直角三角形复习
解直角三角形 复习
仰角
水平线 俯角
视线
2）方向角
以正南或正北方向为准，正南或正北方向 线与目标方向线构成的小于900的角,叫做方 向角.如图所示：
北 30° 东 A 西北 45° 西 O 45° B 南 西 O 45° 西南 南 东南 东 北 东北
3）坡度（坡比）,坡角的概念
在修路、挖河、开渠和筑坝时，设计图纸上都要注明斜 坡的倾斜程度. 如图:坡面的铅垂高度（h）和水平长度（l）
∵AB=AC-BC， 即20= 3 x-x． 解得x=10 3 +10．
∴BD=BC+CD=BC+EF =10 3+10+35≈45+10×1.732≈62.3（m）． 所以小山BD的高为62．3m．
5．解：在Rt△ADE中，DE=3 ， 2 ∠DAE=45°， DE ∴sin∠DAE= AD ，
∴AD=6． 又∵AD=AB， BC 在Rt△ABC中，sin∠BAC= AB ，
∴BC=AB· sin∠BAC=6· sin65°≈5.4． 答：点B到地面的垂直距离BC约为5.4米．
7．解：过点A作AH⊥CD，垂足为H． 由题意可知四边形ABDH为矩形， ∠CAH=30°， ∴AB=DH=1.5，BD=AH=6． CH 在Rt△ACH中，tan∠CAH= AH ， 3 ∴CH=AH· tan∠CAH=6tan30°=6× =2 3 3 ∵DH=1.5，∴CD=2 3 +1.5． 在Rt△CDE中 ， CD ∵∠CED=60°，sin∠CED= ∴CE=
FG ∵AG= tan 50
=17.12，
AE=AB· cos68°=22cos68° ≈8.24， ∴BF=AG-AE=8.88≈8.9 （ m）． 即BF至少是8.9m．
初三数学解直角三角形专题复习
第五讲解直角三角形一、【知识梳理】知识点 1、 解直角三角形定义： 由直角三角形中已知元素求出未知元素的过程叫解直角三角形。
知识点 2、解直角三角形的工具：1、直角三角形边、角之间的关系：sinA=cosB=a b a bsinB=cosA=ctanA=cotB=cotA=tanB=cba2、直角三角形三边之间的关系 ： a 2 b 2 c 2 （勾股定理）3、直角三角形锐角之间的关系：AB 90 。
（两锐角互为余角）知识点3、解直角三角形的种类：能够概括为以下2 种，（1）、已知一边和一锐角解直角三角形；知识点 4、解直角三角形应用题的几个名词和素语1、方向角：（ 2）、已知两边解直角三角形。
在航海的某些问题中，描绘船的航向，或目标对观察点的地点，常用方向角.画方向角时，常以铅直的直线向上的方向指北，而以水平直线向右的方向为东，而以交点为观察点.2、仰角和俯角在利用测角仪察看目标时，视野在水平线上方和水平线的夹角称为仰角，视野在水平线下方和水平线的夹角称为俯角（如图）. 在丈量距离、高度时，仰角和俯角常是不行缺乏的数据.3、坡度和坡角：在筑坝、修路时，常把坡面的铅直高度 h 和水平宽度 l 的比叫作坡度（或坡比），用字母i 表示（如图（ 1）），则有 ih, 坡面和水平面的夹角叫作坡角.明显有： ih tan，l. l这说明坡度是坡角的正切值，坡角越大，坡度也越大二、【典型题例】考点 1、解直角三角形例 1．、 1、在 ABC 中，C 为直角， A 、B 、C 所对的边分别为 a 、 b 、 c ．（ 1）已知 b3 ， A30 ，求 a 和 c ．（ 2）已知 a20 ， b 20 ，求A ．2、如图，已知△ ABC 中∠ B=45 °，∠ C=30°， BC=10 ， AD 是 BC 边上的高，求 AD 的长3、已知，如图，△ABC 中，∠ A=30 °， AB=6 ， CD ⊥ AB 交C AAB 延伸线于 D ，∠ CBD=60 °。
中考解直角三角形知识点整理复习
中考解直角三角形知识点整理复习解直角三角形是中考数学中的一个重要内容，考查学生对于三角函数的理解和运用能力。
下面是对于中考解直角三角形知识点的整理复习。
一、基本概念1.直角三角形：一个内角为直角（90°）的三角形。
2.角的三要素：角的名称、角的度数、角的符号（顺时针为负，逆时针为正）。
二、特殊角度的三角函数值1.0°和90°的三角函数值：正弦函数sin：sin0° = 0，sin90° = 1；余弦函数cos：cos0° = 1，cos90° = 0；正切函数tan：tan0° = 0，tan90° 不存在。
2.30°和60°的三角函数值：正弦函数sin：sin30° = 1/2，sin60° = √3/2；余弦函数cos：cos30° = √3/2，cos60° = 1/2；正切函数tan：tan30° = 1/√3，tan60° = √3三、三角函数在特定角度的性质1. 正弦函数sin的性质：当角A的终边经过点(x,y)时sinA = y/r其中r是点(x,y)到原点(0,0)的距离。
2. 余弦函数cos的性质：当角A的终边经过点(x,y)时cosA = x/r其中r是点(x,y)到原点(0,0)的距离。
3. 正切函数tan的性质：当角A的终边经过点(x,y)时tanA = y/x其中x不等于0。
4.三角函数的周期性：三角函数sin、cos、tan均是周期函数，其中sin和cos的周期是360°或2π弧度，tan的周期是180°或π弧度。
四、特殊角的三角函数值的计算1.特殊角度的三角函数值：根据三角函数在标准位置上的定义，可以计算出不同角度的三角函数值。
2.夹角的三角函数值：两个夹角相等的三角函数值相等，例如sin(A+B)=sinC。
直角三角形的总复习
直角三角形的总复习直角三角形是初中数学中一个非常重要的几何图形，它具有许多独特的性质和定理，在解决数学问题和实际生活中的应用中都发挥着重要作用。
接下来，让我们对直角三角形进行一次全面的总复习。
一、直角三角形的定义有一个角为 90 度的三角形，叫做直角三角形。
直角所对的边称为斜边，其余两条边称为直角边。
二、直角三角形的性质1、直角三角形的两个锐角互余。
也就是说，如果一个直角三角形的一个锐角为∠A，另一个锐角为∠B，那么∠A ＋∠B ＝ 90°。
