高考数学真题分项汇编 专题02 函数的概念与基本初等函数 I 理(含解析)-人教版高三全册数学试题

专题02 函数的概念与基本初等函数I
1．【2019年高考全国Ⅰ卷理数】已知0.20.32
log 0.220.2a b c ===，，，则 A ．a b c << B ．a c b << C ．c a b <<
D ．b c a <<
【答案】B
【解析】22log 0.2log 10,a =<=0.2
02
21,b =>=
0.3000.20.21,c <=<=即01,c <<
则a c b <<． 故选B ．
【名师点睛】本题考查指数和对数大小的比较，考查了数学运算的素养．采取中间量法，根据指数函数和对数函数的单调性即可比较大小．
2．【2019年高考天津理数】已知5log 2a =，0.5og 2.l 0b =，0.20.5c =，则,,a b c 的大小关系为 A ．a c b << B ．a b c << C ．b c a <<
D ．c a b <<
【答案】A
【解析】因为551log 2log 2
a =<=
， 0.50.5log 0.2log 0.252b =>=， 10.200.50.50.5c <=<，即
1
12
c <<， 所以a c b <<. 故选A.
【名师点睛】本题考查比较大小问题，关键是选择中间量和利用函数的单调性进行比较. 3．【2019年高考全国Ⅱ卷理数】若a >b ，则 A ．ln(a −b )>0 B ．3a <3b C ．a 3−b 3>0 D ．│a │>│b │
【答案】C
【解析】取2,1a b ==，满足a b >，但ln()0a b -=，则A 错，排除A ； 由219333=>=，知B 错，排除B ；
取1,2a b ==-，满足a b >，但|1||2|<-，则D 错，排除D ；
因为幂函数3
y x =是增函数，a b >，所以33a b >，即a 3
−b 3>0，C 正确.
故选C ．
【名师点睛】本题主要考查对数函数的性质、指数函数的性质、幂函数的性质及绝对值的意义，渗透了逻辑推理和运算能力素养，利用特殊值排除即可判断．
4．【2019年高考北京理数】在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．两颗星的星等与亮度满足m 2−m 1=
2
1
52lg E E ，其中星等为m k 的星的亮度为E k （k =1，2）．已知太阳的星等是−26.7，天狼星的星等是−1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为 A ．10
10.1
B ．10.1
C ．lg10.1
D ．10−10.1
【答案】A
【解析】两颗星的星等与亮度满足1
212
5lg 2E m m E -=， 令211.45,26.7m m =-=-， 则()121222
lg
( 1.4526.7)10.1,55E m m E =-=⨯-+= 从而
10.11
2
10E E =. 故选A.
【名师点睛】本题以天文学问题为背景，考查考生的数学应用意识､信息处理能力､阅读理解能力以及对数的运算.
5．【2019年高考全国Ⅰ卷理数】函数f (x )=
在[,]-ππ的图像大致为
2
sin cos ++x x
x x
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】D 【解析】由22
sin()()sin ()()cos()()cos x x x x
f x f x x x x x
-+----=
==--+-+，得()f x 是奇函数，其图象关于原点对称． 又22π
1π42π2()1,π2π()
2
f +
+==>2π(π)01πf =>-+，可知应为D 选项中的图象． 故选D ．
【名师点睛】本题考查函数的性质与图象的识别，渗透了逻辑推理、直观想象和数学运算素养．采取性质法和赋值法，利用数形结合思想解题．
6．【2019年高考全国Ⅲ卷理数】函数3
222
x x
x y -=+在[]6,6-的图像大致为 A ． B ．
C ．
D ．
【答案】 B
【解析】设3
2()22
x x
x y f x -==+，则332()2()()2222x x x x x x f x f x ----==-=-++，所以()f x 是奇函数，图象关于原点成中心对称，排除选项C ．
又3
4424(4)0,22f -⨯=>+排除选项D ；
3
66
26(6)722
f -⨯=≈+，排除选项A ， 故选B ．
【名师点睛】本题通过判断函数的奇偶性，排除错误选项，通过计算特殊函数值，作出选择．本题注重基础知识、基本计算能力的考查．
7．【2019年高考浙江】在同一直角坐标系中，函数1x y a =，1(2
log )a y x =+(a >0，且a ≠1)的图象可能是
【答案】D
【解析】当01a <<时，函数x
y a =的图象过定点(0,1)且单调递减，则函数1
x y a
=
的图象过定点(0,1)且单调递增，函数1log 2a y x ⎛⎫=+
⎪
⎝⎭的图象过定点1
(,0)2
且单调递减，D 选项符合； 当1a >时，函数x
y a =的图象过定点(0,1)且单调递增，则函数1
x y a
=
的图象过定点(0,1)且单调递减，函数1log 2a y x ⎛⎫=+ ⎪
⎝⎭的图象过定点1
(,02
）且单调递增，各选项均不符合. 综上，选D.
【名师点睛】易出现的错误：一是指数函数、对数函数的图象和性质掌握不熟练，导致判断失误；二是不能通过讨论a 的不同取值范围，认识函数的单调性.
