4(1)不定积分的基本知识

G( x) f ( x), 要证F( x) G( x) 常数
又 F( x) f ( x),因为
G( x) F( x) G( x) F( x) f ( x) f ( x) 0
导数恒为零的函数必为常数
某个常数
故 F(x) G(x) C0 G(x) F(x) C0
只要找到f (x)的一个原函数,就知道 它的全部原函数.
要判断一个不定积分公式是否正
确,只要将右端的函数求导,看是否等于
被积函数.
19
不定积分的基本知识
(1) kdx kx C (k是常数)
基 (2)
xdx x1 C ( 1) 1
本 (3) dx ln | x | C
积 分
x
说明：x
0,
dx x
ln x C
公 式
x 0, [ln( x)] 1 ( x) 1
由于原函数可导, 所以原函数必定连续,
因此在x = 0处必连续,于是有
1 C2 1 C1 C2 2 C1
故
e|x|
dx
例 已知一曲线 y = f (x)在点( x, f (x))处的切线 斜率为 sec2 x sin x, 且此曲线与y轴的交点为 (0,5), 求此曲线的方程. 解 dy sec2 x sin x
dx
y (sec2 x sin x)dx
tan x cos x C y(0) 5 C 6 所求曲线方程为 y tan x cos x 6
x 2 (1
x2
dx. )
解
1 2x2
x 2 (1
x2
dx )
1x
x2 (1
2xx2 )2dx
分项积分法
1
1
x2dx 1 x2dx
1 x
arctan
x
C
上两例是将被积函数作恒等变形,
利用线性性质计算积分, 称为分项积分法.
27
不定积分的基本知识
例 求积分
3x4 2x2 x2 1 dx.
4. 以后不定积分的适用区间常指被积函
数的连续区间.
11
不定积分的基本知识
例 求 x5dx.
解
x 6
F(x) x5
6
x5dx x6 C 6
例
求
1
1 x
2
dx.
F
(
x)
解
arctan
x
1 1 x2
1
1 x2
dx
arctan
x
C
12
不定积分的基本知识
(2)不定积分的几何意义
y F(x) 的图形是x, y 平面的一条曲线, 称为 f ( x)的积分曲线. y F( x) C的图形
d
1 2
gt
2
1 gt2 C 2
17
不定积分的基本知识
(2) [ f ( x) g( x)]dx f (x)dx g(x)dx
证 f (x)dx g(x)dx
f (x)dx g(x)dx f ( x) g( x)
等式成立.
（此性质可推广到有限多个函数之和的情况）
一般, 若F( x)为f ( x)的一个原函数, 则
F ( x) C亦为f ( x)的原函数 (C为任意常数).
因 [F( x) C] F( x) f ( x).
一个函数如果有原函数, 就有无穷多个
结
定理 如果F( x)是f ( x)在.区间I上的一个 原函数,则 f (x)在区间I上的任一原函数都
如,
sin x
x
dx
有原函数,但不是初等函数.
f
(x)
0, 1,
x0 x 1
在x=0不连续,没 有原函数.
24
不定积分的基本知识
利用不定积分的性质和基本积分公式, 可求
出一些简单函数的不定积分,称为 直接积分法.
例 求下列不定积分.
1
1. x 3 x dx
3. 2x exdx
2.
2
1 1 x2
一个原函数.
例 (sin x) cos x 或由dsin x cos xdx 知 F( x) sin x 是f ( x) cos x 在(,)上的一个 原函数CF( x) CC sin x C也是 f ( x) cos x 的. 原函数,其中C 为任意常数.
4
不定积分的基本知识
问: 对于f (x), 是否存在F(x),使得F(x) ? f (x) 原函数存在问题 若f (x)在区间I上连续, 则在该区间上存在 可导函数 F(x),使得F(x) f (x), x I. 即,连续函数一定有原函数. 以后谈到函数的原函数时,总是 对其连续区间而言.
熟 记
22
不定积分的基本知识
注意: 1. 不定积分的答案形式可以不同, 只要导数等于被积函数就行.
