2021年云南省昆明市“三诊一模”高考数学第二次教学质量检测试卷(理科)(3月份)

2021年云南省昆明市“三诊一模”高考数学第二次教学质量检
测试卷（理科）（3月份）
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．（5分）已知复数z 满足21z
i i
=+-，则(z = ) A ．3i --
B ．3i -+
C ．3i +
D ．3i -
2．（5分）集合{|(1)}A x y ln x ==-，{|0}B x x =>，则(A B = )
A ．(0,1)
B ．(0,)+∞
C ．[0，)+∞
D ．(1,)+∞
3．（5分）已知5
sin cos 4αα-=，则sin 2(α= ) A ．9
16
-
B ．716
- C ．
716
D ．
916
4．（5分）小华在学校里学习了二十四节气歌，打算在网上搜集一些与二十四节气有关的古诗，他准备在立冬、小雪、大雪、冬至、小寒、大寒6个冬季节气与立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨6个春季节气中一共选出3个节气，若冬季节气和春季节气各至少选出1个，则小华选取节气的不同方法种数是( ) A ．90
B ．180
C ．220
D ．360
5．（5分）已知P ，Q 分别是正方体1111ABCD A B C D -的棱1BB ，1CC 上的动点（不与顶点重合），则下列结论正确的是( )
A ．平面APQ 与平面ABCD 所成的角的大小为定值
B ．1AQ BD ⊥
C ．四面体ABPQ 的体积为定值
D ．//AP 平面11DCC D
6．（5分）在数学发展史上，已知各除数及其对应的余数，求适合条件的被除数，这类问题统称为剩余问题.1852年《孙子算经》中“物不知其数”问题的解法传至欧洲，在西方的数学史上将“物不知其数”问题的解法称之为“中国剩余定理”．“物不知其数”问题后经秦九韶推广，得到了一个普遍的解法，提升了“中国剩余定理”的高度．现有一个剩余问题：在(1，2021]的整数中，把被4除余数为1，被5除余数也为1的数，按照由小到大的顺序排
列，得到数列{}n a ，则数列{}n a 的项数为( ) A ．98
B ．99
C ．100
D ．101
7．（5分）曲线21x y xe -+=在1x =处的切线与坐标轴围成的三角形面积为( ) A ．e
B ．
2
e
C ．
2e D ．1e
8．（5分）已知点P 是ABC ∆所在平面内一点，且0PA PB PC ++=，则( ) A ．1233PA BA BC =-+
B ．21
33PA BA BC =+
C ．12
33
PA BA BC =--
D ．2133
PA BA BC =
-
9．（5分）若等边三角形一边所在直线的斜率为( )
A ．
B ．
C ．
D ．
10．（5分）已知1F ，2F 分别是椭圆22
22:1(0)x y E a b a b
+=>>的左，右焦点，M 是椭圆短轴
的端点，点N 在椭圆上，若123MF NF =，则椭圆E 的离心率为( )
A ．1
3
B ．
12
C D 11．（5分）饮酒驾车、醉酒驾车是严重危害《道路交通安全法》的违法行为，将受到法律处罚．检测标准：“饮酒驾车：车辆驾驶人员血液中的酒精含量大于或者等于20/100mg mL ，小于80/100mg mL 的驾驶行为；醉酒驾车：车辆驾驶人员血液中的酒精含量大于或者等于80/100mg mL 的驾驶行为．
”据统计，停止饮酒后，血液中的酒精含量平均每小时比上小时降低20%．某人饮酒后测得血液中的酒精含量为100/100mg mL ，若经过(*)n n N ∈小时，该人血液中的酒精含量小于20/100mg mL ，则n 的最小值为( )（参考数据：20.3010)lg ≈ A ．7
B ．8
C ．9
D ．10
12．（5分）已知函数()sin()(0f x x ωϕω=+>，0)2πϕ<<，()()66f x f x ππ
+=--，
()()22
f x f x ππ
+=-，下列四个结论：
①4
π
ϕ=；
②9
3()2
k k N ω=
+∈； ③()02f π
-=；
④直线3
x π
=-
是()f x 图象的一条对称轴．
其中所有正确结论的编号是( ) A ．①②
B ．①③
C ．②④
D ．③④
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．（5分）已知双曲线22
22:1(0,0)x y C a b a b
-=>>的右焦点为F ，右顶点为A ，O 为原点，
若||2||OF OA =，则C 的渐近线方程为 ．
14．（5分）甲、乙两个样本茎叶图如图，将甲中的一个数据调入乙，使调整后两组数据的平均值都比调整前增大，则这个数据可以是 ．（填一个数据即可）
15．（5分）在ABC ∆中，60BAC ∠=︒，3BC =，D 是BC 上的点，AD 平分BAC ∠，若2AD =，则ABC ∆的面积为 ．
16．（5分）由正三棱锥S ABC -截得的三棱台111ABC A B C -的各顶点都在球O 的球面上，若6AB =，三棱台111ABC A B C -的高为2，且球心O 在平面ABC 与平面111A B C 之间（不在两平面上），则1AB 的取值范围为 ．
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。

