天津市河西区2019-2020学年中考数学最后模拟卷含解析

天津市河西区2019-2020学年中考数学最后模拟卷
一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．下列各数是不等式组
32
123
x
x
+
⎧
⎨
--
⎩
f
p
的解是（）
A．0 B．1-C．2 D．3
2．如图，把长方形纸片ABCD折叠，使顶点A与顶点C重合在一起，EF为折痕．若AB=9，BC=3，试求以折痕EF为边长的正方形面积（）
A．11 B．10 C．9 D．16
3．某春季田径运动会上，参加男子跳高的15名运动员的成绩如下表所示：
成绩()m 1.50 1.60 1.65 1.70 1.75 1.80
人数124332
这些运动员跳高成绩的中位数是（）
A．1.65m B．1.675m C．1.70m D．1.75m
4．函数的自变量x的取值范围是（）
A．x>1 B．x<1 C．x≤1D．x≥1
5．如图，在矩形ABCD中AB＝2，BC＝1，将矩形ABCD绕顶点B旋转得到矩形A'BC'D，点A恰好落在矩形ABCD的边CD上，则AD扫过的部分（即阴影部分）面积为（）
A．
8
π
B．22
2
π
-C．2
3
π
-D．
6
π
6．不等式组
2
1
x
x
≥-
⎧
⎨
>
⎩
的解集在数轴上表示为（）
A．B．C．D．
7．如图，剪两张对边平行且宽度相同的纸条随意交叉叠放在一起，转动其中一张，重合部分构成一个四
边形，则下列结论中不一定成立的是（）
A．∠ABC＝∠ADC，∠BAD＝∠BCD B．AB＝BC
C．AB＝CD，AD＝BC D．∠DAB+∠BCD＝180°
8
．估计3﹣2
的值应该在（）
A．﹣1﹣0之间B．0﹣1之间C．1﹣2之间D．2﹣3之间
9．若关于x的一元二次方程x2－2x－k＝0没有实数根，则k的取值范围是（）
A．k＞－1 B．k≥－1 C．k＜－1 D．k≤－1
10．把直线l：y=kx+b绕着原点旋转180°，再向左平移1个单位长度后，经过点A（-2,0）和点B（0,4），则直线l的表达式是（）
A．y=2x+2 B．y=2x-2 C．y=-2x+2 D．y=-2x-2
11．如图，⊙O内切于正方形ABCD，边BC、DC上两点M、N，且MN是⊙O的切线，当△AMN的面积为4时，则⊙O的半径r是（）
A．2B．22C．2 D．43
12．如图，在△ABC中，点D是边AB上的一点，∠ADC＝∠ACB，AD＝2，BD＝6，则边AC的长为（）
A．2 B．4 C．6 D．8
二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）
13．假期里小菲和小琳结伴去超市买水果，三次购买的草莓价格和数量如下表：
价格/（元/kg）12 10 8 合计/kg
小菲购买的数量/kg 2 2 2 6
小琳购买的数量/kg 1 2 3 6
从平均价格看，谁买得比较划算？（）
A．一样划算B．小菲划算C．小琳划算D．无法比较
14．某市政府为了改善城市容貌，绿化环境，计划经过两年时间，使绿地面积增加44%，则这两年平均绿地面积的增长率为______.
15．计算：7＋(－5)＝______．
16．如图所示，过y轴正半轴上的任意一点P，作x轴的平行线，分别与反比例函数的图象交于点A和点B，若点C是x轴上任意一点，连接AC、BC，则△ABC的面积为
_________．
17．关于x的一元二次方程x2﹣2kx+k2﹣k=0的两个实数根分别是x1、x2，且x12
+x22
=4，则x
1
2﹣x1x2+x22的值是_____．
18．钓鱼岛周围海域面积约为170000平方千米，170000用科学记数法表示为______．
三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
19．（6分）如图1，菱形ABCD，AB=4，∠ADC=120o，连接对角线AC、BD交于点O，
（1）如图2，将△AOD沿DB平移，使点D与点O重合，求平移后的△A′BO与菱形ABCD重合部分的面积.