如,
dx
1 x2
ln
tan
1 2
arc
cot
x
C
dx
1 x2
1 ln 2
x 1 x 1
C
23
不定积分的基本知识
2.
1 x
dx
ln
x
C
3. 绝大部分求不定积分是探索性的,
有些或者没有原函数,或者写不出原函数.
5
不定积分的基本知识
如, ln x是 1 在0, 内的原函数;
x
ln x是 1 在,0内的原函数;
x ln x 是 1 在其连续区间内的原函数.
x
问: 如果f (x)有原函数F(x),则F(x)是否唯一?
否! F(x) C也是f (x)的原函数. 问: 是否有其他类型的原函数?
否!
6
不定积分的基本知识
indefinite integral
原函数与不定积分的概念 不定积分的性质 基本积分公式 小结 思考题
第四章 不定积分
2
不定积分的基本知识
一、原函数与不定积分的概念
几何问题
例1 设曲线方程上任一点的切线斜率都 等于切点处横坐标的两倍,求曲线的方程.
解 设曲线方程为 y f (x), y 2x,
x
x
dx x
ln(
x)
C
dx x
ln
|
x
|
C
简写为
dx x
ln
x
C
20
不定积分的基本知识
(4)
1
1 x
2
dx
arctan
x
C
(5)
1 dx arcsin x C
1 x2
(6) cos xdx sin x C
(7) sin xdx cos x C
(8)
dx cos2
x
sec2
是将曲线 y F(x) 向平行于y 轴的方向任意 上下移动,得出的无穷多条曲线,称为 f (x)的
积分曲线 族.
y C
O
x
13
不定积分的基本知识
由于不论常数C 取何值, 有积分曲线族
[F( x) C] f ( x)
y
同一x处其导数等于f(x),即 各切线相互平行.
O
y F(x) C
y F(x)
x
x
14
不定积分的基本知识
(3) 积分常在数求的原确函定数的实际问题中,有时要从
例 全求部通原过函点数(2中,6确)且,定其出切所线需斜要率的为具2有x曲某线特. 性的一个原函数,这时应根据这个特性确
解定y常 数2xC的的曲值线,从族而为找出需要的原y函 数x2 . 2
6y 2xdx 2x2 C
34
不定积分的基本知识
思考题 求 e|x| dx
解应先将绝对值符号化掉,即将| x |化作分段函数:
e|x|
ex,
e
x
,
x0 x0
由于这个分段函数在 (,)上连续,所以
原函数存在.
35
不定积分的基本知识
e|x| dx
ex ex
C1 , C2
,
x0 x0
其中C1 , C 2为任意常数.
满足此条件的函数有无穷多个,如 y
y x2 , y x2 1, y x2 1,
C
等都是 一般,所求曲线方程为
y .x2 C, C为任意常数
O
x
. 3
不定积分的基本知识
1. 原函数
定义1 如果在区间I上, F( x) f ( x) 或
dF ( x) f ( x)dx , 则称F( x)为f ( x)在I上的
30
不定积分的基本知识
例设
ex f (x)
x0,
1 x x 0
求 F(x) f (x 1)dx.
31
不定积分的基本知识
1 cos x dx 1 cos 2x
1 cos x
2 s in2
dx x
11
2 (sin2 x cot x csc x)dx
1 ( cot x csc x) C 2
第四章 不定积分
已会求已知函数的导数和微分的运算. 常要
解决相反的问题, 就是已知函数的导数或微分, 求原来那个函数的问题. 例如
1. 已知某曲线的切线斜率为2x, 求此曲线的方程. 2. 某质点作直线运动,已知运动速度函数
v at v0 , 求路程函数.
本章研究微分运算的逆运算
不定积分.