2、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
这是一个非常有用的性质，在很多几何证明和计算中都经常用到。
3、直角三角形中，如果一个锐角等于 30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。
反之，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角为 30°。
4、直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方，这就是著名的勾股定理。
如果直角三角形的两条直角边分别为 a 和 b，斜边为 c，那么 a²＋ b²＝ c²。
三、直角三角形的判定1、有一个角为 90°的三角形是直角三角形。
2、如果一个三角形的两条边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。
3、如果一个三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形。
四、直角三角形的周长和面积1、周长：直角三角形的周长等于三条边的长度之和。
2、面积：直角三角形的面积等于两条直角边乘积的一半。
如果两条直角边分别为 a 和 b，那么面积 S ＝ 1/2 a b。
五、勾股定理的应用勾股定理在解决直角三角形的边长计算问题中应用广泛。
例如，已知两条直角边的长度，可以求出斜边的长度；已知斜边和一条直角边的长度，可以求出另一条直角边的长度。
在实际生活中，勾股定理也有很多应用。
比如，在建筑施工中，工人可以利用勾股定理来确定建筑物的直角是否准确；在测量距离时，如果能够构成直角三角形，也可以通过勾股定理来计算出未知的距离。
直角三角形复习
E 25
了多少米后，梯子与水
平方向成３０°角？
D
B 7C
6、在ΔABC中，如果∠A+ ∠B= ∠C， 且AC=1 AB，则∠B=______。
2
7、如图ΔABC中， ∠ACB=90°,CD ⊥AB,
B D
垂足是D,BC=5cm，
BD=12 BC， 则AD= cm。
C
A
8、放学以后，小红和小颖从学校分手，分别沿 着东南方向和西南方向回家，若小红和小颖行走 的速度都是40米/分，小红用15分钟到家，小颖 用20分钟到家，小红和小颖家的距离为( ） A、600米 B、800米 C、1000米 D、不能确 定
∴ ∠BAC的度数为900 或750或 150
二、如图，A、E、F、C在一条直线上，AE=CF， 过E、F分别作DE⊥AC，BF⊥AC，若AB=CD，请说明： 1、BD平分EF
2、若将ΔDEC的边EC沿AC方向移动变为图（2）时 其余条件不变，上述结论是否成立，请说明理 由。
B
B
A
E
F
G
C
A
E FG
∵ AD=1/2BC=1/2AB
AD ⊥BC
∴ ∠B= 300
B
∴ ∠BAC= ∠C= 1/2（1800﹣300 )= 750
D
C
A
（2）当顶角B为钝角时，如图：
∵ AD ⊥BC
AD=1/2BC=1/2AB
B
∴ ∠ABD= 300 ∴ ∠BAC= ∠C= 1/2 ∠ABDC = 150
D A
（3）当顶点B为直角时，高AD与腰AB重合 则有AD=AB=BC，与已知矛盾，故∠B≠ 900
5.已知△ABC中, ∠C= 90°，A
直角三角形的总复习
直角三角形的总复习同学们，咱们今天要来好好复习一下直角三角形啦！这可是数学中的一个重要角色，就像我们生活中的小超人，关键时刻总能发挥大作用。
先来说说直角三角形的定义吧。
它呀，就是有一个角是直角的三角形。
那这个直角可不得了，就像班级里的班长，地位特殊，一下子就把这个三角形给定了型。
咱们来看看直角三角形的边的关系。
还记得勾股定理吗？那可是直角三角形的大法宝！a²＋ b²＝ c²，这里的 a、b 是两条直角边，c 是斜边。
就比如说，有一个直角三角形，两条直角边分别是 3 和 4，那斜边是多少呢？咱们一算，3 的平方是 9，4 的平方是 16，加起来 25，所以斜边就是 5 啦。
再说说直角三角形的角的关系。
直角三角形里除了直角，另外两个锐角的和一定是 90 度。
这就像我上次看到两个小朋友一起玩跷跷板，一个高一个低，合起来刚好平衡，这就跟直角三角形的锐角关系一样，互补又和谐。
还有特殊的直角三角形，比如等腰直角三角形。
它的两条直角边相等，角度也有特点，两个锐角都是 45 度。
想象一下，它就像一个对称的小风筝，漂亮又特别。
咱们在生活中也经常能看到直角三角形的身影呢。
就像盖房子的时候，工人师傅搭的脚手架，好多地方都有直角三角形，这样结构才牢固。
还有我们的书桌，四个角看起来也像是直角三角形变来的。
接下来，咱们做几道题练练手。
比如这道：一个直角三角形的斜边是 10，一条直角边是 6，求另一条直角边。
大家赶紧算算。
复习了这么多，大家是不是对直角三角形更熟悉啦？其实数学就藏在我们的生活中，只要我们细心观察，就能发现它的奇妙之处。
希望大家以后看到直角三角形，都能像看到老朋友一样亲切，轻松解决相关的问题！。
直角三角形专题复习
直角三角形专题复习直角三角形是一种特殊的三角形，其中一个角度为90度。
在直角三角形中，我们常常用三条边的长度来计算各种属性，如角度、边长和面积等。
1. 直角三角形的属性直角三角形的属性包括三个角度和三条边的长度。
根据勾股定理，直角三角形的两个较短边的长度的平方之和等于最长边的长度的平方。
2. 常见的直角三角形公式在解决直角三角形相关问题时，我们可以利用以下常见的公式：- Sine定理：用于计算角度或边长之间的关系，公式为：sin(A) = a / c，sin(B) = b / c，sin(C) = a / b。
- Cosine定理：用于计算边长之间的关系，公式为：c^2 = a^2 + b^2 - 2ab * cos(C)，b^2 = a^2 + c^2 - 2ac * cos(B)，a^2 = b^2 + c^2 - 2bc * cos(A)。