（2）如图3，将△A′BO绕点O逆时针旋转交AB于点E′，交BC于点F，
①求证：BE′+BF=2，
②求出四边形OE′BF的面积.
20．（6分）已知抛物线y=ax2+bx+2过点A（5，0）和点B（﹣3，﹣4），与y轴交于点C．
（1）求抛物线y=ax2+bx+2的函数表达式；
（2）求直线BC的函数表达式；
（3）点E是点B关于y轴的对称点，连接AE、BE，点P是折线EB﹣BC上的一个动点，
①当点P在线段BC上时，连接EP，若EP⊥BC，请直接写出线段BP与线段AE的关系；
②过点P作x轴的垂线与过点C作的y轴的垂线交于点M，当点M不与点C重合时，点M关于直线PC 的对称点为点M′，如果点M′恰好在坐标轴上，请直接写出此时点P的坐标．
21．（6分）某电器商场销售甲、乙两种品牌空调，已知每台乙种品牌空调的进价比每台甲种品牌空调的进价高20％，用7200元购进的乙种品牌空调数量比用3000元购进的甲种品牌空调数量多2台．求甲、乙两种品牌空调的进货价；该商场拟用不超过16000元购进甲、乙两种品牌空调共10台进行销售，其中甲种品牌空调的售价为2500元／台，乙种品牌空调的售价为3500元／台．请您帮该商场设计一种进货方案，使得在售完这10台空调后获利最大，并求出最大利润．
22．（8分）如图，在平行四边形ABCD中，连接AC，做△ABC的外接圆⊙O，延长EC交⊙O于点D，连接BD、AD，BC与AD交于点F分，∠ABC=∠ADB。

（1）求证：AE是⊙O的切线；
（2）若AE=12，CD=10，求⊙O的半径。

23．（8分）问题探究
（1）如图1，△ABC和△DEC均为等腰直角三角形，且∠BAC=∠CDE=90°，AB=AC=3，DE=CD=1,连
接AD、BE,求AD
BE
的值；
（2）如图2，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，BC=4，过点A作AM⊥AB，点P是射线AM上一动点，连接CP，做CQ⊥CP交线段AB于点Q，连接PQ，求PQ的最小值；
（3）李师傅准备加工一个四边形零件，如图3，这个零件的示意图为四边形ABCD，要求BC=4cm，
∠BAD=135°，∠ADC=90°，AD=CD，请你帮李师傅求出这个零件的对角线BD的最大值．
图3
24．（10分）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，BA＝BC，BD平分∠ABC．求证：四边形ABCD是菱形；过点D作DE⊥BD，交BC的延长线于点E，若BC＝5，BD＝8，求四边形ABED的周长．
25．（10分）如图，∠A=∠B，AE=BE，点D在AC边上，∠1=∠2，AE和BD相交于点O．求证：
△AEC≌△BED；若∠1=40°，求∠BDE的度数．
26．（12分）一个不透明的口袋中有四个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，4.随机摸取一个小球然后放回，再随机摸出一个小球，求下列事件的概率：两次取出的小球标号相同；两次取出的小球标号的和等于4.