8．【2019年高考全国Ⅱ卷理数】2019年1月3日嫦娥四号探测器成功实现人类历史上首次月球背面软着陆，我国航天事业取得又一重大成就，实现月球背面软着陆需要解决的一个关键技术问题是地面与探测器的通讯联系．为解决这个问题，发射了嫦娥四号中继星“鹊桥”，鹊桥沿着围绕地月拉格朗日2L 点的轨道运行．2L 点是平衡点，位于地月连线的延长线上．设地球质量为M １，月球质量为M ２，地月距离为
R ，2L 点到月球的距离为r ，根据牛顿运动定律和万有引力定律，r 满足方程：121
223
()()M M M R r R r r R +=++.
设r R
α=，由于α的值很小，因此在近似计算中3453
2
333(1)ααααα++≈+，则r 的近似值为 A
B
C
D
【答案】D 【解析】由r
R
α=
，得r R α=， 因为
121
223()()M M M R r R r r R +=++，
所以
121
22222
(1)(1)M M M R R R ααα+=++，
即543232221133[(1)]3(1)(1)
M M αααααααα++=+-=≈++，
解得α=
所以.r R α== 故选D.
【名师点睛】由于本题题干较长，所以，易错点之一就是能否静心读题，正确理解题意；易错点之二是
复杂式子的变形易出错．
9．【2019年高考全国Ⅲ卷理数】设()f x 是定义域为R 的偶函数，且在()0,+∞单调递减，则
A ．f （log 314
）＞f （3
22-）＞f （2
32-）
B ．f （log 314
）＞f （232-）＞f （322-）
C ．f （3
22-）＞f （232-）＞f （log 314
）
D ．f （232-）＞f （322-）＞f （log 314
）
【答案】C 【解析】
()f x 是定义域为R 的偶函数，331
(log )(log 4)4
f f ∴=．
22330
3
3
2
2
333log 4log 31,1222,log 42
2--
-
-
>==>>∴>>，
又()f x 在(0，+∞)上单调递减，
∴23323(log 4)22f f f --⎛⎫⎛
⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，
即2332
3122log 4f f f --⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
.
故选C ．
【名师点睛】本题主要考查函数的奇偶性、单调性，先利用函数的奇偶性化为同一区间，再利用中间量比较自变量的大小，最后根据单调性得到答案．
10．【2017年高考山东理数】设函数y =
A ，
函数ln(1)y x =-的定义域为B ,则A B =
A ．（1,2）
B ．(1,2]
C ．（-2,1）
D ．[-2,1)
【答案】D
【解析】由2
40x -≥得22x -≤≤，
由10x ->得1x <， 故{|22}{|1}{|21}A
B x x x x x x =-≤≤<=-≤<.
选D.
【名师点睛】集合的交、并、补运算问题，应把集合先化简再计算，常借助数轴或韦恩图进行求解.
11．【2018年高考全国Ⅱ卷理数】函数()2
e e x x
f x x --=的图像大致为
【答案】B
【解析】()()()2
e e 0,,x x
x f x f x f x x
--≠-==-∴为奇函数，舍去A ； ()11e e 0f -=->，∴舍去D ；
()()()
()()24
3
e e e e 22e 2e ,x
x x x x x x x
x x f x x
x
---+---++=
='2x ∴>时，()0f x '
>，()f x 单调
递增，舍去C. 因此选B.
【名师点睛】有关函数图象识别问题的常见题型及解题思路：（1）由函数的定义域，判断图象左右的位置，由函数的值域，判断图象的上下位置；（2）由函数的单调性，判断图象的变化趋势；（3）由函数的奇偶性，判断图象的对称性；（4）由函数的周期性，判断图象的周期性. 12．【2018年高考全国Ⅲ卷理数】函数4
2
2y x x =-++的图像大致为
【答案】D
【解析】函数图象过定点(0,2)，排除A ，B ；
令42()2y f x x x ==-++，则32
()422(21)f x x x x x '=-+=--，
由()0f x '>得2
2(21)0x x -<，得2x <-
或02
x <<，此时函数单调递增，
由()0f x '<得2
2(21)0x x ->，得2
x >
或02x -<<，此时函数单调递减，排除C. 故选D.
【名师点睛】本题主要考查函数的图象的识别和判断，利用函数图象过的定点及由导数判断函数的单调性是解决本题的关键.
