评价NBA球员能力和薪资关系的数学模型

评价NBA球员能力和薪资关系的数学模型海黄和紫檀哪个更有价值
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北京十里河古玩市场，美不胜收的各类手串让记者美不胜收。

“黄花梨和紫檀是数一数二的好料，市场认可度又高，所以我们这里专注做这两种木料的手
串。

”端木轩的尚女士向记者引见说。

海黄紫檀领风骚
手串是源于串珠与手镯的串饰品，今天曾经演化为集装饰、把玩、鉴赏于一体的特征珍藏品。

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“目前珍藏、把玩木质手串的人越来越多，特别是海黄和印度小叶檀最受藏家追捧，有人把黄花梨材质的手串叫做腕中黄金。

”纵观海南黄花梨近十年的价钱行情，不难置信尚女士所言非虚。

一位从事黄花梨买卖多年的店主夏先生通知记者，在他的记忆中，2000年左右黄花梨上等老料的价钱仅为60元/公斤，2002年大量收购时，价
格也仅为2万元/吨左右，而往常，普通价钱坚持在7000-8000元/公斤，好点的1公斤料就能过万。

“你看这10年间海南黄花梨价钱涨了百余倍，都说
水涨船高，这海黄手串的价钱自然也是一路飙升。

”
“这串最低卖8000元，能够说是我们这里海黄、小叶檀里的一级品了，普通这种带鬼脸的海黄就是这个价位。

”檀梨总汇的李女士说着取出手串
让记者感受一下，托盘里一串直径2.5m
m的海南黄花梨手串熠熠生辉，亦真亦幻的自然纹路令人入迷。

当问到这里最贵的海黄手串的价钱时，李女士和记者打起了“太极”，几经追问才通知记者，“有10万左右的，普通不拿出来”。

同海南黄花梨并排摆放的是印度小叶檀手串，价位从一串三四百元到几千元不等。

李女士引见说，目前市场上印度小叶檀原料售价在1700元/公斤左
右，带金星的老料售价更高，固然印度小叶檀手串的整体售价不如海黄手串高，但近年来有的也翻了数十倍，随着老料越来越少，未来印度小叶檀的升值空间很大。

“和海黄手串比起来，印度小叶檀的价钱相对低一些，普通买家能消费得起。

”正说着店里迎来一位老顾客，这位顾客通知记者，受经济条件所限，他是先从1000元以内的小叶檀手串玩起，再一步一步升级的。

“我这算是以藏养藏吧，往常手里面也有上万元的了。

”
记者走访发现，无论是出于珍藏赏玩还是以投资为目的，海南黄花梨和印度小叶檀手串以其品相精巧与投资前景可期成为珍藏市场宠儿，同领风骚。

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料少品优身价高
一条木质手串价位低的一二百元，高的可达上万元，百余倍的差价主要体往常手串的材质、品相上，珍稀老料、品相好的价钱较高，升值空间也比较大。

“2008以后，海黄里的好料就曾经很难找了，当地老百姓的老房子、老家具之类的都曾经收得差不多了，海黄真是木材里的大熊猫。

”店主夏先生说。

海南黄花梨是我国海南特类稀有宝贵树种，由于前期掠取性开发，海南黄花梨曾经呈现干涸态势；而小叶紫檀价钱逐年上涨，一棵小叶紫檀的树至少要
500年以上才可成材，原料的生长速度远远跟不上销售的速度。

“提起紫檀木料，业内常说十檀九空，老料太少了，要是还带金星就太宝贵了，用这样的根
料、边角料做的手串是十分有价值的。

”
往常手串的珍藏把玩曾经进入了按品相论价的时期，同样规格的手串因种类、品相不同价钱会相差数倍，其中海黄鬼脸和老料金星小叶檀通常被以为是目前市场上身价最高的木质手串。

“海黄鬼脸是生长过程中的结疤所致，它的结疤跟普通树种不同，纹理外形多样，生动多变，可呈现美丽的图案，特别是用带颗颗鬼脸的一块料做成的海
黄手串，备受玩家喜欢，价钱也就高。

”夏先生还通知记者，小叶紫檀里老料带金星要比不带金星的价钱贵出数十倍“不是一切的小叶紫檀树干都能产生金星，只需特殊土壤环境下才干构成，而且从老料中开出的金星最为少见。

