苏教版七年级数学第九章整式乘法与因式分解章末重难点题型

专题1.3 整式乘法与因式分解章末重难点题型
【苏科版】
【考点1 单项式乘单项式】
【方法点拨】单项式相乘,把它们的系数、相同字母分别相乘,对于只在一个单项式中只含有的字母,则连同它的指数作为积的一个因式.
【例1】下列各式中，计算正确的是（）
A．（﹣5a n+1b）•（﹣2a）＝10a n+1b
B．（﹣4a2b）•（﹣a2b2）•c
C．（﹣3xy）•（﹣x2z）•6xy2＝3x3y3z
D．
【变式1-1】如果一个单项式与﹣2a2b的积为﹣a3bc2，则这个单项式为（）
A．ac2B．ac C．ac D．ac2
【变式1-2】化简的结果是（）
A．B．2（x﹣y）7C．（y﹣x）7D．4（y﹣x）7
【变式1-3】若（2xy2）3•（x m y n）2＝x7y8，则（）
A．m＝4，n＝2 B．m＝3，n＝3 C．m＝2，n＝1 D．m＝3，n＝1
【考点2 单项式乘多项式】
【方法点拨】就是用单项式去乘多项式的每一项,再把所有的项相加，利用法则进行单项式和多项式运算时要注意：（1）多项式每一项都包括前面的符号,运用法则计算时,一定要强调积的符号．（2）单项式必须和多项式中的每一项相乘,不能漏乘多项式中的任何一项．因此,单项式与多项式相乘的结果是一个多项式,其项数与因式中多项式的项数相同．
【例2】今天数学课上，老师讲了单项式乘以多项式，放学回到家，小明拿出课堂笔记复习，发现一道题：﹣3xy（4y﹣2x﹣1）＝﹣12xy2+6x2y+□，□的地方被钢笔水弄污了，你认为□内上应填写（）A．3xy B．﹣3xy C．﹣1 D．1
【变式2-1】已知7x5y3与一个多项式之积是28x7y3+98x6y5﹣21x5y5，则这个多项式是（）A．4x2﹣3y2B．4x2y﹣3xy2
C．4x2﹣3y2+14xy2D．4x2﹣3y2+7xy3
【变式2-2】要使（x2+ax+5）（﹣6x3）的展开式中不含x4项，则a应等于（）A．1 B．﹣1 C．D．0
【变式2-3】某同学在计算﹣3x2乘一个多项式时错误的计算成了加法，得到的答案是x2﹣x+1，由此可以推断正确的计算结果是（）
A．4x2﹣x+1 B．x2﹣x+1
C．﹣12x4+3x3﹣3x2D．无法确定
【考点3 多项式乘多项式】
【方法点拨】多项式乘多项式法则:多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项与另一个多项式的每一项相乘，再把所得的积相加。

【例3】若（x2﹣px+q）（x﹣3）展开后不含x的一次项，则p与q的关系是（）A．p＝3q B．p+3q＝0 C．q+3p＝0 D．q＝3p
【变式3-1】若2x3﹣ax2﹣5x+5＝（2x2+ax﹣1）（x﹣b）+3，其中a，b为整数，则ab的值为（）A．2 B．﹣2 C．4 D．﹣4
【变式3-2】现有如图所示的卡片若干张，其中A类、B类为正方形卡片，C类为长方形卡片，若用此三类卡片拼成一个长为a+2b，宽为a+b的大长方形，则需要C类卡片张数为（）
A．1 B．2 C．3 D．4
【变式3-3】若不管a取何值，多项式a3+2a2﹣a﹣2与（a2﹣ma+2n）（a+1）都相等，则m、n的值分别为（）
A．﹣1，﹣1 B．﹣1，1 C．1，﹣1 D．1，1
【考点4 因式分解的概念】
【方法点拨】因式分解：
（1）把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫把这个多项式分解因式．（2）分解因式是对多项式而言的，且分解的结果必须是整式的积的形式.