27．（12分）已知，关于x的方程x2﹣mx+1
4
m2﹣1＝0，
(1)不解方程，判断此方程根的情况；
(2)若x＝2是该方程的一个根，求m的值．
参考答案
一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1．D 【解析】 【分析】
求出不等式组的解集，判断即可． 【详解】
32123x x ①
②+>⎧⎨
-<-⎩
， 由①得：x ＞-1， 由②得：x ＞2，
则不等式组的解集为x ＞2，即3是不等式组的解， 故选D ． 【点睛】
此题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 2．B 【解析】 【分析】
根据矩形和折叠性质可得△EHC ≌△FBC ，从而可得BF=HE=DE ，设BF=EH=DE=x ，则AF=CF=9﹣x ，在Rt △BCF 中，由BF 2+BC 2=CF 2可得BF=DE=AG=4，据此得出GF=1，由EF 2=EG 2+GF 2可得答案． 【详解】
如图，∵四边形ABCD 是矩形， ∴AD=BC ，∠D=∠B=90°，
根据折叠的性质，有HC=AD ，∠H=∠D ，HE=DE ， ∴HC=BC ，∠H=∠B ，
又∠HCE+∠ECF=90°，∠BCF+∠ECF=90°， ∴∠HCE=∠BCF ， 在△EHC 和△FBC 中，
∵
H B
HC BC
HCE BCF ∠=∠
⎧
⎪
=
⎨
⎪∠=∠
⎩
，
∴△EHC≌△FBC，
∴BF=HE，
∴BF=HE=DE，
设BF=EH=DE=x，
则AF=CF=9﹣x，
在Rt△BCF中，由BF2+BC2=CF2可得x2+32=（9﹣x）2，
解得：x=4，即DE=EH=BF=4，
则AG=DE=EH=BF=4，
∴GF=AB﹣AG﹣BF=9﹣4﹣4=1，
∴EF2=EG2+GF2=32+12=10，
故选B．
【点睛】
本题考查了折叠的性质、矩形的性质、三角形全等的判定与性质、勾股定理等，综合性较强，熟练掌握各相关的性质定理与判定定理是解题的关键.
3．C
【解析】
【分析】
根据中位数的定义解答即可．
【详解】
解：在这15个数中，处于中间位置的第8个数是1.1，所以中位数是1.1．
所以这些运动员跳高成绩的中位数是1.1．
故选：C．
【点睛】
本题考查了中位数的意义．中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数．
4．C
试题分析：根据二次根式的性质，被开方数大于或等于0，可以求出x的范围．试题解析：根据题意得：1-x≥0，
解得：x≤1．
故选C．
考点：函数自变量的取值范围．
5．A
【解析】
【分析】
本题首先利用A点恰好落在边CD上，可以求出A´C＝BC´＝1，又因为A´B
△A´BC为等
腰直角三角形，即可以得出∠ABA´、∠DBD´的大小，然后将阴影部分利用切割法分为两个部分来求，即面积ADA´和面积DA´D´
【详解】
先连接BD,首先求得正方形ABCD
1，由分析可以求出∠ABA´＝∠DBD´＝45°，即可
以求得扇形ABA´
的面积为
2
451
18024
＝
ππ
⨯
⨯，扇形BDD´
的面积为
2
4513
18028
ππ
⨯
⨯＝，面积
ADA´＝面积ABCD－面积A´BC－扇形面积ABA´
11
11
2424
ππ
⨯⨯－－；面积DA´D´＝扇
形面积BDD´－面积DBA´－面积BA´D´
＝
)
31131
111
82282
ππ
⨯⨯
－－＝－，阴影部分面
积＝面积DA´D´+面积ADA´＝
8
π
【点睛】
熟练掌握面积的切割法和一些基本图形的面积的求法是本题解题的关键.
6．A
【解析】
【分析】
根据不等式组的解集在数轴上表示的方法即可解答.
【详解】
∵x≥﹣2，故以﹣2为实心端点向右画，x＜1，故以1为空心端点向左画．
故选A．
【点睛】
本题考查了不等式组解集的在数轴上的表示方法，不等式的解集在数轴上表示方法为：＞、≥向右画，＜、≤向左画，“≤”、“≥”要用实心圆点表示；“<”、“>”要用空心圆点表示.
