2019高三一轮总复习文科数学课时跟踪检测：6-3二元一次不等式(组)及其简单的线性规划问题

[课 时 跟 踪 检 测]
[基 础 达 标]
1．(2017届沈阳四校联考)下列各点中，与点(1,2)位于直线x ＋y －1＝0的同一侧的是( )
A ．(0,0)
B ．(－1,1)
C ．(－1,3)
D ．(2，－3)
解析：点(1,2)使x ＋y －1>0，点(－1,3)使x ＋y －1>0，所以此两点位于x ＋y －1＝0的同一侧，故选C.
答案：C
2．(2017届浙江宁波调研)二元一次不等式组 ⎩⎨⎧
(x －y ＋3)(x ＋y )≥0，0≤x ≤4表示的平面区域是( ) A ．矩形 B ．三角形 C ．直角梯形
D ．等腰梯形
解析：由(x －y ＋3)(x ＋y )≥0，得⎩⎪⎨⎪⎧
x －y ＋3≥0，
x ＋y ≥0
或
⎩⎪⎨⎪⎧
x －y ＋3≤0，
x ＋y ≤0，且0≤x ≤4，表示的区域如图阴影部分所示，故所求平面区域为等腰梯形，故选D.
答案：D
3．(2018届辽宁五校协作体模拟)若实数x ，y 满足条件⎩⎨⎧
y ≥2|x |－1，y ≤x ＋1，则z
＝x ＋y 的最大值为( )
A ．－1
B ．－12
C ．5
D ．－5
解析：不等式组⎩⎪⎨⎪⎧
y ≥2|x |－1，
y ≤x ＋1表示的平面区域如图中阴影部分所示．画出
直线x ＋y ＝0，平移该直线，当直线过点A (2,3)时，z 取得最大值，z 的最大值为5.故选C.
答案：C
4．(2017年北京卷)若x ，y 满足⎩⎨⎧
x ≤3，
x ＋y ≥2，
y ≤x ，
则x ＋2y 的最大值为( )
A ．1
B ．3
C ．5
D ．9
解析：作出约束条件所表示的平面区域如图中阴影部分所示(三角形ABC 及其内部)，三个顶点分别为A (1,1)，B (3，－1)，C (3,3)，平移直线x ＋2y ＝0，易知当直线过点C (3,3)时，x ＋2y 取得最大值，即(x ＋2y )max ＝3＋2×3＝9.
答案：D
5．(2017年浙江卷)若x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧
x ≥0，
x ＋y －3≥0，
x －2y ≤0，
则z ＝x ＋2y 的取
值范围是( )
A ．[0,6]
B ．[0,4]
C ．[6，＋∞)
D ．[4，＋∞)
解析：作出不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示，由z ＝x ＋2y ，得y ＝－12x ＋z 2，∴z 2是直线y ＝－12x ＋z
2在y 轴上的截距，根据图形知，当直线y ＝－12x ＋z 2过A 点时，z
2取得最小值．由⎩⎪⎨⎪⎧
x －2y ＝0，x ＋y －3＝0，得x ＝2，y ＝1，即A (2,1)，
此时，z ＝4，∴z ≥4，故选D.
答案：D
6．设不等式组⎩⎨⎧
x ＋y －11≥0，
3x －y ＋3≥0，
5x －3y ＋9≤0
表示的平面区域为D ，若指数函数y ＝a x
的图象上存在区域D 上的点，则a 的取值范围是( )
A ．(1,3]
B ．[2,3]
C ．(1,2]
D ．[3，＋∞)
解析：作出不等式组表示的平面区域D ，如图中阴影部分所示．
由⎩⎪⎨⎪⎧
x ＋y －11＝0，3x －y ＋3＝0，
得交点A (2,9)．
对y ＝a x 的图象，当0<a <1时，没有点在区域D 上．
当a >1，y ＝a x 恰好经过A 点时，由a 2＝9，得a ＝3.要满足题意，需满足a 2≤9，解得1<a ≤3.
答案：A
7．(2017届山东济宁三模)设x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧
y －x ≤3，x ＋y ≤5，
y ≥m ，
若z ＝x ＋4y
的最大值与最小值的差为5，则m 等于( )
A ．3
B ．2
C ．－2
D ．－3
解析：画出不等式组表示的区域如图中阴影部分，当动直线z ＝x ＋4y 经过点A ，B 时分别取最小值5m －3和最大值17，所以17－(5m －3)＝20－5m ＝5，解得m ＝3，故选A.