- 边长比例：在两个相似的直角三角形中，对应边长的比例相等，例如：a / a' = b / b' = c / c'。
3. 直角三角形的应用直角三角形的应用广泛，例如在建筑、测量和导航中都有很多应用。
以下是一些常见的应用场景：- 测量：使用直角三角形的边长关系，可以测量无法直接测量的物体的高度或距离。
- 导航：利用航海三角法，通过观测海上和船上的角度，可以确定船舶位置和方向。
- 锚定：在船上使用锚定技术时，直角三角形可以帮助确定适当的锚链长度和角度。
4. 总结直角三角形是一个重要的几何形状，具有特殊的属性和应用。
掌握直角三角形的基本概念和公式，有助于我们解决各种与角度、边长和面积等相关的问题。
直角三角形复习课件
除了基本的面积公式外，还可以通过分割法、补形法等技巧来计算 面积。
利用相似三角形进行计算
在某些情况下，可以利用相似三角形的性质来简化计算过程。
05
直角三角形在实际生活中的应用
测量中的应用
确定物体的高度
通过测量影子的长度，利用相似三角 形的性质，可以计算出物体的高度。
计算距离
在航海、航空和地形测量中，利用直 角三角形可以计算出两点之间的距离 。
THANKS
感谢观看
建筑中的应用
建筑设计
在建筑设计中，直角三角形常被用于确定建筑物的比例和稳定性。
结构分析
在建筑结构分析中，利用直角三角形可以计算出结构的承载能力和稳定性。
其他应用
机械制造
在机械制造中，直角三角形被广泛应用 于各种机构的设计和制造中，如齿轮、 链条等。
VS
物理学
在物理学中，直角三角形被广泛应用于力 的合成与分解、速度和加速度的计算等。
毕达哥拉斯定理
在直角三角形中，斜边的 平方等于两直角边的平方 和。
角平分线定理
在直角三角形中，角平分 线将直角分为两个相等的 角。
射影定理
在直角三角形中，直角边 的长度等于斜边与其上高 线的乘积。
判定依据
根据定义
根据角边角法
如果一个三角形有一个角为90度，则 它是直角三角形。
如果两个角和它们所对的边分别相等 ，则它是直角三角形。
03
直角三角形的判定
判定方法
01
02
03
定义法
根据直角三角形的定义， 一个三角形如果有一个角 为90度，则它是直角三角 形。
勾股定理法
如果一个三角形的三边满 足勾股定理，即最长边的 平方等于其他两边的平方 和，则它是直角三角形。
直角三角形知识点及复习
直角三角形知识点一、直角三角形的性质1、Rt △的两个锐角互余（∠A+∠B=90°）2、斜边上的中线等于斜边的一半（若D 为斜边AB 的中点，则CD ＝12AB ） 3、30°角所对直角边等于斜边的一半（若∠A ＝30°，∠C=90°，CB=12AB ）4、勾股定理：两直角边的平方和等于斜边的平方（若∠C=90°，则222a b c +=） 二、直角三角形的判定1、有两个锐角互余的△是直角三角形。
2、如果一个三角形中，一条边上的中线等于这条边的一半，那么这条边所对的角为90°3、勾股定理的逆定理：如果三角形三边满足222a b c +=，则∠C ＝90°。
用法：（1）选出最大边；（2）计算较小两边的平方和；（3）比较最大边的平方与较小两边的平方和；（4）如果两者相等，则最大边所对的角为直角。
三、常用几个结论：（1）（2）直角三角形斜边上的高＝两直角边乘积除以斜边。
公式为c ab h c=（3）常见的勾股数： （3k ，4k ，5k ）（5k ，12k ，13k ）（7k ，24k ，25k ）（8k ，15k ，17k ）（9k ，40k ，41k ）（4）在求曲面上的最短距离时，先把曲面展开成平面图形，画出起点到终点的线段，就是最短距离，一般需要用到勾股定理。
（1）蚂蚁沿着圆柱表面爬行，最短距离例1 如图1有一个圆柱,它的高等于12cm ,底面周长为10cm ，在圆柱的下底面A 点上有一只蚂蚁，他想吃到上底面上与A 点相对的B 点处的食物，需要爬行的最短路程是多少?分析：可以把圆柱的侧面展开，其展开图为矩形，如图3所示。
连接AC ，则AC 即为小虫爬行的最短路线，可用勾股定理求得其长。
300x 2x3x 450x 2xx图1 图2 半周长解：①若沿着曲面走，则：AB=12×10=5，BC=12，所以AC=2251213+=②若走折线A=>D=>C ，则AC+DC=12+10π∵12+10π>13 ∴最短路程为13cm 。
中考数学复习之直角三角形的性质、勾股定理,考点过关与基础练习题
23. 直角三角形和勾股定理➢ 知识过关1.直角三角形性质梳理： 1. 从边与角的角度来考虑①直角三角形两锐角_______，且任一直角边长小于_______．②勾股定理：直角三角形两直角边的______等于斜边的____； 勾股定理逆定理：如果三角形两边的______等于__________，那么这个三角形是_______三角形．2. 添加一些特殊的元素（中线或30°角）①直角三角形斜边上的中线等于______________；如果一个三角形____________________________，那么这个三角形是直角三角形．②30°角所对的直角边是_____________________；在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这 条直角边所对的锐角等于_____________．3. 特殊的直角三角形➢ 考点分类考点1直角三角形的性质例117．如图，在△ACD 中，BC ⊥AD 于B ，AC ＝AD ＝3，AB ＝2，则CD ＝（ ）A ．6B ．√6C ．√5D ．4ACB 45°1130°234211BCABCA BCAa 2+b 2=c2CBAC B A A BC ABC C BA2mm AB C 30°考点2勾股定理及其逆定理例2如图，在△ABC 中，AB ＝6，AC ＝9，AD ⊥BC 于D ，M 为AD 上任一点，则MC 2﹣MB 2等于（ ）A ．29B ．32C ．36D ．45例3等面积法例3若直角三角形两条直角边的长分别为7和24，在这个三角形内有一点P 到各边的距离都相等，则这个距离是（ ）A ．