7．D
【分析】
首先可判断重叠部分为平行四边形，且两条纸条宽度相同；再由平行四边形的等积转换可得邻边相等，则四边形ABCD 为菱形．所以根据菱形的性质进行判断． 【详解】 解:
Q 四边形ABCD 是用两张等宽的纸条交叉重叠地放在一起而组成的图形，
//AB CD ∴，//AD BC ，
∴四边形ABCD 是平行四边形（对边相互平行的四边形是平行四边形）；
过点D 分别作BC ，CD 边上的高为AE ，AF ．则 AE AF =（两纸条相同，纸条宽度相同）
； Q 平行四边形ABCD 中，ABC ACD S S ∆∆=，即⨯=⨯BC AE CD AF ，
BC CD ∴=，即AB BC =．故B 正确；
∴平行四边形ABCD 为菱形（邻边相等的平行四边形是菱形）．
ABC ADC ∠=∠∴，BAD BCD ∠=∠（菱形的对角相等），故A 正确； AB CD =，AD BC =（平行四边形的对边相等）
，故C 正确； 如果四边形ABCD 是矩形时，该等式成立．故D 不一定正确． 故选：D ． 【点睛】
本题考查了菱形的判定与性质．注意：“邻边相等的平行四边形是菱形”，而非“邻边相等的四边形是菱形”． 8．A 【解析】 【分析】
3 【详解】
解：∵13＜2， ∴1-232＜2-2， ∴-132＜0
即3-2在-1和0之间．
故选A．
【点睛】
此题主要考查了估算无理数大小，正确得出3的取值范围是解题关键．
9．C
【解析】
试题分析：由题意可得根的判别式，即可得到关于k的不等式，解出即可.
由题意得，解得
故选C.
考点：一元二次方程的根的判别式
点评：解答本题的关键是熟练掌握一元二次方程，当时，方程有两个不相等实数根；当时，方程的两个相等的实数根；当时，方程没有实数根．
10．B
【解析】
【分析】
先利用待定系数法求出直线AB的解析式，再求出将直线AB向右平移1个单位长度后得到的解析式，然后将所得解析式绕着原点旋转180°即可得到直线l．
【详解】
解：设直线AB的解析式为y＝mx＋n．
∵A（−2，0），B（0，1），
∴，
解得，
∴直线AB的解析式为y＝2x＋1．
将直线AB向右平移1个单位长度后得到的解析式为y＝2（x−1）＋1，即y＝2x＋2，
再将y＝2x＋2绕着原点旋转180°后得到的解析式为−y＝−2x＋2，即y＝2x−2，
所以直线l的表达式是y＝2x−2．
故选：B．
【点睛】
本题考查了一次函数图象平移问题，掌握解析式“左加右减”的规律以及关于原点对称的规律是解题的关键．
11．C
【解析】
【分析】
连接AC ,交O e 于点,F 设,FN a =则2,NC a =()222,DC a =+()
224,AC a =+根据△AMN 的面积为4，列出方程求出a 的值，再计算半径即可.
【详解】
连接AC ,交O e 于点,F
O e 内切于正方形,ABCD MN 为O e 的切线， AC 经过点,,O F FNC V 为等腰直角三角形，
2,NC FN =
,CD MN 为O e 的切线，
,EN NF =
设,FN a =则2,NC a =
(222,DC a =+()224,AC a =()
223,AF AC CF a ∴=-= △AMN 的面积为4， 则14,2
MN AF ⋅⋅= 即(
)122234,2a a ⋅⋅=解得222,a = ()()()
2121222 2.r EC a ==== 故选:C.
【点睛】
考查圆的切线的性质，等腰直角三角形的性质，三角形的面积公式，综合性比较强.
12．B
【解析】
【分析】
证明△ADC∽△ACB，根据相似三角形的性质可推导得出AC2=AD•AB，由此即可解决问题. 【详解】
∵∠A=∠A，∠ADC=∠ACB，
∴△ADC∽△ACB，
∴AC AD AB AC
，
∴AC2=AD•AB=2×8=16，
∵AC>0，
∴AC=4，
故选B.
【点睛】
本题考查相似三角形的判定和性质、解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题.
二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）
13．C
【解析】
试题分析：根据题意分别求出两人的平均价格，然后进行比较．小菲：（24+20+16）÷6=10；小琳：（12+20+24）÷6≈1．3，则小琳划算．
考点：平均数的计算．
14．10%
【解析】
【分析】
本题可设这两年平均每年的增长率为x，因为经过两年时间，让市区绿地面积增加44%，则有（1+x）
1=1+44%，解这个方程即可求出答案．
【详解】
解：设这两年平均每年的绿地增长率为x，根据题意得，
（1+x）1=1+44%，
解得x1=-1.1（舍去），x1=0.1．
答：这两年平均每年绿地面积的增长率为10%．
故答案为10%
【点睛】
此题考查增长率的问题，一般公式为：原来的量×（1±x）1=现在的量，增长用+，减少用-．但要注意解的取舍，及每一次增长的基础．
15．2
【解析】
【分析】
根据有理数的加法法则计算即可.
