2019年长沙市高三数学下期末模拟试卷及答案

2019年长沙市高三数学下期末模拟试卷及答案一、选择题
1．设,x y满足约束条件
20 230
x y
x y
x y
--≤⎧
⎪
-+≥⎨
⎪+≤
⎩
，则
4
6
y
x
+
+
的取值范围是
A ．
3
[3,]
7
-B．[3,1]
-C．[4,1]
-
D．(,3][1,)
-∞-⋃+∞
2．如图所示的组合体，其结构特征是（）
A．由两个圆锥组合成的B．由两个圆柱组合成的
C．由一个棱锥和一个棱柱组合成的D．由一个圆锥和一个圆柱组合成的
3．已知函数()()
sin
f x A x
=+
ωϕ()
0,0
Aω
>>的图象与直线()
y a a A
=<<的三个相邻交点的横坐标分别是2,4,8，则()
f x的单调递减区间是（）
A．[]
6,63
k k
ππ+，k Z
∈B．[]
63,6
k k
ππ
-，k Z
∈
C．[]
6,63
k k+，k Z
∈D．[]
63,6
k k
-，k Z
∈
4．抛掷一枚质地均匀的硬币两次,在第一次正面向上的条件下,第二次反面向上的概率为( ) A．
1
4
B．
1
3
C．
1
2
D．
2
3
5．某单位有职工100人，不到35岁的有45人，35岁到49岁的有25人，剩下的为50岁以上（包括50岁）的人，用分层抽样的方法从中抽取20人，各年龄段分别抽取的人数为（）
A．7，5，8B．9，5，6C．7，5，9D．8，5，7
6．已知a
r
与b
r
均为单位向量，它们的夹角为60︒，那么3
a b
-
r
r
等于（）
A．7B．10C．13D．4
7．在△ABC中，P是BC边中点，角、、
A B C的对边分别是，若
cAC aPA bPB
++=
r
u u u v u u u v u u u v
，则△ABC的形状为（）
A．直角三角形
B．钝角三角形
C．等边三角形
D．等腰三角形但不是等边三角形.
8．由a2，2﹣a，4组成一个集合A，A中含有3个元素，则实数a的取值可以是（）
A ．1
B ．﹣2
C ．6
D ．2
9．已知抛物线2
2(0)y px p =>交双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的渐近线于A ，B 两点
（异于坐标原点O ），若双曲线的离心率为5，AOB ∆的面积为32，则抛物线的焦点为（ ） A ．(2,0)
B ．(4,0)
C ．(6,0)
D ．(8,0)
10．等差数列{}n a 中，34512a a a ++=，那么{}n a 的前7项和7S =（ ） A ．22
B ．24
C ．26
D ．28 11．已知复数z 满足()12i z +=，则复数z 的虚部为（ ） A ．1
B ．1-
C ．i
D ．i -
12．一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是一个正三角形，俯视图是一个等腰直角三角形，则该几何体的外接球的表面积为( )
A ．
43
π
B ．
83
π C ．
163
π
D ．
203
π
二、填空题
13．已知函数()2x
f x =，等差数列{}n a 的公差为2，若()2468104f a a a a a ++++=，
则
()()()()212310log f a f a f a f a ⋅⋅⋅⋅=⎡⎤⎣⎦L ___________.
14．已知等比数列{}n a 满足232,1a a ==，则
12231lim ()n n n a a a a a a +→+∞
+++=L ________________.
15．若双曲线22
221x y a b
-=()0,0a b >>两个顶点三等分焦距，则该双曲线的渐近线方程
是___________.