4B ．3C ．2D ．1➢ 真题演练1．如图，在边长为1的正方形网格中，A 、B 、C 均在正方形格点上，则C 点到AB 的距离为（ ）A ．3√1010B ．2√105C ．5√104D ．4√1052．如图，AB ＝AC ＝13，BP ⊥CP ，BP ＝8，CP ＝6，则四边形ABPC 的面积为（ ）A ．48B ．60C ．36D ．723．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AB ＝6，若以AC 边和BC 边向外作等腰直角三角形AFC 和等腰直角三角形BEC ．若△BEC 的面积为S 1，△AFC 的面积为S 2，则S 1+S 2＝（ ）A ．36B ．18C ．9D ．44．如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝6，BC ＝8，点D 在边AB 上，AD ＝AC ，AE ⊥CD ，垂足为F ，与BC 交于点E ，则BE 的长是（ ）A ．3B ．5C ．163D ．65．如图，△ABC 的顶点A ，B ，C 在边长为1的正方形网格的格点上，则BC 边长的高为（ ）A ．√302B ．85√5 C ．45√5 D ．√1326．如图是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，此图是由四个全等的直角三角形拼接而成，其中AE ＝5，AB ＝13，则EF 的值是（ ）A ．7B ．2√3C ．√13D ．7√27．如图，∠ABC ＝∠ADB ＝90°，DA ＝DB ，AB 与CD 交于点E ，若BC ＝2，AB ＝4，则点D 到AC 的距离是（ ）A.5√56B ．6√55C ．4√55D ．5√548．如图，将一副直角三角尺重叠摆放，使得60°角的顶点与等腰直角三角形的直角顶点重合，且DE⊥AB于点D，与BC交于点F，则∠FCE的度数为（）A．60°B．65°C．75°D．85°9．如图，AC＝AB＝BD，∠ABD＝90°，BC＝8，则△BCD的面积为（）A．8B．12C．14D．1610．如图，四边形ABCD中，连接BD，O为BD中点，∠BAD＝∠BCD＝90°，∠BDA＝30°，∠BDC＝45°，则∠CAO＝（）A．15°B．18°C．22.5°D．30°➢课后练习1.如图，等边△ABD和等边△BCE中，A、B、C三点共线，AE和CD相交于点F，下列结论中正确的个数是（）①△ABE≌△DBC②BF平分∠AFC③AF＝DF+BF④∠AFD＝60°A．1B．2C．3D．42．如图，△ABC中，∠ACB＝60°，AG平分∠BAC交BC于点G，BD平分∠ABC交AC 于点D，AG、BD相交于点F，BE⊥AG交AG的延长线于点E，连接CE，下列结论中正确的有（）①若∠BAD＝70°，则∠EBC＝5°；②BF＝2EF；③BE＝CE；④AB＝BG+AD；⑤S△BFGS△AFD =BFAF．A．5个B．4个C．3个D．2个3．在△ABC中，AB＝AC＝2，∠BAC＝90°，直角∠EPF的顶点P是BC的中点，两边PE、PF分别交AB、AC于E、F，给出以下四个结论：当∠EPF在△ABC内绕P旋转时（点E不与A、B重合），①AE＝CF；②EF＝AP；③△EPF是等腰直角三角形；④S四边形AEPF= 12S△ABC；⑤EF的最小值为√2；⑥BE2+CF2＝EF2．则正确结论有（）A．2个B．3个C．4个D．5个4．如图，O是正△ABC内一点，OA＝6，OB＝8，OC＝10，将线段BO以点B为旋转中心逆时针旋转60°得到线段BO′，下列结论：①△BO′A可以由△BOC绕点B逆时针旋转60°得到；②点O与O′的距离为8；③∠AOB＝150°；④四边形AOBO′的面积是24+16√3；⑤S△AOC+S△AOB＝24+9√3 4．其中正确结论有（）个．A．5B．4C．3D．25．如图，Rt△ACB中，∠ACB＝90°，△ACB的角平分线AD，BE相交于点P，过P作PF ⊥AD交BC的延长线于点F，交AC于点H，则下列结论：①∠APB＝135°；②AD＝PF+PH；③DH平分∠CDE；④S四边形ABDE=74S△ABP；⑤S△APH＝S△ADE，其中正确的结论是（）A．①②③B．②③④C．①②④⑤D．①②⑤6．如图，O为△ABC内的一点，D为AB边上的一点，OD＝OB，OA＝OC，∠AOC＝∠BOD ＝90°，连接CD．下列结论：①AB＝CD；②AB⊥CD；③∠AOD+∠OCD＝45°；④S △BOC＝S△AOD．其中所有正确结论的序号是（）A．①②B．①③C．①②③D．①②③④➢冲击A+如图1，AB为圆O的直径，C为圆O上一点，连接CB，过C作CD⊥AB于点D，过点C 作∠BCE，使∠BCE＝∠BCD，其中CE交AB的延长线于点E．（1）求证：CE是圆O的切线；（2）如图2，点F在圆O上，且满足∠FCE＝2∠ABC，连接AF并延长交EC的延长线于点G．①求证：CF＝2CD；②若CD＝4，BD＝2，求线段FG的长．。
中考解直角三角形知识点整理复习
中考解直角三角形知识点整理复习解直角三角形知识点复习一、定义直角三角形是指其中一个角是直角的三角形。
直角指的是一个角度为90°的角。
二、性质1.直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方，即勾股定理。
设直角三角形的两条直角边分别为a和b，斜边为c，则有a^2+b^2=c^22.直角三角形的斜边是两个直角边中最长的边，而且直角三角形中的直角边是两个锐角的对边。
3.直角三角形中的两个锐角互余。
4.在直角三角形中，两个锐角的正弦、余弦和正切值互为倒数。
三、特殊直角三角形1.等腰直角三角形：定义：顶角为90°的等腰三角形。
性质：两个直角边相等，斜边为直角边的根号2倍。
2.30°-60°-90°直角三角形：定义：一个锐角为30°，一个锐角为60°的直角三角形。
