3-5线性方程组解的结构 -2

cr ,r 1
1
,2
cr,r 0
2
,L
,nr
cr 0
n
12
nr
0
1
0
便是方程组(3-14)
M 0
M 0
M 1
的一个基础解系.
由于初等变换是同解变换，故方程组（3-14）
x1 c1r1xr1 L c1n xn
x2
c2r1 xr1 L LL
c2n xn
量，故有 A1 0, A2 0
于是
A(k11 k22 ) k1 A1 k2 A2 k1 0 k2 0 0
所以 k11 k22 也是（3-2）解向量. 一般地，若 1,2,L ,m 是线性方程组的解 向量，则 k11 k22 L kmm 也是解向量.
3 基础解系 若齐次线性方程组有非零解，则它就有无穷
（3-17）的解，因此存在数 k1, k2 ,L , knr ，使
' k11 +k22 L kn r nr 即 ' k11 +k22 L knr nr
由定理3.18可知，求一个非齐次线性方程组
的通解时，只需求出它的某一个特解和对应的
齐次线性方程组的通解即可.
例3 求下列非齐次线性方程组的通解
且任一基础解系中解向量的个数为 n r.
第一步：对方程组AX=0的系数矩阵A作初等行
变换，化A为行最简形．不妨设
1 0 L 0 c1,r1 L c1n
0
A初等行变换
L 0
L00
1L
LL 0L
0L LL 0L
0
L 1
0 L 0
c2,r1 L LL cr,r1 L 0L LL 0L
c2n L
crn 0 L 0
,L
,
0
M M M
1
cr ,r 1
1
,2
cr,r 0
2
,L
,nr
cr 0
n
0
1
0
0
0
1
M 0
M 0
M 1
（3-15）
x1 c1r 1 xr 1 L c1n xn
由于式（3-15）中 n r 个
x2
c2r 1 xr 1 LL
多组解，这无穷多组解构成一个 n 维向量组，
若能求出该向量组的一个极大无关组，就可用 其线性组合来表示方程组的全部解.
定义3.10 若 1,2 ,L ,s 是齐次线性方程组 解向量组的一个极大无关组，则称1,2 ,L ,s
是方程组的一个基础解系.
4 基础解系存在性与求法
定理3.17 若齐次线性方程组的系数矩阵 A 的 秩 r(A) r n ，则该方程组的基础解系存在，
L
c2n xn
1 0 0
xr crr 1 xr 1 L crn xn
0
,
1
,L
M M
,
0
M
n r 维列向量是线性无关的， 故作为其接长向量的
0
0
1
1,2 ,L ,nr
, ,L , c1,r1
也一定线性无关.
M
c1,r2
M
c1 n
M
此时， 1
x1 x2 x3 x4 0 （1）3 x1 2 x2 x3 2x4 0
2 x1 x2 2 x3 3 x4 0
解（1）
1
3
1 2
1 1
1 (3) (2)
2
2 1 2 3
1 1 1 1
0
1
4
5
(1) (1)
0 1 4 5
1 1 1 1
0
1
4
5
(1) (1)
同解，即
1,2 ,L ,nr
xr crr1xr1 L crn xn
与方程组（3-2）
也是方程组（3-2） 的一个基础解系.
a11 x1 a12 x2 L a1n xn 0
a21
x1
a22
x2
L
a2n xn
0
LL
am1 x1 am2 x2 L amn xn 0
(3 2)
例1 求下列齐次线性方程组的一个基础解系.
0 4 6 7 1
1 1 3 1 1
0
4
6
0 0 0
7
1
0 0
( 1) 4
1 1 3 1 1
0
1
3
7
1
(1)
2 4 4
0
0
0
0
0
1 1 3 1 1
0
1
3
7
1
2 4 4
0
0
0
0
0
即原方程组与方程组
(1)
1 0 0
0 1 0
3 2
3 2 0
3 4 7 4 0
5
4
a11 x1 a12 x2 L a1n xn 0
a21 x1 a22 x2 L a2n xn 0
LL
am1 x1 am2 x2 L amn xn 0
(3 2)
的解向量.
