人教版九年级下册数黄金分割同步练习

27.1.2 黄金分割
基础训练
知识点1 比例中项
1.若x是2,18的比例中项,则x=___________.
2.若线段a=6 cm,b=3 cm,且c是a,b的比例中项,则线段c的长度为( )
A.3错误!未找到引用源。

cm
B.±3错误!未找到引用源。

cm
C.±18 cm
D.18 cm
3.如果a∶b=3∶2,且b是a,c的比例中项,那么b∶c等于( )
A.4∶3
B.3∶2
C.2∶3
D.3∶4
4.如图,有三个直角三角形,其中OA=AB=BC=CD=1,则线段OA,OD的比例中项线段的长度为( )
A.错误!未找到引用源。

B.错误!未找到引用源。

C.±错误!未找到引用源。

D.错误!未找到引用源。

知识点2 黄金分割
5.如果点C是线段AB的黄金分割点(AC>BC),则下列比例式正确的是( )
A.AB∶AC=AC∶BC
B.AB∶BC=BC∶AC
C.AC∶BC=BC∶AB
D.AC∶AB=AB∶BC
6.若点C为线段AB的黄金分割点,且AC>BC,则
①AB=错误!未找到引用源。

AC;②AC=错误!未找到引用源。

AB;③AB∶AC=AC∶CB;④AC≈0.618AB.其中正确的有( )
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
7.从美学角度来说,人的上身长与下身长之比为黄金比例,可以给人一种协调的美感.某女老师上身长约61.80 cm,下身长约93.00 cm,她要穿约___________cm的高跟鞋才能达到黄金比的美感效果(精确到1 cm).
提升训练
考查角度1 利用比例性质求解比例中项问题
8.已知线段a,b,c满足错误!未找到引用源。

=错误!未找到引用源。

=错误!未找到引用源。

,且a+2b+c=26.
(1)求a,b,c的值;
(2)若线段x是线段a,b的比例中项,求x.
考查角度2 利用黄金分割的定义找黄金分割点(计算法、定义法)
9.以长为2的线段AB为边作正方形ABCD,取AB的中点P,连接PD,在BA的延长线上取点F,使PF=PD,以AF为边作正方形AMEF,点M在AD上.
(1)求MA,DM的长;
(2)求证:AM2=AD·DM.
(3)根据(2)的结论你能找出图中的一个黄金分割点吗?
考查角度3 利用黄金分割的定义证明黄金矩形(计算法、定义法)
10.宽与长的比是错误!未找到引用源。

的矩形叫黄金矩形,心理学测试表明,黄金矩形令人赏心悦目,它给我们以协调、匀称的美感,现将同学们在教学活动中折叠黄金矩形的方法归纳得出以下作图步骤(如图所示:)
第一步:任作一个正方形ABCD;
第二步:分别取AD,BC的中点M,N,连接MN;
第三步:以N为圆心,ND长为半径画弧,交BC的延长线于E;
第四步:过E作EF⊥AD,交AD的延长线于F.
请你根据以上作法,证明矩形DCEF为黄金矩形(可取AB=2).
11.如图是一张矩形纸片ABCD,E,F分别是BC,AD上的点(但不与顶点重合),如果直线EF将矩形分成面积相等的两部分:
(1)问得到的两个四边形是否相似?若相似,请求出相似比;若不相似,请说明理由.
(2)这样的直线可以作几条?
12.已知菱形A1B1C1D1的边长为2,∠A1B1C1=60°,对角线A1C1,B1D1相交于点O.以点O为坐标原点,分别以OA1,OB1所在直线为x轴、y轴,建立如图所示的直角坐标系.以B1D1为对角线作菱形B1C2D1A2∽菱形A1B1C1D1,再以A2C2为对角线作菱形A2B2C2D2∽菱形B1C2D1A2,再以B2D2为对角线作菱形B2C3D2A3∽菱形A2B2C2D2,…,按此规律继续作下去,在x轴的正半轴上得到点A1,A2,A3,…,A n,则点A n的坐标为.
参考答案
1.【答案】±6
解：∵x是2和18的比例中项,∴x=±错误!未找到引用源。