性质：-斜边是短直角边的2倍；-长直角边是短直角边的根号3倍；-高（垂直于短直角边的线段）是短直角边的根号3倍的一半。
3.45°-45°-90°直角三角形：定义：两个锐角都为45°的直角三角形。
性质：-斜边是任意一个直角边的根号2倍；-高（垂直于底边的线段）是底边的一半。
四、解直角三角形问题的步骤1.已知两条边，求第三条边。
a)如果已知两条直角边a和b，可以直接使用勾股定理求解斜边c：c=√(a^2+b^2)。
b)如果已知一条直角边a和斜边c，可以使用勾股定理求解另一条直角边b：b=√(c^2-a^2)。
2.已知一条直角边和一个锐角，求另一条直角边和斜边。
a) 如果已知一条直角边a和一个锐角θ，可以求出另一条直角边b：b = a * tanθ。
b)如果已知一条直角边a和斜边c，可以求出另一条直角边b：b=√(c^2-a^2)。
c) 如果已知一条直角边a和一个锐角θ，可以求出斜边c：c = a / cosθ。
3.已知两条直角边之间的比例，求两个直角边和斜边的长度。
直角三角形复习
小结和作业
通过节课的复习， 通过这节课的复习，你对直角三角形的知识有 进一步的了解吗？又学到了关于它的哪些知识呢？ 进一步的了解吗？又学到了关于它的哪些知识呢？
作业：同步检测 作业：
Gbzx——中考数学复习
Gbzx——中考数学复习
直角三角形
直角三角形及其性质 ⑴直角三角形的两锐角互余； 直角三角形的两锐角互余； 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半； ⑵直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半； 在直三角形中， ⑶在直三角形中，300 的锐角所对的直角边是 斜边的一半. 斜边的一半.
勾股定理及逆定理
勾股定理：在直角三角形中，两直角边 勾股定理：在直角三角形中，两直角边a,b 的平方， 的平方和等于斜边c的平方，即a2+b2=c2. 勾股定理逆定理： 勾股定理逆定理：如果三角形的三边长 a,b,c满足关系 2+b2=c2，那么这个三角形是 满足关系a 满足关系 直角三角形. 直角三角形.
D E C
B F
2
设CE为x，EF＝DE＝6－x，根据勾股定理有： 为 ， ＝ ＝ ，根据勾股定理有：
8 CE为 CE为 3
x + 4 = (6 − x)
2
利用勾股定构建方程求线段
应用举例
【例3】已知直角三角形两边长x、y的长满足 已知直角三角形两边长 、 的长满足
x − 4 + y − 5 y + 6 = 0 则第三边的
2 2
长为 2 2
13 5 .
x = 2 y = 2
x = 2 y = 3
点拨：注意分类讨论，不漏解. 点拨：注意分类讨论，不漏解.
针对练习 巩固提高
1.有四个三角形，分别满足下列条件： 1.有四个三角形，分别满足下列条件：(1) 一个内角等 有四个三角形 于另外两个内角之和； 三个内角之比为3∶4∶5 3∶4∶5； 于另外两个内角之和；(2) 三个内角之比为3∶4∶5； 三边之比为5∶12∶13 5∶12∶13； 三边长分别为15 12、 15、 (3) 三边之比为5∶12∶13；(4) 三边长分别为15、12、9. 其中直角三角形有 ( C ) 1个 2个 3个 4个 A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 2.已知A(2,2) B(10,2),在 轴上有点P 恰使△ 2.已知A(2,2) B(10,2),在x轴上有点P，恰使△PAB为 已知 Rt△，这样的点P共有_____个. 这样的点P共有_____ _____个 4
直角三角形知识点及复习
直角三角形知识点、直角三角形的性质1、 R t △的两个锐角互余(/ A+ / B=90 ° )12、 斜边上的中线等于斜边的一半(若 D 为斜边AB 的中点，贝U CD = - AB )213、 30°角所对直角边等于斜边的一半(若/ A = 30°,/ C=90 ° , CB=q AB )4、 勾股定理：两直角边的平方和等于斜边的平方(若/ C=90。
，贝U a 2 b 2 c 2) 二、直角三角形的判定1、有两个锐角互余的△是直角三角形。
2、 如果一个三角形中，一条边上的中线等于这条边的一半，那么这条边所对的角为 90°3、 勾股定理的逆定理：如果三角形三边满足a 2b 2c 2，则/ C = 90 °。
用法：(1)选出最大边；(2)计算较小两边的平方和;(2)直角三角形斜边上的咼=两直角边乘积除以斜边。
公式为 (3 )常见的勾股数：(3k , 4k , 5k ) (5k , 12k , 13k ) ( 7k , 24k , 25k ) (8k , 15k , 17k ) (9k , 40k , 41k ) (4)在求曲面上的最短距离时，先把曲面展开成平面图形，画出起点到终点的线段，就是 最短距离，一般需要用到勾股定理。
(1)蚂蚁沿着圆柱表面爬行，最短距离例1如图1有一个圆柱，它的高等于12cm ，底面周长为10cm ，在圆柱的下底面 A 点上 A 点相对的B 点处的食物，需要爬行的最短路程是多少 ’ 分析：可以把圆柱的侧面展开，其展开图为矩形，如图 虫爬行的最短路线，可用勾股定理求得其长。
(3)比较最大边的平方与较小两边的三、常用几个结论:图23所示。
连接AC ,贝U AC 即为小平方和；(4)如果两者相等, 有D半周长解：①若沿着曲面走，则：AB=2 X 10=5 , BC =12，所以AC= .6 13•/ 12+ >13• • •最短路程为13cm 。
【解直角三角形】专题复习
【解直角三角形】专题复习考点一、直角三角形的性质 1、直角三角形的两个锐角互余∠C=90°⇒∠A+∠B=90°2、在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半。
