广东五校高三第二次联考文科试卷.10

广东五校高三第二联考试卷文科数学.10.10
满分：150分，考试用时120分钟。

第一部分 选择题（共50分）
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个
选项中，有且只有一项是符合题目要求的。

1．函数11()322
x
y g ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦
的的定义域是（ ） A ．(],5-∞- B ．)(
,5
-∞- C ．[5,)-+∞
D ． +∞（-5，）
2．已知集合{
}
2,0x
M y y x ==>，{
}
2
2N y y x x ==-，则M N 等于
（ ）
A ．∅
B ．{}1
C ．{}
1y y > D ．{}
1y y ≥
3．满足“对任意实数y x ,，)()()(y f x f y x f ⋅=⋅都成立”的函数可以是 ( )
A ．x x f 3)(=；
B ． x x f 3log )(=；
C ．3
)(x x f =； D ．x
x f 3
)(=
4．函数2sin(4)6
y x π=+的图象的两条相邻对称轴间的距离为（ ）
A ．8π
B ．4π
C ．2
π
D ．π
5．在△ABC 中，A=60°，AB=2，且△ABC 的面积,2
3
=∆ABC S 则边BC 的长为 （ ）
A ．3
B ．3
C ．7
D ．7
6．在等比数列{}n a 中，已知13118a a a =，那么a 2a 8 =（ ）
A ．16
B ．12
C ．6
D ．4
7．函数()y f x =的图象过原点且它的导函数'
()y f x =的图象是y
()
y f x '=
如图所示的一条直线, 则()y f x =的图象的顶点在( ) A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 8．已知,21
tan =
α则α2cos 的值为（ ） A ．51- B ．53- C ． 5
4
D ．
5
3
9．符号][x 表示不超过x 的最大整数，如3][=π，2]08.1[-=-，定义函数
][}{x x x -=．给出下列四个命题：①函数}{x 的定义域是R ，值域为]1,0[；②方程
2
1
}{=
x 有无数个解;③函数}{x 是周期函数； ④函数}{x 是增函数．其中正确命题的序号有（ ） A ． ①④ B ．②③ C ．③④ D ．②④
10．已知向量OB ＝(2，0)，OC ＝(2，2)，CA ＝(cos α，sin α)( α∈R)，则OA 与
OB 夹角的取值范围是( )
A ．]4
,
0[π
B ．]125,
4[
π
π C ．]125,
12[
π
π D ．]2
,125[
ππ 第二部分 非选择题（共100分）
二、填空题：（本大题共5小题，分必做题和选做题，每小题5分，共20
分，11、12、13题为必做题， 14，15为选做题。

）
11．已知曲线43x y =的一条切线的斜率为4
1
，则切点的横坐标为 。

12．下列四种说法：
①命题“∃x ∈R ，使得x 2＋1＞3x ”的否定是“∀x ∈R ，都有x 2＋1≤3x ”； ②设p 、q 是简单命题，若“p q ∨”为假命题，则“p q ⌝∧⌝” 为真命题； ③把函数()sin 2y x =-()R x ∈的图像上所有的点向右平移
8
π
个单位即可得到函数sin 24y x π⎛
⎫=-+ ⎪⎝
⎭()R x ∈的图像．
其中所有正确说法的序号是 ．
13．数列{}n a 是等差数列，a 1 =()1+x f ，a 2 =0,a 3 =()1-x f ,其中()242
+-=x x x f ，
则通项公式=n a
选做题：（14，15两题只能选答一题，两题都答者按第14题评分）
14．（几何证明选讲选做题）如图，圆 O 的割线 PBA 过圆心 O ，弦 CD 交 P A 于点F ，且△COF ∽△PDF ，PB = OA = 2，则PF = 。

15．（坐标系与参数方程选做题）直线
⎩⎨⎧+=+=0
20
cos 120
sin 2t y t x （t 为参数）的倾斜角大小为 。

三、解答题：本大题共6题,满分80分.
16.（本小题满分14分）已知向量).0,1(),cos ,cos (),sin ,(cos -=-==c x x b x x a
（1）若c a x
,,6求向量π
=
的夹角； （2）当]8
9,2
[π
π∈x 时，求函数12)(+⋅=b a x f
的最大值。