16．函数log (1)1(01)a y x a a =-+>≠且的图象恒过定点A ，若点A 在一次函数
y mx n =+的图象上，其中,0,m n >则
12
m n
+的最小值为 17．若9
()a x x
-的展开式中3x 的系数是84-，则a = ． 18．已知样本数据
，
，
，
的均值
，则样本数据
，
，
，
的均值为 ．
19．设等比数列{}n a 满足a 1+a 3=10，a 2+a 4=5，则a 1a 2…a n 的最大值为 ． 20．函数()lg 12sin y x =-的定义域是________．
三、解答题
21．已知在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c 且2cos 2a C c b +=. （1）求角A 的大小；
（2）若1a =，求ABC ∆面积的最大值。

22．在ABC ∆中，3sin cos a C c A =． （Ⅰ）求角A 的大小；
（Ⅱ）若3ABC S ∆=，223b c +=+，求a 的值． 23．已知2256x ≤且21log 2x ≥
，求函数22
()log log 2
2
x x
f x =⋅的最大值和最小值． 24．十九大以来，某贫困地区扶贫办积极贯彻落实国家精准扶贫的政策要求，带领广大农村地区人民群众脱贫奔小康.经过不懈的奋力拼搏，新农村建设取得巨大进步，农民收入也逐年增加.为了更好的制定2019年关于加快提升农民年收入力争早日脱贫的工作计划，该地扶贫办统计了2018年50位农民的年收入并制成如下频率分布直方图：
附：参考数据与公式 6.92 2.63≈，若 ()2
~,X N
μσ，则①
()0.6827P X μσμσ-<+=…；② (22)0.9545P X μσμσ-<+=…；③ (33)0.9973P X μσμσ-<+=….
（1）根据频率分布直方图估计50位农民的年平均收入x （单位：千元）（同一组数据用该组数据区间的中点值表示）；
（2）由频率分布直方图可以认为该贫困地区农民年收入 X 服从正态分布 (
)2
,N μσ
，其
中μ近似为年平均收入2,x σ 近似为样本方差2s ，经计算得：2 6.92s =，利用该正态分布，求：
（i ）在2019年脱贫攻坚工作中，若使该地区约有占总农民人数的84.14%的农民的年收入高于扶贫办制定的最低年收入标准，则最低年收入大约为多少千元?
（ii ）为了调研“精准扶贫，不落一人”的政策要求落实情况，扶贫办随机走访了1000位农民.若每个农民的年收入相互独立，问：这1000位农民中的年收入不少于12.14千元的人数最有可能是多少?
25．若不等式2520ax x +->的解集是122x x ⎧⎫
<<⎨⎬⎩⎭
，求不等式22510ax x a -+->的解集．
26．定义在R 的函数()f x 满足对任意x y ÎR 、恒有()()()f xy f x f y =+且()f x 不恒为0.
（1）求(1)(1)f f -、的值； （2）判断()f x 的奇偶性并加以证明；
（3）若0x ≥时，()f x 是增函数，求满足不等式(1)(2)0f x f x +--≤的x 的集合.
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一、选择题 1．B 解析：B 【解析】 【分析】 【详解】 先作可行域，而
46y x ++表示两点P （x,y ）与A （-6,-4）连线的斜率，所以4
6
y x ++的取值范围是[,][3,1]AD AC k k =-，选B.
点睛：线性规划问题，首先明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域、分界线是实线还是虚线，其次确定目标函数的几何意义，是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等等，最后结合图形确定目标函数最值取法、值域范围.
2．D
解析：D
【解析】 【分析】
根据圆柱与圆锥的结构特征，即可判定，得到答案. 【详解】
根据空间几何体的结构特征，可得该组合体上面是圆锥，下接一个同底的圆柱，故选D. 【点睛】
本题主要考查了空间几何体的结构特征，其中解答熟记圆柱与圆锥的结构特征是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.
3．D
解析：D 【解析】 【详解】
由题设可知该函数的最小正周期826T =-=，结合函数的图象可知单调递减区间是
2448
[
6,6]()22
k k k Z ++++∈，即[36,66]()k k k Z ++∈，等价于[]63,6k k -，应选答案D ．
点睛：解答本题的关键是充分利用题设中的有效信息“函数()()sin f x A x ωϕ=+
(0,0)A ω>>的图象与直线(0)y a a A =<<的三个相邻交点的横坐标分别是
2,4,8”．结合图像很容易观察出最小正周期是826T =-=，进而数形结合写出函数的单调递减区间，从而使得问题获解．
4．C
解析：C 【解析】 【分析】
由题意，求得(),()P AB P A 的值，再由条件概率的计算公式，即可求解. 【详解】
记事件A 表示“第一次正面向上”,事件B 表示“第二次反面向上”, 则P(AB)=,P(A)=,∴P(B|A)==，故选C.