∠A=30°， ∠C=90° ⇒BC=21AB 3、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 ∠ACB=90°，D 为AB 的中点⇒CD=21AB=BD=AD 4、勾股定理：直角三角形两直角边a ，b 的平方和等于斜边c 的平方，即222c b a =+ 5、射影定理（可利用相似证明）：在直角三角形中，斜边上的高线是两直角边在斜边上的摄影的比例中项， 每条直角边是它们在斜边上的摄影和斜边的比例中项∠ACB=90°CD ⊥AB ⇒ BD AD CD ∙=2 AB AD AC ∙=2 AB BD BC ∙=2 6、常用关系式：由三角形面积公式可得： AB ∙CD=AC ∙BC考点二、直角三角形的判定1、有一个角是直角的三角形是直角三角形。
2、如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。
3、勾股定理的逆定理如果三角形的三边长a ，b ，c 有关系222c b a =+，那么这个三角形是直角三角形。
考点三、锐角三角函数的概念1、如图，在△ABC 中，∠C=90°①锐角A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦，记为sinA ，即c asin =∠=斜边的对边A A②锐角A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦，记为cosA ，即c bcos =∠=斜边的邻边A A③锐角A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正切，记为tanA ，即batan =∠∠=的邻边的对边A A A④锐角A 的邻边与对边的比叫做∠A 的余切，记为cotA ，即abcot =∠∠=的对边的邻边A A A2、锐角三角函数的概念：锐角A 的正弦、余弦、正切、余切都叫做∠A 的锐角三角函数3、一些特殊角的三角函数值三角函数 0° 30°45°60°90° sinα212223 1cos α 123 2221 0tan α 033 13不存在cot α 不存在31 33 04、各锐角三角函数之间的关系 （1）互余关系 sinA=cos(90°—A)，cosA=sin(90°—A) ，tanA=cot(90°—A)，cotA=tan(90°—A) （2）平方关系 1cos sin 22=+A A （3）倒数关系 tanA ∙tan(90°—A)=1 （4）弦切关系 tanA=AAcos sin 5、锐角三角函数的增减性 当角度在0°~90°之间变化时，（1）正弦（或正切）值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小） （2）余弦（或余切）值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）考点四、解直角三角形 1、解直角三角形的概念在直角三角形中，除直角外，一共有五个元素，即三条边和两个锐角，由直角三角形中除直角外的已知元素求出所有未知元素的过程叫做解直角三角形。
中考解直角三角形知识点整理复习
中考解直角三角形知识点整理复习直角三角形是指角度为90度的三角形。
在中考中，解直角三角形是一个重要的考点，需要掌握的知识点包括勾股定理、三角函数的定义和性质以及相关应用。
以下是解直角三角形的知识点整理和复习材料。
一、勾股定理勾股定理是解直角三角形中最基础的定理，也是解题的基础。
勾股定理的表达式为：a²+b²=c²其中，a、b为直角边的长度，c为斜边的长度。
二、三角函数的定义和性质1.正弦函数正弦函数的定义为：sinA = 对边/斜边sinA的性质：（1）sinA在0°~90°区间内递增；（2）sinA在90°~180°区间内递减；（3）sinA在对称轴x=90°处对称。
2.余弦函数余弦函数的定义为：cosA = 邻边/斜边cosA的性质：（1）cosA在0°~90°区间内递减；（2）cosA在90°~180°区间内递增；（3）cosA在对称轴x=90°处对称。
3.正切函数正切函数的定义为：tanA = 对边/邻边tanA的性质：（1）tanA在0°~90°区间内递增；（2）tanA在90°~180°区间内递减；（3）tanA在对称轴x=90°处对称。
4.三角函数的相互关系正弦函数与余弦函数、正切函数的关系：（1）sinA = cos(90° - A)（2）cosA = sin(90° - A)（3）tanA = 1/cotA三、特殊角的三角函数值1.30°角的三角函数值sin30° = 1/2, cos30° = √3/2, tan30° = 1/√32.45°角的三角函数值sin45° = cos45° = 1/√2, tan45° = 13.60°角的三角函数值sin60° = √3/2, cos60° = 1/2, tan60° = √3四、应用题1.判断直角三角形当三条边满足勾股定理时，即a²+b²=c²，可以判断为直角三角形。
直角三角形复习
直角三角形复习直角三角形是初中数学中非常重要的一个知识点，它在几何问题的解决中有着广泛的应用。
接下来，让我们一起对直角三角形的相关知识进行全面的复习。
首先，我们来回顾一下直角三角形的定义。
直角三角形是指有一个角为 90 度的三角形。
这个 90 度的角被称为直角，而构成直角的两条边被称为直角边，直角所对的边则被称为斜边。
直角三角形的性质是我们解决问题的重要依据。
其中，最为重要的性质就是勾股定理。
勾股定理指出：在一个直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方。
即若直角三角形的两条直角边分别为 a 和 b，斜边为 c，则有 a²＋ b²＝ c²。
例如，一个直角三角形的两条直角边分别为 3 和 4，那么斜边的长度就是√（3²＋ 4²) ＝ 5。
除了勾股定理，直角三角形还有一些其他重要的性质。
比如，直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半。