（3）分解因式时，其结果要使每一个因式不能再分解为止.。

【例4】下列从左到右的变形，是因式分解的是（）
A．（3﹣x）（3+x）＝9﹣x2
B．（y+1）（y﹣3）＝（3﹣y）（y+1）
C．4yz﹣2y2z+z＝2y（2z﹣zy）+z
D．﹣8x2+8x﹣2＝﹣2（2x﹣1）2
【变式4-1】下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（）
A．a（x﹣y）＝ax﹣ay B．x3﹣x＝x（x+1）（x﹣1）
C．（x+1）（x+3）＝x2+4x+3 D．x2+2x+1＝x（x+2）+1
【变式4-2】下列各式从左到右的变形属于分解因式的是（）
A．（a+1）（a﹣1）＝a2﹣1
B．x2﹣4＝（x+2）（x﹣2）
C．x2﹣4+3x＝（x+2）（x﹣2）+3x
D．x2﹣1＝x（x﹣）
【变式4-3】下列各式从左到右的变形中，属于因式分解的是（）
A．﹣1＝（+1）（﹣1）B．（a+b）2＝a2+2ab+b2
C．x2﹣x﹣2＝（x+1）（x﹣2）D．ax﹣ay﹣a＝a（x﹣y）﹣1
【考点5 整式化简求值】
【例5】先化简，再求值：[（2x+y）2+（2x+y）（y﹣2x）﹣6y]÷2y，其中x＝﹣，y＝3．
【变式5-1】先化简，再求值：当|x﹣2|+（y+1）2＝0时，求[（3x+2y）（3x﹣2y）+（2y+x）（2y﹣3x）]÷4x的值．
【变式5-2】已知将（x2+nx+3）（x2﹣2x﹣m）乘开的结果不含x3和x2项．
（1）求m、n的值；
（2）当m、n取第（1）小题的值时，求（m﹣n）（m2+mn+n2）的值．
【变式5-3】若的积中不含x与x3项．
（1）求m、n的值；
（2）求代数式（﹣2m2n）2+（3mn）﹣1+m2017n2018．
【考点6 分解因式】
【方法点拨】先提取公因式，然后再看是不是平方差式或者完全平方式。

而且一定要把各因式分解到不
能再分为止！不能分解的不要死搬硬套.
【例6】分解因式：
（1）（3x﹣2）2﹣（2x+7）2
（2）8ab﹣8b2﹣2a2．
【变式6-1】因式分解：
（1）2x（a﹣b）+3y（b﹣a）
（2）x（x2﹣xy）﹣（4x2﹣4xy）
【变式6-2】因式分解：
（1）3x2y﹣18xy2+27y3
（2）x2（x﹣2）+（2﹣x）
【变式6-3】分解因式：
（1）1﹣a2﹣b2﹣2ab；
（2）9a2（x﹣y）+4b2（y﹣x）．
【考点7 利用因式分解求值】
【例7】已知4x2+y2﹣4x+10y+26＝0，求6x﹣y的值．
【变式7-1】已知x+y＝4，x2+y2＝14，求x3y﹣2x2y2+xy3的值．
【变式7-2】已知m2＝n+2 ①，n2＝m+2②，其中m≠n．求m3﹣2mn+n3的值．
【变式7-3】利用分解因式求值．
（1）已知：x+y＝1，，利用因式分解求：x（x+y）（x﹣y）﹣x（x+y）2的值．
（2）已知a+b＝2，ab＝2，求的值．
【考点8 利用乘法公式求值】
【例8】已知m﹣n＝3，mn＝2，求：
（1）（m+n）2的值；
（2）m2﹣5mn+n2的值．
【变式8-1】已知a﹣b＝7，ab＝﹣12．
（1）求a2b﹣ab2的值；
（2）求a2+b2的值；
（3）求a+b的值．
【变式8-2】已知有理数m，n满足（m+n）2＝9，（m﹣n）2＝1，求下列各式的值．（1）mn；
（2）m2+n2﹣mn．
【变式8-3】已知（a+b）2＝5，（a﹣b）2＝3，求下列式子的值：
（1）a2+b2；
（2）6ab．
【考点9 因式分解探究题】
【例9】阅读材料：若m2﹣2mn+2n2﹣8n+16＝0，求m，n的值．
解：∵m2﹣2mn+2n2﹣8n+16＝0，∴（m2﹣2mn+n2）+（n2﹣8n+16）＝0．
∴（m﹣n）2+（n﹣4）2＝0，∵（m﹣n）2≥0，（n﹣4）2≥0，∴（m﹣n）2＝0，（n﹣4）2＝0，∴n ＝4，m＝4．
根据你的观察，探究下面的问题：
（1）已知：x2+2xy+2y2+2y+1＝0，求2x+y的值；
（2）已知：△ABC的三边长a，b，c都是正整数，且满足：a2+b2﹣12a﹣16b+100＝0，求△ABC的最大边c的值；
（3）已知：a﹣5b+2c＝20，4ab+8c2+20c+125＝0，直接写出a的值．
【变式9-1】在理解例题的基础上，完成下列两个问题：
