湘教版高中同步学案数学必修第一册精品课件 第4章 指数爆炸和指数衰减--指数函数的图象与性质

在[-4,0)∪(0,4]上的图象如图所示,在同一坐标系内画出y=3x-1的图象.
因为
8
f(2)= ,所以
9
8
f(-2)=-f(2)=- =3-2-1.
9
又 f(1)=2=3 -1,即 f(x)与 y=3 -1
1
x
8
交于(-2,- )和(1,2)两点.
9
由图象可得f(x)≥3x-1的解满足x≤-2或0<x≤1.
解析 令g(x)=f(x)-2=e-x-ex-5x,
因为g(-x)=ex-e-x+5x=-g(x),
所以g(x)为奇函数.
因为函数y=e-x,y=-ex,y=-5x都是减函数,
所以函数g(x)是减函数.
若f(a2)+f(a-2)>4,
则有f(a2)-2>-[f(a-2)-2],
即g(a2)>-g(a-2)=g(2-a),
解析 函数
由
[6,+∞)
1
f(3)= ,则
16
.
1 10-ax
f(x)=(2) ,
1
1 10-3a 1
f(3)= ,得( ) = ,得
16
2
16
10-3a=4,解得 a=2,
故f(x)=22x-10.
由f(x)≥4,得22x-10≥22,
故2x-10≥2,解得x≥6.
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所以a2<2-a,解得-2<a<1,故B,C正确.故选BC.
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12.已知函数 f(x)=a (a>0 且
x
2
1
a≠1)的图象经过点(2, ).
9
(1)求 a,并比较 f(b +b+1)与 f
(2)求函数 g(x)=
2 -2-3
3
(2)若f(x)的图象如图②所示,求a,b的取值范围;
(3)在(1)中,若|f(x)|=m有且仅有一个实数解,求出m的取值范围.
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解 (1)因为函数f(x)的图象过点(2,0),(0,-2),
2 + = 0,
所以 0
解得 a= 3,b=-3.
3-, > 0
范围是( D )
A.(1,+∞)
B.(0,1)
1
C.[3,1)
1
D.(0,3]
, ≤ 0,
解析 因为函数 f(x)=
(a>0,且 a≠1)在 R 上单调递减,
3-, > 0
0 < < 1,
1
1
所以 0
解得 0<a≤ ,即实数 a 的取值范围是(0, ].故选 D.
4
的大小;
的值域.
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解 (1)由已知得 a
1 x
∵f(x)=(3) 在
1
= ,解得
9
2
1
a= ,故
3
1 x
f(x)=( ) .
3
R 上单调递减,且 b +b+1=(
2
1 2
+ 2)
3
∴f( )≥f(b2+b+1).
4
(2)令 t=x2-2x-3=(x-1)2-4≥-4,
又定义域为[-4,0)∪(0,4],
所以x∈[-4,-2]∪(0,1].故选AC.
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又-1<-a<0,y=ax-a的图象与y轴的交点在x轴上方,故选项C正确.
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7.已知指数函数y=f(x)的图象经过点(-1,2),那么这个函数也必定经过点
( D )
1
A.(-2,4)
1
B.(-1,2)
C.(1,2)
1
D.(3, )
8
解析 设 f(x)=ax,a>0 且 a≠1.
1
∵f(-1)= =2,解得
1
a=2,即
1 x
f(x)=(2) .
1 -2
1 -1
1
1 3 1
∵f(-2)=( ) =4,f(-1)=( ) =2,f(1)= ,f(3)=( ) = .故
2
2
2
2
8
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D 正确.
8.若2 022a=2 023b>1,则( A )
1 t
∵y=(3) 在
R
1 t
1 -4
上单调递减,∴y=(3) ≤(3) =81.
1 t
∵y=(3) >0,故
g(x)的值域是(0,81].
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3
4
+ ≥
3
,
4
13.已知函数f(x)=ax+b(a>0,且a≠1).
(1)若f(x)的图象如图①所示,求a,b的值;
<
1
2
2
3
,则 C 正确;
由幂函数、指数函数的单调性可知0.80.5<0.80.4,0.80.4<0.90.4,即0.80.5<0.90.4,
则D正确.故选AB.