13．【2018年高考浙江】函数y =2x
sin2x 的图象可能是
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】D
【解析】令()2sin2x
f x x =，因为()()(),2
sin22sin2x
x
x f x x x f x -∈-=-=-=-R ，所以
()2sin2x
f x x =为奇函数，排除选项A,B;
因为π,π2x ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
时，()0f x <，所以排除选项C ， 故选D ．
【名师点睛】先研究函数的奇偶性，再研究函数在π,π2⎛⎫
⎪⎝⎭
上的符号，即可判断选择.有关函数图象的识别问题的常见题型及解题思路：
（1）由函数的定义域，判断图象的左、右位置，由函数的值域，判断图象的上、下位置； （2）由函数的单调性，判断图象的变化趋势； （3）由函数的奇偶性，判断图象的对称性； （4）由函数的周期性，判断图象的周期性．
14．【2018年高考全国Ⅰ卷理数】设函数()()3
2
1f x x a x ax =+-+，若()f x 为奇函数，则曲线()
y f x =在点()0,0处的切线方程为 A ．2y x =- B ．y x =- C ．2y x = D ．y x =
【答案】D
【解析】因为函数()f x 是奇函数，所以10a -=，解得1a =， 所以()3
f x x x =+，()2
31f x x '=+，
所以()()01,00f f '==，
所以曲线()y f x =在点()0,0处的切线方程为()()00y f f x '-=，化简可得y x =， 故选D ．
【名师点睛】该题考查的是函数的奇偶性以及有关曲线()y f x =在某个点()()
00,x f x 处的切线方程的问题，在求解的过程中，首先需要确定函数解析式，此时利用到结论：多项式函数中，奇函数不存在偶次项，偶函数不存在奇次项，从而求得相应的参数值，之后利用求导公式求得()f x '，借助于导数的几何意义，结合直线方程的点斜式求得结果.
15．【2018年高考全国Ⅱ卷理数】已知()f x 是定义域为(),-∞+∞的奇函数，满足()()11f x f x -=+．若
()12f =，则()()()123f f f ++()50f +
+=
A ．50-
B ．0
C ．2
D ．50
【答案】C
【解析】因为()f x 是定义域为(),-∞+∞的奇函数，且()()11f x f x -=+， 所以()()()()()113114f x f x f x f x f x T +=--∴+=-+=-∴=，，, 因此()()()()()()()()()()1235012123412f f f f f f f f f f ⎡⎤+++
+=+++++⎣⎦，
因为()()()()3142f f f f =-=-，，所以()()()()12340f f f f +++=， 因为()()200f f ==，从而()()()()()1235012f f f f f ++++==.
故选C ．
【名师点睛】先根据奇函数的性质以及对称性确定函数周期，再根据周期以及对应函数值求结果.函数的奇偶性与周期性相结合的问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行变换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解．
16．【2018年高考天津理数】已知2log e a =，ln2b =，1
2
1
log 3
c =，则a ，b ，c 的大小关系为 A ．a b c >> B ．b a c >> C ．c b a >> D ．c a b >>
【答案】D
【解析】由题意结合对数函数的性质可知：2log e 1a =>，()21
ln20,1log e
b ==
∈，1
222
1
log log 3log e 3
c ==>， 据此可得：c a b >>. 本题选择D 选项.
【名师点睛】由题意结合对数函数的性质整理计算即可求得最终结果.对于对数的大小的比较，我们通常都是运用对数函数的单调性，但很多时候，因对数的底数或真数不相同，不能直接利用函数的单调性进行比较，这就必须掌握一些特殊方法．在进行对数的大小比较时，若底数不同，则首先考虑将其转化成同底数，然后再根据对数函数的单调性进行判断．对于不同底而同真数的对数的大小的比较，利用图象法求解，既快捷，又准确．
17．【2018年高考全国Ⅲ卷理数】设0.2log 0.3a =，2log 0.3b =，则
A ．0a b ab +<<
B ．0ab a b <+<
C ．0a b ab +<<
D ．0ab a b <<+
【答案】B
【解析】
0.22log 0.3,log 0.3a b ==，0.30.311
log 0.2,log 2a b
∴
==， 0.311log 0.4a b ∴+=，1101a b ∴<+<,即01a b ab
+<<， 又
0,0a b ><，0ab ∴<，
∴0ab a b <+<. 故选B ．
【名师点睛】本题主要考查对数的运算和不等式，属于中档题.
18．【2017年高考北京理数】根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M 约为3361，而可观测宇宙中普通
物质的原子总数N 约为1080.则下列各数中与M N
最接近的是
（参考数据：lg3≈0.48） A ．1033 B ．1053
C ．1073
D ．1093
【答案】D
【解析】设36180310M x N ==，两边取对数，361
36180803lg lg lg3lg10361lg38093.2810
x ==-=⨯-=，
所以93.2810x =，即M
N
最接近9310. 故选D ．
【名师点睛】本题考查了转化与化归能力，本题以实际问题的形式给出，但本质就是对数的运算关系，
以及指数与对数运算的关系，难点是令361
80310
x =，并想到两边同时取对数进行求解，对数运算公式包
含log log log a a a M N MN +=，log log log a a a
M M N N
-=，log log n
a a M n M =. 19．【2017年高考全国Ⅰ卷理数】设x 、y 、z 为正数，且235x y z ==，则
A ．2x <3y <5z
B ．5z <2x <3y
C ．3y <5z <2x
D ．3y <2x <5z
【答案】D
【解析】令235(1)x y z
k k ===>，则2log x k =，3log y k =，5log z k =
∴
22lg lg 3lg 913lg 23lg lg8
x k y k =⋅=>，则23x y >， 22lg lg5lg 2515lg 25lg lg32
x k z k =⋅=<，则25x z <. 故选D ．
【名师点睛】对于连等问题，常规的方法是令该连等为同一个常数，再用这个常数表示出对应的,,x y z ，通过作差或作商进行比较大小.对数运算要记住对数运算中常见的运算法则，尤其是换底公式以及0与1的对数表示.
