MMs等待制排队模型.ppt

n0
n1
1 N n 1 2 N 1 N 1
n 1
1
当 1时，上式 N 1
p0

1
1
N 1
1, N 1
,
1
;
1
pn

1
1


N 1
n
M/M/1/N系统的空间指标
1
Pn

Cn P0

n
m! (m n)!
1
m n1
n
1
m! (m n)!
Pn 0, n m
有效到达率和平均队长
有效到达率（单位时间内损坏的机器数）
m
m
m
m
e nPn (m n)Pn m Pn nPn
(1)工人闲期m 概 3率, 2, 6, 1/ 3
工人忙期概率和每小时修理机床数
工人闲期和忙期概率
P0

3 n 0
(3
3! n)!
1 n
3
1
1 3 31 3 2 32 3 2 1 33 1 0.346
Lq
e

1.39 2.89
0.481(小时) 28.9分钟
三、M/M/1/m/m系统
典型的情况是工厂内的机器待修问题，因此俗称“机 修模型”。
状态转移图为
m (m1)
01
2

(mn1) (mn)
n-1
n

2
m-1
m

这里 为每台机器的平均故障率
系统参数
平均到达率，设每台机器的平均故障率为 ，
d
( n ) (1 )
d

(
n)
n0 d
d n0
(1 )
d
d

1
1



1


系统的其它指标：平均排队长



Lq (n 1) pn npn pn
n 1
n 1
n1
Ls (1 p0 ) Ls
3, 4, 0.75, N 7
例8-2的求解
1）旅客到达就理发的概率、顾客损失率和有效到达率
1 1 0.75 p0 1 8 1 0.758 0.2778 p7 7 p0 0.757 0.2778 0.037 e (1 p7 ) 3 (1 0.037) 2.89
讨论与Little公式
1. 关于 ：叫做服务强度，反映了服务员
忙期所占的比例，同时实际上也是平均服 务台数。
2.指标参数之间的关系—Little公式

Ls
Ws
Lq Wq

(平均服务台数）
1 (平均服务时间）

Ls Ws , Lq Wq
M/M/1系统举例：例8-1
,
1 1
当 1 时：
Ls

N
npn
n0

N
p0 n n1
n 1

p0
d
d
N n
n1

p0

d
d


(1 1

N
)


p0 (1 )2
1 N 1 ( N
1)(1 ) N

(1
)(1

N 1 )
1

N 1

(N
1)(1
)
N

1

( N 1) N 1 1 N 1
当 =1时：
Ls

N
npn
n0

N
n n p0
n0

1 N 1
N
n
n1

N 2
N
N
N
Lq (n 1) pn npn pn
2 2 1 ( )
系统的其它指标：平均逗留时间
逗留时间分布为 P(T t) e( )t
所以平均逗留时间
Ws
E(T )
1

又因为 T Tq V
Ws E(T
所以平均排队时间：
)

E (Tq
)

E (V
)

Wq

1

Wq

Ws

1

1

n


1
n
n0
n 1


1
1

1

1

pn n p0
pn (1 ) n , n 0,1,2,
系统的其它指标：平均队长


Ls npn n(1 ) n
n0
n1

(1 )
例8-1继续求解
2）系统状态的概率
Pn nP0 n (1 ) 0.25 0.75n
n 1,2,3,
3）平均队长和平均排队长
Ls




0.3 0.4 0.3

3(人)
Lq



Ls

0.75 3

2.25(人)
例8-1继续求解
顾客的逗留时间和排队时间
n , n
Cn





n


n
( 1)
由
结果

pn 1
n0


p0 Cn p0 (1 Cn ) p0 1
n1
n1
p0
1

,
1 Cn
pn
Cn

1 Cn
n1
n1
p0 1
P忙 1 P0 0.654 工人每小时修理机床数
A e (1 P0) 6 0.654 3.94(台)
故障机床平均数和损失的能力
故障机床平均数
Ls m e / 3 3.94 / 2 1.04(台)
因故障而损失的能力，是故障机床平均数与机 床总数的比值
n

,
0,
n ,
n 0,1,2,, N 1 nN
n 1,2,, N
Cn



n
0,

n,
n 1,2,, N nN
pn n p0 , n 1,2,, N
M/M/1/N的状态分布
因为 N pn 1，所以，p0 1 N n 1


(1 N ) 1 N 1


(1

1
1


N
1
)

