2|2
－|PF 1||PF 2|＝8，①
由双曲线定义得||PF 1|－|PF 2||＝2a ＝2，两边平方得
|PF 1|2＋|PF 2|2
－2|PF 1||PF 2|＝4，② ①－②得|PF 1||PF 2|＝4．
3．(2015·浙江杭州调研)双曲线x 2a 2－y 2
b
2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1和F 2，左、
右顶点分别为A 1和A 2，过焦点F 2与x 轴垂直的直线和双曲线的一个交点为P ，若|PA 1→|是|F 1F 2
→
|和|A 1F 2→
|的等比中项，则该双曲线的离心率为________．
解析：由题意可知|PA 1→|2＝|F 1F 2→|×|A 1F 2→|，即⎝ ⎛⎭
⎪⎫b 2a 2＋(a ＋c )2＝2c (a ＋c )，化简可得a
2
＝b 2，则e ＝c
a
＝
c 2a 2＝a 2＋b 2
a 2
＝2． 答案： 2
4．已知c 是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的半焦距，则b －c
a
的取值范围是________．
解析：b －c a ＝c 2－a 2－c a ＝e 2
－1－e ＝－1e 2－1＋e
，由于e ＞1，且函数f (e )＝－
1e 2－1＋e
在(1，＋∞)上是增函数，那么b －c
a 的取值范围是(－1，0)．
答案：(－1，0)
5．(2015·湛江模拟)已知双曲线x 2a 2－y 2
b
2＝1(a ＞0，b ＞0)的右焦点为F (c ，0)．
(1)若双曲线的一条渐近线方程为y ＝x 且c ＝2，求双曲线的方程；
(2)以原点O 为圆心，c 为半径作圆，该圆与双曲线在第一象限的交点为A ，过A 作圆的
切线，斜率为－3，求双曲线的离心率．
解：(1)∵双曲线的渐近线方程为y ＝±b a
x ，∴a ＝b ， ∴c 2
＝a 2
＋b 2
＝2a 2
＝4， ∴a 2＝b 2
＝2，
∴双曲线方程为x 22－y 2
2
＝1．
(2)设点A 的坐标为(x 0，y 0)，
∴直线AO 的斜率满足y 0x 0
·(－3)＝－1， ∴x 0＝3y 0，①
依题意，圆的方程为x 2＋y 2＝c 2
，
将①代入圆的方程得3y 20＋y 20＝c 2
，即y 0＝12c ，
∴x 0＝
32
c ， ∴点A 的坐标为(
32c ，1
2c )， 代入双曲线方程得34c 2a 2－14
c 2b
2＝1， 即34b 2c 2－14a 2c 2＝a 2b 2
，② 又∵a 2＋b 2＝c 2
，
∴将b 2＝c 2－a 2
代入②式，整理得 34
c 4
－2a 2c 2＋a 4＝0， ∴3(c a )4－8(c a )2＋4＝0， ∴(3e 2－2)(e 2
－2)＝0， ∵e ＞1，∴e ＝2，
∴双曲线的离心率为2．
6．(选做题)直线l ：y ＝3(x －2)和双曲线C ：x 2a 2－y 2
b
2＝1(a >0，b >0)交于A ，B 两点，
且|AB |＝3，又l 关于直线l 1：y ＝b
a
x 对称的直线l 2与x 轴平行．
(1)求双曲线C 的离心率e ； (2)求双曲线C 的方程．
解：(1)设双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1过一、三象限的渐近线l 1：x a －y
b
＝0的倾斜角为α．
因为l 和l 2关于l 1对称，记它们的交点为P ，l 与x 轴的交点为M ． 而l 2与x 轴平行，记l 2与y 轴的交点为Q ． 依题意有∠QPO ＝∠POM ＝∠OPM ＝α．
又l ：y ＝3(x －2)的倾斜角为60°，则2α＝60°，
所以tan 30°＝b a ＝3
3．
于是e 2
＝c 2a 2＝1＋b 2a 2＝1＋13＝43
，
所以e ＝23
3
．
(2)由于b a ＝33，于是设双曲线方程为x 23k 2－y 2k
2＝1(k ≠0)，即x 2－3y 2＝3k 2
．
将y ＝3(x －2)代入x 2－3y 2＝3k 2
中，
得x 2－3×3(x －2)2＝3k 2
．
化简得到8x 2－36x ＋36＋3k 2
＝0． 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，
则|AB |＝1＋3|x 1－x 2|＝2（x 1＋x 2）2
－4x 1x 2
＝2×362－4×8×（36＋3k 2）8
＝9－6k 2
＝3，
解得k 2
＝1．
故所求双曲线C 的方程为x 2
3－y 2
＝1．。