=±6.
2.【答案】A
解：∵线段c的长度为正数,∴答案在A,D中选.∵c是a,b的比例中项,∴c2=ab=18,∴c=3错误!未找到引用源。

cm.
3.【答案】B
4.【答案】D
解：易知OA=1,OD=错误!未找到引用源。

=2,
∴线段OA,OD的比例中项线段的长度为错误!未找到引用源。

=错误!未找到引用源。

=错误!未找到引用源。

.
5.【答案】A
解：根据黄金分割的定义判断.
6.【答案】B
解：由点C为线段AB的黄金分割点,且AC>BC,可得错误!未找到引用源。

=错误!未找到引用源。

=错误!未找到引用源。

,由此可以判断③④正确,所以正确的说法有2个.故选B.
解题策略:解这类问题要明确在由黄金分割点分得的两条线段中,较长线段是较短线段和原线段的比例中项.
7.【答案】7
解：设她要穿x cm的高跟鞋才能达到黄金比的美感效果.根据题意,得错误!未找到引用源。

=错误!未找到引用源。

,解得x≈7.
8.解:(1)错误!未找到引用源。

=错误!未找到引用源。

=错误!未找到引用源。

=错误!未找到引用源。

=错误!未找到引用源。

=2,
∴a=6,b=4,c=12.
(2)因为线段x是线段a,b的比例中项,所以x2=ab.
所以x=错误!未找到引用源。

=错误!未找到引用源。

=2错误!未找到引用源。

.
9.(1)解:如图,∵P为边AB的中点,
∴AP=错误!未找到引用源。

AB=1,∴DP=错误!未找到引用源。

=错误!未找到引用源。

=错误!未找到引用源。

.∴PF=PD=错误!未找到引用源。

.∴FA=PF-AP=错误!未找到引用源。

-1.∴AM=FA=错误!未找到引用
源。

-1,DM=AD-MA=3-错误!未找到引用源。

.
(2)证
明:∵AM2=(错误!未找到引用源。

-1)2=6-2错误!未找到引用源。

,AD·DM=2(3-错误!未找到引用源。

)=6-2错误!未找到引用源。

,∴AM2=AD·DM.
(3)解:图中的点M为线段AD的黄金分割点.
10.证明:在正方形ABCD中,取AB=2.
∵N为BC的中点,∴NC=错误!未找到引用源。

BC=1.
在Rt△DNC中,ND=错误!未找到引用源。

=错误!未找到引用源。

=错误!未找到引用源。

.
又∵NE=ND,∴CE=NE-NC=错误!未找到引用源。

-1,
∴错误!未找到引用源。

=错误!未找到引用源。

.故矩形DCEF为黄金矩形.
11.解:(1)设AF=a,DF=b,BE=m,EC=n,
AB=CD=h(a,b,m,n,h均大于零).
由题意知S梯形ABEF=S梯形CDFE,即错误!未找到引用源。

(a+m)·h=错误!未找到引用源。

(b+n)·h,所以a+m=b+n.
①
又AD=BC,所以a+b=m+n,即a=m+n-b.②
把②代入①,得m+n-b+m=b+n,
所以m=b,即DF=BE.
所以AF=EC.故有错误!未找到引用源。

=错误!未找到引用源。

=错误!未找到引用源。

=错误!未找到引用源。

=1.
在矩形ABCD中,∠A=∠B=∠C=∠D=90°.
因为AD∥BC,所以∠AFE=∠CEF,∠BEF=∠DFE.
所以四边形ABEF∽四边形CDFE.
∴得到的两个四边形相似,且相似比为1.
(2)这样的直线可以作无数条.
分析:(1)分别设出直线分矩形两边所成的四条线段,由分成的两部分面积相等可得各边关系.(2)过对角线交点的任一条直线都满足条件.
12.(错误!未找到引用源。

,0) 点拨:由题意,点A1的坐标为(1,0),
点A2的坐标为(3,0),即(错误!未找到引用源。

,0),
点A3的坐标为(9,0),即(错误!未找到引用源。

,0),
点A4的坐标为(27,0),即(错误!未找到引用源。

,0),
,…,
∴点A n的坐标为(错误!未找到引用源。

,0).
先制定阶段性目标—找到明确的努力方向
每个人的一生,多半都是有目标的,大的目标应该是一个十年、二十年甚至几十年为之奋斗的结果,应该定得比较远大些,这样有利于发挥自己的潜能。