(1
p0 )
2) Lq Ls C Ls (1 p0)
与前面的结果一致
损失制系统M/M/1/1
当系统的容量N=1时，有
p0

1
1
,
p1

1
Ls

p1

1
, Lq

0
e (1 p1) p0
Ws

L
e



1

,Wq
0
该系统中只 要有人在接 受服务，顾 客到达即离 开。这是一 种完全损失 制，例如打 电话，有人 占线，就只 能重打。
M/M/1/N系统举例：例8-2
某理发店有一个理发师，有六张椅子接待人们 排队等待理发。椅子坐满时，后到的旅客就离 开。顾客到达为泊松流，平均到达率为3人/小 时。理发平均需要15分钟，服从负指数分布。 试求该理发服务系统的运行指标。 解：这是一个M/M/1/7排队系统，且
第三节 单通道服务系统
M/M/1系统 M/M/1/N系统 M/M/1/m/m系统
一、M/M/1系统
系统状态分布------单服务台的普阿松流，
系统容量和顾客数无限制
M/M/1模型指：输入过程服从普阿松过程，服务时间服从负指数分 布，单服务台的情形.分三类：(1)标准的M/M/1模型；(2)系统容
量有限制(N)；(3)顾客源为有限(m).
1.平均队长
Ls

N n 1
npn

1

N
2
1
( ,
N 1

1) N N 1
1
,
1 1
(1 N N )
2.平均
排队长
Lq

N
(n 1) pn
n1

1N( N
1
1) ,
N 1
2(N 1)
任意状态n的产生和破坏
0 1
2
01
2
1 2 3
n2
n 1
n-1
n
n1 n
n n 1
n1 pn1 n1 pn1 (n n ) pn
一、M/M/1系统
系统状态分布------单服务台的普阿松流，
系统容量和顾客数无限制
对于C=1的系统: 所以 其中
有一火车售票处，设有一个售票窗口，顾 客到达为泊松流，平均到达率为0.3人/分。ห้องสมุดไป่ตู้服务时间服从负指数分布，平均服务率为 0.4人/分，试求服务系统的各项指标和顾 客逗留15分钟以上的概率。
解：已知条件 0.3, 0.4
1)服务强度和空闲率
/ 0.75, P0 1 0.25
B Ls 1.04 0.347 34.7% m3
e (1 pN ) (1 p0 )
平均时间指标
C

e
1
p0
Ws

Ls
e

Ls
(1 pN )


Ls (1
p0
)
,Wq

Lq
e
Ws

1

指标公式的证明
1)证明有效到达率公式
e

(1
pN
)

1 N 1 N 1


(1 N ) (1 N 1)


(1
P0 )
顾客平均等待时间
Ws

Ls
e

m
(1 P0 )

1

1
Wq Ws
M/M/1/m/m系统举例：例8-3
一个工人看管3台机床，每台机床每运转 1小时平均出两次故障，该工人排除故障 每次平均需10分钟。试求工人忙期概率， 实际每小时平均修理机床数，出故障机 床的平均数和机床因故障而损失的能力。 解：已知
Ws

Ls


3 0.3
10(分钟)
Wq

Lq


2.25 0.3
7.5(分钟)
( Ws 1/ 10 1/ 0.4 7.5)
顾客在系统中逗留15分钟以上的概率
P(t 15) e15( ) e1.5 0.22
二、M/M/1/N系统---系统容量N
稳态时的状态分布
例8-2继续求解
2）平均队长、平均排队长、平均时间
Ls
1

(7 1) 71 1 71

2.11(台)
Lq Ls (1 p0 ) 2.11 0.7222 1.39(台)
Ws

Ls
e

2.11 0.73(小时) 43.8分钟 2.89
Wq

n1
n1
n1
Ls (1 p0 )


1

N
(
N

1)
(1 N N 1 N 1
,
)
,
1 1
2(N 1)
M/M/1/N系统的有效到达率和时间指标
有效到达率， 是系统人数少于N时，单位时间内到达的人数，当超
过N个人时到达率为零。所以给出有效到达率的概念：
1、标准的M/M/1模型 标准的M/M/1模型指： ① 输入过程：顾客源无限，顾客单个到来，相互独立，一定时
间的 到达数服从普阿松公布，到达过程是平稳的. ② 排队规则：单队、队长无限制，先到先服务. ③ 服务机构：单服务台，各顾客的服务时间相互独立，服从相
同的负指数分布. 到达间隔时间和服务时间相互独立.
n0
n0
n0
n0
m Ls
因此
e (m Ls )
Ls

Lq

e

Lq


(m Ls )
Lq (1 P0 )
平均队长和平均排队长
由上式得
Ls m (1 P0 )
因此 e (1 P0 )
Lq

Ls
(1
P0 )

m
则
n

(m

0

n)
nm nm
Cn
Cn


n 1 n2 0 nn1 1

m! n
(m n)!
0
nm nm
状态分布概率
求P0和Pn
P0

1
m
Cn

1
n1

1
m n1
m! (m n)!

n