【精品】2017-2018学年山东省烟台市莱山一中高二(上)10月段考数学试卷

2017-2018学年山东省烟台市莱山一中高二（上）10月段考数学
试卷
一、选择题：（每小题5分，共计60分）
1．（5分）△ABC中，sin2A=sin2B+sin2C，则△ABC为（）
A．直角三角形B．等腰直角三角形
C．等边三角形D．等腰三角形
2．（5分）在△ABC中，b=，c=3，B=30°，则a等于（）
A．B．12C．或2D．2
3．（5分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列判断中正确的是（）
A．a=30，b=25，A=150°有一解B．a=9，c=10，B=60°无解
C．a=6，b=9，A=45°有两解 D．a=7，b=14，A=30°有两解
4．（5分）已知△ABC的周长为9，且sinA：sinB：sinC=3：2：4，则cosC的值为（）
A．B．C．D．
5．（5分）在△ABC中，A=60°，b=1，△ABC面积为，则的值为（）
A．B．C．D．2
6．（5分）在△ABC中，AB=5，BC=7，AC=8，则的值为（）
A．79 B．69 C．5 D．﹣5
7．（5分）关于x的方程x2﹣x?cosA?cosB﹣cos2=0有一个根为1，则△ABC一定是（）
A．等腰三角形B．直角三角形C．锐角三角形D．钝角三角形
8．（5分）设m、m+1、m+2是钝角三角形的三边长，则实数m的取值范围是（）A．0＜m＜3 B．1＜m＜3 C．3＜m＜4 D．4＜m＜6
9．（5分）△ABC中，若c=，则角C的度数是（）
A．60°B．120°C．60°或120°D．45°
10．（5分）在△ABC中，若b=2，a=2，且三角形有解，则A的取值范围是（）A．0°＜A＜30°B．0°＜A≤45°C．0°＜A＜90°D．30°＜A＜60°
11．（5分）在△ABC中，tanA?sin2B=tanB?sin2A，那么△ABC一定是（）A．锐角三角形B．直角三角形
C．等腰三角形D．等腰三角形或直角三角形
12．（5分）如果把直角三角形的三边都增加同样的长度，则这个新的三角形的
形状为（）
A．锐角三角形B．直角三角形
C．钝角三角形D．由增加的长度决定
二、填空题（每小题5分，满分20分）
13．（5分）在△ABC中，有等式：①asinA=bsinB；②asinB=bsinA；③acosB=bcosA；④．其中恒成立的等式序号为．
14．（5分）在等腰三角形ABC中，已知sinA：sinB=1：2，底边BC=10，则△ABC 的周长是．
15．（5分）在△ABC中，已知sinA：sinB：sinC=3：5：7，则此三角形的最大内
角的度数等于．
16．（5分）已知△ABC的三边分别是a、b、c，且面积S=，则角C=．
三、解答题
17．（10分）已知在△ABC中，A=45°，，BC=2，解此三角形．
18．（12分）在△ABC中，已知a﹣b=4，a+c=2b，且最大角为120°，求△ABC的三边长．
19．（12分）在锐角△ABC中，边a，b是方程x2﹣2x+2=0的两根，角A，B 满足：2sin（A+B）﹣=0
，求：角C的度数，边c的长度及△ABC的面积．
20．（12分）在△ABC中，已知边c=10，又知==，求a、b及△ABC的
内切圆的半径．
21．（12分）如图，甲船在A处，乙船在A处的南偏东45°方向，距A有9n mile 并以20n mile/h的速度沿南偏西15°方向航行，若甲船以28n mile/h的速度航行，应沿什么方向，用多少h能尽快追上乙船？
22．（12分）在△ABC中，已知角A，B，C所对的边分别是a，b，c，边c=，且tanA+tanB=tanA?tanB﹣，又△ABC的面积为S△ABC=，求a+b的值．
2017-2018学年山东省烟台市莱山一中高二（上）10月
段考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：（每小题5分，共计60分）
1．（5分）△ABC中，sin2A=sin2B+sin2C，则△ABC为（）
A．直角三角形B．等腰直角三角形
C．等边三角形D．等腰三角形
【分析】把已知的等式利用正弦定理化简后，得到a2=b2+c2，再利用勾股定理的逆定理即可判断出三角形为直角三角形．
【解答】解：由正弦定理===2R得：
sinA=，sinB=，sinC=，
∴sin2A=sin2B+sin2C变形得：a2=b2+c2，
则△ABC为直角三角形．
故选：A．
【点评】此题考查了三角形形状的判断，涉及的知识有：正弦定理，勾股定理的
逆定理，熟练掌握正弦定理是解本题的关键．
2．（5分）在△ABC中，b=，c=3，B=30°，则a等于（）
A．B．12C．或2D．2
【分析】由B的度数求出cosB的值，再由b与c的值，利用余弦定理列出关于a的方程，求出方程的解即可得到a的值．
【解答】解：∵b=，c=3，B=30°，
∴由余弦定理b2=a2+c2﹣2accosB得：（）2=a2+32﹣3a，
整理得：a2﹣3a+6=0，即（a﹣）（a﹣2）=0，
解得：a=或a=2，
则a=或2．
故选：C．
【点评】此题考查了余弦定理，以及特殊角的三角函数值，余弦定理很好的建立了三角形的边角关系，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．本题a有两解，注意不要漏解．
3．（5分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列判断中正确的是（）
A．a=30，b=25，A=150°有一解B．a=9，c=10，B=60°无解
C．a=6，b=9，A=45°有两解 D．a=7，b=14，A=30°有两解
【分析】根据题意，依次分析选项：A、根据正弦定理即可求得B的度数，根据A为钝角，判断此选项正确与否；B、根据余弦定理即可求出B的值，利用三角形的两边之和大于第三边，判断此选项正确与否；C、根据正弦定理，以及正弦函数值小于等于1，即可判断此选项正确与否；D、根据正弦定理及特殊角的三角函数值，即可判断此选项正确与否．
【解答】解：A、根据正弦定理得：=，解得sinB=，因为A=150°，所以B只能为锐角，所以此选项正确；
B、根据余弦定理得：b2=81+100﹣180cos60°=91，解得b=，能构成三角形，所以此选项错误；
C、根据正弦定理得：=，解得sinB=＞1，此三角形无解，此选项错误；
D、根据正弦定理得：=，解得sinB=1，B为直角，所以此三角形只有一解，此选项错误．
故选：A．
【点评】此题考查学生灵活运用正弦、余弦定理化简求值，掌握构成三角形的条件是三角形的两边之和大于第三边以及两边之差小于第三边，以及掌握正弦函数的值域范围是[﹣1，1]，是一道中档题．
4．（5分）已知△ABC的周长为9，且sinA：sinB：sinC=3：2：4，则cosC的值为（）
A．B．C．D．
【分析】由题意利用正弦定理可得可得a=3、b=2、c=4，再由余弦定理可得cosC=的值．
【解答】解：由题意利用正弦定理可得三角形三边之比为a：b：c=3：2：4，再根据△ABC的周长为9，可得a=3、b=2、c=4．
再由余弦定理可得cosC===﹣，
故选：A．
【点评】本题主要考查正弦定理和余弦定理的应用，求得a=3、b=2、c=4，是解题的关键，属于中档题．
5．（5分）在△ABC中，A=60°，b=1，△ABC面积为，则的值为（）
A．B．C．D．2
【分析】利用三角形面积公式求得c，进而利用余弦定理求得a，进而根据正弦定理求得===2R，进而推断出=答案可得．【解答】解：∵S△ABC=bcsinA=×1×c×=
∴c=4
根据余弦定理有：a2=b2+c2﹣2bccosA=1+16﹣2×1×4×=13
所以，a=
根据正弦定理==，则：
==
故选：A．
【点评】本题主要考查了正弦定理和余弦定理的应用．要求考生能利用正弦定理和余弦定理对解三角形问题中边，角问题进行互化或相联系．
6．（5分）在△ABC中，AB=5，BC=7，AC=8，则的值为（）
A．79 B．69 C．5 D．﹣5
【分析】由三角形的三边，利用余弦定理求出cosB的值，然后利用平面向量的
数量积的运算法则表示出所求向量的数量积，利用诱导公式化简后，将各自的值代入即可求出值．
【解答】解：由AB=5，BC=7，AC=8，根据余弦定理得：
cosB==，又||=5，||=7，
则=||?||cos（π﹣B）=﹣||?||cosB
=﹣5×7×=﹣5．
故选：D．
【点评】此题考查了余弦定理，以及平面向量数量积的运算．注意与的夹角是π﹣B，而不是B，学生做题时容易出错．
7．（5分）关于x的方程x2﹣x?cosA?cosB﹣cos2=0有一个根为1，则△ABC一定是（）
A．等腰三角形B．直角三角形C．锐角三角形D．钝角三角形
【分析】由题意得1﹣cosAcosB﹣cos2=0，化简可得cos（A﹣B）=0，根据﹣π＜A﹣B＜π，求得A﹣B=0，从而得到结论．
【解答】解：∵关于x的方程x2﹣xcosAcosB﹣cos2=0有一个根为1，
∴1﹣cosAcosB﹣cos2=0，即sin2=cosAcosB，
∴=cosAcosB，
∴1=2cosAcosB﹣cos（A+B）=cosAcosB+sinAsinB=cos（A﹣B），
∵﹣π＜A﹣B＜π，
∴A﹣B=0，即：A=B，故△ABC一定是等腰三角形，
故选：A．
【点评】本题考查两角和差的余弦公式的应用，求出cos（A﹣B）=0，及﹣π＜A ﹣B＜π，是解题的关键，属于基础题．
8．（5分）设m、m+1、m+2是钝角三角形的三边长，则实数m的取值范围是（）A．0＜m＜3 B．1＜m＜3 C．3＜m＜4 D．4＜m＜6
【分析】由题意可得最大角的余弦值小于零，且任意两边之和大于第三边，从而解不等式求得实数m的取值范围．
【解答】解；由题意可得m、m+1、m+2是钝角三角形的三边长，且最大边m+2对的钝角为α，
则由余弦定理可得cosα＝=＜0，求得0＜m＜3．
再根据任意两边之和大于第三边，可得m+m+1＞m+2，∴m＞1．
综上可得1＜m＜3，
故选：B．
【点评】本题考查余弦定理、三角形中任意两边之和大于第三边，以及不等式的解法，列出不等式，是解题的关键，属于基础题．
9．（5分）△ABC中，若c=，则角C的度数是（）
A．60°B．120°C．60°或120°D．45°
【分析】由条件可得a2+b2﹣c2=﹣ab，由余弦定理可得cosC==﹣，再由0°＜C＜180°，可得 C 的值．
【解答】解：∵△ABC中，c=，即a2+b2﹣c2=﹣ab，
由余弦定理可得cosC==﹣，
又0°＜C＜180°，
∴C=120°，
故选：B．
【点评】本题主要考查余弦定理的应用，根据三角函数的值求角，属于中档题．
10．（5分）在△ABC中，若b=2，a=2，且三角形有解，则A的取值范围是（）A．0°＜A＜30°B．0°＜A≤45°C．0°＜A＜90°D．30°＜A＜60°
【分析】根据大边对大角，可得A为锐角，由余弦定理可得c2﹣4c×cosA+4=0 有解，故判别式△≥0，解得
cosA≥，得0＜A≤45°．
【解答】解：在△ABC中，A为锐角，由余弦定理可得4=8+c2﹣4c×cosA，即c2﹣4c×cosA+4=0 有解，
∴判别式△=32cos2A﹣16≥0，∴cosA≥，∴0＜A≤45°，
故选：B．
【点评】本题考查余弦定理的应用，一元二次方程有解的条件，求出cosA≥，是解题的关键．
11．（5分）在△ABC中，tanA?sin2B=tanB?sin2A，那么△ABC一定是（）A．锐角三角形B．直角三角形
C．等腰三角形D．等腰三角形或直角三角形
【分析】把原式利用同角三角函数间的基本关系变形后，得到sin2A=sin2B，由A 和B为三角形的内角，得到2A与2B相等或互补，从而得到A与B相等或互余，即三角形为等腰三角形或直角三角形．
【解答】解：原式tanA?sin2B=tanB?sin2A，
变形为：=，
化简得：sinBcosB=sinAcosA，即sin2B=sin2A，
即sin2A=sin2B，
∵A和B都为三角形的内角，
∴2A=2B或2A+2B=π，
即A=B或A+B=，
则△ABC为等腰三角形或直角三角形．
故选：D．
【点评】此题考查了三角形形状的判断，熟练掌握三角函数的恒等变换把原式化
为sin2A=sin2B是解本题的关键．
12．（5分）如果把直角三角形的三边都增加同样的长度，则这个新的三角形的
形状为（）
A．锐角三角形B．直角三角形
C．钝角三角形D．由增加的长度决定
【分析】先设出原来的三边为a、b、c且c2=a2+b2，以及增加同样的长度为x，得到新的三角形的三边为a+x、b+x、c+x，知c+x为最大边，所以所对的角最大，然后根据余弦定理判断出余弦值为正数，所以最大角为锐角，得到三角形为锐角三角形．
【解答】解：设增加同样的长度为x，原三边长为a、b、c，且c2=a2+b2，c为最大边；
新的三角形的三边长为a+x、b+x、c+x，知c+x为最大边，其对应角最大．
而（a+x）2+（b+x）2﹣（c+x）2=x2+2（a+b﹣c）x＞0，
由余弦定理知新的三角形的最大角的余弦=＞0，则为锐角，
那么它为锐角三角形．
故选：A．
【点评】考查学生灵活运用余弦定理解决实际问题的能力，以及掌握三角形一些基本性质的能力．
二、填空题（每小题5分，满分20分）
13．（5分）在△ABC中，有等式：①asinA=bsinB；②asinB=bsinA；③acosB=bcosA；
④．其中恒成立的等式序号为②④．
【分析】利用正弦定理判断①三角形是等腰三角形，即可判断正误；
对于②满足正弦定理判断正确；
对于③通过正弦定理转化，得到三角形不满足一般三角形，判断正误；
对于④通过正弦定理与合分比定理即可判断它的正误．
【解答】解：对于①，由正弦定理可知asinA=bsinB，推出A=B，三角形是等腰三角形，所以不正确；
对于②asinB=bsinA，即sinAsinB=sinBsinA，恒成立，所以②正确；
对于③acosB=bcosA可得sin（B﹣A）=0，不满足一般三角形，所以不成立，不正
第11页（共16页）确；
对于④由正弦定理以及合分比定理可知
正确；
故答案为：②④．
【点评】本题考查正弦定理的应用，合分比定理的应用，考查三角形的判断，基础题．14．（5分）在等腰三角形
ABC 中，已知sinA ：sinB=1：2，底边BC=10，则△ABC
的周长是50．【分析】先利用正弦定理，将角的正弦之比转化为边长之比，求得
AC 长，从而由等腰三角形性质得AB 长，最后三边相加即可得△ABC 的周长
【解答】解：设BC=a ，AB=c ，AC=b
∵sinA ：sinB=1：2，由正弦定理可得：
a ：b=1：2，
∵底边BC=10，即a=10，∴b=2a=20
∵三角形ABC 为等腰三角形，且BC 为底边，
∴b=c=20
∴△ABC 的周长是20+20+10=50
故答案为50
【点评】本题考查了三角形中正弦定理的运用，
等腰三角形的性质，三角形周长
的计算，属基础题15．（5分）在△ABC 中，已知sinA ：sinB ：sinC=3：5：7，则此三角形的最大内角的度数等于．
【分析】直接利用正弦定理，转化角为边的关系，利用大边对大角，余弦定理可求cosC 的值，结合C 的范围即可得解．
【解答】解：∵sinA ：sinB ：sinC=3：5：7，
∴由正弦定理可得：a ：b ：c=3：5：7，
∴C 为最大角，a=，b=
，。