【点睛】
本题主要考查了条件概率的计算，其中解答中认真审题，熟记条件概率的计算公式，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
5．B
解析：B 【解析】 【分析】
分层抽样按比例分配,即可求出各年龄段分别抽取的人数. 【详解】
由于样本容量与总体中的个体数的比值为
201
1005
=，故各年龄段抽取的人数依次为14595⨯=，1
2555⨯=，20956--=.故选：B
【点睛】
本题考查分层抽样方法,关键要理解分层抽样的原则,属于基础题.
6．A
解析：A 【解析】
本题主要考查的是向量的求模公式．由条件可知
=
=
，所以应选A ．
7．C
解析：C 【解析】 【分析】 【详解】 解答： 由已知条件得
；
根据共面向量基本定理得：
∴△ABC 为等边三角形。

故答案为：等边三角形。

8．C
解析：C 【解析】
试题分析：通过选项a 的值回代验证，判断集合中有3个元素即可． 解：当a=1时，由a 2=1，2﹣a=1，4组成一个集合A ，A 中含有2个元素， 当a=﹣2时，由a 2=4，2﹣a=4，4组成一个集合A ，A 中含有1个元素， 当a=6时，由a 2=36，2﹣a=﹣4，4组成一个集合A ，A 中含有3个元素， 当a=2时，由a 2=4，2﹣a=0，4组成一个集合A ，A 中含有2个元素， 故选C ．
点评：本题考查元素与集合的关系，基本知识的考查．
9．B
解析：B 【解析】 【分析】
由题意可得
2b
a
=，设点
A 位于第一象限，且(),A m n ，结合图形的对称性列出方程组确定p 的值即可确定焦点坐标. 【详解】
2222
2
222
15
c a b b e a a a +===+=，∴2b a =， 设点A 位于第一象限，且(),A m n ，结合图形的对称性可得：
22322n
m mn n pm ⎧=⎪⎪
=⎨⎪=⎪⎩
，解得：8p =，∴抛物线的焦点为()4,0，故选B . 【点睛】
本题主要考查圆锥曲线的对称性，双曲线的渐近线，抛物线焦点坐标的求解等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
10．D
解析：D 【解析】
试题分析：由等差数列的性质34544123124a a a a a ++=⇒=⇒=，则
考点：等差数列的性质
11．B
解析：B 【解析】
设,,z a bi a b R =+∈（） ，由()1i 22z z i z +=⇒=--（）2a bi i a bi ⇒+=--（）
，2a bi b a i ⇒+=-+-（） ,
2a b b a =-⎧⇒⎨
=-⎩ 1b ⇒=- ，故选B. 12．C
解析：C 【解析】 【分析】
根据三视图知几何体是三棱锥，且一侧面与底面垂直，结合图中数据求出三棱锥外接球的半径，从而求出球的表面积公式． 【详解】
由三视图知，该几何体是如图所示的三棱锥，且三棱锥的侧面SAC ⊥底面ABC ，高为
3SO =；
其中1OA OB OC ===，SO ⊥平面ABC ，
其外接球的球心在SO 上，设球心为M ，OM x =，根据SM=MB 得到：在三角形MOB 中，21SM 3x x +=，213x x +=， 解得3x =
∴外接球的半径为3233R ==；
∴三棱锥外接球的表面积为223164(33
S ππ=⨯=．
故选：C ． 【点睛】
本题考查了三视图复原几何体形状的判断问题，也考查了三棱锥外接球的表面积计算问题，是中档题．一般外接球需要求球心和半径，首先应确定球心的位置，借助于外接球的性质，球心到各顶点距离相等，这样可先确定几何体中部分点组成的多边形的外接圆的圆心，过圆心且垂直于多边形所在平面的直线上任一点到多边形的顶点的距离相等，然后同样的方法找到另一个多边形的各顶点距离相等的直线（这两个多边形需有公共点），这样两条直线的交点，就是其外接球的球心，再根据半径，顶点到底面中心的距离，球心到底面中心的距离，构成勾股定理求解，有时也可利用补体法得到半径，例：三条侧棱两两垂直的三棱锥，可以补成长方体，它们是同一个外接球.
二、填空题
13．【解析】【分析】根据指数运算出再利用等差中项的性质得出并得出然后再利用等差数列的性质和指数对数的运算法则求出的值【详解】依题意有且则而因此故答案为【点睛】本题考查等差数列基本性质的计算同时也考查了等 解析：6-
【解析】
【分析】
根据指数运算出2468102a a a a a ++++=，再利用等差中项的性质得出62
5
a =
，并得出568
25
a a =-=-，然后再利用等差数列的性质和指数、对数的运算法则求出
()()()()212310log f a f a f a f a ⋅⋅⋅⋅⎡⎤⎣⎦L 的值.