这一性质在很多几何证明和计算中都能发挥重要作用。
在直角三角形中，角的关系也有着特定的规律。
比如，两个锐角之和为 90 度。
如果一个锐角的度数为 30 度，那么另一个锐角的度数必然是 60 度。
接下来，我们再看看直角三角形的判定方法。
除了直接观察一个三角形是否有一个角为 90 度来判定其为直角三角形外，还可以通过边的关系来判定。
如果一个三角形的三条边 a、b、c 满足 a²＋ b²＝ c²，那么这个三角形就是直角三角形。
直角三角形的面积计算也是常见的考点。
直角三角形的面积等于两条直角边乘积的一半。
假设直角边分别为 m 和 n，那么面积 S ＝ 1/2 m n 。
在实际解题中，经常会遇到与直角三角形相关的综合问题。
比如，已知直角三角形的一条直角边和斜边的长度，求另一条直角边；或者已知直角三角形的面积和一条直角边，求另一条直角边等。
我们通过一个具体的例子来加深理解。
假设有一个直角三角形，斜边长度为 10，一条直角边为 6，求另一条直角边的长度。
期末复习——直角三角形
A
∴ ∠BAD= ∠B= ∠C= ∠CAD= 450 ∴ ∠BAC= 900
B C
D
是等腰三角形， 边上的高恰好等于 例4：已知 ：已知∆ABC是等腰三角形，BC边上的高恰好等于 是等腰三角形 BC边长的一半，求∠BAC的度数。 边长的一半， 的度数。 边长的一半 的度数 2、当BC为腰时，设∠B为顶角，分下面几种情况讨论： 、 为腰时， 为顶角， 为腰时 为顶角 分下面几种情况讨论： 为锐角时， （1） 顶角 为锐角时，如图： ） 顶角B为锐角时 如图： B
PO平分∠AOB, 平分∠ 平分 PA⊥OA,PB⊥OB ⊥ ⊥ AP=BP
练一练 1、在∆ABC中，如果∠A+ ∠B= ∠C,则∆ABC 、 中 如果∠ 则 直角三角形 为 _____________. 2、 已知 △ABC中，∠C＝900，AB边上的中 、 已知Rt△ 中 ＝ 边上的中 线长为2， 线长为 ，且AC＋BC＝6，则 S ∆ABC ＝ 5 。 ＋ ＝ ， 3、如图，在△ABC中，∠C=90°， 、如图， 中 ° ∠B=30°，AB的垂直平分线交 ° 的垂直平分线交 BC于D，垂足为 ，BD=4厘米， 厘米， 于 ，垂足为E， 厘米 B . 则AC= 2 3
B D E C
例2、如图，已知 、如图，已知AB=AD，CB=CD，AC，BD相交于 ， ， ， 相交于 点O，若AB=5，AC=7，BD=6。 ， ， ， 。 求∠BCD的度数 的度数
解：∵AB=AD 在线段BD的中垂线上 ∴点A在线段 的中垂线上（到线段两端距离相等的点在这条 在线段 的中垂线上（ 线段的垂直平分线上） 线段的垂直平分线上） 同理点也在BD的中垂线上 同理点也在 的中垂线上 A AC⊥BD且平分 且平分BD ∴AC⊥BD且平分BD ∵BD=6 ∴BO=3 ∵AB=5 D B AO2+BO2=AB2 (勾股定理 得 AO=4 勾股定理)得 勾股定理 O ∵AC=7 C ∴OC=3 ∴△BOC等腰直角三角形 等腰直角三角形 ∴∠BCO=45°,同理∠DCO=45° 同理∠ ∴∠ ° 同理 ° ∴∠BCD=90° ∴∠ °
解直角三角形(复习课)课件
结合勾股定理和三角函数计算直角三 角形中的未知量。
利用给定的条件，设计合理的方案解 决实际问题，如设计桥梁、建筑等结 构的支撑体系。
06
复习与总结
重点回顾
直角三角形的定义与性质
回顾直角三角形的定义、性质和判定条件，理解其在几何图形中 的重要地位。
求解角度。
常见错误分析
混淆边和角
在解题过程中，有时会混淆边和角，导致计算错误。
忽视勾股定理的条件
在使用勾股定理时，需要确保三角形是直角三角形，否则会导致错 误。
角度范围错误
在计算角度时，需要注意角度的范围，避免出现负角度或超过180 度的角度。
解题方法总结
勾股定理法
适用于已知两边长度， 求第三边长度的情况。
船只安全航行。
物理实验
测量角度
在物理实验中，经常需要测量各 种角度。解直角三角形的方法可 以用来计算这些角度，确保实验
结果的准确性。
计算力的大小
在物理实验中，经常需要计算力的 大小。通过解直角三角形，可以精 确地计算出力的大小，确保实验结 果的可靠性。
确定物体的位置
在物理实验中，物体的位置是非常 重要的。通过解直角三角形，可以 计算出物体的位置，确保实验的准 确性和可靠性。
04
解题技巧与策略
解题思路
01
02
03
04
明确问题要求
首先需要理解题目的要求，确 定需要求解的是什么。
选择合适的三角形
根据问题描述，选择一个合适 的直角三角形来解决问题。
利用勾股定理
在直角三角形中，勾股定理是 一个重要的工具，可以帮助我
们求解边长。
解直角三角形的整理和复习
学习难点：把实际问题转化为解直角三角形的数学问题。
1．解直角三角形的定义 由直角三角形中除直角外的已知元素，求出所有 未知元素的过程，叫做解直角三角形(直角三角形中， 除直角外，一共有 5 个元素，即 3 条边和 2 个锐角)．
2、解直角三角形的依据
三边之间的关系： a2＋b2＝c2（勾股定理）；
D.16 5
3、如图，Rt△ABC 中，∠A＝90°，AD⊥BC 于点 D，
若 BD∶CD＝3∶2，则 tan∠ B＝( D )
3
2
6
6
A. 2
B. 3
C. 2
D. 3
4、(2014·安顺)如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，∠A＝30°，
E 为线段 AB 上一点且 AE∶EB＝4∶1，EF⊥AC 于 F，连接 FB，
B．cot∠AED D．cos∠AED
．
4.如图,某地下车库的入口处有斜坡AB, 其坡度
i=1:1.5, 则AB= 13 m.
5. 计算：
（2012年南宁市） (1).2 sin
60°
3 tan
30°
1 3
0
(1)2009
（2011年青海） 12 4sin 600 (3 π）0 ( 1)1 3
大楼的顶部和底部测得飞机的仰角为30°和45°，
求飞机的高度PO .