第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

（一）必考题：共60分。

17．（12分）如图，四棱柱1111ABCD A B C D -的侧棱1AA ⊥底面ABCD ，四边形ABCD 为菱形，E ，F 分别为1CC ，1AA 的中点． （1）证明：B ，E ，1D ，F 四点共面； （2）若1AB AA =，3
DAB π
∠=
，求直线AE 与平面1BED F 所成角的正弦值．
18．（12分）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，332n n a a =-，且5324S S a -=． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设数列1{
}n S 的前n 项和为n T ，证明：3
4
n T <． 19．（12分）2019年11月26日，联合国教科文组织宣布3月14日为国际数学日，以“庆祝数学在生活中的美丽和重要性”．为庆祝该节日，某中学举办了数学嘉年华活动，其中一项活动是“数学知识竞答”闯关赛，规定：每位参赛者闯关，需回答三个问题，至少两个正确，则闯关成功．若小明回答第一、第二、第三个问题正确的概率分别为45，1
2
，13，各
题回答正确与否相互独立．
（1）求小明回答第一、第二个问题，至少一个正确的概率；
（2）记小明在闯关赛中回答题目正确的个数为X ，求X 的分布列及小明闯关成功的概率． 20．（12分）在平面直角坐标系xOy 中，已知点(1,2)A ，B 是一动点，直线OA ，OB ，AB 的斜率分别为1k ，2k ，3k ，且123
111
k k k +=，记B 点的轨迹为E ． （1）求曲线E 的方程；
（2）已知直线:1l x ty =+，与曲线E 交于C ，D 两点，直线AC 与x 轴，y 轴分别交于M ，N 两点，直线AD 与x 轴，y 轴分别交于P ，Q 两点，当四边形MNPQ 的面积最小时，求
直线l 的方程．
21．（12分）已知函数()cos ()x f x e x ax a R =--∈． （1）若()f x 在[0，)+∞上单调递增，求a 的取值范围； （2）证明：[0x ∀∈，)+∞，2sin 2sin sin cos x xe x x x x +-．
（二）选考题：共10分。