”正因如此，老料金星小叶紫檀在市场上也是千金难求。

除了自身体质和原本品相，经过长时间把玩构成包浆后也会令手串身价倍增，这就是圈内人常挂在嘴边的“盘”。

木质手串中的紫檀、黄花梨、老山檀等
宝贵木材内部都具有油性，经过长时间正确把玩，串珠自身油脂慢慢外泄，和空气接触后慢慢氧化，相互融通，逐步构成具有琥珀质感的表面皮壳。

“从目前来看，像鬼脸海黄和老料金星小叶檀你买了摆在那里也能增值，但盘出来的手串增值更明显。

”夏先生说，一位老顾客两年前花6万元从他店里买了一串海黄油梨手串，盘好之后他打算出价10万元回收，对方说几钱都不卖。

常言道：乱世黄金，盛世珍藏。

随着人们生活消费水平不时进步，开端从事手串把玩、珍藏的人越来越多，而材质、品相等的选择都充溢学问，非一日之功。

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细辨真伪慎投资
自古以来物以稀为贵，宝贵老料越少价值自然越高，而鱼龙混杂、以次充好的市场现状正提示着文玩新手和投资者认真辨别，谨慎买卖。

夏先生引见说，海南黄花梨和越南黄花梨、小叶紫檀和大叶紫檀在价钱上有很大差距，把越黄当海黄、大叶紫檀当小叶紫檀来珍藏其价值就会大打折扣，这就需求藏家控制相关学问，仔细分辨。

海南黄花梨普通比越南黄花梨贵三倍，市场上有很多商家用越黄充任海黄卖，这就需求买家认真辨别。

普通来讲，海黄颜色相对深一些，纹路明晰流利，
如行云流水，闻起来是幽幽的降香；而越黄颜色要浅一些，纹路也略粗，闻起来香味里面带点酸。

假如在选择手串时难辨海黄还是越黄，花纹漂亮是首选。

目前市场上带金星的印度小叶檀很受欢送，但业内人士提示，要当心金星是用铜粉加胶伪造的，而分辨金星真伪相对艰难一些，在置办时较为可行的操作是认真察看珠子内侧金星状况。

业内人士表示，辨别手串木质真伪的最好办法就是多看、多闻、多上手，没有一定的阅历积聚，想要经过有限的差别去精确辨别它们似乎很难。

关于初入
门的新手而言，要摆正心态，碰到入眼的手串要冷静一下，心态平和一些，不要有捡漏以至占低价的心态。

在不被夸大广告、侥幸心理左右，多接触真品海黄和小叶檀手串的同时，量入为出，不盲目置办是谨慎投资的明智选择。

此外，投资的谨慎还体往常“盘出来的好东西”。

像文玩核桃、木质手串这一类藏品都是需求经过把玩者用心盘玩，构成包浆后，充溢灵气光泽的手串就会随之增值。

盘手串要细致、有耐烦，经过用柔软的棉布盘搓、在阴凉处自然放置、让珠子自然单调等过程，不能直接用手盘，特别留意不要在任何时分接触较大的水分。

“前段时间有顾客买了一串十分好的小叶檀手串，直接手盘，没几天珠子就发乌了，原本很有珍藏价值的，可惜了。

”一手串卖家难掩可惜地通知记者。

海黄和紫檀的珍藏价值为业界看好，未来市场前景悲观。

但业界专家表示，投资有风险，特别是对刚入门的新手，谨慎而行许是无害的。

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评价NBA 球员能力和薪资关系的数学模型
摘要
根据贝利提供的理论，一名NBA 球员所得到的薪酬和他们在场上得多少分有直接关系，不过这并不是唯一需要考虑的因素，因为这和是否能够帮助球队带来胜利、在场上的投篮出手数、失误数、篮板数以及犯规数也有着关联。

为了探讨球员能力和薪资的关系，本文主要运用多元分析中的主成分分析法和因子分析法，借助于SPSS 软件对数据进行分析，首先从衡量球员技术水平的得分、助攻、投篮命中率等10项指标出发，得出各指标与公因子的表达式
123i i ZX aF bF cF ε=+++。