2 解向量的性质
性质： 若1,2 是线性方程组（3-2）的解 向量，则 k11 k22 也是（3-2）解向量. 证明： 因1,2 是线性方程组（3-2）的解向
a21 x1 a22 x2 L a2n xn 0
LL
am1 x1 am2 x2 L amn xn 0
(3 2)
一、齐次线性方程组解的结构
齐次线性方程组:
a11 x1 a12 x2 L a1n xn 0
a21 x1 a22 x2 L a2n xn 0
LL
(3 2)
A
LL crr1xr1 L crn xn
1 0 L 0 L00
0
1
L 0
0 L 0
L
L
L L
L L L
0
0
L 1
0 L 0
c1,r1 L c2,r1 L LL cr,r1 L
0L LL 0L
c1n
c2n L
crn 0 L 0
（3-14）
x1 c1r1 xr1 L c1n xn
k2
7 4
0
1
0
0 0 1
§5 线性方程组解的结构
一、齐次线性方程组解的结构 二、非齐次线性方程组解的结构
a11 x1 a12 x2 L a1n xn b1
a21
x1
a22
x2
L
a2n xn
b2
LL
(3 1)
am1 x1 am2 x2 L amn xn bm
a11 x1 a12 x2 L a1n xn 0
1
(1) 2
0
0 0
1
0 0
7 2 0 0
2
0 0
1
0
3 2
1
0
1
7 2
2
即原方程组与
x1
3 2
x3
x4
0
0
0
0
0 0 0 0
x2
7 2
x3
同解，
2 x4
其中 x3,
1 0
0
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
,
1
x，对向4 得应量为方的为自程 解由组未1知 量 72，32 让,其2 分 别021取 就程一值是组个方的基
1,2 ,L ,nr 是式（3-17）的基础解系，则式
（3-16）的所有解均可表达为：
' k11+k22 L knrnr AX
其中 k1, k2 ,L , knr为任意实数. AX
证明 设 是式（3-16）的某一特解， '是式 （3-16）的任一解，根据性质1，则 ' 是式
0 1 4 5
1 0 3 4
0
1
4
5
0 0 0 0
1 0 3 4
(1)
0
1
4
5
0 0 0 0
即原方程组与下列方程组
x1 x2
3x3 4x4 4x3 5x4
同解，
其中 x3 ,
x4 是自由未知量，
x1 x2
3x3 4 4x3
x4 5 x4
x3 , x4 是自由未知量，让其分别取值
1 0
0
,
1
，得方程组对应的解向量为 3 4
1
4 1
,2
5 0
0
1
1,2 就是方程组的一个基础解系.
例2 求下列齐次线性方程组的一个基础解系.
x1 x2 5x3 x4 0
x1
x2
2 x3
3 x4
0
3x1 x2 8x3 x4 0
x1 3x2 9x3 7 x4 0
1
0
1
础解系.
二、非齐次线性方程组解的结构
非齐次线性方程组（3-1）的矩阵形式为
AX
（3-16）
其对应的齐次线性方程组为
1 解的性质 AX
（3-17）
性质1 若 1,2是式（3-16）的解，则 1 2
是式（3-17）的解.
性质2 若 是式（3-16）的解， 是式（3-17）
的解，则+ 是式（3-16）的解. 定理3.18 若 是式（3-16）的一个特解，
x1 x2 3 x3 x4 1 3 x1 x2 3x3 4x4 4
x1
5 x2
9 x3
8 x4
0
1 1 3 1 1 (3) (1)
解
3
1
3
4
4
1 5 9 8 0
1 1 3 1 1
0
4
6
7
1
(1)
0 4 6 7 1
1 1 3 1 1
0
4
6
7
1
(1)
3 2
x3
3 4
x4
x2
3 2
x3
7 4
x4
同解，其中
取值
1
0
，10
，得对应齐
次方程组的
x3
, x4
1
为13232自 ,由2未 知740量43 ，.因通让此解方为xxk341程1 分组 k别的22
基础解系为： 0
1
5
4
3
2
3 4
k11 +k22
1 4
k1
3 2
第二步：写出方程组AX=0的同解方程组及一般解：
x1
x2
c1r1xr1 L c1n xn 0 c2r1xr1 L c2n xn 0（3-13） LL
即
xr crr1xr1 L crn xn 0
x1 x2
xr
c1r x 1 r1 L c1n xn c2r1 xr1 L c2n xn
解
1 1 5 1(1)(3)
1
1
2
3 1 8
1
3
9
3
1
7
1 1 5
0
2
7
0 2 7
0
4
14
1
4
(
1 2
)((12))
4
8
1 1 5 1
0
2
0 2
7 7
4 4
(1) 2
(1)
(2)
0
4
14
8
1
0
3 2
1
0 2 7 4
0 0
0 0
0 0
0 0
1
0
3 2
1 4
0
x1
3 2
x3
3 4
x2
3 2
x3
7 4
同解，其中 x3
x4 x4
, x4
5 为自由未知量，让
4 1
取值
0
0
4，得方程组
的一个特解
5
4
1 4
.
0 0
x3
x4
x1
x2
3 2 3 2
x3
3 4
x4
5 4
x3
7 4
x4
1 4
原方程组对应的齐次方程组
与
x1
am1 x1 am2 x2 L amn xn 0
矩阵形式为: AX 0
0
a11 a12
A
a21
a22
am1 am2
a1n
a2n
,
amn
x1
X
x2
M
xn
0
0 0
１．解向量的概念
若存在 n 维列向量 (c1, c2 ,L , cn )，T 使
A 0, 则称 是方程组（3-2）:
x2
c2r1 xr1 LL
L
c2n xn
xr crr1xr1 L crn xn
（3-14）
其中xr1,L , xn 为自由未知量，可以取任何数，
n r 第三步：不妨取
1 0 0
组：可得方程组（3-14）的
个解向量： c1M,r1
c1,r2
M
nr
c1 n
M
0
,
1