答案：A
8．某旅行社租用A ，B 两种型号的客车安排900名客人旅行，A ，B 两种车辆的载客量分别为36人和60人，租金分别为1 600元/辆和2 400元/辆，旅行社要求租车总数不超过21辆，且B 型车不多于A 型车7辆，则租金最少为( )
A ．31 200元
B ．36 000元
C ．36 800元
D ．38 400元
解析：设旅行社租用A 型客车x 辆，B 型客车y 辆，租金为z 元，则线性约
束条件为⎩⎪⎨⎪⎧
x ＋y ≤21，
y －x ≤7，
36x ＋60y ≥900，
x ，y ∈N .
目标函数为z ＝1 600x ＋2 400y .画出可行域如图中阴影部分所示，可知目标函数过点N (5,12)时，有最小值z min ＝36 800(元)．
答案：C
9．(2017届山东滨州二模)设变量x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧
x －y ＋1≥0，x ＋y －1≥0，
3x －y －3≤0，
则z
＝
⎝ ⎛⎭
⎪⎫122x －y 的最小值为______． 解析：作出变量x ，y 满足的约束条件⎩⎪⎨⎪
⎧
x －y ＋1≥0，x ＋y －1≥0，
3x －y －3≤0所对应的可行域如
图中阴影部分，
设t ＝2x －y ，可先求出t ＝2x －y 的最大值，因为直线t ＝2x －y 经过点C (1,0)时t ＝2x －y 有最大值2，从而z ＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫122x －y
的最小值为14.
答案：1
4
10．(2017届沧州七校联考)不等式组⎩⎨⎧
x －2≤0，
y ＋2≥0，
x －y ＋1≥0
表示的区域为D ，z ＝x
＋y 是定义在D 上的目标函数，则区域D 的面积为________，z 的最大值为
________．
解析：区域D 为三个顶点分别为(－3，－2)，(2，－2)，(2,3)的三角形，所以面积为25
2.
因为目标函数的最值在顶点处取得，把它们分别代入z ＝x ＋y ，得x ＝2，y ＝3时有z max ＝5.
答案：25
2 5
11．(2017届江西七校联考)过平面区域⎩⎨⎧
x －y ＋2≥0，
y ＋2≥0，
x ＋y ＋2≤0
内一点P 作圆O ：x 2＋y 2＝1的两条切线，切点分别为A ，B ，记∠APB ＝α，
当α最小时，此时点P 坐标为________．
解析：由题意知⎩⎪⎨⎪
⎧
x －y ＋2≥0，y ＋2≥0，
x ＋y ＋2≤0
确定的平面区域如图阴影部分所示，
当P 离圆O 最远时，α最小，此时点P 坐标为(－4，－2)． 答案：(－4，－2)
12．某工厂生产甲、乙两种产品，其产量分别为45个与55个，所用原料为A ，B 两种规格金属板，每张面积分别为2 m 2与3 m 2.用A 种规格金属板可造甲
种产品3个、乙种产品5个；用B 种规格金属板可造甲、乙两种产品各6个．问A ，B 两种规格金属板各取多少张才能完成计划，并使总用料面积最省？
解：设A ，B 两种金属板各取x 张，y 张，总用料面积为z ，
则约束条件为⎩⎨⎧
3x ＋6y ≥45，
5x ＋6y ≥55，
x ，y ∈N ，
目标函数z ＝2x ＋3y .
作出不等式组的可行域，如图所示．
将z ＝2x ＋3y 化成y ＝－23x ＋z 3，得到斜率为－23，在y 轴上截距为z
3，且随z 变化的一组平行直线．
当直线z ＝2x ＋3y 经过可行域上点M 时，截距最小，z 取得最小值． 解方程组⎩⎨⎧
5x ＋6y ＝55，
3x ＋6y ＝45，得点M 的坐标为(5,5)．
此时z min ＝2×5＋3×5＝25.
所以两种金属板各取5张时，总用料面积最省．
13．已知x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧
3x ＋y －6≤0，
x ＋y ≥2，
y ≤2，
求x 2＋y 2的最小值．
解：由不等式组作出可行域，如图，目标函数x 2＋y 2可视为可行域中的点与原点距离的平方，故其最小值应为原点到直线x ＋y ＝2的距离平方，由点到直线的距离公式可知，原点到直线x ＋y ＝2的距离为d ＝2
2
＝2，所以所求最小值为2.