用因子分析法对2011-2012赛季的8个球队现役球员的
综合能力进行评估分析，得到球员能力的综合指标模型，算出每个球员的综合得分。

最后，我们将球员所得薪资与个人能力进行二次非线性回归，用MATLAB 软件拟合出两者之间的函数关系2()1*2*3f x p x p x p =++。

将算得的应得值与实际所得值进行比较分析，得出检测值之间的误差，然后给出相关的合理解释。

关键词：因子分析法、综合能力指标、回归分析
一、问题提出
科比、斯塔德迈尔、德克-诺维茨基等球员是NBA联盟里闪耀的球星，他们能够拿到动辄几千万的年薪也是无可厚非的事情。

不过近日南犹他大学的经济学教授大卫-贝利在进行的一项统计中，得出科比、小斯、诺维茨基等人实际上属于高薪低能的表现。

他们的所得和所起到的表现并不能成为正比。

大卫-贝利对球员是否高薪低能的事情早有研究，为此他有着一套缜密的计算公式，而早在2006年的时候，他还和同伴一起撰写过一本名为“胜利的工资”的著作，在这本书中，贝利阐释了计算一名球员是否高薪低能的公式，这个公式被称之为“胜利产值”。

根据贝利提供的理论，一名NBA球员所得到的薪酬和他们在场上得多少分有直接关系，不过这并不是唯一需要考虑的因素，因为这和是否能够帮助球队带来胜利、在场上的投篮出手数、失误数、篮板数以及犯规数也有着关联。

综合种种数据，经过测算，才会得出最终的“胜利产值”，以决定这名球员是否是高薪低能。

在近日贝利给美媒体CNBC的一封邮件中，他表示：“在球场上，一支球队若想获得胜利，他们对球权的控制能力是关键，他们需要将这些球权转化为得分。

而在2011-12赛季中，NBA总共要为990场常规赛的胜利支付19亿美元，这意味着每场常规赛胜利合194.6万美元，根据每场胜利的花费和一名球员的获胜场数以及他的工资，就可以计算出他的性价比是否合格。

”而令人感到意外的是，在贝利计算出的十大性价比低下的榜单上，竟然出现了科比、小斯、诺维茨基等人的名字，而且科比还位列这份榜单的第二位。

请收集N B A球员的表现数据，建立数学模型，合理评价球员的能力和薪资关系。

二、问题分析
NBA球员的薪资高低是受个人能力、上场时间、球场经验、巨星效应等很多因素影响的，其中球员个人能力是评判一个球员薪资的一个最重要的指标。

球员能力是由得分、篮板、助攻、抢断、盖帽等因素所决定。

本文针对这一情况，建立了评价NBA球员能力和薪资关系的数学模型。

首先，我们采用因子分析法，求得球员能力的综合得分，然后根据球员实际所得薪资与球员能力进行回归分析，得到拟合后的函数关系。

最后我们对一个球员是否高薪低能进行了评判，模型的合理性得到了验证。

三、模型假设
1.假设收集的NBA球员数据均真实可靠；
2.假设球员所得的薪资跟所在的球队的战绩无关；
3.假设NBA30支球队支付给球员的薪资不会超过联盟规定的工资帽。

四、符号说明及概念引入
W：第i个球员实际应得的薪资；
i
A：第i个球员的个人能力；
i
ZXi：第i个指标的个能力贡献；
F：第i个公因子；
i
ε：第i个外因子；
i
λ：第i个因子的方差值
i
五、模型的建立与求解
5.1 基于球员综合能力的模型：模块Ⅰ
针对球员能力与得分、篮板、助攻、盖帽、抢断、失误等十项个人数据，我们采用因子分析法对其进行分析。

考虑到NBA球队众多，且每支球队人员组成差别不大，故我们选取题中提到的十名球员所在的8支球队进行分析，下面以篮网队为例，求出球员综合能力指标。

在SPSS中进行因子分析的步骤如下：为了确定本题中采用的因子分析适用性，我们采用了KMO和球形Bartlett 检验。

KMO检验球员指标间的偏相关是否较小，Bartlett球形检验是判断相关矩阵是否是单位阵，参见图5-1。

图5-1
KMO 和Bartlett 的检验
取样足够度的Kaiser-Meyer-Olkin 度量。

.797
Bartlett 的球形度检验近似卡方266.476
df 45
Sig. .000 由Bartlett检验可以看出，球员指标间具有较强的相关性，而且KMO的统计量为0.797，大于0.7，说明各指标间信息的重叠程度还是比较高的。