【详解】
依题意有246810625a a a a a a ++++==，625a ∴=
，且5628
2255
a a =-=-=-. 则()()()110123101105610825556255a a a a a a a a a a +⎛⎫
++++=
=+=+=⨯-+=- ⎪⎝⎭
L ， 而()()()()1
2310
61231022a a a a f a f a f a f a ++++-⋅⋅⋅⋅==L L ，
因此，()()()()6
2123102log log 26f a f a f a f a -⋅⋅⋅⋅==-⎡⎤⎣⎦L .
故答案为6-. 【点睛】
本题考查等差数列基本性质的计算，同时也考查了等差数列的定义以及指数、对数的运算，解题时充分利用等差中项的性质，可简化计算，考查计算能力，属于中等题.
14．【解析】【分析】求出数列的公比并得出等比数列的公比与首项然后利用等比数列求和公式求出即可计算出所求极限值【详解】由已知所以数列是首项为公比为的等比数列故答案为【点睛】本题考查等比数列基本量的计算同时
解析：
32
3
【解析】 【分析】 求出数列{}n a 的公比，并得出等比数列{}1n n a a +的公比与首项，然后利用等比数列求和公式求出12231n n a a a a a a ++++L ，即可计算出所求极限值. 【详解】 由已知321
2a q a =
=，23112()()22
n n n a --=⨯=，3225211111
()()()2()2224
n n n n n n a a ----+=⋅==⋅，所以数列{}1n n a a +是首项为128a a =，公
比为1
'4
q =
的等比数列， 11223118[(1()]
3214[1()]13414
n n n n a a a a a a -+-+++==--L ，
1223132132
lim ()lim
[1()]343
n n n n n a a a a a a +→+∞
→∞+++=-=
L . 故答案为
32
3
. 【点睛】
本题考查等比数列基本量的计算，同时也考查了利用定义判定等比数列、等比数列求和以及数列极限的计算，考查推理能力与计算能力，属于中等题.
15．【解析】【分析】由题意知渐近线方程是再据得出与的关系代入渐近线方程即可【详解】∵双曲线的两个顶点三等分焦距∴又∴∴渐近线方程是故答案为【点睛】本题考查双曲线的几何性质即双曲线的渐近线方程为属于基础题
解析：y =±
【解析】 【分析】
由题意知，渐近线方程是b y x a =±，1
223
a c =⨯，再据222c a
b =+，得出 b 与a 的关系，代入渐近线方程即可． 【详解】
∵双曲线22
221x y a b
-= (0,0)a b >>的两个顶点三等分焦距，
∴1
223
a c =
⨯，3c a =，又222c a b =+，∴b =
∴渐近线方程是b
y x a
=±=±，故答案为y =±． 【点睛】
本题考查双曲线的几何性质即双曲线22
221x y a b
-= (0,0)a b >>的渐近线方程为b y x
a =±属于基础题．
16．8【解析】∵函数（且）的图象恒过定点A ∴当时∴又点A 在一次函数的图象上其中∴又∴∴（当且仅当时取）故答案为8点睛：本题主要考查了基本不等式基本不等式求最值应注意的问题(1)使用基本不等式求最值其失误
解析：8 【解析】
∵函数log 1
1a y x =-+（）（0a ＞，且1a ≠）的图象恒过定点A ， ∴当2x =时，1y =，∴()21A ，，又点A 在一次函数y mx n =+的图象上，其中
0mn >，
∴21m n +=，又0mn >，
∴0m >，0n >，∴()12124 248n m m n m n m n m n +=+⋅+=++≥（），（当且仅当122
n m ==时取“=”），故答案为8. 点睛：本题主要考查了基本不等式.基本不等式求最值应注意的问题(1)使用基本不等式求最值，其失误的真正原因是对其前提“一正、二定、三相等”的忽视．要利用基本不等式求最值，这三个条件缺一不可．(2)在运用基本不等式时，要特别注意“拆”“拼”“凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”“定”“等”的条件．
17．1【解析】【分析】先求出二项式的展开式的通项公式令的指数等于求出的值即可求得展开式中的项的系数再根据的系数是列方程求解即可【详解】展开式的的通项为令的展开式中的系数为故答案为1【点睛】本题主要考查二 解析：1
【解析】
【分析】
先求出二项式9()a
x x
-的展开式的通项公式，令x 的指数等于4，求出r 的值，即可求得展开式中3x 的项的系数，再根据3x 的系数是84-列方程求解即可.