20．【2017年高考浙江】若函数f (x )=x 2
+ ax +b 在区间[0，1]上的最大值是M ，最小值是m ，则M – m
A ．与a 有关，且与b 有关
B ．与a 有关，但与b 无关
C ．与a 无关，且与b 无关
D ．与a 无关，但与b 有关
【答案】B
【解析】因为最值在2
(0),(1)1,()24
a a f
b f a b f b ==++-=-中取，所以最值之差一定与b 无关.
故选B ．
【名师点睛】对于二次函数的最值或值域问题，通常先判断函数图象对称轴与所给自变量闭区间的关系，结合图象，当函数图象开口向上时，若对称轴在区间的左边，则函数在所给区间内单调递增；若对称轴在区间的右边，则函数在所给区间内单调递减；若对称轴在区间内，则函数图象顶点的纵坐标为最小值，区间端点距离对称轴较远的一端取得函数的最大值．
21．【2017年高考全国Ⅰ卷理数】函数()f x 在(,)-∞+∞单调递减，且为奇函数．若(11)f =-，则满足
21()1x f --≤≤的x 的取值范围是
A ．[2,2]-
B ．[1,1]-
C ．[0,4]
D ．[1,3]
【答案】D
【解析】因为()f x 为奇函数且在(,)-∞+∞单调递减，要使1()1f x -≤≤成立，则x 满足11x -≤≤，从而由121x -≤-≤得13x ≤≤，
即满足1(2)1f x -≤-≤的x 的取值范围为[1,3]. 故选D.
【名师点睛】奇偶性与单调性的综合问题，要充分利用奇、偶函数的性质与单调性解决不等式和比较大小问题，若()f x 在R 上为单调递增的奇函数，且12()()0f x f x +>，则120x x +>，反之亦成立.
22．【2017年高考北京理数】已知函数1()3()3
x x
f x =-，则()f x
A ．是奇函数，且在R 上是增函数
B ．是偶函数，且在R 上是增函数
C ．是奇函数，且在R 上是减函数
D ．是偶函数，且在R 上是减函数
【答案】A
【解析】()()113333x
x
x x f x f x --⎛⎫⎛⎫-=-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭
，所以该函数是奇函数，并且3x
y =是增函数，13x
y ⎛⎫= ⎪⎝⎭
是减函数，根据增函数−减函数=增函数，可知该函数是增函数.
【名师点睛】本题属于基础题型，根据()f x -与()f x 的关系就可以判断出函数的奇偶性，判断函数单调性的方法：（1）利用平时学习过的基本初等函数的单调性；（2）利用函数图象判断函数的单调性；（3）利用函数的四则运算判断函数的单调性，如：增函数+增函数=增函数，增函数−减函数=增函数；（4）利用导数判断函数的单调性.
23．【2017年高考天津理数】已知奇函数()f x 在R 上是增函数，()()g x xf x =．若2(log 5.1)a g =-，
0.8(2)b g =，(3)c g =，则a ，b ，c 的大小关系为
A ．a b c <<
B ．c b a <<
C ．b a c <<
D ．b c a <<
【答案】C
【解析】因为()f x 是奇函数且在R 上是增函数，所以当0x >时，()0f x >， 从而()()g x xf x =是R 上的偶函数，且在[0,)+∞上是增函数，
22(log 5.1)(log 5.1)a g g =-=，0.822<，
又4 5.18<<，则22log 5.13<<， 所以0.8
202
log 5.13<<<，0.82(2)(log 5.1)(3)g g g <<，
所以b a c <<. 故选C ．
【名师点睛】比较大小是高考的常见题型，指数式、对数式的大小比较要结合指数函数、对数函数，借助指数函数和对数函数的图象，利用函数的单调性、奇偶性等进行大小比较，要特别关注灵活利用 函数的奇偶性和单调性，数形结合进行大小比较或解不等式．
24．【2017年高考山东理数】已知当[0,1]x ∈时，函数2
(1)y mx =-的图象与y m =
的图象有且只有
一个交点，则正实数m 的取值范围是 A ．(0,1][23,)+∞ B ．(0,1][3,)+∞
C ．[23,)+∞
D ．[3,)+∞
【解析】当01m <≤时，1
1m
≥，2
(1)y mx =-在[0,1]x ∈时单调递减，且22
(1)(1),1y mx m ⎡⎤=-∈-⎣⎦，
y m =在[0,1]x ∈时单调递增，且[,1]y m m m =∈+，此时有且仅有一个交点；
当1m >时，101m <
<，2(1)y mx =-在1,1m ⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上单调递增，所以要有且仅有一个交点，需2(1)13m m m -≥+⇒≥.
故选B.