P
C
30° A
45°
200米
O
B
3、如图，海岛A四周20海里周围内为暗礁区，小亮 乘坐的一艘货轮由东向西航行，在B处见岛A在北偏 西60˚，航行24海里到C处，见岛A在北偏西30˚，货 轮继续向西航行，有无触礁的危险？
A
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3、满足下列条件的Δ ABC，不是直角三角形的是（C ） A、b2=a2-c2 D、a:b:c=5:12:13 B、 ∠C=∠A+∠B C、∠A：∠B：∠C=3：4：5
4、如图，已知四边形ABCD中，∠B=90°AB=4， BC=3,AD=12，DC=13 ，求四边形ABCD的面积
解: 连接AC ∵∠B=90°,AB=4,BC=3 ∴AC=5 ∵AD=12,DC=13
直角三角形复习
直角三角形
性 质
有一个角为直角 直角三角形两锐角互余； 30°角: 在直角三角形中，30°的角 所对的 直角边等于斜边的一半.
角: 边:
直角三角形两直角边的平方 和等于斜边的平方.（勾股定理）
于斜边的一半.
特殊线段: 直角三角形斜边上的中线等
判 定 方 法
一、填一填
如图, 在ΔABC 中∠C=90度 60° ∠A =30°，则∠B= ______ 2 BC=1，则AB的长为______
;A
B
增加∠CAB=∠DBA ;
四、动脑筋，想一想
用三角尺作角平分线
1.如图:在已知∠AOB的两边OA,OB上分别 取点M,N,使OM=ON 2.再过点M作OA的垂线 3.过点N作OB的垂线,两垂线交于点P 4.那么射线OP就是∠AOB的平分线. N O
● ● ●
A M P
请你说明OP平分∠AOB的理由. 先把它转化为一个纯数学问题:
F A D G B
CD⊥AB,
E
下课了!
• 严格性之于数学家,犹如道德之 于人. • 证明的规范性在于：条理清晰， 因果相应,言必有据.这是初学 证明者谨记和遵循的原则.
∵ PD⊥OA， PE⊥OB ，PD=PE ∴OP平分∠AOB （或∠1= ∠2） （角平分线性质定理的逆定理）
五、试一试
已知：如图，∠AOB=30度，OC平分∠AOB， P为OC上任意一点，PD∥OA交OB于D，PE⊥OA于 E，若OD=4cm，则P到OA的距离为____cm。 2
B
D O
P
C A
G
D
F
C
A E
B
直角三角形
角:
等腰直角三角 形
性 质
两锐角互余， 直角三角形斜边上的中线等 且都为45度； 边: 于斜边的一半； 两直角边相 直角三角形两直角边的平方 等， 和等于斜边的平方. （勾股定理）
角的方法:
直角三角形两锐角互余；
判 定 方 法
有一角为直角（或90°）的 三角 形是直角三角形； 有两角互余的三角形是直角三角形；
已知:如图,OM=ON,PM⊥OM,PN⊥ON. 则∠AOP=∠BOP，请说明理由.
B
D O
1 2
A P
1、角平分线性质定理：角平分线 上的点，到这个角两边距离相等。
∵∠1= ∠2 ，PD⊥OA， PE⊥OB ∴ PD=PE （角平分线性质定理）
E
B
2、角平分线性质定理的逆定理： 角的内部，到角两边距离相等的 点，在这个角的平分线上。
已知，如图，长方形ABCD中，AB=3cm，AD=9cm， 将此长方形折叠，使点B与点D重合，折痕为EF， 则△ABE的面积为多少？ E D A
B
G
F
C
思路：找出不变量，分析问题的数量关系，通过 已知和未知的联系，建构方程，最后解出方程
填一填
如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形 都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为7cm,则 正方形A，B，C，D的面积之和为___________cm2。 49
则AC的长为______
A
30°
D E B
3
1 C CD是斜边AB的中线，则CD的长为______
如图，已知AD⊥BD，AC⊥BC，E为AB的中点， 试判断DE与CE是否相等，并说明理由。
D C
A
E
B
变式：如图，已知AG⊥BD，AC⊥BG ，E是AB的中 点，F是CD的中点，则EF⊥CD，请说明理由。
AC2 + AD2 = CD2 ∴∠CAD=90°
2 2
D A C
B 1 1 _×3×4＋_×5×12=36 S四边形ABCD=
5、一个三角形的三条边分别为15、20、 12 25，则最大边上的高线长为 ______。
解题技巧:直角三角形两直角边的乘积等于斜边与 斜边上的高的乘积.
直角三角形 全等的判定 方法:
边是直角三角形．（勾
股定理逆定理）
二、练一练
• 1、以下各组数为边长的三角形中，是直角三角形的 是：（ C ） A、2、3、4。 B、3、4、6。 C、5、12、13。 D、10、16、25。 2、一个直角三角形两边的长分别为3，4则第三边 的长是（C ） A、5 B C 、5 或 D无法确定
三边对应相等(SSS) 两直角边对应相等（SAS） 一锐角与一边对应相等(AAS,ASA)
斜边与一条直角边对应相等（HL）
三、议一议
如图,已知∠ACB=∠BDA=900 , 要使 △ABC≌△BDA, 还需要增加一个什么条件? 把它们分别写出来.
增加AC=BD;
C D
增加BC=AD; 增加∠ABC=∠BAD
E
解题技巧：已知：平行线+角平 分线，结论：存在等腰三角形
如图，长方形ABCD中，把△ABE沿着AE 折叠使得B点落在F点，AD=8,AB=10,则求 (1)CF的长,(2)CE的长
解(1)由题意可知：AF=AB=10 AD=8 在Rt△ADF中：DF=6 B A ∴ CF=10-6=4（cm） (2)设CE=x,则EF=BE=8-x， E 在RT△ECF中 ： EF2=CF2+CE2 C (8-x)2=42+x2 D F ∴解这个方程，16x=48 x=3 ∴CE=3（cm） 方程思想的应用
C D
B
A
7cm
观察下面网格中的三角形，是不是直角三角形？
你能在上图中画出直角三角形吗？
练习题 1
已知：Rt△ABC中, ∠ACB=90度, AE平分∠CAB交CD于F,交CB于E， 过E作EG⊥AB。 0 ,则∠B=__ 0 30 C （1）若∠A=60 （2）说明CF=CE的理由 （3）说明CF=EG的理由.