17（本小题满分12分）.已知命题p ：方程022
2
=-+ax x a 在[]1,1-上有且仅有一
解；命题q ：只有一个实数x 满足不等式2
220,x ax a ++≤若命题""p q 或是假命题，求a 的取值范围.
18.（本小题满分14分）如图, 在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AC ＝3，BC ＝4，AA 1＝4，点D 是AB 的中点， （I ）求证：AC ⊥BC 1； （II ）求证：AC 1//平面CDB 1；
A
C
O
F B
D P
19.（本小题满分12分）设1F 、2F 分别是椭圆14
22
=+y x 的左、右焦点. （Ⅰ）若P 是该椭圆上的一个动点，求1PF →
·2PF →
的最大 值和最小值;
（Ⅱ）设过定点)2,0(M 的直线l 与椭圆交于不同的两 点A 、B ，求直线l 的斜率k 的取值范围.
20．（本小题满分14分）.已知()()R c b a c bx x ax x f ∈++-=,,2
3
在()0,∞-上是增函
数，在[0，3]上是减函数，且方程()0=x f 有三个实根.
(Ⅰ)求b 的值；
(Ⅱ) 求实数a 的取值范围。

21．（本小题满分14分）.通过研究学生的学习行为，专家发现，学生的注意力随着老师讲课时间的变化而变化，讲课开始时，学生的兴趣激增；中间有一段时间，学生的兴趣保持较理想的状态，随后学生的注意力开始分散，设 f (t )表示学生注意力随时间t （分钟）的变化规律（f (t )越大，表明学生注意力越集中），经过实验分析得知：
⎪⎩
⎪⎨⎧≤<+-≤<≤<++-=)4020(3807)2010(240)100(10024)(2t t t t t t t f
(1)讲课开始后多少分钟，学生的注意力最集中？能持续多少分钟？
(2)讲课开始后5分钟与讲课开始后25分钟比较，何时学生的注意力更集中？
(3)一道数学难题，需要讲解24分钟，并且要求学生的注意力至少达到180，那么经过适
当安排，老师能否在学生达到所需的状态下讲授完这道题目？
文科数学试卷参考答案
一、选择题：
1．B 2．A 3．C 4．B 5．A 6．D 7．A 8．D 9．B 10．C 二、填空题（本大题共5小题满分20分） 11．3
3
±
12．①②③ 13．=n a 2n-4或=n a 4-2n 14．3 15. 700 16. 解：（1）当6π
=
x 时，
22220)1(sin cos cos ||||,cos +-⨯+-=
⋅⋅>=<x x x
c a c a c a
………………2分 .6
5cos
6
cos
cos π
π
=-=-=x ………………3分 ,,0π>≤≤<c a
.65,π>=∴<c a ……………………5分
（2）1)cos sin cos (212)(2
++-=+⋅=x x x b a x f …………7分 )1cos 2(cos sin 22--=x x x
)4
2sin(22cos 2sin π
-
=-=x x x ……………………9分
],89,2[ππ∈x
]2,4
3[42ππ
π∈-∴x ……………………10分
故],2
2
.
1[)4
2sin(-∈-π
x ∴当.1)(,2
,434
2max ===
-x f x x 时即π
ππ
……………………12分
17.解：由022
2
=-+ax x a ，得0)1)(2(=-+ax ax ……………………1分， 显然,0≠a ……………………2分
所以a
x a x 1
2=-
=或,……………………3分 因为方程
0222=-+ax x a 在
[]
1,1-上有且仅有一解，故
21111211a a a a
⎧⎧≤≤⎪⎪⎪⎪
⎨⎨
⎪⎪>>⎪⎪⎩⎩或……………………5分， 所以2112a a -<≤-≤<或……………………7分 只
有
一
个
实
数
x
满足不等式
2220,
x ax a ++≤所以
2480,02a a a a ∆=-===解得或……………………9分
因为命题""p q 或是假命题，所以命题p 和命题q 都是假命题……………………10分. 所以a 的取值范围为{}20012a a a a a ≤-<<<<>或-1或或……………………12分 18.解法一
（I ）直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中,CC 1⊥平面A BC ……1分 底面三边长AC =3，BC =4,AB =5，∴ AC ⊥BC ，……2分 且BC 1在平面ABC 内的射影为BC ，………….4分 ∴ AC ⊥BC 1；……………….6分
（II ）设CB 1与C 1B 的交点为E ，连结DE ，…………8分 ∵ D 是AB 的中点，E 是BC 1的中点，…………..10分 ∴ DE//AC 1，…………..11分