由图5-2所示的公因子方差可知：提取的各个公因子几乎都在80%以上，因此提取出的这几个公因子对各变量的解释能力是较强的。

即提取的各指标对球员综合能力的评价程度较高。

图5-2
公因子方差
初始提取
得分 1.000 .943
篮板 1.000 .978
助攻 1.000 .911
抢断 1.000 .883
盖帽 1.000 .937
投篮命中率 1.000 .816
罚球命中率 1.000 .795
失误数 1.000 .953
出场次数 1.000 .763
出场时间（分钟） 1.000 .969
提取方法：主成份分析。

由下图可知，输出的结果，只有前三个特征根大于1，前三个因子的方差贡献率为%
89，因此选前三个因子已足够描述球员的综合能力水平。

.
481
碎石图也进一步显示各因子的重要程度，参见图5-4。

可见前三个因子的散点位于陡坡之上，而后七个因子散点成了平台，且特征根均小于1，因此至多考虑前三个公因子即可。

图5-4
如下图5-5，表示各因子对各球员指标变量的影响度。

图5-5
成份矩阵a
成份 1
2 3 出场时间（分钟） .979 -.058 -.083 得分 .947 -.161 .143 抢断 .927 -.153 -.012 失误数 .925 -.241 .197 出场次数 .867 -.009 -.105 篮板 .817 .252 -.497 盖帽 .765 .312 -.505 助攻 .732 -.456 .408 投篮命中率 .298 .795 .309 罚球命中率 .466
.501
.572
提取方法 :主成份。

a. 已提取了 3 个成份。

球员各个指标能力模型如下：
112310.9470.1610.143ZX F F F ε=-++
212320.8170.2520.497ZX F F F ε=+-+ 312330.7320.4560.408ZX F F F ε=-++ 412340.9270.1530.012ZX F F F ε=--+ 512350.7650.3120.505ZX F F F ε=+-+ 612360.2980.7950.309ZX F F F ε=+++ 712370.4660.5010.572ZX F F F ε=-++ 812380.9250.2410.197ZX F F F ε=-++ 912390.8670.0090.105ZX F F F ε=--+
10123100.9790.0580.083ZX F F F ε=--+
在表达式中各指标标准化后的变量。

表示特殊因子，是除了这3个公因子
之外影响该变量的其他因素。

原来设计了10个指标来表示球员综合能力水平，但是经过因子分析后，只需要三个因子即可描述影响球员综合能力水平状况。

本例中采用的是方差最大正交旋转法进行因子旋转，进行方差最大旋转后，旋转后的因子载荷矩阵如图5-6所示
图5-6
旋转成份矩阵a
成份 1
2 3 助攻 .953 .011 .043 失误数 .899 .351 .144 得分 .852 .429 .182 抢断
.769 .531 .098 出场时间（分钟） .730 .644 .146 出场次数 .611 .607 .146 篮板 .278 .941 .122 盖帽 .204 .934 .153 投篮命中率 -.061 .213 .876 罚球命中率
.325
.033
.829
提取方法 :主成份。

旋转法 :具有 Kaiser 标准化的正交旋转法。

a. 旋转在 5 次迭代后收敛。

由图可以看出，第一公因子在.1X 、3X 、4X 、8X 、9X 、10X 有较大的载荷，主要从得分、助攻、抢断、失误、出场次数和出场时间反映球员进攻能力，可以命名为进攻因子。

第二公因子在2X 、5X 上有较大载荷，从篮板和盖帽方面反映球员防守能力，因此命名为防守因子。

第三公因子在6X 、7X 上有较大载荷，表现为投篮命中率和罚球命中率，因此命名为稳定因子。

与实际情况大致符合，各公因子的意义比较合理。

因子得分：公因子的得分系数函数不能通过矩阵变换的方法由因子载荷阵得到，只能采用估计的方法求得，本例采用的是回归法，将公因子表达为各变量的线性形式。

因子得分系数矩阵如图5-7所示
图5-7
成份得分系数矩阵
成份
1
2 3 得分 .222 -.035 .010 篮板 -.176 .444 -.059 助攻 .403 -.288 -.043 抢断 .162 .061 -.060 盖帽 -.207 .458 -.030 投篮命中率 -.159 .023 .622 罚球命中率 .066 -.192 .582 失误数 .269 -.089 -.011 出场次数
.068 .146 -.022 出场时间（分钟） .107
.132
-.037
提取方法 :主成份。