【名师点睛】已知函数有零点求参数的取值范围常用的方法和思路：
（1）直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数的取值范围； （2）分离参数法：将参数分离，转化成求函数值域的问题加以解决；
（3）数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解． 25．【2017年高考山东理数】若0a b >>，且1ab =，则下列不等式成立的是
A ．()21log 2
a b
a a
b b +
<<+ B ．
()21
log 2a b a b a b
<+<+ C ．()21log 2
a b a a b b +
<+< D ．()21log 2
a b
a b a b +<+
< 【答案】B
【解析】因为0a b >>，且1ab =，所以1,01,a b ><<
所以
221,log ()log 12
a b
a b <+>=， 1211
2log ()a b
a a
b a a b b b
+>+
>+⇒+>+， 所以选B.
【名师点睛】比较幂或对数值的大小，若幂的底数相同或对数的底数相同，通常利用指数函数或对数函数的单调性进行比较；若底数不同，可考虑利用中间量进行比较.本题虽小，但考查的知识点较多，需灵活利用指数函数、对数函数的性质及基本不等式作出判断.
26．【2019年高考全国Ⅱ卷理数】设函数()f x 的定义域为R ，满足(1) 2 ()f x f x +=，且当(0,1]x ∈时，
()(1)f x x x =-．若对任意(,]x m ∈-∞，都有8
()9
f x ≥-，则m 的取值范围是
A ．9,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦
B ．7,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦
C ．5,2⎛⎤-∞ ⎥⎝
⎦
D ．8,3⎛
⎤-∞ ⎥⎝⎦
【答案】B
【解析】∵(1) 2 ()f x f x +=，()2(1)f x f x ∴=-． ∵(0,1]x ∈时，1
()(1)[,0]4
f x x x =-∈-；
∴(1,2]x ∈时，1(0,1]x -∈，1()2(1)2(1)(2),02f x f x x x ⎡⎤
=-=--∈-
⎢⎥⎣⎦
； ∴(2,3]x ∈时，1(1,2]x -∈，()2(1)4(2)(3)[1,0]f x f x x x =-=--∈-， 如图：
当(2,3]x ∈时，由84(2)(3)9x x --=-解得173x =，28
3x =， 若对任意(,]x m ∈-∞，都有8()9f x ≥-，则7
3
m ≤.
则m 的取值范围是7,3
⎛⎤-∞ ⎥⎝
⎦
.
故选B.
【名师点睛】本题考查了函数与方程，二次函数.解题的关键是能够得到(2,3]x ∈时函数的解析式，并求出函数值为89
-时对应的自变量的值.
27．【2019年高考浙江】已知,a b ∈R ，函数32
,0()11(1),03
2x x f x x a x ax x <⎧⎪
=⎨-++≥⎪⎩．若函数()y f x ax b =--恰有3个零点，则 A ．a <–1，b <0 B ．a <–1，b >0 C ．a >–1，b <0 D ．a >–1，b >0
【答案】C
【解析】当x ＜0时，y ＝f （x ）﹣ax ﹣b ＝x ﹣ax ﹣b ＝（1﹣a ）x ﹣b ＝0，得x =b
1−b ， 则y ＝f （x ）﹣ax ﹣b 最多有一个零点；
当x ≥0时，y ＝f （x ）﹣ax ﹣b =1
3x 3
−1
2（a +1）x 2
+ax ﹣ax ﹣b =1
3x 3
−1
2（a +1）x 2
﹣b ，
2(1)y x a x =+-'，
当a +1≤0，即a ≤﹣1时，y ′≥0，
y ＝f （x ）﹣ax ﹣b 在[0，+∞）上单调递增，
则y ＝f （x ）﹣ax ﹣b 最多有一个零点，不合题意； 当a +1＞0，即a >﹣1时，
令y ′＞0得x ∈(a +1，+∞），此时函数单调递增， 令y ′＜0得x ∈[0，a +1），此时函数单调递减， 则函数最多有2个零点.
根据题意，函数y ＝f （x ）﹣ax ﹣b 恰有3个零点⇔函数y ＝f （x ）﹣ax ﹣b 在（﹣∞，0）上有一个零点，在[0，+∞）上有2个零点， 如图：
∴b
1−b ＜0且()32
011(1)1(1)03
2b a a a b ->⎧⎪⎨+-++-<⎪⎩， 解得b ＜0，1﹣a ＞0，b ＞−1
6（a +1）3
， 则a >–1，b <0. 故选C ．
【名师点睛】本题考查函数与方程，导数的应用.当x ＜0时，y ＝f （x ）﹣ax ﹣b ＝x ﹣ax ﹣b ＝（1﹣a ）x ﹣b 最多有一个零点；当x ≥0时，y ＝f （x ）﹣ax ﹣b =1
3
x 3
−12
（a +1）x 2
﹣b ，利用导数研究函数的单调性，根据单调性画出函数的草图，从而结合题意可列不等式组求解．
28．【2018年高考全国Ⅰ卷理数】已知函数()e 0ln 0x x f x x x ⎧≤=⎨
>⎩，，
，，
()()g x f x x a =++．若g （x ）存在2个零点，则a 的取值范围是 A ．[–1，0） B ．[0，+∞） C ．[–1，+∞） D ．[1，+∞）
【答案】C
【解析】画出函数()f x 的图象，e x
y =在y 轴右侧的图象去掉，再画出直线y x =-，之后上下移动，
可以发现当直线过点（0,1）时，直线与函数图象有两个交点，
并且向下可以无限移动，都可以保证直线与函数的图象有两个交点，即方程()f x x a =--有两个解，也就是函数()g x 有两个零点， 此时满足1a -≤，即1a ≥-
.
