直角三角形复习
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G
D
F
C
A E
B
直角三角形
角:
等腰直角三角 形
性 质
两锐角互余， 直角三角形斜边上的中线等 且都为45度； 边: 于斜边的一半； 两直角边相 直角三角形两直角边的平方 等， 和等于斜边的平方. （勾股定理）
角的方法:
直角三角形两锐角互余；
判 定 方 法
有一角为直角（或90°）的 三角 形是直角三角形； 有两角互余的三角形是直角三角形；
∵ PD⊥OA， PE⊥OB ，PD=PE ∴OP平分∠AOB （或∠1= ∠2） （角平分线性质定理的逆定理）
五、试一试
已知：如图，∠AOB=30度，OC平分∠AOB， P为OC上任意一点，PD∥OA交OB于D，PE⊥OA于 E，若OD=4cm，则P到OA的距离为____cm。 2
B
D O
P
C A
3、满足下列条件的Δ ABC，不是直角三角形的是（C ） A、b2=a2-c2 D、a:b:c=5:12:13 B、 ∠C=∠A+∠B C、∠A：∠B：∠C=3：4：5
4、如图，已知四边形ABCD中，∠B=90°AB=4， BC=3,AD=12，DC=13 ，求四边形ABCD的面积
解: 连接AC ∵∠B=90°,AB=4,BC=3 ∴AC=5 ∵AD=12,DC=13
F A D G B
CD⊥AB,
E
下课了!
• 严格性之于数学家,犹如道德之 于人. • 证明的规范性在于：条理清晰， 因果相应,言必有据.这是初学 证明者谨记和遵循的原则.
;A
B
增加∠CAB=∠DBA ;
四、动脑筋，想一想
用三角尺作角平分线
1.如图:在已知∠AOB的两边OA,OB上分别 取点M,N,使OM=ON 2.再过点M作OA的垂线 3.过点N作OB的垂线,两垂线交于点P 4.那么射线OP就是∠AOB的平分线. N O
● ● ●
A M P
请你说明OP平分∠AOB的理由. 先把它转化为一个纯数学问题:
直角三角形复习
直角三角形
性 质
有一个角为直角 直角三角形两锐角互余； 30°角: 在直角三角形中，30°的角 所对的 直角边等于斜边的一半.
角: 边:
直角三Biblioteka Baidu形两直角边的平方 和等于斜边的平方.（勾股定理）
于斜边的一半.
特殊线段: 直角三角形斜边上的中线等
判 定 方 法
一、填一填
如图, 在ΔABC 中∠C=90度 60° ∠A =30°，则∠B= ______ 2 BC=1，则AB的长为______
C D
B
A
7cm
观察下面网格中的三角形，是不是直角三角形？
你能在上图中画出直角三角形吗？
练习题 1
已知：Rt△ABC中, ∠ACB=90度, AE平分∠CAB交CD于F,交CB于E， 过E作EG⊥AB。 0 ,则∠B=__ 0 30 C （1）若∠A=60 （2）说明CF=CE的理由 （3）说明CF=EG的理由.
已知，如图，长方形ABCD中，AB=3cm，AD=9cm， 将此长方形折叠，使点B与点D重合，折痕为EF， 则△ABE的面积为多少？ E D A
B
G
F
C
思路：找出不变量，分析问题的数量关系，通过 已知和未知的联系，建构方程，最后解出方程
填一填
如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形 都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为7cm,则 正方形A，B，C，D的面积之和为___________cm2。 49
三边对应相等(SSS) 两直角边对应相等（SAS） 一锐角与一边对应相等(AAS,ASA)
斜边与一条直角边对应相等（HL）
三、议一议
如图,已知∠ACB=∠BDA=900 , 要使 △ABC≌△BDA, 还需要增加一个什么条件? 把它们分别写出来.
增加AC=BD;
C D
增加BC=AD; 增加∠ABC=∠BAD
边的方法:
两条短边的平方和等于长边的 平方的三角形是直角三角形．（勾
股定理逆定理）
二、练一练
• 1、以下各组数为边长的三角形中，是直角三角形的 是：（ C ） A、2、3、4。 B、3、4、6。 C、5、12、13。 D、10、16、25。 2、一个直角三角形两边的长分别为3，4则第三边 的长是（C ） A、5 B C 、5 或 D无法确定
已知:如图,OM=ON,PM⊥OM,PN⊥ON. 则∠AOP=∠BOP，请说明理由.