【详解】
()
752
+-=.
故答案为：2.
【点睛】
本题考查有理数的加法计算，熟练掌握加法法则是关键. 16．1．
【解析】
【详解】
设P（0，b），
∵直线APB∥x轴，
∴A，B两点的纵坐标都为b，
而点A在反比例函数y=
4
x
-的图象上，
∴当y=b，x=-4
b
，即A点坐标为（-
4
b
，b），
又∵点B在反比例函数y=2
x
的图象上，
∴当y=b，x=2
b
，即B点坐标为（
2
b
，b），
∴AB=2
b
-（-
4
b
）=
6
b
，
∴S△ABC=1
2
•AB•OP=
1
2
•
6
b
•b=1．
17．1
【解析】
【分析】根据根与系数的关系结合x1+x2=x1•x2可得出关于k的一元二次方程，解之即可得出k的值，再根据方程有实数根结合根的判别式即可得出关于k的一元二次不等式，解之即可得出k的取值范围，从而可确定k的值．
【详解】∵x2﹣2kx+k2﹣k=0的两个实数根分别是x1、x2，
∴x1+x2=2k，x1•x2=k2﹣k，
∵x12+x22=1，
∴（x1+x2）2-2x1x2=1，
（2k）2﹣2（k2﹣k）=1，
2k2+2k﹣1=0，
k2+k﹣2=0，
k=﹣2或1，
∵△=（﹣2k ）2﹣1×1×（k 2﹣k ）≥0，
k≥0，
∴k=1，
∴x 1•x 2=k 2﹣k=0，
∴x 12﹣x 1x 2+x 22=1﹣0=1，
故答案为：1．
【点睛】本题考查了根的判别式以及根与系数的关系，熟练掌握“当一元二次方程有实数根时，根的判别式△≥0”是解题的关键．
18．51.710⨯
【解析】
解：将170000用科学记数法表示为：1.7×
1．故答案为1.7×1． 三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
19． （2）①2【解析】
分析：(1)重合部分是等边三角形，计算出边长即可.
()2①证明：在图3中，取AB 中点E,证明OEE 'V ≌OBF V ,即可得到,EE BF '=
2BE BF BE EE BE +=+=''=',
②由①知，在旋转过程60°中始终有OEE 'V ≌,OBF V 四边形OE BF '的面积等于OEB S V 详解：(1)∵四边形为菱形，120,ADC ∠=︒
∴60,ADO ∠=︒
∴ABD △为等边三角形
∴30,60,DAO ABO ∠=︒∠=︒
∵AD//,A O '
∴60,A OB ∠=︒'
∴EOB △为等边三角形，边长2,OB =
∴重合部分的面积：224
⨯=()2①证明：在图3中，取AB 中点E,
由上题知，60,60,EOB E OF ∠=︒∠=︒'
∴,EOE BOF ∠=∠'
又∵2,60,EO OB OEE OBF '==∠=∠=︒
∴OEE 'V ≌OBF V ,
∴,EE BF '=
∴2BE BF BE EE BE +=+=''=',
②由①知，在旋转过程60°中始终有OEE 'V ≌,OBF V
∴四边形OE BF '的面积等于OEB S V =3.
点睛：属于四边形的综合题，考查了菱形的性质，全等三角形的判定与性质等，熟练掌握每个知识点是解题的关键.