1
第一节 不定积分的基本知识
9
不定积分的基本知识
总和
2. 不定积分
(summa)
(1) 定义
定义2设F( x)是f ( x)的任一原函数, 则f ( x)的
全部原函数的一般表达式 F(x) C
称为函数f (x)的不定积分.记为 f ( x)dx
f ( x)dx F ( x) C
积被被积
积
分积积分
分
号函表变
常
数达量
数
论 可表为F(x) C 的形式,其中C为某一常数.
定理表明: 形如F(x) C 的一整族函数
是f(x)的全部原函数.
7
不定积分的基本知识
定理 如果F( x)是f ( x)在区间I上的一个原函数, 则f(x)在区间I上的任一原函数都可表为
F( x) C 的形式,其中C为某一常数.
证 设G( x)为f ( x) 的另一个原函数,则
28
不定积分的基本知识
例
1
sin2
x cos2
dx x
解
1
sin2
x
cos2
dx x
sin2 x cos sin2 x cos2
2x x
dx
1 cos2
dx x
1 sin2
x
dx
tan x cot x C
以上几例中的被积函数都需要进 行恒等变形,才能使用基本积分表.
29
不定积分的基本知识
式
10
不定积分的基本知识
f ( x)dx dF( x) C
1. 被积函数是原函数的导数,被积表达式是 原函数的微分.
2. 不定积分表示那些导数等于被积函数的所 有函数或. 说其微分等于被积表达式的所
有函数因. 此绝不能漏写积分常数C.
3. 求已知函数的原函数或不定积分的运
算称 为积分运算, 它是微分运算的逆运算.
32
不定积分的基本知识
1 x2
1 x2dx
2
1
x
2 x2
1dx
tan2 xdx (sec2 x 1)dx
sin2
x 2
dx
1
cos 2
xdx
33
不定积分的基本知识
四、小结
原函数的概念 F( x) f ( x)
不定积分的概念 f ( x)dx F( x) C
不定积分的几何意义 不定积分的性质 求微分与求积分的互逆关系 熟记基本积分公式
2 x
3sin
x
dx
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不定积分的基本知识
例
求积分
1 x x2
x(1
x2
dx. )
解
1 x x2
x(1
x
2
dx )
x (1 x2 ) x(1 x2 ) dx
1
1 x2
1 x
dx
1 1 x2
dx
1dx x
arctanx ln x C
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不定积分的基本知识
例
求积分
1 2x2
(3) kf ( x)dx k f ( x)dx（k 是常数，k 0)
(2)，(3)称为线性性质. 思考: k = 0,等式是否成立?
18
不定积分的基本知识
三、基本积分公式
实例
x 1
1xxdxFra bibliotek x 1 C1
( 1)
启示 能否根据求导公式得出积分公式
结论 积分运算和微分运算是互逆的， 求导公式 积分公式.
路程函数为
s
1 2
at 2
v0t.
16
不定积分的基本知识
二、不定积分的性质
由不定积分的定义
(1)
f
(
x)dx
x
f (x) 或
d[
f ( x)dx ]
f (x)dx
F( x)dx F( x) C 或 dF ( x) F( x) C
结论 微分运算与求不定积分的运算是 互逆的.
如
d sin x sin x C,
8
不定积分的基本知识
注意: 若将”区间I” 改为在f (x)的定义域上,
则定理的结论未必成立.
如 f (x) x, x,1 U0,
F(x)
x2 ,
x , 1 U0,
2
G(x)
x2 2 x2 2
, x , 1 1, x 0,
则F(x) G(x) f (x), 但F(x) G(x) C.
有 6 22 C C 2
y
y x2
故所求曲线方程为
y x2 2
O
x
15
不定积分的基本知识
例 已知物体运动速度 v at v0 ,求路程函数.
解
v
ds dt
at v0 ,
所以
0s
(at v0 )dt
1 at02 2
v00t
C
其中C为任意常数. 若t 0时,s 0,则C 0,
xdx
tan
x
C
(9)
dx sin2
x
csc2 xdx cot x C
21
不定积分的基本知识
(10) secx tan xdx sec x C (11) csc x cot xdx csc x C (12) e xdx e x C
(13) a xdx a x C
ln a