请考生在第22，23题中任选一题作答。

并用铅笔在答题卡选考题区域内把所选的题号涂黑。

如果多做，则按所做的第一题计分。

[选修4-4：坐标系与参数方程]
22．（10分）在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为2,
(1,x t t y t =+⎧⎨=+⎩
为参数）．以坐标
原点O 为极点，x 轴非负正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为4cos ρθ=．
（1）求1C 的极坐标方程和2C 的直角坐标方程； （2）若1C ，2C 交于A ，B 两点，求||||OA OB ⋅． [选修4-5：不等式选讲]（10分）
23．已知函数()|3||23|
f x x x
=-+-．（1）求不等式()6
f x的解集；
（2）若
3
[
2
x∃∈，3]，3()160
x af x
-+<，求实数a的取值范围．
2021年云南省昆明市“三诊一模”高考数学第二次教学质量检
测试卷（理科）（3月份）
参考答案与试题解析
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．（5分）已知复数z 满足21z
i i
=+-，则(z = ) A ．3i -- B ．3i -+ C ．3i + D ．3i -
【解答】解：21z i i
=+-，2
(2)(1)223z i i i i i i ∴=+-=-+-=-， 故选：D ．
2．（5分）集合{|(1)}A x y ln x ==-，{|0}B x x =>，则(A B = )
A ．(0,1)
B ．(0,)+∞
C ．[0，)+∞
D ．(1,)+∞
【解答】解：{|1}A x x =>，{|0}B x x =>，
(0,)A
B ∴=+∞．
故选：B ．
3．（5分）已知5
sin cos 4αα-=，则sin 2(α= ) A ．9
16
-
B ．716
- C ．
716
D ．
916
【解答】解：5sin cos 4αα-=，∴平方可得2512sin cos 16
αα-=， 则9sin 22sin cos 16
ααα==-， 故选：A ．
4．（5分）小华在学校里学习了二十四节气歌，打算在网上搜集一些与二十四节气有关的古诗，他准备在立冬、小雪、大雪、冬至、小寒、大寒6个冬季节气与立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨6个春季节气中一共选出3个节气，若冬季节气和春季节气各至少选出1个，则小华选取节气的不同方法种数是( ) A ．90
B ．180
C ．220
D ．360
【解答】解：选冬季节气2个和春季节气1个，则选法有21
66
90C C =个， 选冬季节气1个和春季节气2个，则选法有12
6
690C C =个，
故冬季节气和春季节气各至少选出1个，共有9090180+=个， 故选：B ．
5．（5分）已知P ，Q 分别是正方体1111ABCD A B C D -的棱1BB ，1CC 上的动点（不与顶点重合），则下列结论正确的是( )
A ．平面APQ 与平面ABCD 所成的角的大小为定值
B ．1AQ BD ⊥
C ．四面体ABPQ 的体积为定值
D ．//AP 平面11DCC D
【解答】解：对于A ，假设//PQ BC ，则可得PD AD ⊥，又AB AD ⊥， 则此时平面APQ 与平面ABCD 所成的角为PAB ∠， 则PAB ∠不是定值，故选项A 错误； 对于B ，建立空间直角坐标系如图所示，
取2AB =，则(2B ，2，0)，1(0D ，0，2)，(2A ，0，0)，(0Q ，2，)z ， 所以1(2,2,2),(2,2,)BD AQ z =---=-， 故120AQ BD z ⋅=≠，
所以1AQ BD ⊥不成立，故选项B 错误；
对于C ，111
332
Q ABP ABP V S BC AB PB BC -∆=⋅=⋅⋅⋅⋅，
因为PB 不是定值，故Q ABP V -不是定值，故选项C 错误； 对于D ，因为平面11//A ABB 平面11DCC D ，
又AP ⊂平面11A ABB ，由面面平行的定义可知，//AP 平面11DCC D ，故选项D 正确． 故选：D ．
6．（5分）在数学发展史上，已知各除数及其对应的余数，求适合条件的被除数，这类问题统称为剩余问题.1852年《孙子算经》中“物不知其数”问题的解法传至欧洲，在西方的数学史上将“物不知其数”问题的解法称之为“中国剩余定理”．“物不知其数”问题后经秦九