20．（1）y=﹣x 2+x+2；（2）y=2x+2；（3）①线段BP 与线段AE 的关系是相互垂直；②点P 的坐标为：（﹣4+2，﹣8+4）或（﹣4﹣2，﹣8﹣4）或（0，﹣4）或（﹣，﹣4）．
【解析】
【分析】
（1）将A （5，0）和点B （﹣3，﹣4）代入y=ax 2+bx+2，即可求解；
（2）C 点坐标为（0，2），把点B 、C 的坐标代入直线方程y=kx+b 即可求解；
（3）①AE 直线的斜率k AE =2，而直线BC 斜率的k AE =2即可求解；
②考虑当P 点在线段BC 上时和在线段BE 上时两种情况，利用PM′=PM 即可求解．
【详解】
（1）将A （5，0）和点B （﹣3，﹣4）代入y=ax 2+bx+2，
解得：a=﹣，b=，
故函数的表达式为y=﹣
x 2+x+2； （2）C 点坐标为（0，2），把点B 、C 的坐标代入直线方程y=kx+b ，
解得：k=2，b=2，
故：直线BC的函数表达式为y=2x+2，
（3）①E是点B关于y轴的对称点，E坐标为（3，﹣4），
则AE直线的斜率k AE=2，而直线BC斜率的k AE=2，
∴AE∥BC，而EP⊥BC，∴BP⊥AE
而BP=AE，∴线段BP与线段AE的关系是相互垂直；
②设点P的横坐标为m，
当P点在线段BC上时，
P坐标为（m，2m+2），M坐标为（m，2），则PM=2m，
直线MM′⊥BC，∴k MM′=﹣，
直线MM′的方程为：y=﹣x+（2+m），
则M′坐标为（0，2+m）或（4+m，0），
由题意得：PM′=PM=2m，
PM′2=42+m2=（2m）2，此式不成立，
或PM′2=m2+（2m+2）2=（2m）2，
解得：m=﹣4±2，
故点P的坐标为（﹣4±2，﹣8±4）；
当P点在线段BE上时，
点P坐标为（m，﹣4），点M坐标为（m，2），
则PM=6，
直线MM′的方程不变，为y=﹣x+（2+m），
则M′坐标为（0，2+m）或（4+m，0），
PM′2=m2+（6+m）2=（2m）2，
解得：m=0，或﹣；
或PM′2=42+42=（6）2，无解；
故点P的坐标为（0，﹣4）或（﹣，﹣4）；
综上所述：
点P的坐标为：（﹣4+2，﹣8+4）或（﹣4﹣2，﹣8﹣4）或（0，﹣4）或（﹣，﹣4）．【点睛】
主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．
21．（1）甲种品牌的进价为1500元，乙种品牌空调的进价为1800元；（2）当购进甲种品牌空调7台，乙种品牌空调3台时，售完后利润最大，最大为12100元
【解析】
【分析】
（1）设甲种品牌空调的进货价为x 元/台，则乙种品牌空调的进货价为1.2x 元/台，根据数量=总价÷单价可得出关于x 的分式方程，解之并检验后即可得出结论；
（2）设购进甲种品牌空调a 台，所获得的利润为y 元，则购进乙种品牌空调（10-a ）台，根据总价=单价×数量结合总价不超过16000 元，即可得出关于a 的一元一次不等式，解之即可得出a 的取值范围，再由总利润=单台利润×购进数量即可得出y 关于a 的函数关系式，利用一次函数的性质即可解决最值问题．
【详解】
（1）由（1）设甲种品牌的进价为x 元，则乙种品牌空调的进价为（1+20%）x 元，
由题意，得 ()
720030002120%x x =++， 解得x=1500，
经检验，x=1500是原分式方程的解，
乙种品牌空调的进价为（1+20%）×
1500=1800（元）. 答：甲种品牌的进价为1500元，乙种品牌空调的进价为1800元；
（2）设购进甲种品牌空调a 台，则购进乙种品牌空调（10-a ）台，
由题意，得1500a+1800（10-a ）≤16000，
解得 203
≤a ， 设利润为w ，则w=（2500-1500）a+（3500-1800）（10-a ）=-700a+17000，
因为-700<0，
则w 随a 的增大而减少，
当a=7时，w 最大，最大为12100元.
答：当购进甲种品牌空调7台，乙种品牌空调3台时，售完后利润最大，最大为12100元.