14．(2017届荆、荆、襄、宜四地七校联考)某公司租赁甲、乙两种设备生产A ，B 两类产品，甲种设备每天能生产A 类产品5件和B 类产品10件，乙种设备每天能生产A 类产品6件和B 类产品20件．已知设备甲每天的租赁费为2 000元，设备乙每天的租赁费为3 000元，现该公司至少要生产A 类产品50件，B 类产品140件，所需租赁费最少为多少元？
解：设租赁甲、乙两种设备各x 天和y 天， 租赁费为z ＝2 000x ＋3 000y ，因为5x ＋6y ≥50,10x ＋20y ≥140，x ，y ∈N ，所以z ＝2 000x ＋3 000y ＝250(5x ＋6y )＋75(10x ＋20y )≥250×50＋75×140＝23 000元．
[能 力 提 升]
1．(2017届江西师大附中、鹰潭一中高三联考)已知实数x ，y 满足不等式组
⎩⎨⎧
x －y ＋2≥0，x ＋y －4≥0，2x －y －5≤0，
若目标函数z ＝y －ax 取得最大值时的唯一最优解是P (1,3)，
则实数a 的取值范围为( )
A ．(－∞，－1)
B ．(0,1)
C ．(1，＋∞)
D ．[1，＋∞)
解析：作出可行域如图中阴影部分．
要使得目标函数z ＝y －ax 取得最大值时的唯一最优解是P (1,3)，则只需直线l ：y ＝ax ＋z 的斜率大于直线x －y ＋2＝0的斜率即可，所以a >1.
答案：C
2．设变量x ，y
满足约束条件⎩⎨⎧
2x －y －2≤0，
x －2y ＋2≥0，
x ＋y －1≥0，
则S ＝y ＋1
x ＋1
的取值范围是
( )
A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，32
B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1
C.⎣⎢⎡⎦
⎥⎤12，2 D ．[1,2]
解析：作出可行域为含边界的三角形区域，如图所示，顶点分别是A (1,0)，B (0,1)，C (2,2)．S ＝
y ＋1x ＋1
表示可行域内的点与定点P (－1，－1)连线的斜率，则
S min ＝k P A ＝1
2，S max ＝k PB ＝2，故选C.
答案：C
3．(2018届辽宁五校协作体模拟)已知函数f (x )＝e x (－2x 2＋ax ＋b )(a ，b ∈R )在区间(－1,1)上单调递增，则a 2＋8b ＋16的最小值是( )
A ．8
B ．16
C ．4 2
D ．8 2
解析：函数f (x )＝e x (－2x 2＋ax ＋b )(a ，b ∈R )的导函数f ′(x )＝e x (－2x 2－4x
＋ax ＋a ＋b )，令g (x )＝－2x 2－4x ＋ax ＋a ＋b ，因为函数f (x )＝e x (－2x 2＋ax ＋b )(a ，b ∈R )在区间(－1,1)上单调递增，则g (x )≥0在区间(－1，1)上恒成立，所以⎩⎪⎨⎪⎧ g (1)≥0，g (－1)≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧
2a ＋b －6≥0，b ＋2≥0，作出其可行域，如图中阴影部分所示，设z ＝a 2＋8b ＋16，则b ＝－18a 2－2＋z 8，由图可知当曲线b ＝－18a 2－2＋z
8过点(4，－2)时，z 取得最小值，最小值为16.故选B.
答案：B
4．(2017届河南部分重点中学第一次联考)若不等式组⎩⎨⎧
x －y ＋2≥0，
x －5y ＋10≤0，
x ＋y －8≤0
所
表示的平面区域存在点(x 0，y 0)，使x 0＋ay 0＋2≤0成立，则实数a 的取值范围是
________．
解析：作出不等式组对应的可行域，若a ＝0，则不等式等价于x ≤－2，此时不满足条件；若a >0，直线x ＋ay ＝－2的斜率k ＝－1
a <0，若平面区域内存在点(x 0，y 0)使x 0＋ay 0＋2≤0成立，即区域内存在点在直线x ＋ay ＝－2的下方，此时不满足条件；若a <0，直线x ＋ay ＝－2的斜率k ＝－1
a >0，若平面区域内存在点(x 0，y 0)使x 0＋ay 0＋2≤0成立，即区域内存在点在直线x ＋ay ＝－2的上方，所以直线x ＋ay ＝－2的斜率k ＝－1
a ≤k AB ＝1，解得a ≤－1.
答案：(－∞，－1]。