初中数学浙教版八年级下册《第六章 反比例函数 62 反比例函数的图象和性质 》教材教案

课题：反比例函数的图象和性质●教学目标：一、知识与技能目标：1.理解反比例函数的性质；2.能准确的判断画出反比例函数的图象；3.能够准确的描述出反比例函数的性质；4.能运用反比例函数的性质解决实际问题。

二、过程与方法目标：经历探索求解反比例函数的性质，培养学生的数学交流和归纳猜想的能力；三、情感态度与价值观目标：体会到数学推理的奥妙，能用数学知识解决实际问题。

●重点：1.理解反比例函数的性质；2.能准确的画出反比例函数的图象；3.能准确的说出反比例函数的性质。

●难点：画出和总结出反比例函数的图象和性质。

●教学流程：一、课前回顾我们在前面的学习中，已经知道了函数的概念，同时我们学习了两种函数现在我们一起回忆一下相关概念。

正比例函数：表达式为：y=kx+b(k≠0)，它的函数图像是一条直线，k>0,y随x增大而增大；k<0,y随x增大而减小。

而反比例函数：两y=kx-1,我们在上次课中，学习的求解反比例函数的解析式的方法是：待定系数法。

而对于我们求函数图像的方法，我们一般应用的时描点法：具体步骤就是列表、描点、连线。

那么，对于反比例函数而言，它的图像是什么？而函数的图像又会具有什么样的性质呢？今天我们将进一步的走进反比例函数，一起探索反比例函数的图像和性质。

【设计意图】回顾学过的知识，帮学生复习知识，引出这节课的教学内容，同时也帮助学生能更好的融入课程。

二、活动探究同学们，我们首先探究一下以下几种情况：探究① 1.根据下列步骤，在直角坐标系里画出反比例函数的图像：(1)列表.根据下表的x的取值，求出对应的y值，填入下表内.观察x值得取法，从中你能得到哪些经验？（2）以表中各组对应值为点的坐标，在直角坐标系中描出相应的点.（3）在第一象限内，按自变量从小到大顺序，将点用光滑曲线连接，再在第三象限内画出图像的另一个分支.探究②2.在图像的任一个分支上任意取一些点，如(3，2)，(-1，-6)，在直角坐标系中分别作出它们关于原点的对称点.北京到杭州铁路线长为1161 km.一列从北京开往杭州火车，全程行驶时间为x(h)，行驶平均速度为：y(km/h). 你发现了什么？图像具有对称性吗？结论：图像上的点关于原点中心对称.探究③ 3.在同一个直角坐标系中画出反比例函数和的图像，比较这两函数的图像.（1）列表：注意：我们在取点的时候是关于原点对称取点。

（2）描点：（3）连线：结论：图像①在第一三象限，而图像②在第二四象限内。

探究结果：反比例函数的图像：①图象是由两支曲线组成的；②图象上的点关于原点中心对称；反比例函数的图像的位置：①函数的两支曲线分别位于第一、三象限内.② 函数的两支曲线分别位于第二、四象限内.【设计意图】通过探究问题，让学生探索反比例函数的定义，让学生自己总结出来新的知识点，培养学生的归纳和总结的能力。

三、 讲授新知一般地，反比例函数 的图像有以下特征：反比例函数 （k ≠0)的图像由两个分支组成的曲线.当k>0时，图像在第一、三象限；当k<0时，图像在第二、四象限.反比例函数 （k ≠0)的图像关于原点成中心对称.【设计意图】讲授新课，让学生更好的接受和理解这节课的内容。

四、 小试牛刀1.函数 y=-的图象在第 _二四____象限，2. 双曲线y=x 经过点（-3，_ __）3.函数y=的图象在二、象限,则m 的取值范围是 m<4 .4.对于函数y=，当 x < 0时，图象在第 _三___象限.5.若函数y=2x m ²-3是反比例函数，函数图象在第二、四象限，求m 的值. 解:∵该函数为反比例函数∴m²-3=-1x ky =xky =xk y =解得m=2或m=-2.又∵该函数图象在二四象限∴m<0∴m=-2.6.观察y=-=图象，想反比例函数的图象与x、y轴的相交情况.结论：双曲线无限接近于x、y轴,但永远不会与坐标轴(x和y轴)相交.五、例题讲解六、例1：已知反比例函数y=的图象的一支如图，它经过点B(-4，2).(1)判断k是正数还是负数;解：∵由图可知，该反比例函数的图像的一支在第二象限∴该图象上的点的横坐标和纵坐标异号∴k=xy<0.(2)求这个反比例函数的解析式;解：∵该反比例函数的图象过B(-4,2)∴将x=-4,y=2带人k=xy,得k=-8∴该反比例函数解析式：(3)补画这个反比例函数图象的另一支.解：在图象上分别取A,B,C,D,作它们关于原点中心对称的点A’,B’,C’,D’,然后用光滑的曲线将它们依次连接，这样就得到该函数的图像的另一支.【设计意图】讲解例题，使得学生很好的掌握刚讲的新的知识。