韶推广，得到了一个普遍的解法，提升了“中国剩余定理”的高度．现有一个剩余问题：在(1，2021]的整数中，把被4除余数为1，被5除余数也为1的数，按照由小到大的顺序排
列，得到数列{}n a ，则数列{}n a 的项数为( ) A ．98
B ．99
C ．100
D ．101
【解答】解：将题目转化为1n a -既是4的倍数，也是5的倍数，也即是20的倍数， 即120(1)n a n -=-，2019n a n =-，
令120192021n <-，1102n ∴<，又n N +∈， 故2n =，3，⋅⋅⋅，102，∴数列共有101项， 故选：D ．
7．（5分）曲线21x y xe -+=在1x =处的切线与坐标轴围成的三角形面积为( ) A ．e
B ．
2
e
C ．
2e D ．1e
【解答】解：21x y xe -+=的导数为21212x x y e xe -+-+'=-， 可得1x =处的切线的斜率为1112k e e e ---=-=-， 且切点为1(1,)e -，
即有切线的方程为11(1)y e e x ---=--， 可令0x =，则12y e -=；0y =，则2x =，
所以切线与坐标轴围成的三角形面积为112
222e e
-⨯⨯=，
故选：C ．
8．（5分）已知点P 是ABC ∆所在平面内一点，且0PA PB PC ++=，则( ) A ．12
33PA BA BC =-+
B ．21
33PA BA BC =+
C ．12
33
PA BA BC =--
D ．2133
PA BA BC =
- 【解答】解：因为0PA PB PC ++=，所以点P 为ABC ∆的重心， 延长PA 交BC 于点M ，
所以22111111
()33223333
PA AM AB AC AB AC BA AC =-=-+=--=-，
又AC BC BA =-，
所以112
1
()3333
PA BA BC BA BA BC =--=-．
故选：D ．
9．（5分）若等边三角形一边所在直线的斜率为33( ) A ．33
B ．3
3
C ．3
3
D ．3
3
【解答】解：根据题意，该三角形另两条边所在直线斜率为k 、m ，(0)m k <<， 则有3333tan 603133133m k k
k
--︒=++
解可得：3m =3
k =， 故选：A ．
10．（5分）已知1F ，2F 分别是椭圆22
22:1(0)x y E a b a b
+=>>的左，右焦点，M 是椭圆短轴
的端点，点N 在椭圆上，若123MF NF =，则椭圆E 的离心率为( ) A ．1
3
B ．
12
C 2
D 6 【解答】解：不妨设点M 为椭圆短轴的上端点(0,)b ， 且1(,0)F c -，2(,0)F c ，设点N 的坐标为(,)m n ， 则12(,),(,)MF c b NF c m n =--=--，
由123MF NF =可得：13
13c m c n b
⎧
-=-⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩
，即41,33m c n b ==，
所以点N 的坐标为41
(,)33
c b ，
代入椭圆方程可得：222216199c b a b +=，解得221
2
c a =，
所以椭圆的离心率为c e a ==
， 故选：C ．
11．（5分）饮酒驾车、醉酒驾车是严重危害《道路交通安全法》的违法行为，将受到法律处罚．检测标准：“饮酒驾车：车辆驾驶人员血液中的酒精含量大于或者等于20/100mg mL ，小于80/100mg mL 的驾驶行为；醉酒驾车：车辆驾驶人员血液中的酒精含量大于或者等于80/100mg mL 的驾驶行为．
”据统计，停止饮酒后，血液中的酒精含量平均每小时比上小时降低20%．某人饮酒后测得血液中的酒精含量为100/100mg mL ，若经过(*)n n N ∈小时，该人血液中的酒精含量小于20/100mg mL ，则n 的最小值为( )（参考数据：20.3010)lg ≈ A ．7
B ．8
C ．9
D ．10
【解答】解：经过(*)n n N ∈小时，该人血液中的酒精含量为1000.8/100n mg ml ⨯， 由题意可得，1000.820n ⨯<，即0.80.2n <， 所以0.80.221210.301010.27.20.88132130.30101
lg lg lg n log lg lg lg --->=
==≈≈--⨯-， 所以n 的最小值为8． 故选：B ．
12．（5分）已知函数()sin()(0f x x ωϕω=+>，0)2πϕ<<，()()66f x f x ππ
+=--，
()()22
f x f x ππ
+=-，下列四个结论：
①4
π
ϕ=；
②9
3()2
k k N ω=