【点睛】
本题考查了一次函数的应用、分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）根据数量=总价÷单价列出关于x 的分式方程；（2）根据总利润=单台利润×购进数量找出y 关于a 的函数关系式．
22．（1）证明见解析；（2． 【解析】
【分析】
（1）作辅助线，先根据垂径定理得：OA ⊥BC ，再证明OA ⊥AE ，则AE 是⊙O 的切线；
（2）连接OC，证明△ACE∽△DAE，得AE CE
DE AE
=，计算CE的长，设⊙O的半径为r，根据勾股定理
得：r2=62+（r-27）2，解出可得结论．【详解】
（1）证明：连接OA，交BC于G，
∵∠ABC=∠ADB．∠ABC=∠ADE，
∴∠ADB=∠ADE，
∴»»
AB AC
=，
∴OA⊥BC，
∵四边形ABCE是平行四边形，
∴AE∥BC，
∴OA⊥AE，
∴AE是⊙O的切线；
（2）连接OC，
∵AB=AC=CE，
∴∠CAE=∠E，
∵四边形ABCE是平行四边形，
∴BC∥AE，∠ABC=∠E，
∴∠ADC=∠ABC=∠E，
∴△ACE∽△DAE，AE CE DE AE
=，
∵AE=12，CD=10，
∴AE2=DE•CE，
144=（10+CE）CE，
解得：CE=8或-18（舍），
∴AC=CE=8，
∴Rt△AGC中，22
86
-7，设⊙O的半径为r，
由勾股定理得：r2=62+（7）2，
r=7
，
则⊙O ． 【点睛】
此题考查了垂径定理，圆周角定理，相似三角形的判定与性质，切线的判定与性质，熟练掌握各自的判定与性质是解本题的关键．
23．（1）
2;（2）3;（3【解析】
【分析】
（1）由等腰直角三角形的性质可得，∠ACB=∠DCE=45°，可证△ACD ∽△BCE ，
可得AD CD BE CE =＝2
； （2）由题意可证点A ，点Q ，点C ，点P 四点共圆，可得∠QAC=∠QPC ，可证△ABC ∽△PQC ，可得PQ QC AB BC
=，可得当QC ⊥AB 时，PQ 的值最小，即可求PQ 的最小值； （3）作∠DCE=∠ACB ，交射线DA 于点E ，取CE 中点F ，连接AC ，BE ，DF ，BF ，由题意可证△ABC ∽△DEC ，可得BC CE AC CD
=，且∠BCE=∠ACD ，可证△BCE ∽△ACD ，可得∠BEC=∠ADC=90°，由勾股定理可求CE ，DF ，BF 的长，由三角形三边关系可求BD 的最大值．
【详解】
（1）∵∠BAC=∠CDE=90°，AB=AC=3，DE=CD=1，
∴，，∠ACB=∠DCE=45°，
∴∠BCE=∠ACD ，
∵BC AC ＝3，CE CD ，
∴
BC CE AC CD =，∠BCE=∠ACD ， ∴△ACD ∽△BCE ，
∴AD CD BE CE =＝2
； （2）∵∠ACB=90°，∠B=30°，BC=4，
∴，
∵∠QAP=∠QCP=90°，
∴点A，点Q，点C，点P四点共圆，
∴∠QAC=∠QPC，且∠ACB=∠QCP=90°，∴△ABC∽△PQC，
∴PQ QC AB BC
=，
∴PQ=AB
BC
×QC=
23
QC，
∴当QC的长度最小时，PQ的长度最小，即当QC⊥AB时，PQ的值最小，
此时QC=2，PQ的最小值为43
；
（3）如图，作∠DCE=∠ACB，交射线DA于点E，取CE中点F，连接AC，BE，DF，BF，，
∵∠ADC=90°，AD=CD，
∴∠CAD=45°，∠BAC=∠BAD-∠CAD=90°，
∴△ABC∽△DEC，
∴BC CE AC CD
=，
∵∠DCE=∠ACB，
∴∠BCE=∠ACD，
∴△BCE∽△ACD，
∴∠BEC=∠ADC=90°，
∴2
2
∵点F是EC中点，
∴DF=EF=1
2
2，
∴22
BE EF
+10，
∴102
【点睛】
本题是相似综合题，考查了等腰直角三角形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质等知识，添加恰当辅助线构造相似三角形是本题的关键．
24．（1）详见解析；（2）1.