【详解】
9()a x x -展开式的的通项为()992199r
r r r r r r a T C x C x a x --+⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭
， 令9233r r -=⇒=， 9()a x x
-的展开式中3x 的系数为()339841C a a -=-⇒=， 故答案为1.
【点睛】
本题主要考查二项展开式定理的通项与系数，属于简单题. 二项展开式定理的问题也是高考命题热点之一，关于二项式定理的命题方向比较明确，主要从以下几个方面命题：（1）考
查二项展开式的通项公式1C r n r r r n T a b -+=；（可以考查某一项，也可考查某一项的系数）
（2）考查各项系数和和各项的二项式系数和；（3）二项展开式定理的应用.
18．11【解析】因为样本数据x1x2⋅⋅⋅xn 的均值x=5所以样本数据2x1+12x2+1⋅⋅⋅2xn+1的均值为2x+1=2×5+1=11所以答案应填：11考点：均值的性质
解析：
【解析】
因为样本数据，，，的均值，所以样本数据
，，，的均值为
，所以答案应填：． 考点：均值的性质．
19．【解析】试题分析：设等比数列的公比为由得解得所以于是当或时取得最
大值考点：等比数列及其应用
解析：64
【解析】
试题分析：设等比数列的公比为q ，由132410{5a a a a +=+=得，2121(1)10{(1)5a q a q q +=+=，解得18{12
a q ==.所以2(1)1712(1)
22212118()22n n n n n n n
n a a a a q L L --++++-==⨯=，于是当3n =或4时，12n a a a L 取得最大值6264=.
考点：等比数列及其应用
20．【解析】由题意可得函数满足即解得即函数的定义域为 解析：513|22,66x k x k k Z ππππ⎧⎫+<<+∈⎨⎬⎩⎭
【解析】
由题意可得，函数lg(12sin )y x =-满足12sin 0x ->，即1sin 2x <
， 解得51322,66
k x k k Z ππππ+<<+∈， 即函数lg(12sin )y x =-的定义域为513{|
22,}66x k x k k Z ππππ+<<+∈. 三、解答题
21．（1）
3π；（2
【解析】
【分析】
(1)根据2cos 2a C c b +=,利用正弦定理将边化为角,进一步求出角A ;
(2)根据条件由余弦定理,可得222212cos
3a b c bc π==+-,再结合222b c bc +≥,求出bc 的范围,进一步求出ABC ∆面积的最大值.
【详解】
解:(1)∵2cos 2a C c b +=,∴2sin cos sin 2sin A C C B +=,
又∵A B C π++=,∴()2sin cos sin 2sin cos cos sin A C C A C A C +=+,
∴sin 2cos sin C A C =,∴()sin 2cos 10C A -=,
∵sin 0C ≠,∴1cos 2
A =,
又()0,A π∈,∴3A π=
(2)由(1)知,3A π
=,
∵1a =,∴由余弦定理,有222212cos
3a b c bc π==+-,∴221bc b c +=+. ∵222b c bc +≥, ∴12bc bc +≥,
∴1bc ≤,当且仅当1b c ==时等号成立,
∴()max 11sin 1sin 23234
ABC S bc ππ∆==⨯⨯=,
∴三角形ABC 的面积的最大值为
4. 【点睛】
本题考查了正弦定理,余弦定理,面积公式和均值不等式,考查了转化思想和计算能力,属中档题.
22．(1) 6A π=
;(2) 2a =. 【解析】
试题分析：（1sin sin cos A C C A ⋅=⋅．消去公因式得到所以
tan A =．
进而得到角A ；（2）结合三角形的面积公式，和余弦定理得到2b c +=+式得到2a =．
解析：
（I sin cos C c A =，所以cos 0A ≠， 由正弦定理sin sin sin a b c A B C
==，
sin sin cos A C C A ⋅=⋅．
又因为 ()0,C π∈，sin 0C ≠，
所以 tan A =． 又因为 ()0,A π∈，
所以 6A π
=．
（II ）由11sin 24
ABC S bc A bc ∆===bc =， 由余弦定理2222cos a b c bc A =+-，
得2222cos
6a b c bc π=+-，
即()()222212a b c bc b c =+-=+-，
因为2b c +=+
解得 24a =.
