广东省实验中学2013-2014学年高一上学期期中模块数学试卷.doc

广东省实验中学2013-2014学年高一上学期期中模块数学试卷
本试卷分基础检测与能力检测两部分，共4页．满分为150分。

考试用时120分钟． 注意事项：
1．答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号填写在答卷上，并用2B 铅笔填涂学号．
2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，不能答在试题卷上．
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原的答案，然后写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．
第一部分 基础检测(共100分)
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的． 1．已知{}4,3,2,1=U ，{}4,3,1=A ，{}4,3,2=B ，那么=)(B A C U （ ）
A ．{}2,1
B ．{}4,3,2,1
C ．φ
D ．{}φ
2．给定映射f A→B (x,y)→(2x ,lg(y 2+1)),在映射f 下A 中与B 中元素(1,0)的对应元素．．．．
为( ) A ．(0,0) B ．(2,lg3) C ．(0,3) D ．(2,0)
3．下列幂函数中过点)0,0(，)1,1(的偶函数是（ ）
A ．2
1
x y = B ．4x y = C ．2
-=x y D ．3
1x y =
4．已知23=a
，则8log 6log 233-等于（ ） A ．a -2 B ．12
+-a a
C ．a 52-
D ．a a 32
-
5．若x 0是方程ln x + x = 3的解，则x 0属于区间( ) A ．(0，1) B ．(1，2) C ．(2，3) D ．(3，4)
6．若()
1,1
-∈e x , x a ln =, x b ln )2
1(=, x e c ln =，则（ ）
A ．a b c >>
B ．c a b >>
C ． c b a >>
D ．a c b >>
7．若函数[)[]⎪⎩
⎪⎨⎧∈-∈=1,0,40,1,41)(x x x f x x ）（，则=)3(log 4f （ ）
A ．
3
1
B ．3
C ．
4
1 D ． 4
8．对于函数 f (x ) 中任意的 x 1、x 2（x 1≠x 2）有如下结论：
① f (x 1·x 2) = f (x 1) + f (x 2)； ②f (x 1 + x 2) = f (x 1)·f (x 2)；
③f (－x 1) = 1
f (x 1) ； ④ f (x 1) －1x 1 < 0 (x 1 ≠ 0)； ⑤ f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2 > 0. 当 f (x ) = 2x 时，上述结论中正确结论的个数是( ) A ．2个
B ．3个
C ．4个
D ．5个
二、填空题：本大题共4小题，每小题6分，共24分． 9
．函数2()lg(31)f x x =
+的定义域是___________.
10．函数1
()422(0)x
x f x x +=++ ≤的值域是
11．已知22)1(++=-x x x f ，则()f x =
12．若直线1y = 与曲线2
||y x x a =-+有四个交点，则实数a 的取值范围是 .
三、解答题：本大题共3小题，每项小题12分，共36分．解答应写出文字说明、证明过
程或演算步骤．
13．化简或求值：（本小题满分12分）
（1）220.533
27492()()(0.008)8925
---+⨯ （2
）计算2
lg 5lg8000(lg 11
lg 600lg 36lg 0.01
22
⋅+--.
14．（本小题满分12分）
已知全集．．{|0}U x x =>，集合{}73|<≤=x x A ，{}102|<<=x x B ，
{}a x a x C <<-=5|.
(1) 求B A ，()
U C A B ；
(2) 若()B A C ⊆，求a 的取值范围. 15．（本小题满分12分）
设b
a
x f x x ++-=+122)(（b a ,为实常数）。

（1）当1==b a 时，证明：①
)(x f 不是奇函数；
②()f x 是R 上的单调递增函数。

（2）设)(x f 是奇函数，求a 与b 的值。

第二部分 能力检测(共50分)
四、填空题：本大题共2小题，每小题5分，共10分．
16．已知函数)(x f 是定义在),(∞+∞-上的偶函数. 当)0,(∞-∈x 时，4)(x x x f -=，则
当),0(∞+∈x 时，=)(x f .
17．定义在R 上的奇函数()f x ,当0x ≥时,()()[)[)12
log 1,0,113,1,x x f x x x ⎧+∈⎪=⎨⎪--∈+∞⎩,则方程
()1
2
f x =
的所有解之和为 ． 五、解答题：本大题共3小题，共40分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 18．（本小题满分13分）
设不等式2112
2
2(log )3log 10x x -+≤的解集为M ，求当x ∈M 时函数
22()(log )(log )28
x x
f x =的最大、最小值.
19．（本题满分13分）
定义在(1,1)-上的函数)(x f 满足：①对任意x ，∈y (1,1)-都有：
()()()1x y f x f y f xy
++=-； ②当∈x (1,0)-时，0)(>x f ，回答下列问题．
（1）证明：函数()f x 在(1,1)-上的图像关于原点对称； （2）判断函数)(x f 在(0,1)上的单调性，并说明理由． （3）证明：21
111
()()(
)()713
332
f f f f n n +++>++，()n Z ∈。