旋转法 :具有 Kaiser 标准化的正交旋转法。

构成得分。

可以直接写出各公因子的得分模型：
112345678910
0.2220.1760.4030.1620.207 0.1590.0660.2660.0680.107F ZX ZX ZX ZX ZX ZX ZX ZX ZX ZX =-++--++++
2123456789100.0350.444-0.2880.0610.458 0.0230.192-0.0890.1460.132F ZX ZX ZX ZX ZX ZX ZX ZX ZX ZX =-++++-++
312345678910
0.010ZX -0.059ZX -0.043ZX 0.060ZX 0.030ZX 0.622ZX +0.582ZX 0.011ZX -0.022ZX 0.037ZX F =--+--
SPSS 已经给出三个公因子的得分，保存在fac_1~fac_3中，按各因子对应的方差贡献率为权数计算如下综合统计量：
312
123123123123
F F F F λλλλλλλλλλλλ=++++++++
1230.7180.1520.130F F F =++ 在SPSS 中用程序计算综合因子得分模型：
篮网
0.718* 1_10.152* 2_10.130* 3_1Comp score fac fac fac =++
根据以上原理，类似的，我们可求得以下七支球队的综合因子得分模型：
小牛
2_3*120.02_2*255.02_1*625.0fac fac fac score Comp ++=
奇才
3_3*118.03_2*177.03_1*705.0fac fac fac score Comp ++=
湖人
4_3*117.04_2*173.04_1*710.0fac fac fac score Comp ++=
尼克斯
5_3*118.05_2*231.05_1*651.0fac fac fac score Comp ++=
山猫
6_2*262.06_1*738.0fac fac score Comp +=
黄蜂
7_2*262.07_1*738.0fac fac score Comp +=
5.2基于球员所得薪资与球员能力的模块：模块Ⅱ
经分析可知，球员所得薪资的高低跟球员自身的综合能力是密不可分的，通过对已掌握的数据分析，我们建立了薪资与综合能力之间的回归模型（具体数值见附录）。

同样的，我们以篮网队为例，通过MATLAB 函数进行二次拟合得到：
7
球员能力
所得薪资
即 2()1*2*3f x p x p x p =++ 其中，
p1 = 1.499e+006 置信区间为 (2.044e+005, 2.794e+006)
p2 = 3.201e+006 置信区间为(1.361e+006, 5.041e+006) p3 = 2.026e+006 置信区间为(8.46e+005, 3.207e+006)
R-square: 0.7829 Adjusted R-square: 0.7574
由于在NBA 赛场上，很多球员难免会受到伤病的困扰，影响他们的上场时间，得分，篮板等能力，这也直接导致了他们的综合能力偏低，然而这并不会影响
他们在本赛季的薪资，故我们拟合得到函数的拟合度为78.3%是合理的。

据此，我们可以得出每个球员应得的薪资。

下表列出了题目中所给十名球员的实际薪
注：排名第六名的球员因为为自由球员，这里暂不考虑。

为了更加清楚的表明二者之间的关系，我们利用EXCEL进行绘图，如下：
根据上表，我们可以清楚的看出，排名靠前的球员实际薪资与应得薪资间的差距较大，越往后，二者之间的差距逐渐减小，说明排名越靠前高薪低能越严重。

六、模型的评价与改进
本文的优点：本题中采用了因子分析法，较好的综合了球员的各个能力变量，特别是考虑了很多效应影响，选择了篮网球队的数据为中心点，通过其他队来得到验证。

最后也进行了误差分析，结果与实际较符合。

缺点：我们只选择了常规赛，球员的的反弹能力，以及有些队踢除了部分球员。

在本题中我们仅考虑了薪资与球员能力的关系，没有考虑与球员的明星效应、潜在价值等因素的影响，这方面值得改进。

七、参考文献
[1]龚纯，王正林著，精通MATLABA最优化计算，北京：电子工业出版社，2009.
[2]杨启帆等·数学建模[M]·北京：高等教育出版社·2005.
[3]刘卫国编，MATLAB程序设计与应用（第二版）[M],北京：高等教育出版社，2006.
八、附录
附录1
附录4 奇才队数据
附录5 骑士队数据
附录6 小牛队数据
附录8 篮网队数据。