但由于某些不确定因素的存在,人生目标不一定非常具体详细,只要有一个明确的方向就可以。

而对于中学生来说,你们的目标应该是进入自己理想中的学校。

因此,每个学生都会为自己制定一个学习目标,学习目标可以分为两方面内容：
一是阶段性目标,如自己要知道学习到底是为了什么?为自己、为父母,或是为其他需要感激和感恩的人?为了将来的发展,为了上大学,为了证明自己的价值?这都是很不错的理由。

只要你认为,它可以给你带来源源的动力,促使你向着自己希望的方向去发展,去努力,就可以当作自己的目标确定下来。

可以说,这是人生中的阶段性目标。

二是步骤性目标,由步骤性目标最终才能实现自己学习的总目标。

比如,这一节课必须掌握哪些知识,一天的复习要包括哪些内容,一个月的学习要达到什么效果。

小到一小时,大到一月、一学期、一年,都要有目标,只有这样,才可以不懈怠,不放松,一步一个脚印地朝着自己的最终目标前进。

当然,要进入理想的学校,你还要制定一个年度目标根据年度目标,可以具体量化学科分数指标和自己的心理成长指标。

年度目标的制定既要符合你当前的学习水平,又要适当地高于自己的实际水平,以便促进一年中自身的发展和成长同时,为了目标的清晰直观,你可以在班级中大致估算对比一下,找到和自己目标接近的同学。

比如,某位同学目前的水平应该可以考上你理想的学校,就把他作为实际中追赶的对象。

经验告诉我们,只要目标明确、方法得当,初三一年成绩在班级提升10至20名是常有的事情。

有了年度目标,还要学会将目标阶段化,这也是中考状元们为大家分享的经验,因为只有这样才能由目标逐步落实到任务。

首先,由年度目标得出中期目标。

按照前松后紧的原则,中考状元们建议大家在初三前半年落实任务的40%,比如全年要提高10名,那么期中要提高4名。

这是因为初三前半年还有些新课程要学,而且就像物理学习中所知道的那样,启动时的静摩擦力是最大的,我们需要在上半年付出一点时间和精力,调整自己的心态,使之进入良好的状态。

可以说,前半年能够完成中期目标的学生,年度目标通常都能够顺利完成,因为越到后面,我们所擅长的心理因素和压力调整就会发挥越大的作用。

接下来就是每个月的短期目标了。

制定短期目标应注意以下几个方面的问题。

第一,要对自己做一个全面的分析。

制定目标为自己的未来勾画了一个蓝图,描绘了到达最终目的地的时间和要求,但究竟如何起步,还得从自身的现状出发。

因此,要充分分析自己的目前情况。

比如,自己有哪些优势和不足,如何发挥优势、克服不足,自己的各科潜能如何,是否已经充分发挥出来了,自己各科成绩如何,偏科情况如何,如何补救;自己的学习毅力和勤奋程度如何;自己的学习方法和学习效率怎样,需做哪些改进,等等第二,可以把每个月定名,确定主题。

例如一月为“力学月”。

目标:熟练运用受力分析,掌握物理题
中与力学有关的各种联系。

任务:找出各种和力学有关的题型,把它们归纳成四五大类,十种已知,八种求解。

具体做法:归纳力学主要知识点,研究习题册和考卷中的
第三,偏科越严重的科目越要先补,分值越大的科目越要先补。

你要根据自己的学习潜能、学习成绩、学习方法、努力程度等实际情况,制订自己的行动计划,主要是明确自己将要在哪些方面采取什么样的措施。

如在外语学习方面,要加大课外时间的投入,选择较好的英语参考书,提高阅读能力,增加词汇量;在语文学习方面,增加课外阅读书报量,逐渐丰富作文素材,提高作文能力。

第四,语文和英语要细水长流,强烈建议采用每天的零散时间来背诵单词和复习文学常识,具体任务可以下达到每月但是不能影响该月的主。