七、活动探究填一填：结论：在这里，我们可以发现，当k>0时，在每一个象限内，y 随x 的增大而减小；而k<0时，在每一个象限内，y 随想x 的增大而减小.【设计意图】引发思考，使得学生结合新的知识点无思考和探究下一个新的知识。

八、 讲授新课一般地，反比例函数 （x ≠0）的图像有以下特征：当k>0时，在图像所在的每一个象限内，y 随x 的增大而减小；当k<0时，在图像所在的每一个象限内，y 随x 的增大而增大；我们现在一起来看看反比例函数具有的性质到底有哪些：此外，我们对正、反比例函数的图象与性质进行比较：xky【设计意图】帮助学生记忆和理解新的知识。

九、做一做用”>”或”<”填空：（1）已知x1,y1和x2,y2是反比例函数的两对自变量与函数的对应值.若x1<x2<0，则0 > y1 > y2.（2）已知x1,y1和x2,y2是反比例函数的两对自变量与函数的对应值.若x1>x2>0，则0 > y1 > y2.（3）已知(1,y1),(3,y2),(-2,y3)是反比例函数图象上的三个点,则y1、y2、y3的大小关系是：y3>y2>y1 .【设计意图】帮助学生记忆和理解新的知识。

例2：从A市到B市列车的行驶里程为120千米.假设火车匀速行驶，记火车行驶的时间为t小时，速度为ｖ千米/时，且速度限定为不超过160千米/时。

（1）求v关于t的函数解析式和自变量t的取值范围；解：（1）从A市到B市列车的行驶里程为120千米,∴所求的函数解析式为 120=vt，∵v随t的增大而减小，∴由v≤160，得t≥0.75自变量t的取值范围是t≥0.75⑵画出所求函数的图象；①列表②描点、连线：⑶从A市开出一列火车，在40分内（包括40分）到达B市可能吗？在50分内（包括50分）呢？如有可能，此时对火车的行驶速度有什么要求？解：因为自变量t的取值范围是t≥0.75，即在题设条件下，火车到B市的最短时间为45分，所以火车不可能在40分内到达B市.在50分内到达是有可能的，此时由0.75≤t≤，可得144≤ｖ≤160.例3：已知y 与 x2 成反比例, 并且当 x = 3时y = 4，求 x = 1.5 时 y的值.解：∵y与x²成反比例∴设该反比例函数解析式设为：∴将x=3时y=4带入解析式，得k=4*3²=36∴该反比例函数的解析式为：∴当x=1.5时，∴此时y=16.例4：已知k<0,则函数y1=kx,y2=在同一坐标系中的图象大致是 ( D )【设计意图】讲解例题，使得学生很好的掌握刚讲的新的知识。

十、巩固提升1.下列反比例函数的图象分别在哪个象限？⑴(2)解：(1)∵k=3>0∴图像在第一、三象限(2)∵k=-1<0∴图像在第二、四象限2. 已知反比例函数（k≠0）的图象上一点的坐标为（−，2 ）.求这个反比例函数的解析式.解：∵(−,2)在图象上∴可以得到方程：∴解得k=−2∴这个反比例函数的解析式为：.当x>5时，0 < y < 1;当x≤5时，且x≠0时，y > 1或3.已知反比例函数y=5xy< 0 . ；4、已知反比例函数.当x>-3时，且x≠0时，y> 4 或y< 0 .5、如图，函数和y=－kx+1(k≠0)在同一坐标系内的图象大致是（ D ）【设计意图】强化、检测知识点，让学生更进一步的记住新的知识。

十一、知识扩展结论：任意一组变量的乘积是一个定值，即xy=k长方形面积：S=︳m n︱＝︳k︱三角形面积：S△PAO=十二、扩展练习1.如图,点P是反比例函数图象上的一点,过点P分别向x轴、y轴作垂线,若阴影部分面积为1,则这个反比例函数的关系式是 .解：∵阴影部分面积为1∴S△OPC=又∵S△OPC=∴1；解得k=2或k=-2.∵抛物线的一支在第二象限∴k<0,k=-2.∴解析式为2.如图，在反比例函数y=的图象上，有点P1，P2，P3，P4，它们的横坐标依次为1，2，3，4．分别过这些点作x轴与y轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为S1，S2，S3，则S1＋S2＋S3＝______．解：将S2、S3移动位置(如图)∴S1+S2+S3+S4=k=3∴S1+S2+S3=3-S4又∵S4==∴S1+S2+S3=3-【设计意图】强化知识点，巩固知识点，扩展知识点；让学生更进一步的记住新的知识。

十三、小结本节课我们学习了反比例函数的相关知识，现在我们一起再来回忆一遍：性质1：性质2：双曲线无限接近于x、y轴,但永远不会与坐标轴(x和y轴)相交.性质3：任意一组变量的乘积是一个定值，即xy=k长方形面积：S=︳m n︱＝︳k︱三角形面积：S△PAO=【设计意图】强化知识点，巩固知识点，让学生更进一步的记住新的知识。

十四、布置作业教材147页习题第2、4题。

教材151页习题第1、3、4题。

【设计意图】强化知识点，让学生用自己学到的知识去解决问题，并对学生的掌握程度做一个检测。