+∈； ③()02f π
-=；
④直线3
x π
=-
是()f x 图象的一条对称轴．
其中所有正确结论的编号是( ) A ．①②
B ．①③
C ．②④
D ．③④
【解答】解：函数()sin()(0f x x ωϕω=+>，0)2
π
ϕ<<，()f x 图象的一条对称轴是直线2x π=，
所以(
f )(
2
x f π
+=)2
x π
-，
由()f x 的一个零点为
6
π
，
所以()()66f x f x ππ
+=--，
整理得
42263
T T k πππ+⋅=-=， 所以43(12)
T k π
=+，
故23
3()2
k k Z T πω=
=+∈，故②错误； 当1k =时，9
()sin()2
f x x ϕ=+，
把(,0)6π代入关系式，得到3sin()04
π
ϕ+=，由于02πϕ<<，
所以4
π
ϕ=
，故①正确；
对于9()sin()13234
f πππ
-=⋅+≠±，故④错误；
9()sin[()]sin(2)02224
f πππ
π-=⋅-+=-=，故③正确．
故选：B ．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．（5分）已知双曲线22
22:1(0,0)x y C a b a b
-=>>的右焦点为F ，右顶点为A ，O 为原点，
若||2||OF OA =，则C 的渐近线方程为 3
y x =±
． 【解答】解：双曲线22
22:1(0,0)x y C a b a b
-=>>的右焦点为F ，右顶点为A ，O 为原点，
||2||OF OA =，
即2c a =，所以223b c a a =-=， 所以C 的渐近线方程：3
y x =±． 故答案为：3
y x =±
． 14．（5分）甲、乙两个样本茎叶图如图，将甲中的一个数据调入乙，使调整后两组数据的平均值都比调整前增大，则这个数据可以是 76（或77，78) ．（填一个数据即可）
【解答】解：
计
算茎叶图中，甲的平均数是
11
(6566777678808382869295)8011
x =
⨯++++++++++=， 乙的平均数是21
(626471737678818288)759
x =⨯++++++++=，
在甲组数据中比80小且比75大的数据是76，77，78，这3个数任取一个，调入乙即可． 故答案为：76（或77，78 )．
15．（5分）在ABC ∆中，60BAC ∠=︒，3BC =，D 是BC 上的点，AD 平分BAC ∠，若2AD =，则ABC ∆的面积为
33
2
． 【解答】解：如图所示，
ABC ∆中，60BAC ∠=︒，AD 平分BAC ∠，
所以30BAD CAD ∠=∠=︒，
过点D 作DE AB ⊥，DF AC ⊥，垂足为E 、F ，则1
12
DE DF AD ==
=， 所以ABC ∆的面积为11
()()22
ABC ABD ACD S S S AD AB AC AB AC ∆∆∆=+=⨯⨯+=+；
又13
sin 602ABC S AB AC AB AC ∆=
⋅⋅⋅︒=⋅， 所以3
AB AC AB AC +=⋅，⋯①， 由
余弦定理得
2222222cos ()39BC AB AC AB AC BAC AB AC AB AC AB AC AB AC =+-⋅⋅∠=+-⋅=+-⋅=，
⋯②
设AB AC x +=，0x >，则2393x -=，
化简得22390x x --=，解得33x =3x =-， 所以33AB AC +=
所以133()2ABC S AB AC ∆=+=．
33
． 16．（5分）由正三棱锥S ABC -截得的三棱台111ABC A B C -的各顶点都在球O 的球面上，
若6AB =，三棱台111ABC A B C -的高为2，且球心O 在平面ABC 与平面111A B C 之间（不在两平面上），则1AB 的取值范围为 (26,6) ． 【解答】解：该三棱台的横截面如图所示， 因为ABC ∆为正三角形，且6AB =， 则233
AH =
=，
又2GH =，球心O 在GH 上，A ，1A 都在球面上， 故1OA OA =，
设OH h =，1
AG m =， 则由△1A GO 和AOH ∆均为直角三角形， 所以222(2)12m h h +-=+， 解得284m h =+，
由图可知，(0,2)h ∈，(0,23)m ∈， 综上可得，(22,23)m ∈， 又1113A B A G =，
所以11(26,6)A B ∈，即1AB 的取值范围为(26,6)． 故答案为：(26,6)．
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。