B
D O
1 2
A P
1、角平分线性质定理：角平分线 上的点，到这个角两边距离相等。
∵∠1= ∠2 ，PD⊥OA， PE⊥OB ∴ PD=PE （角平分线性质定理）
E
B
2、角平分线性质定理的逆定理： 角的内部，到角两边距离相等的 点，在这个角的平分线上。
则AC的长为______
A
30°
D E B
3
1 C CD是斜边AB的中线，则CD的长为______
如图，已知AD⊥BD，AC⊥BC，E为AB的中点， 试判断DE与CE是否相等，并说明理由。
D C
A
E
B
变式：如图，已知AG⊥BD，AC⊥BG ，E是AB的中 点，F是CD的中点，则EF⊥CD，请说明理由。
E
解题技巧：已知：平行线+角平 分线，结论：存在等腰三角形
如图，长方形ABCD中，把△ABE沿着AE 折叠使得B点落在F点，AD=8,AB=10,则求 (1)CF的长,(2)CE的长
解(1)由题意可知：AF=AB=10 AD=8 在Rt△ADF中：DF=6 B A ∴ CF=10-6=4（cm） (2)设CE=x,则EF=BE=8-x， E 在RT△ECF中 ： EF2=CF2+CE2 C (8-x)2=42+x2 D F ∴解这个方程，16x=48 x=3 ∴CE=3（cm） 方程思想的应用
AC2 + AD2 = CD2 ∴∠CAD=90°
2 2
D A C
B 1 1 _×3×4＋_×5×12=36 S四边形ABCD=
5、一个三角形的三条边分别为15、20、 12 25，则最大边上的高线长为 ______。
解题技巧:直角三角形两直角边的乘积等于斜边与 斜边上的高的乘积.
直角三角形 全等的判定 方法:
D
F
C
A E
B
直角三角形
角:
等腰直角三角 形
性 质
两锐角互余， 直角三角形斜边上的中线等 且都为45度； 边: 于斜边的一半； 两直角边相 直角三角形两直角边的平方 等， 和等于斜边的平方. （勾股定理）
角的方法:
直角三角形两锐角互余；
判 定 方 法
有一角为直角（或90°）的 三角 形是直角三角形； 有两角互余的三角形是直角三角形；
∵ PD⊥OA， PE⊥OB ，PD=PE ∴OP平分∠AOB （或∠1= ∠2） （角平分线性质定理的逆定理）
五、试一试
已知：如图，∠AOB=30度，OC平分∠AOB， P为OC上任意一点，PD∥OA交OB于D，PE⊥OA于 E，若OD=4cm，则P到OA的距离为____cm。 2
B
D O
P
C A
3、满足下列条件的Δ ABC，不是直角三角形的是（C ） A、b2=a2-c2 D、a:b:c=5:12:13 B、 ∠C=∠A+∠B C、∠A：∠B：∠C=3：4：5
4、如图，已知四边形ABCD中，∠B=90°AB=4， BC=3,AD=12，DC=13 ，求四边形ABCD的面积
解: 连接AC ∵∠B=90°,AB=4,BC=3 ∴AC=5 ∵AD=12,DC=13
F A D G B
CD⊥AB,
E
下课了!
• 严格性之于数学家,犹如道德之 于人. • 证明的规范性在于：条理清晰， 因果相应,言必有据.这是初学 证明者谨记和遵循的原则.
;A
B
增加∠CAB=∠DBA ;
四、动脑筋，想一想
用三角尺作角平分线
1.如图:在已知∠AOB的两边OA,OB上分别 取点M,N,使OM=ON 2.再过点M作OA的垂线 3.过点N作OB的垂线,两垂线交于点P 4.那么射线OP就是∠AOB的平分线. N O
● ● ●
A M P
请你说明OP平分∠AOB的理由. 先把它转化为一个纯数学问题:
直角三角形复习
直角三角形
性 质
有一个角为直角 直角三角形两锐角互余； 30°角: 在直角三角形中，30°的角 所对的 直角边等于斜边的一半.