20．（本小题满分14分）
已知4()log (41),)x f x kx k R =++∈是偶函数. (1)求k 的值;
(2)证明对任意实数b ,函数()y f x =的图像与直线1
2
y x b =+最多只有一个交点; (3)设44
()log (2),3
x
g x a a =⋅-
若函数()()f x g x 与的图像有且只有一个公共点,求实数 a 的取值范围.
广东实验中学2013—2014学年高一级模块考试
数学参考答案 第一部分 基础检测(共100分)
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的． 1～8 C A B A C D B B
二、填空题：本大题共4小题，每小题6分，共24分．
9．1(,1)3- 10．(2,5] 11． ()f x = 2
45x x ++ 12.5(1,)4
.
三、解答题：本大题共3小题，每项小题12分，共36分．解答应写出文字说明、证明过
程或演算步骤．
13．化简或求值：（本小题满分12分）
（1）22
0.533
2749
2()()(0.008)8925
---+⨯ （2）计算2
lg 5lg8000(lg 11
lg 600lg 36lg 0.01
22
⋅+--.
解：（1）原式=22
133284910002
()()(
)279825
-+⨯ ………………………………3分 472171
252932599
=
-+⨯=-+= ………………………………6分 （2）分子=3)2lg 5(lg 2lg 35lg 3)2(lg 3)2lg 33(5lg 2=++=++；…9分
分母=(lg 62)lg 613+-+=；
∴原式=1. ………………………… ………………12分
14（（本小题满分12分）
已知全集．．{|0}U x x =>，集合{}73|<≤=x x A ，{}102|<<=x x B ，
{}a x a x C <<-=5|.
(1) 求B A ，()
U C A B ；
(2) 若()B A C ⊆，求a 的取值范围.
解：1）{|210}A B x x =<<；……………………………3分
{|037}U C A x x x =<<≥或……………………………4分
()
U C A B {|23710}x x x =<<≤<或……………………………6分
2）①若C 为空集，则5a a -≥，解得：5
2
a ≤………………………8分 ②若C 不是空集，则2510a a ≤-<≤，解得：5
32
a <≤………11分
综上所述，3a ≤ ………………………12分
15. （本小题满分12分）
设b
a
x f x x ++-=+122)(（b a ,为实常数）。

（1）当1==b a 时，证明：①
)(x f 不是奇函数；
②()f x 是R 上的单调递减函数。

（2）设)(x f 是奇函数，求a 与b 的值。

15解：（1）①1212)(1++-=+x x
x f ，511212)1(2-=++-=f ，4
12121)1(=+-
=-f ，
所以)1()1(f f -≠-，)(x f 不是奇函数； ……………2分
②设21x x >，则21
212111
1212(),()1212
x x x x f x f x ++--==++……………3分 21()()f x f x -=2121122121111111
1212(12)(12)(12)(12)
1212(12)(12)x x x x x x x x x x ++++++---+--+-=++++ 1222113(22)
(12)(12)
x x x x ++-=
++ ……………5分 因为21x x >，所以12220x
x
-<，又因为1211
(12)(12)0x x ++++>，
所以21()()0f x f x -< ……………6分 所以21()()f x f x <，
所以()f x 是R 上的单调递减函数。

……………7分 （2）)(x f 是奇函数时，)()(x f x f -=-，
即b
a b a x x x x ++--=++-++--1
12222对任意实数x 成立，
化简整理得0)2(2)42(2
)2(2=-+⋅-+⋅-b a ab b a x x
，这是关于x 的恒等式，
……………10分 所以⎩⎨
⎧=-=-0
42,
02ab b a 所以⎩⎨⎧-=-=21b a 或⎩⎨⎧==21b a 。

……………12分
（2）另解：若0b ≥，则由(0)0f =，得1a = ……………8分 由(1)(1)f f -=-，解得：2b =； ……………9分 经检验符合题意。

……………10分 若0b <，则由1
2
0x b ++=，得2log ()1x b =--，因为奇函数的定义域关于原点对称，
所以2log ()10b --=，所以2b =-， ……………11分 由(1)(1)f f -=-，解得：1a =-； 经检验符合题意。