故选C ．
【名师点睛】该题考查的是有关已知函数零点个数求有关参数的取值范围问题，在求解的过程中，解题的思路是将函数零点个数问题转化为方程解的个数问题，将式子移项变形，转化为两条曲线交点的问题，画出函数的图象以及相应的直线，在直线移动的过程中，利用数形结合思想，求得相应的结果.即：首先根据g （x ）存在2个零点，得到方程()0f x x a ++=有两个解，将其转化为()f x x a =--有两个解，即直线y x a =--与曲线()y f x =有两个交点，根据题中所给的函数解析式，画出函数
()f x 的图象，再画出直线y x =-，并将其上下移动，从图中可以发现，当1a -≤时，满足y x a
=--与曲线()y f x =有两个交点，从而求得结果.
29．【2017年高考全国Ⅲ卷理数】设函数()π
(3
cos )f x x =+，则下列结论错误的是
A ．()f x 的一个周期为2π-
B ．()y f x =的图象关于直线8π
3
x =对称 C ．(π)f x +的一个零点为π
6
x = D ．()f x 在(π
2
,π)单调递减
【答案】D
【解析】函数()f x 的最小正周期为2π
2π1
T =
=，
则函数()f x 的周期为()2πT k k =∈Z ，取1k =-，可得函数()f x 的一个周期为2π-，选项A 正确； 函数()f x 图象的对称轴为()ππ3x k k +=∈Z ，即()π
π3
x k k =-∈Z ，取3k =，可得y =f (x )的图象关于直线8π
3
x =
对称，选项B 正确；
()πππcos πcos 33f x x x ⎡⎤⎛⎫⎛
⎫+=++=-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝
⎭⎝⎭⎣⎦，函数()f x 的零点满足()πππ32x k k +=+∈Z ，即
()π
π6
x k k =+
∈Z ，取0k =，可得(π)f x +的一个零点为π6x =，选项C 正确； 当π,π2x ⎛⎫
∈
⎪⎝⎭
时，π5π4π,363x ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，函数()f x 在该区间内不单调，选项D 错误.
故选D.
【名师点睛】（1）求最小正周期时可先把所给三角函数式化为(n )si y A x ωϕ=+或(s )co y A x ωϕ=+的形式，则最小正周期为2π
T ω
=
；奇偶性的判断关键是看解析式是否为sin y A x ω=或
cos y A x b ω=+的形式.
（2）求()()sin 0()f x A x ωϕω+≠=的对称轴，只需令()π
π2
x k k ωϕ+=+∈Z ，求x 即可；求f (x )的对称中心的横坐标，只需令π()x k k ωϕ+=∈Z 即可. 30．【2017年高考全国Ⅲ卷理数】已知函数2
1
1()2(e
e )x x
f x x x a --+=-++有唯一零点，则a =
A ．12
- B ．
13
C ．
12
D ．1
【答案】C
【解析】函数()f x 的零点满足()
2112e e x x x x a --+-=-+， 设()1
1e
e
x x g x --+=+，则()()211
1
1
1
1
1e 1e
e
e
e e
x x x x x x g x ---+----'=-=-
=， 当()0g x '=时，1x =；当1x <时，()0g x '<，函数()g x 单调递减； 当1x >时，()0g x '>，函数()g x 单调递增， 当1x =时，函数()g x 取得最小值，为()12g =.
设()2
2h x x x =-，当1x =时，函数()h x 取得最小值，为1-，
若0a ->，函数()h x 与函数()ag x -没有交点；
若0a -<，当()()11ag h -=时，函数()h x 和()ag x -有一个交点， 即21a -⨯=-，解得12
a =. 故选C.
【名师点睛】函数零点的应用主要表现在利用零点求参数范围，若方程可解，通过解方程即可得出参数的范围，若方程不易解或不可解，则将问题转化为构造两个函数，利用两个函数图象的关系求解，这样会使得问题变得直观、简单，这也体现了数形结合思想的应用.
31．【2017年高考天津理数】已知函数23,1,
()2
, 1.
x x x f x x x x ⎧-+≤⎪
=⎨+>⎪⎩
设a ∈R ，若关于x 的不等式()||2x f x a ≥+在R 上恒成立，则a 的取值范围是 A ．47
[,2]16
-
B ．4739[,]1616
-
C
．[2]- D
．39[]16
- 【答案】A
【解析】不等式()|
|2x
f x a ≥+可化为()()2
x f x a f x -≤+≤ (*)， 当1x ≤时，(*)式即2
2332x x x a x x -+-≤
+≤-+，即223
3322
x x a x x -+-≤≤-+， 又2
2147473()241616x x x -+
-=---≤-（当1
4
x =时取等号）， 223339393()241616x x x -+=-+≥（当3
4
x =时取等号），
所以4739
1616
a -
≤≤， 当1x >时，(*)式为222x x a x x x --
≤+≤+，322
22x x a x x
--≤≤+．
又3232()22x x x x -
-=-+≤-
x =，
222x x +≥=（当2x =时取等号）
，所以2a -≤≤．
综上，47
216
a -
≤≤． 故选A ．
【名师点睛】首先将()|
|2x f x a ≥+转化为()()22
x x
f x a f x --≤≤-，涉及分段函数问题要遵循分段处理的原则，分别对x 的两种不同情况进行讨论，针对每种情况根据x 的范围，利用极端原理，求出对应的a 的取值范围．
32．【2019年高考江苏】函数y =的定义域是 ▲ .