【解析】
【分析】
（1）根据平行线的性质得到∠ADB＝∠CBD，根据角平分线定义得到∠ABD＝∠CBD，等量代换得到∠ADB＝∠ABD，根据等腰三角形的判定定理得到AD＝AB，根据菱形的判定即可得到结论；
（2）由垂直的定义得到∠BDE＝90°，等量代换得到∠CDE＝∠E，根据等腰三角形的判定得到CD＝CE ＝BC，根据勾股定理得到DE＝22
-＝6，于是得到结论．
BE BD
【详解】
（1）证明：∵AD∥BC，
∴∠ADB＝∠CBD，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠CBD，
∴∠ADB＝∠ABD，
∴AD＝AB，
∵BA＝BC，
∴AD＝BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵BA＝BC，
∴四边形ABCD是菱形；
（2）解：∵DE⊥BD，
∴∠BDE＝90°，
∴∠DBC+∠E＝∠BDC+∠CDE＝90°，
∵CB＝CD，
∴∠DBC＝∠BDC，
∴∠CDE＝∠E，
∴CD＝CE＝BC，
∴BE＝2BC＝10，
∵BD＝8，
∴DE22
-＝6，
BE BD
∵四边形ABCD 是菱形，
∴AD ＝AB ＝BC ＝5，
∴四边形ABED 的周长＝AD+AB+BE+DE ＝1．
【点睛】
本题考查了菱形的判定和性质，角平分线定义，平行线的性质，勾股定理，等腰三角形的性质，正确的识别图形是解题的关键．
25．（1）见解析；（1）70°．
【解析】
【分析】
（1）根据全等三角形的判定即可判断△AEC ≌△BED ；
（1）由（1）可知：EC=ED ，∠C=∠BDE ，根据等腰三角形的性质即可知∠C 的度数，从而可求出∠BDE 的度数.
【详解】
证明：（1）∵AE 和BD 相交于点O ，∴∠AOD=∠BOE ．
在△AOD 和△BOE 中，
∠A=∠B ，∴∠BEO=∠1．
又∵∠1=∠1，∴∠1=∠BEO ，∴∠AEC=∠BED ．
在△AEC 和△BED 中，
A B AE BE
AEC BED ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩
∴△AEC ≌△BED （ASA ）．
（1）∵△AEC ≌△BED ，
∴EC=ED ，∠C=∠BDE ．
在△EDC 中，∵EC=ED ，∠1=40°，∴∠C=∠EDC=70°，
∴∠BDE=∠C=70°．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟练的掌握全等三角形的判定与性质.
26．（1）
14
（2）316 【解析】
【详解】
试题分析：首先根据题意进行列表，然后求出各事件的概率．
试题解析：
（1）P（两次取得小球的标号相同）=
41 164
；
（2）P（两次取得小球的标号的和等于4）=
3 16
．
考点：概率的计算．
27．（1）证明见解析；（2）m=2或m=1．【解析】
【分析】
（1）由△=（-m）2-4×1×（1
4
m2-1）=4＞0即可得；
（2）将x=2代入方程得到关于m的方程，解之可得．【详解】
（1）∵△=（﹣m）2﹣4×1×（1
4
m2﹣1）
=m2﹣m2+4
=4＞0，
∴方程有两个不相等的实数根；
（2）将x=2代入方程，得：4﹣2m+1
4
m2﹣1=0，
整理，得：m2﹣8m+12=0，
解得：m=2或m=1．
【点睛】
本题考查了根的判别式以及解一元二次方程，解题的关键是：（1）牢记“当△＞0时，方程有两个不相等的实数根”；（2）将x=2代入原方程求出m值．。