因为 0a >，
所以 2a =.
23．最小值为14-
，最大值为2. 【解析】
【分析】 由已知条件化简得
21log 32x ≤≤，然后化简()f x 求出函数的最值 【详解】
由2256x ≤得8x ≤，2log 3x ≤即21log 32
x ≤≤ ()()()222231log 1log 2log 24f x x x x ⎛⎫=-⋅-=-- ⎪⎝
⎭. 当23log ,2x =
()min 14f x =-，当2log 3,x = ()max 2f x =． 【点睛】
熟练掌握对数的基本运算性质是转化本题的关键，将其转化为二次函数的值域问题，较为基础．
24．（1）17.4；（2）（i ）14.77千元（ii ）978位
【解析】
【分析】
（1）用每个小矩形的面积乘以该组中点值，再求和即可得到平均数；
（2）（i ）根据正态分布可得：0.6827()0.50.84142
P X μσ>-=+≈即可得解；（ii ）根据正态分布求出每个农民年收入不少于12.14千元的事件概率为0.9773，利用独立重复试验概率计算法则求得概率最大值的k 的取值即可得解.
【详解】
（1）由频率分布直方图可得：
120.04140.12160.28180.36200.1220.06240.0417.4x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=； （2）（i ）由题()~17.4,6.92X N ，0.6827()0.50.84142
P X μσ>-=+≈， 所以17.4 2.6314.77μσ-=-=满足题意，即最低年收入大约14.77千元；
（ii ）0.9545(12.14)(2)0.50.97732
P X P X μσ≥=≥-=+
≈， 每个农民年收入不少于12.14千元的事件概率为0.9773， 记这1000位农民中的年收入不少于12.14千元的人数为X ，()1000,0.9773X B : 恰有k 位农民中的年收入不少于12.14千元的概率
()()100010000.997310.9973k k k P X k C -==-
()()()()
10010.97731110.9773P X k k P X k k =-⨯=>=-⨯-得10010.9773978.2773k <⨯=， 所以当0978k ≤≤时，()()1P X k P X k =-<=，当9791000k ≤≤时，
()()1P X k P X k =->=，所以这1000位农民中的年收入不少于12.14千元的人数最有可能是978位.
【点睛】
此题考查频率分布直方图求平均数，利用正态分布估计概率，结合独立重复试验计算概率公式求解具体问题，综合性强.
25．132x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩
⎭ 【解析】
【分析】 由不等式的解集和方程的关系，可知12
，2是方程520ax x +-=的两根，利用韦达定理求出a ，再代入不等式22510ax x a -+->，解一元二次不等式即可.
【详解】
解：由已知条件可知0a <，且方程520ax x +-=的两根为12
，2； 由根与系数的关系得55221a a
⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩解得2a =-． 所以原不等式化为2530x x +-<解得132
x -<< 所以不等式解集为132x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭
【点睛】
本题主要考查一元二次不等式的解法，还考查一元二次不等式解集与一元二次方程的关系以及利用韦达定理求值.
26．(1)(1)0f =，(1)0f -=；(2)偶函数，证明见解析；(3)1
{|}2
x x ≤
【解析】
试题分析：
(1)利用赋值法：令1x y ==得()10f =，令1x y ==-，得()10f -=；
(2)令1y =-，结合(1)的结论可得函数()f x 是偶函数；
(3)结合函数的奇偶性和函数的单调性脱去f 符号，求解绝对值不等式12x x +≤-可得x 的取值范围是1{|}2
x x ≤.
试题解析：
（1）令1x y ==得()10f =，令1x y ==-，得()10f -=；
（2）令1y =-，对x R ∈得()()()1f x f f x -=-+即()()f x f x -=，而()f x 不恒为0， ()f x ∴是偶函数；
（3）又()f x 是偶函数，()()f x f x ∴=，当0x >时，()f x 递增，由
()()12f x f x +≤-，得()()12,12,f x f x x x x +≤-∴+≤-∴的取值范围是
1{|}2x x ≤.。