第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

（一）必考题：共60分。

17．（12分）如图，四棱柱1111ABCD A B C D -的侧棱1AA ⊥底面ABCD ，四边形ABCD 为菱形，E ，F 分别为1CC ，1AA 的中点． （1）证明：B ，E ，1D ，F 四点共面；
（2）若1AB AA =，3
DAB π
∠=
，求直线AE 与平面1BED F 所成角的正弦值．
【解答】（1）证明：连接BE ，BF ，1D E ，1D F ， 11BC A D =，1CE A F =，1190BCE D A F ∠=∠=︒，
BCE ∴∆≅△11D A F ， 1BE D F ∴=，
同理可得，1BF D E =，
∴四边形1BED F 为平行四边形，
B ∴，E ，1D ，F 四点共面．
（2）解：取AB 的中点M ，连接DM ， 四边形ABCD 为菱形，且3
DAB π
∠=
，
ABD ∴∆为等边三角形， DM AB ∴⊥，DM DC ⊥，
以D 为原点，DM ，DC ，1DD 所在直线分别为x ，y ，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
设菱形ABCD 的边长为2，则(3A 1-，0)，(3B 1，0)，(0E ，2，1)，1(0D ，0，2)，
∴(AE =-3，1)，1(3D B =，1，2)-，1(0D E =，2，1)-，
设平面1BED F 的法向量为(n x =，y ，)z ，则110
n D B n D E ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪
⎩，即2020y z y z +-=-=⎪⎩，
令1y
=，则x =2z =，∴(3n =，1，2)， 设直线AE 与平面1BED F 所成角为θ， 则sin |cos AE θ=<
，||
|||||||39AE n n
AE n ⋅>===⋅+
故直线AE 与平面1BED F ． 18．（12分）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，332n n a a =-，且5324S S a -=． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设数列1{
}n S 的前n 项和为n T ，证明：3
4
n T <． 【解答】（1）解：等差数列{}n a 的公差为d ，
由题设可得：3452324n n a a a a a =-⎧⎨+=⎩，即1111(31)33(1)22744a n d a n d a d a d +-=+--⎧⎨+=+⎩，解得：13
2a d =⎧⎨=⎩，
32(1)21n a n n ∴=+-=+；
（2）证明：由（1）可得：(321)
(2)2
n n n S n n ++=
=+，
11111()(2)22n S n n n n ==-++， 11111111111111113
(1)(1)(1)2324351122212224
n T n n n n n n ∴=-+-+-+⋯+-+-=+--<+=
-++++．
19．（12分）2019年11月26日，联合国教科文组织宣布3月14日为国际数学日，以“庆祝数学在生活中的美丽和重要性”．为庆祝该节日，某中学举办了数学嘉年华活动，其中一项活动是“数学知识竞答”闯关赛，规定：每位参赛者闯关，需回答三个问题，至少两个正确，则闯关成功．若小明回答第一、第二、第三个问题正确的概率分别为45，1
2
，13，各
题回答正确与否相互独立．
（1）求小明回答第一、第二个问题，至少一个正确的概率；
（2）记小明在闯关赛中回答题目正确的个数为X ，求X 的分布列及小明闯关成功的概率． 【解答】解：（1）小明回答第一、第二、第三个问题正确的概率分别为45，1
2
，13，
各题回答正确与否相互独立．
∴小明回答第一、第二个问题，至少一个正确的概率为：
419
1(1)(1)5210
P =---=
． （2）记小明在闯关赛中回答题目正确的个数为X ， 则X 的可能取值为0，1，2，3， 4112
(0)(1)(1)(1)52330
P X ==---=
， 41141141111
(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)52352352330P X ==⨯-⨯-+-⨯⨯-+-⨯-⨯=
， 41141141113
(2)(1)(1)(1)52352352330P X ==⨯⨯-+⨯-⨯+-⨯⨯=
， 4114
(3)52330
P X ==
⨯⨯=
， X ∴的分布列为：
∴小明闯关成功的概率13417
(2)(3)303030
P P X P X ==+==
+=
． 20．（12分）在平面直角坐标系xOy 中，已知点(1,2)A ，B 是一动点，直线OA ，OB ，AB 的斜率分别为1k ，2k ，3k ，且123
111
k k k +=，记B 点的轨迹为E ． （1）求曲线E 的方程；
（2）已知直线:1l x ty =+，与曲线E 交于C ，D 两点，直线AC 与x 轴，y 轴分别交于M ，N 两点，直线AD 与x 轴，y 轴分别交于P ，Q 两点，当四边形MNPQ 的面积最小时，求
直线l 的方程．
【解答】解：（1）设(,)B x y ，由题意123
111
k k k +=， 所以
11
22
x x y y -+=
-，化简可得24y x =， 故曲线E 的方程为24(0,1)y x x x =≠≠；
（2）由（1）可得，0t ≠，设1(C x ，1)y ，2(D x ，2)y ， 联立方程241
y x
x ty ⎧=⎨=+⎩，消去x 可得2440y ty --=，
所以121244
y y t y y +=⎧⎨=-⎩，
则112111224
12
14
AC y y k y x y --=
==-+-， 所以直线AC 的方程为14
2(1)2
y x y -=-+， 故11
12(,0),(0,)22
y y M N y -
+， 同理可得22
22(,0),(0,)22
y y P Q y -+， 所以1212
12||||,||4||2(2)(2)
y y y y MP NQ y y --==++， 故222121212121212()()4116162||||||2||22||42(2)(2)|2()4||8||||MNPQ
y y y y y y t S MP NQ t t y y y y y y t t -+-+=⋅====+⋅+++++，
当且仅当1t =±时取等号，
所以四边形MNPQ 面积的最小值为4，
所以当四边形MNPQ 的面积最小时，直线l 的方程为1y x =-或1y x =-+． 21．（12分）已知函数()cos ()x f x e x ax a R =--∈． （1）若()f x 在[0，)+∞上单调递增，求a 的取值范围； （2）证明：[0x ∀∈，)+∞，2sin 2sin sin cos x xe x x x x +-． 【解答】解：（1）()cos x f x e x ax =--，则()sin x f x e x a '=+-， 若()f x 在[0，)+∞上单调递增，则()0f x '，即sin x a e x +， 设()sin x g x e x =+，则()cos x g x e x '=+，
0x ，()0g x ∴'>，()g x 在[0，)+∞单调递增，
()(0)1g x g ∴=，
1a ∴，a 的取值范围是(-∞，1]；
（2）证明：设()sin F x x x =-，(0)x ，
则()1cos 0F x x '=-，()F x 在[0，)+∞单调递增， ()(0)0F x F ∴=，sin x x ∴，
[0x ∴∈，1]时，22sin x x ，(1,)x ∈+∞时，22sin x x ，
[0x ∴∈，)+∞时，22sin x x ，
设2
1()1(0)2
G x cox x x =+
-， 则()sin G x x x '=-+，()1cos 0G x x ''=-， ()G x '在[0，)+∞递增，故()(0)0G x G ''=，
故()G x 在[0，)+∞单调递增，故()(0)0G x G =， 故21cos 12x x -，则2
102cos 12
x x <-+，
22221
sin sin (2cos )(2cos )(1)2x x x x x x x x x ∴+-+-++，
问题转化为只需证221
(1)2x xe x x x ++，
即证21
12
x e x x ++，
设21
()12
x h x e x x =---，(0)x ，
则()1(0)x h x e x x '=--，()10x h x e ''=-， 故()h x '在[0，)+∞单调递增，()(0)0h x h ''=， 故()h x 在[0，)+∞单调递增，()(0)0h x h =， 故21
12
x e x x ++成立，
故：[0x ∀∈，)+∞，2sin 2sin sin cos x xe x x x x +-．
（二）选考题：共10分。