【答案】[1,7]-
【解析】由题意得到关于x 的不等式，解不等式可得函数的定义域. 由已知得2760x x +-≥,即2670x x --≤，解得17x -≤≤， 故函数的定义域为[1,7]-.
【名师点睛】求函数的定义域，其实质就是以函数解析式有意义为准则，列出不等式或不等式组，然后求出它们的解集即可．
33．【2018年高考江苏】函数()f x =________．
【答案】[2，+∞）
【解析】要使函数()f x 有意义，则需2log 10x -≥，解得2x ≥，即函数()f x 的定义域为[
)2,+∞. 【名师点睛】求给定函数的定义域往往需转化为解不等式（组）的问题.求解本题时，根据偶次根式下被开方数非负列不等式，解对数不等式得函数定义域.
34．【2017年高考江苏】记函数()f x =D ．在区间[4,5]-上随机取一个数x ，则
x D ∈的概率是．
【答案】
5
9
【解析】由260x x +-≥，即260x x --≤，得23x -≤≤，
根据几何概型的概率计算公式得x D ∈的概率是
3(2)5
5(4)9
--=--． 【名师点睛】（1）当试验的结果构成的区域为长度、面积或体积等时，应考虑使用几何概型求解．
（2）利用几何概型求概率时，关键是试验的全部结果构成的区域和事件发生的区域的寻找，有时需要设出变量，在坐标系中表示所需要的区域．
（3）几何概型有两个特点：①无限性，②等可能性．基本事件可以抽象为点，尽管这些点是无限的，但它们所占据的区域都是有限的，因此可用“比例解法”求解几何概型的概率．
35．【2019年高考全国Ⅱ卷理数】已知()f x 是奇函数，且当0x <时，()e ax
f x =-.若(ln 2)8f =，则a =
__________． 【答案】3-
【解析】由题意知()f x 是奇函数，且当0x <时，()e ax
f x =-，
又因为ln 2(0,1)∈，(ln 2)8f =， 所以ln 2e 8a --=-，
两边取以e 为底数的对数，得ln 23ln 2a -=， 所以3a -=，即3a =-．
【名师点睛】本题主要考查函数的奇偶性，对数的计算．
36．【2019年高考北京理数】设函数()e e x
x
f x a -=+（a 为常数）．若f （x ）为奇函数，则a =________；
若f （x ）是R 上的增函数，则a 的取值范围是___________． 【答案】(]
1;,0--∞
【解析】首先由奇函数的定义得到关于a 的恒等式，据此可得a 的值，然后利用()0f x '≥可得a 的取值范围.
若函数()e e x
x
f x a -=+为奇函数，则()(),f x f x -=-即()e
e e e x
x x x a a --+=-+，
即()(
)1e e
0x
x
a -++=对任意的x 恒成立，
则10a +=，得1a =-.
若函数()e e x
x
f x a -=+是R 上的增函数，则() e e 0x x
f x a -'=-≥在R 上恒成立，
即2e x a ≤在R 上恒成立， 又2e 0x >，则0a ≤，
即实数a 的取值范围是(]
,0-∞.
【名师点睛】本题考查函数的奇偶性､单调性､利用单调性确定参数的范围.解答过程中，需利用转化与化归思想，转化成恒成立问题.注重重点知识､基础知识､基本运算能力的考查.
37．【2019年高考浙江】已知a ∈R ，函数3
()f x ax x =-，若存在t ∈R ，使得2|(2)()|3
f t f t +-≤
，则实数a 的最大值是___________. 【答案】
43
【解析】存在t ∈R ，使得2|(2)()|3
f t f t +-≤， 即有3
3
2|(2)(2)|3
a t t at t +-+-+≤， 化为()22|23642|3
a t t ++-≤
， 可得()2
222364233a t t -≤++-≤，
即()2
2436433
a t t ≤++≤， 由2
2
3643(1)11t t t ++=++≥，可得4
03
a <≤. 则实数a 的最大值是
43
. 【名师点睛】本题考查函数的解析式及二次函数，结合函数的解析式可得3
3
|(2)(2)|
a t t at t +-+-+2
3
≤
，去绝对值化简，结合二次函数的最值及不等式的性质可求解. 38．【2019年高考北京理数】李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、西
瓜、桃，价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒．为增加销量，李明对这四种水果进行促销：一次购买水果的总价达到120元，顾客就少付x 元．每笔订单顾客网上支付成功后，李明会得到支付款的80%．
①当x =10时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，需要支付__________元；
②在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则x 的最大值为__________． 【答案】①130；②15
【解析】①10x =时，顾客一次购买草莓和西瓜各一盒，需要支付()608010130+-=元.