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, ≤ 0,
10.函数 f(x)=
(a>0,且 a≠1)在 R 上单调递减,则实数 a 的取值
A.0<b<a
B.a<b<0
C.0<a<b
D.b<a<0
解析 在同一坐标系内分别作出y=2 022x以及y=2 023x的图象,
因为2 022a=2 023b>1,所以0<b<a.
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9.(多选题)下列式子不正确的是( AB )
A.1.52.5>1.53.2
A.c>b>a
B.b>a>c
C.a>b>c
D.a>c>b
解析 因为40.1>40=1,而0<0.40.8<0.40.5<0.40=1,即a>1,0<c<b<1,
所以a>b>c.故选C.
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3.已知0<a<1,-1<b<0,则函数y=ax+b的图象不经过第
A级
必备知识基础练
1.若函数f(x)=(m2-m-1)ax(a>0,且a≠1)是指数函数,则实数m的值为( D )
A.2
B.1
C.3
D.2或-1
解析 由指数函数的定义,得m2-m-1=1,解得m=2或-1,故选D.
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2.已知a=40.1,b=0.40.5,c=0.40.8,则a,b,c的大小关系正确的是( C )
a 的值为
2
;
5.已知函数f(x)=ax(a>0且a≠1)在[1,2]上的最大值为M,最小值为N.
(1)若M+N=6,求实数a的值;
(2)若M=2N,求实数a的值.
解 ①当a>1时,f(x)在[1,2]上单调递增,则f(x)的最大值为M=f(2)=a2,最小值
N=f(1)=a;
②当0<a<1时,f(x)在[1,2]上单调递减,
则f(x)的最大值为M=f(1)=a,最小值N=f(2)=a2.
(1)∵M+N=6,∴a2+a=6,解得a=2,或a=-3(舍去).
(2)∵M=2N,∴当a>1时,a2=2a,解得a=2,或a=0(舍去);
当 0<a<1 时,2a =a,解得
2
1
a= ,或
2
a=0(舍去).综上所述,a=2 或
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3
3
≥ 3-0,
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11.(多选题)[2024甘肃靖远第一中学高一校考期末]已知函数f(x)=e-x-ex5x+2,若f(a2)+f(a-2)>4,则整数a的值可以为( BC )
A.-2
B.Байду номын сангаас1
C.0
D.1
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+ = -2,
(2)由f(x)为减函数可知a的取值范围为(0,1),
因为f(0)=1+b<0,即b<-1,
所以b的取值范围为(-∞,-1).
(3)由题图①可知y=|f(x)|的图象如图所示.
由图可知使|f(x)|=m有且仅有一个实数解的m的取值范围为{m|m=0或
m≥3}.
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C级
学科素养创新练
14.(多选题)已知函数f(x)是定义在[-4,0)∪(0,4]上的奇函数,当x∈(0,4]时,f(x)
的图象如图所示,那么满足不等式f(x)≥3x-1的x的可能取值是( AC )
A.-3
B.-1
C.1
D.3
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解析 因为函数f(x)是定义在[-4,0)∪(0,4]上的奇函数,由题意,画出函数f(x)
C.
1
5
2
3
<
1
2
2
3
B.1.70.2<0.92.1
D.0.80.5<0.90.4
解析 由指数函数的单调性可知1.52.5<1.53.2,则A错误;
由指数函数的单调性可知1.70.2>1.70=1,0.92.1<0.90=1,
即1.70.2>0.92.1,则B错误;
1
由幂函数的单调性可知( )
5
2
3
三
象限.
解析 0<a<1,指数函数y=ax单调递减,-1<b<0,将函数y=ax的图象向下平移
|b|个单位长度,得到y=ax+b的图象,可知图象不过第三象限.
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4.设函数 f(x)=
1 10-ax
,其中
2
a 为常数,且
若f(x)≥4,则x的取值范围为
1
a= .
2
B级
关键能力提升练
6.函数y=ax-a(a>0,a≠1)的图象可能是( C )
解析 当a>1时,y=ax是增函数,-a<-1,则函数y=ax-a的图象与y轴的交点在x轴
的下方,故选项A不正确;y=ax-a的图象与x轴的交点是(1,0),故选项B,D不正
确;当0<a<1时,y=ax是减函数,y=ax-a的图象与x轴的交点是(1,0),