例题：若m2+2mn+2n2﹣6n+9＝0．求m和n的值．
解：因为m2+2mn+2n2﹣6n+9＝（m2+2mn+n2）+（n2﹣6n+9）＝（m+n）2+（n﹣3）2＝0
所以m+n＝0，n﹣3＝0即m＝﹣3．n＝3
问题：
（1）若x2+2xy+2y2﹣4y+4＝0，求xy的值．
（2）若a、b、c是△ABC的长，满足a2+b2＝10a+8b﹣41，c是△ABC中最长边的边长，且c为偶数，那么c可能是哪几个数？
【变式9-2】阅读下列材料，然后解答问题：
问题：分解因式：x3+3x2﹣4．
解答：把x＝1代入多项式x3+3x2﹣4，发现此多项式的值为0，由此确定多项式x3+3x2﹣4中有因式（x ﹣1），于是可设x3+3x2﹣4＝（x﹣1）（x2+mx+n），分别求出m，n的值，再代入x3+3x2﹣4＝（x﹣1）（x2+mx+n），就容易分解多项式x3+3x2﹣4．这种分解因式的方法叫“试根法”．
（1）求上述式子中m，n的值；
（2）请你用“试根法”分解因式：x3+x2﹣16x﹣16．
【变式9-3】教科书中这样写道：“我们把多项式a2+2ab+b2及a2﹣2ab+b2叫做完全平方式”，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等．
例如：分解因式x2+2x﹣3＝（x2+2x+1）﹣4＝（x+1）2﹣4＝（x+1+2）（x+1﹣2）＝（x+3）（x﹣1）；
例如求代数式2x2+4x﹣6的最小值.2x2+4x﹣6＝2（x2+2x﹣3）＝2（x+1）2﹣8．可知当x＝﹣1时，2x2+4x ﹣6有最小值，最小值是﹣8，根据阅读材料用配方法解决下列问题：
（1）分解因式：m2﹣4m﹣5＝．
（2）当a，b为何值时，多项式2a2+3b2﹣4a+12b+18有最小值，并求出这个最小值．
（3）当a，b为何值时，多项式a2﹣4ab+5b2﹣4a+4b+27有最小值，并求出这个最小值．
【考点10 乘法公式探究题】
【例10】如图1是一个长为4a、宽为b的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成的一个“回形”正方形（如图2）．
（1）图2中的阴影部分的面积为；
（2）观察图2请你写出（a+b）2、（a﹣b）2、ab之间的等量关系是；
（3）根据（2）中的结论，若x+y＝5，x•y＝，则x﹣y＝；
（4）实际上通过计算图形的面积可以探求相应的等式．如图3，你有什么发现？．
【变式10-1】图（1）是一个长为2m、宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四个小长方形，然后按图（2）的形状拼成一个正方形．
（1）你认为图（2）中阴影部分的正方形的边长等于多少？；
（2）请用两种不同的方法求图（2）中阴影部分面积．
方法一：；方法二：；
（3）观察图（2），你能写出下列三个代数式之间的等量关系吗？
代数式：（m+n）2，（m﹣n）2，4mn．；
（4）根据（3）题中的等量关系，解决如下问题：若a+b＝7，ab＝5，求（a﹣b）2的值．
【变式10-2】如图1所示，边长为a的正方形中有一个边长为b的小正方形，如图2中阴影部分剪裁后拼成的一个长方形．
（1）设如图1中阴影部分面积为S1，如图2中阴影部分面积为S2，请直接用含a，b的代数式表示S1，S2；
（2）请写出上述过程所揭示的乘法公式；
（3）试利用这个公式计算：（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）+1
【变式10-3】数学活动课上，老师准备了若干个如图1的三种纸片，A种纸片是边长为a的正方形，B种纸片是边长为b的正方形，C种纸片是长为a、宽为b的长方形．用A种纸片﹣﹣张，B种纸片一张，C种纸片两张可拼成如图2的大正方形．
（1）请用两种不同的方法求图2大正方形的面积（答案直接填写到题中横线上）；
方法1；方法2．
（2）观察图2，请你直接写出下列三个代数式：（a+b）2，a2+b2，ab之间的等量关系；
（3）类似的，请你用图1中的三种纸片拼一个图形验证：（a+b）（a+2b）＝a2+3ab+2b2，请你将该示意图画在答题卡上；
（4）根据（2）题中的等量关系，解决如下问题：
①已知：a+b＝5，a2+b2＝11，求ab的值；
②已知（x﹣2018）2+（x﹣2020）2＝34，求（x﹣2019）2的值．。