所以⎩⎨
⎧-=-=21b a 或⎩⎨⎧==2
1
b a 。

……………12分
第二部分 能力检测(共50分)
四、填空题：本大题共2小题，每小题5分，共10分． 16．4
x x --. 17
五、解答题：本大题共3小题，共40分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 18. （本小题满分13分）
设不等式2112
2
2(log )3log 10x x -+≤的解集为M ，求当x ∈M 时函数
22()(log )(log )28
x x
f x =的最大、最小值.
解：由2112
2
2(log )3log 10x x -+≤得112
2
(2log 1)(log 1)0x x --≤，……………2分
解得：
12
1
log 12x ≤≤， … …4分
所以
12x ≤≤ ……………
5分 所以M = ……………6分
22()(log )(log )28
x x
f x ==222(lo
g )4log 3x x -+ ……………8分
令2log ,t x =，则1
[1,]2
t ∈-- ……………9分
所以2(2)1y t =--在1[1,]2
t ∈--上单调递减， ……………10分 所以当12t =-时取最小值为4
21，当1t =-取最大值为8……………13分。

19.（本题满分13分）
定义在(1,1)-上的函数)(x f 满足：①对任意x ，∈y (1,1)-都有：
()()()1x y
f x f y f xy
++=-； ②当∈x (1,0)-时，0)(>x f ，回答下列问题．
（1）证明：函数()f x 在(1,1)-上的图像关于原点对称； （2）判断函数)(x f 在(0,1)上的单调性，并说明理由． （3）证明：2
1111
()(
)(
)()713
332
f f f f n n +++>++，()n Z ∈。

19解：（1）令0)0(0=⇒==f y x ，令y x =-，则)(0)()(x f x f x f -⇒=-+
)()(x f x f ⇒-=在(1,1)-上是奇函数．………………4分
（2）设1021<<<x x ，则12
121212
()()()()(
)1x x f x f x f x f x f x x --=+-=+，…………6分
而120x x -<，1210x x +>12121212
0()011x x x x
f x x x x --⇒
<⇒>++．………………7分
即当21x x <时，)()(21x f x f >．
∴f （x ）在（0，1）上单调递减．………………8分
（3）2
1
11(1)(2)
()[][]133(1)(2)11(1)(2)
n n f f f n n n n n n ++==++++++
++ 111111
12[]()()()()1112121()12n n f f f f f n n n n n n -
++==+-=-++++--++
2111()()()71333
f f f n n ∴+++++
111111[()()][()()][()()]233412f f f f f f n n =-+-++-++
11()()22f f n =-+
1101,()(0,1)()(0)022f x f f n n <<∴<=++且在单减，
111()()()222f f f n ∴->+
21111()()()()713332
f f f f n n ∴+++>++………………13分
20．（本小题满分14分）
已知4()log (41),)x f x kx k R =++∈是偶函数. (1)求k 的值;
(2)证明对任意实数b ,函数()y f x =的图像与直线1
2
y x b =+最多只有一个交点; (3)设44
()log (2),3
x
g x a a =⋅-
若函数()()f x g x 与的图像有且只有一个公共点,求实数 a 的取值范围.
解：（1）由.2
1:)1()1(-==-k f f 得 经检验的2
1
-=k 满足题意；………2分
（2）证明.212
1)14(log 4最多只有一组解即证方程组⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧+=-+=b x y x y x
.414:最多只有一个实根即证方程b x x +=+⇒ ………4分
下面用反证法证明
假设上述方程有两个不同的解).(,2121x x x x ≠则有
0)44(4444
14414212122
11=⇒-=-⇒⎪⎩⎪⎨⎧=+=+++b x x b x x b
x x b
x x .但x
x b 414,0=+=时不成立.故假设不成立.从而结论成立. ………7分
（3）问题转化为方程.0123
4
)2()1(2
只有唯一解=-⋅-⋅-x x a a ………9分 令
.)0(013
4
)1(:,22只有唯一正根的方程则可化为关于>=---=t at t a t t x (10)
分
若1=a ,则上述方程变为0123
4=-⋅-x
,无解.故.1≠a ………11分 若二次方程(*)两根异号,即
101
1
>⇒<--a a .此时方程(*)有唯一正根,满足条件; ………12分
若二次方程(*)两根相等且为正,则01
0 3.14302(1)
a a a
a ⎧⎪⎪
∆=⎪⎪->⇒=-⎨-⎪
⎪
-⎪-
>⎪-⎩ ………13分
故a 的取值范围是{}
.13>-=a a a 或 ………14分。