∵ DE ⊂平面C D B 1，AC 1⊄平面C D B 1，………………………..13分 ∴ AC 1//平面C D B 1；………………………….14分
解法二：∵直三棱柱ABC －A 1B 1C 1底面三边长AC ＝3，BC ＝4，AB ＝5， ∴AC 、BC 、C 1C 两两垂直，……………2分
以C 为坐标原点，直线CA 、CB 、C 1C 分别为x 轴、y 轴、z 轴， 建立空间直角坐标系，……………3分
则C （0,0，0），A （3,0，0），C 1（0,0，4），B （0,4，0）， B 1（0,4，4），D （
2
3
，2,0）……… （1）∵AC ＝（－3,0，0），………4分
1BC ＝（0，－4,0），………5分
∴AC •1BC ＝0，……………6分 ∴AC ⊥BC 1……………7分
（2）设CB 1与C 1B 的交点为E ，则E （0,2，2）……………8分 ∵DE ＝（－
2
3
，0,2），……………9分 1AC ＝（－3,0，4），……………10分
∴12
1
AC DE =
，…………………11分 ∴DE ∥AC 1. …………………12分
DE ⊂平面C D B 1，AC 1⊄平面C D B 1，………………………..13分 ∴ AC 1//平面C D B 1；…………………………14分. 19.解：（Ⅰ）解法一：易知2,1,3a b c ===所以())
12
3,0,3,0F F - (1)
分，设(),P x y ， 则
())
22123,,
3,3PF PF x y x y x y ⋅=---=+-()22
21
133844
x x x =+--=-…
………3分
因为[]2,2x ∈-，故当0x =，即点P 为椭圆短轴端点时，12PF PF ⋅有最小值
2-…………5分
当2x =±，即点P 为椭圆长轴端点时，12PF PF ⋅有最大值1…………7分 解法二：易知2,1,3a b c ===
，所以())
12
3,0,3,0F F -…………1分，设
(),P x y ，则
2
2
2
1212
1212121212
cos 2PF PF F F PF PF PF PF F PF PF PF PF PF +-⋅=⋅⋅∠=⋅⋅
⋅
((222
2221331232x y x y x y ⎡⎤=++++-=+-⎢
⎥⎣⎦…………3分（以下同解法一）
（Ⅱ）显然直线0x =不满足题设条件…………8分， 可设直线()()1222:2,,,,l y kx A x y B x y =+，
联立22
2
1
4
y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消2去y ，整理得：22
14304k x kx ⎛⎫+++= ⎪⎝⎭…………9分
由343)4
1
(4)4(222-=⨯+-=∆k k k >0 得：2
3
23-
<>
k k 或…………12分 20.解: (Ⅰ)∵()b x ax x f +-='232…………1分.
()x f 在()0,∞-上是增函数，在[0，3]上是减函数.
∴ 当x=0时()x f 取得极小值.∴()00='f . ∴b=0…………5分. ∵方程()0=x f 有三个实根, ∴a ≠0…………6分.
∴()b x ax x f +-='232
=0的两根分别为.32
,021a
x x =
=…………8分 又()x f 在()0,∞-上是增函数，在[0，3]上是减函数.
∴()0>'x f 在()0,∞-∈x 时恒成立,()0≤'x f 在[]3,0∈x 时恒成立…………10分.
由二次函数的性质可知332
0≥>a
a 且…………13分. ∴9
20≤<a . 故实数a 的取值范围为2
(0,]9.…………14分
21.解：（1）当时100≤<t ，244)12(10024)(2
2
+--=++-=t t t t f 是增函数…1分，
且240)10(=f …………2分；
时当4020≤<t ，3807)(+-t t f 是减函数…………3分，
且240)20(=f …………4分.
所以，讲课开始10分钟，学生的注意力最集中，能持续10分钟…………5分. （2）205)25(,195)5(==f f …………7分，
故讲课开始25分钟时，学生的注意力比讲课开始后5分钟更集中…………9分. （3）当100≤<t 时，4,18010024)(2
==++-=t t t t f 则…………11分； 当4020≤<t ，令2
()7380180,28.57f t t t =-+=≈则…………12分，
则学生注意力在180以上所持续的时间28.57－4=24.57＞24…………13分，
所以，经过适当安排，老师可以在学生达到所需要的状态下讲授完这道题…………14分.。