②设顾客一次购买水果的促销前总价为y 元，
当120y <元时，李明得到的金额为80%y ⨯，符合要求； 当120y ≥元时，有()80%70%y x y -⨯≥⨯恒成立， 即()87,8
y y x y x -≥≤
， 因为min
158y ⎛⎫
=
⎪⎝⎭，所以x 的最大值为15. 综上，①130；②15.
【名师点睛】本题主要考查函数的最值，不等式的性质及恒成立，数学的应用意识，数学式子变形与运算求解能力.以实际生活为背景，创设问题情境，考查学生身边的数学，考查学生的数学建模素养. 39．【2018年高考全国Ⅲ卷理数】函数()πcos 36f x x ⎛
⎫
=+
⎪⎝
⎭
在[]0π，的零点个数为________． 【答案】3
【解析】0πx ≤≤，ππ19π3666
x ∴≤+≤
，
由题可知πππ3π336262x x +=+=，或π5π362x +=
，
解得π4π,
99x =或7π9
，
故有3个零点.
【名师点睛】本题主要考查三角函数的性质和函数的零点，属于基础题.解题时，首先求出π36
x +的范
围，再由函数值为零，得到π36
x +
的取值可得零点个数. 40．【2018年高考浙江】我国古代数学著作《张邱建算经》中记载百鸡问题：“今有鸡翁一，值钱五；鸡
母一，值钱三；鸡雏三，值钱一。

凡百钱，买鸡百只，问鸡翁、母、雏各几何？”设鸡翁，鸡母，鸡
雏个数分别为x ，y ，z ，则100,1
53100,3x y z x y z ++=⎧⎪
⎨++=⎪⎩
当81z =时，x =___________，y =___________． 【答案】8；11 【解析】∵b =81,∴{b +b =195b +3b =73 ,∴{
b =8b =11
.
故答案为8；11.
【名师点睛】本题主要考查考生的运算求解能力，考查的数学核心素养是数学运算.
41．【2018年高考北京理数】能说明“若f （x ）>f （0）对任意的x ∈（0，2］都成立，则f （x ）在［0，
2］上是增函数”为假命题的一个函数是__________． 【答案】2
3()()2
f x x =--（答案不唯一）
【解析】对于2
3()()2
f x x =--，其图象的对称轴为32
x =， 则f （x ）>f （0）对任意的x ∈（0，2］都成立， 但f （x ）在［0，2］上不是单调函数.
【名师点睛】解题本题需掌握充分必要条件和函数的性质，举出反例即可.
42．【2018年高考江苏】函数()f x 满足()()()4f x f x x +=∈R ，且在区间(]
2,2-上，
()πcos ,02,21,20,2x x f x x x ⎧<≤⎪⎪
=⎨⎪+-<≤⎪⎩
则()()15f f 的值为________．
【解析】由()()4f x f x +=得函数()f x 的周期为4， 所以()()()111516111,22f f f =-=-=-+
=
因此()(
)1π15cos 24f
f f ⎛⎫
=== ⎪
⎝⎭
【名师点睛】(1)求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现()()f
f a 的形式时，应从内到外依次求值.
(2)求某条件下自变量的值，先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记代入检验，看所求的自变量的值是否满足相应段自变量的取值范围.
43．【2017年高考江苏】某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x 吨，运费为6万元/次，一年的总存
储费用为4x 万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x 的值是 ▲ ． 【答案】30
【解析】总费用为600900
464()4240x x x x
+⨯=+≥⨯=， 当且仅当900
x x
=
，即30x =时等号成立． 【名师点睛】在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误．
44．【2018年高考江苏】若函数b (b )=2b 3−bb 2+1(b ∈b )在(0,+∞)内有且只有一个零点，则b (b )
在[−1,1]上的最大值与最小值的和为________． 【答案】–3
【解析】由()2
620f x x ax =-='得0x =或3
a
x =
， 因为函数()f x 在()0,+∞上有且仅有一个零点且()0=1f ，所以
0,03
3a a f ⎛⎫
>= ⎪⎝⎭
， 因此3
2
210,33a a a ⎛⎫⎛⎫
-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
解得3a =.
从而函数()f x 在[]1,0-上单调递增，在[]
0,1上单调递减，所以()()max 0,
f x f =()()(){}()min min 1,11f x f f f =-=-，
则()()max min f x f x +=()()0+114 3.f f -=-=- 故答案为3-.
【名师点睛】对于函数零点的个数问题，可利用函数的单调性、草图确定其中参数的取值条件．从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等．
45．【2018年高考浙江】已知λ∈R ，函数f (x )=24,43,x x x x x λ
λ-≥⎧⎨-+<⎩
，当λ=2时，不等式f (x )<0的解集
是___________．若函数f (x )恰有2个零点，则λ的取值范围是___________． 【答案】(1,4)；(]()1,3
4,+∞
【解析】由题意得2
40x x ≥⎧⎨-<⎩或22430
x x x <⎧⎨-+<⎩，所以24x ≤<或12x <<，即14x <<，故不等式。