请考生在第22，23题中任选一题作答。

并用铅笔在答题卡选考题区域内把所选的题号涂黑。

如果多做，则按所做的第一题计分。

[选修4-4：坐标系与参数方程]
22．（10分）在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为2,
(1,x t t y t =+⎧⎨=+⎩
为参数）．以坐标
原点O 为极点，x 轴非负正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为4cos ρθ=．
（1）求1C 的极坐标方程和2C 的直角坐标方程； （2）若1C ，2C 交于A ，B 两点，求||||OA OB ⋅．
【解答】解：（1）曲线1C 的参数方程为2,
(1,x t t y t =+⎧⎨=+⎩
为参数），转换为直角坐标方程为
10x y --=，根据222cos sin x y x y ρθρθ
ρ=⎧⎪
=⎨⎪+=⎩
，转换为极坐标方程为cos sin 10ρθρθ--=．
曲线2C 的极坐标方程为4cos ρθ=，根据222cos sin x y x y ρθρθ
ρ=⎧⎪
=⎨⎪+=⎩
，转换为直角坐标方程为
224x y x +=，整理得22(2)4x y -+=． （2）由于1C ，2C 交于A ，B 两点，
所以2
2
10
4x y x y x
--=⎧⎨+=⎩
，解得x y ⎧=⎪⎪⎨
⎪=⎪⎩
或x y ⎧=⎪⎪⎨
⎪=⎪⎩
即A
，B ，
所以||||OA OB ==． [选修4-5：不等式选讲]（10分） 23．已知函数()|3||23|f x x x =-+-． （1）求不等式()6f x 的解集；
（2）若3
[2x ∃∈，3]，3()160x af x -+<，求实数a 的取值范围．
【解答】解：（1）函数36,33
()|3||23|,32
363,2
x x f x x x x x x x ⎧
⎪-⎪⎪=-+-=<<⎨⎪⎪
-⎪⎩，
所以不等式()6f x 可化为3366x x ⎧⎨-⎩，或3326x x ⎧<<⎪⎨⎪⎩，或3
2636
x
x ⎧⎪⎨⎪-⎩，
解得34x ，或
332x <<，或3
02
x
； 所以不等式()6f x 的解集是{|04}x x ； （2）当3
[2
x ∈，3]时，函数()f x x =，
所以不等式3()160x af x -+<，可化为3160x ax -+<，
即216a x x
>+
． 设216()g x x x =+
，3
[2
x ∈，3]， 则32222
162(8)2(2)(24)
()2x x x x g x x x x x --++'=-==
， 当3
[2
x ∈，2)时，()0g x '<，函数()g x 单调递减，
(2x ∈，3]时，()0g x '>，函数()g x 单调递增，
所以2x =时，函数()g x 取得最小值为()min g x g =（2）4812=+=， 所以若3
[2
x ∃∈，3]，3()160x af x -+<，实数a 的取值范围是12a >．。