角: 边:
直角三Biblioteka Baidu形两直角边的平方 和等于斜边的平方.（勾股定理）
于斜边的一半.
特殊线段: 直角三角形斜边上的中线等
判 定 方 法
一、填一填
如图, 在ΔABC 中∠C=90度 60° ∠A =30°，则∠B= ______ 2 BC=1，则AB的长为______
C D
B
A
7cm
观察下面网格中的三角形，是不是直角三角形？
你能在上图中画出直角三角形吗？
练习题 1
已知：Rt△ABC中, ∠ACB=90度, AE平分∠CAB交CD于F,交CB于E， 过E作EG⊥AB。 0 ,则∠B=__ 0 30 C （1）若∠A=60 （2）说明CF=CE的理由 （3）说明CF=EG的理由.
已知，如图，长方形ABCD中，AB=3cm，AD=9cm， 将此长方形折叠，使点B与点D重合，折痕为EF， 则△ABE的面积为多少？ E D A
B
G
F
C
思路：找出不变量，分析问题的数量关系，通过 已知和未知的联系，建构方程，最后解出方程
填一填
如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形 都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为7cm,则 正方形A，B，C，D的面积之和为___________cm2。 49
三边对应相等(SSS) 两直角边对应相等（SAS） 一锐角与一边对应相等(AAS,ASA)
斜边与一条直角边对应相等（HL）
三、议一议
如图,已知∠ACB=∠BDA=900 , 要使 △ABC≌△BDA, 还需要增加一个什么条件? 把它们分别写出来.
增加AC=BD;
C D
增加BC=AD; 增加∠ABC=∠BAD
边的方法:
两条短边的平方和等于长边的 平方的三角形是直角三角形．（勾
股定理逆定理）
二、练一练
• 1、以下各组数为边长的三角形中，是直角三角形的 是：（ C ） A、2、3、4。 B、3、4、6。 C、5、12、13。 D、10、16、25。 2、一个直角三角形两边的长分别为3，4则第三边 的长是（C ） A、5 B C 、5 或 D无法确定
已知:如图,OM=ON,PM⊥OM,PN⊥ON. 则∠AOP=∠BOP，请说明理由.
B
D O
1 2
A P
1、角平分线性质定理：角平分线 上的点，到这个角两边距离相等。
∵∠1= ∠2 ，PD⊥OA， PE⊥OB ∴ PD=PE （角平分线性质定理）
E
B
2、角平分线性质定理的逆定理： 角的内部，到角两边距离相等的 点，在这个角的平分线上。
则AC的长为______
A
30°
D E B
3
1 C CD是斜边AB的中线，则CD的长为______
如图，已知AD⊥BD，AC⊥BC，E为AB的中点， 试判断DE与CE是否相等，并说明理由。
D C
A
E
B
变式：如图，已知AG⊥BD，AC⊥BG ，E是AB的中 点，F是CD的中点，则EF⊥CD，请说明理由。
E
解题技巧：已知：平行线+角平 分线，结论：存在等腰三角形
如图，长方形ABCD中，把△ABE沿着AE 折叠使得B点落在F点，AD=8,AB=10,则求 (1)CF的长,(2)CE的长
解(1)由题意可知：AF=AB=10 AD=8 在Rt△ADF中：DF=6 B A ∴ CF=10-6=4（cm） (2)设CE=x,则EF=BE=8-x， E 在RT△ECF中 ： EF2=CF2+CE2 C (8-x)2=42+x2 D F ∴解这个方程，16x=48 x=3 ∴CE=3（cm） 方程思想的应用
AC2 + AD2 = CD2 ∴∠CAD=90°
2 2
D A C
B 1 1 _×3×4＋_×5×12=36 S四边形ABCD=
5、一个三角形的三条边分别为15、20、 12 25，则最大边上的高线长为 ______。
解题技巧:直角三角形两直角边的乘积等于斜边与 斜边上的高的乘积.
直角三角形 全等的判定 方法: