2022九年级数学上册 第22章 二次函数综合检测(新版)新人教版

第二十二章(二次函数)
选择题题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 大题题号
一 二 三
总分
答案得分
一、选择题(每题3分，共30分) 1．以下各项是二次函数的是(A)
A ．y ＝(x ＋1)(x －3)
B ．y ＝x 3＋1
C ．y ＝x 2
＋1x
D ．y ＝x －3
2．将二次函数y ＝－x 2
＋4x －5化为y ＝a(x －h)2
＋k 的形式为(D)
A ．y ＝－(x ＋2)2－1
B ．y ＝－(x ＋2)2＋1
C ．y ＝－(x －2)2＋1
D ．y ＝－(x －2)2
－1
3．(2022·哈尔滨)将抛物线y ＝2x 2
向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度，所得到的抛物线为(B)
A ．y ＝2(x ＋2)2＋3
B ．y ＝2(x －2)2＋3
C ．y ＝2(x －2)2－3
D ．y ＝2(x ＋2)2
－3
4．假设二次函数y ＝ax 2
的图象过点P(－1，2)，那么该图象必经过点(A) A ．(1，2) B ．(－1，－2) C ．(－2，1) D ．(2，－1) 5．以下抛物线中，开口最大的是(B)
A ．y ＝2x 2
B ．y ＝－12
x 2＋1 C ．y ＝(x －1)2 D ．y ＝－(x ＋1)2
6．抛物线y ＝x 2
＋4x －3，(1，y 1)与(2，y 2)是该抛物线上的两点，那么y 1与y 2的大小关系是(B)
A ．y 1＞y 2
B ．y 1＜y 2
C ．y 1＝y 2
D ．不确定
7．如图，抛物线y ＝ax 2
＋bx ＋c 交x 轴于(－1，0)，(3，0)两点，那么以下判断中错误的选项是(B)
A ．图象的对称轴是直线x ＝1
B ．当－1＜x ＜3时，y ＜0
C ．当x ＞1时，y 随x 的增大而减小
D ．一元二次方程中ax 2
＋bx ＋c ＝0的两个根是－1和3
8．函数y ＝ax ＋b 和y ＝ax 2
＋bx ＋c 在同一平面直角坐标系内的图象大致是(C)
9．某公司准备修建一个长方体的污水处理池，池底矩形的周长为100 m ，方案此污水处理池的深度为20 m ，那么此污水处理池的最大容积是(B)
A ．12 000 m 3
B ．12 500 m 3
C ．13 000 m 3
D ．135 000 m 3
10．当－1≤x≤2时，二次函数y ＝m(x －1)2
－5m ＋1(m≠0，m 为常数)有最小值6，那么m 的值为(A)
A ．－5
B ．－1
C ．－1.25
D ．1 二、填空题(每题3分，共24分)
11．抛物线y ＝－2x 2
＋3x －7与y 轴的交点坐标为__(0，－7)__．
12．抛物线y ＝x 2
－2x ＋m 顶点的纵坐标为3，那么m ＝__4__．
13．二次函数y ＝kx 2
－7x －7的图象和x 轴有交点，那么k 的取值范围是__k≥－74且
k≠0__．
14．二次函数y ＝a 2x 2＋8a 2
x ＋a(a 是常数，a ≠0)，当自变量x 分别取－6，－4时，对应的函数值分别为y 1，y 2，那么y 1，y 2的大小关系是：y 1__>__y 2.(填“＞〞“＜〞或“＝〞)
15．直线y 1＝x ＋1与抛物线y 2＝－x 2
＋3的图象如下图，当y 1＞y 2时，x 的取值范围为__x ＜－2或x ＞1__.
错误! ,第17题图) ,第18题图)
16．(2022·襄阳)如图，假设被击打的小球飞行高度h(单位：m)与飞行时间t(单位：
s)之间具有的关系为h ＝20t －5t 2
，那么小球从飞出到落地所用的时间为__4__s.
17．如图，直线y ＝－2x ＋1与抛物线y ＝x 2
－2x ＋c 的一个交点为点A ，作点A 关于抛物线对称轴的对称点A′，当点A′刚好落在y 轴上时，c 的值为__－3__．
18．如图是抛物线y ＝ax 2
＋bx ＋c(a≠0)的局部图象，其顶点坐标为 (1，n)，且与x 轴的一个交点在点 (3，0)和 (4，0)之间．以下结论：①abc＞0；②3a＋b ＝0；③a－b ＋c
＞0；④b 2
＝4a(c －n)．其中正确的选项是__③④__．(填序号)
三、解答题(共66分)
19．(8分)y ＝(k ＋2)xk 2
＋k －4是二次函数，且函数图象有最高点． (1)求k 的值；
(2)求该二次函数图象的顶点坐标和对称轴，并说明当x 为何值时，y 随x 的增大而减小．
解：(1)∵y＝(k ＋2)xk 2＋k －4是二次函数，∴k 2
＋k －4＝2且k ＋2≠0，解得k ＝－3或k ＝2.∵函数有最高点，∴抛物线的开口向下，∴k ＋2＜0，解得k ＜－2，∴k ＝－3.(2)
当k ＝－3时，y ＝－x 2
，顶点坐标为(0，0)，对称轴为y 轴，当x ＞0时，y 随x 的增大而减小．
20．(8分)抛物线y ＝x(x －2)＋2.
(1)用配方法把这个抛物线的解析式化成y ＝a(x ＋m)2
＋k 的形式，并写出它的顶点坐标； (2)将抛物线y ＝x(x －2)＋2上下平移，使顶点移到x 轴上，求新抛物线的解析式．
解：(1)y ＝x(x －2)＋2＝x 2－2x ＋2＝(x －1)2
＋1，它的顶点坐标为(1，1)．(2)∵抛物线y ＝x(x －2)＋2的顶点坐标为(1，1)，∴将抛物线向下平移1个单位长度，可以使顶点移
到x 轴上，那么得到的新抛物线的解析式为y ＝(x －1)2
.
21．(8分)(2022·云南)k是常数，抛物线y＝x2＋(k2＋k－6)x＋3k的对称轴是y轴，并且与x轴有两个交点．
(1)求k的值；
(2)假设点P在抛物线y＝x2＋(k2＋k－6)x＋3k上，且点P到y轴的距离是2，求点P 的坐标．
解：(1)∵抛物线y＝x2＋(k2＋k－6)x＋3k的对称轴是y轴，∴k2＋k－6＝0，解得k1＝－3，k2＝2.又∵抛物线y＝x2＋(k2＋k－6)x＋3k与x轴有两个交点，∴3k＜0，∴k＝－3.(2)由(1)可知，抛物线的解析式为y＝x2－9.∵点P在抛物线y＝x2－9上，且点P到y轴的距离是2，∴点P的横坐标为2或－2.当x＝2时，y＝－5；当x＝－2时，y＝－5，∴点P的坐标为P(2，－5)或P(－2，－5)．
22．(10分)有一个抛物线形的拱桥，桥洞离水面的最大高度为4 m，跨度为10 m，如下图，把它放在平面直角坐标系中．
(1)求这条抛物线的解析式；
(2)一辆宽为2 m，高为3 m的货船能否从桥下通过？
解：(1)根据题意，得抛物线的顶点坐标为(5，4)，经过(0，0)，∴设抛物线的解析式
为y＝a(x－5)2＋4，把(0，0)代入，得25a＋4＝0，解得a＝－4
25
，∴抛物线的解析式为y
＝－4
25(x－5)2＋4＝－
4
25
x2＋
8
5
x.(2)货船能从桥下通过．理由如下：由货船宽为 2 m，当货
船从中间穿过时，由抛物线对称轴为直线x＝5，得货船左端对应的横坐标为5－(2÷2)＝4.
当x＝4时，y＝－4
25
(4－5)2＋4＝3.84.∵3.84＞3，∴货船能从桥下通过．
23．(10分)(2022·通辽)当今，越来越多的青少年在观看影片?流浪地球?后，更加喜欢同名科幻小说，该小说销量也急剧上升．书店为满足广阔顾客需求，订购该科幻小说假设干本，每本进价为20元．根据以往经验：当销售单价是25元时，每天的销售量是250本；销售单价每上涨1元，每天的销售量就减少10本，书店要求每本书的利润不低于10元且不高于18元．
(1)直接写出书店销售该科幻小说时每天的销售量y(本)与销售单价x(元)之间的函数
关系式及自变量的取值范围；
(2)书店决定每销售1本该科幻小说，就捐赠a(0＜a≤6)元给困难职工，每天扣除捐赠后可获得最大利润为1960元，求a 的值．
解：(1)y ＝250－10(x －25)＝－10x ＋500(30≤x≤38)．(2)设每天扣除捐赠后可获得的
利润为w 元，那么w ＝(x －20－a)(－10x ＋500)＝－10x 2
＋(10a ＋700)x －500a －10 000(30≤x≤38)．∵对称轴为直线x ＝35＋12a ，且0＜a≤6，∴30＜35＋1
2a≤38，∴当x ＝
35＋12a 时，w 取得最大值，∴(35＋12a －20－a)[－10(35＋1
2a)＋500]＝1960，解得a 1＝2，
a 2＝58(不合题意，舍去)，∴a ＝2.
24.(10分)如图，抛物线y 1＝－x 2
－2x ＋3的图象与x 轴交于点A 和点B ，与y 轴交于点C ，直线y 2＝－3
2
x ＋b 交抛物线于点B 和点D ，连接CD ，BC.
(1)求点D 的坐标； (2)求△BCD 的面积；
(3)直接写出当y 2＞y 1时，自变量x 的取值范围．
解：(1)在y 1＝－x 2
－2x ＋3中，令x ＝0，那么y 1＝3，令y 1＝0，那么x ＝－3或1，∴点A ，B ，C 的坐标分别为(－3，0)，(1，0)，C(0，3)．将点B 的坐标代入y 2＝－3
2x ＋b ，得
－32＋b ＝0，解得b ＝32，∴y 2＝－32x ＋32.由⎩
⎪⎨⎪⎧y 1＝－x 2
－2x ＋3，
y 2＝－32x ＋32，解得⎩⎪⎨⎪
⎧x 1＝1，y 1
＝0，⎩
⎪⎨⎪⎧x 2＝3
2，
y 2＝154
，
∴点
D 的坐标为(－32，154)．(2)设BD 与y 轴的交点为
E ，那么其坐标为(0，3
2)，∴△BCD 的面积
为12×EC×(x B －x D )＝12×(3－32)×(1＋32)＝158.(3)由图象可以看出，当y 2＞y 1时，x ＜－3
2或x ＞1.
25．(12分)(2022·广安)如图，抛物线y ＝－x 2
＋bx ＋c 与x 轴交于A ，B 两点(点A 在点B 的左侧)，与y 轴交于点N ，过点A 的直线l ：y ＝kx ＋n 与y 轴交于点C ，与抛物线y ＝－x 2＋bx ＋c 的另一个交点为D ，A(－1，0)，D(5，－6)，P 为抛物线y ＝－x 2
＋bx ＋c 上一动点(不与点A ，D 重合)．
(1)求抛物线和直线l 的解析式；
(2)当点P 在直线l 上方的抛物线上时，过点P 作PE∥x 轴交直线l 于点E ，作PF∥y 轴交直线l 于点F ，求PE ＋PF 的最大值；
(3)设M 为直线l 上的点，探究是否存在点M ，使得以点N ，C ，M ，P 为顶点的四边形为平行四边形，假设存在，求出点M 的坐标；假设不存在，请说明理由．
解：(1)将点A ，D 的坐标代入直线解析式，得⎩⎪⎨⎪⎧－k ＋n ＝0，5k ＋n ＝－6，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－1，
n ＝－1，∴直线l 的
解析式为y ＝－x －1.将点A ，D 的坐标代入抛物线解析式，得⎩⎪⎨⎪⎧－1－b ＋c ＝0，
－25＋5b ＋c ＝－6，解得
⎩
⎪⎨⎪⎧b ＝3，c ＝4，∴抛物线的解析式为y ＝－x 2
＋3x ＋4.(2)直线l 的解析式为y ＝－x －1，那么直线l 与x 轴的夹角为45°，那么PE ＝PF.设点P 的坐标为(x ，－x 2
＋3x ＋4)，那么点F 的坐标为
(x ，－x －1)，∴PE ＋PF ＝2PF ＝2(－x 2＋3x ＋4＋x ＋1)＝－2(x －2)2
＋18，∴当x ＝2时，PE ＋PF 有最大值，最大值为18.(3)存在．当NC 是平行四边形的一条边时，设点P 的坐标为(x ，
－x 2
＋3x ＋4)，那么点M 的坐标为(x ，－x －1)．由y ＝－x 2
＋3x ＋4，可得点N 的坐标为(0，4)，由y ＝－x －1，可得点C 的坐标为(0，－1)，∴NC ＝5.由题意，得PM ＝NC ＝5，即|y P －y M |＝5，即|－x 2
＋3x ＋4＋x ＋1|＝5，解得x ＝2±14或0或4(舍去0)，∴点M 的坐标为(2＋14，－3－14)或(2－14，－3＋14)或(4，－5)．当NC 是平行四边形的对角线
时，NC 的中点坐标为(0，32)．设点P 的坐标为(m ，－m 2
＋3m ＋4)，点M 的坐标为(n ，－n －
1)．∵N，C ，M ，P 为顶点的四边形为平行四边形，∴NC 的中点即为PM 中点，∴
⎩⎪⎨⎪⎧m ＋n ＝0，－m 2
＋3m ＋4－n －1＝3，解得⎩
⎪⎨⎪⎧m ＝4，n ＝－4，或⎩⎪⎨⎪⎧m ＝0，n ＝0(舍去)，∴点M 的坐标为(－4，3)．综上所述，点M 的坐标为(2＋14，－3－14)或(2－14，－3＋14)或(4，－5)或(－4，3)．
附加题
二次函数y ＝x 2
－2hx ＋h ，当自变量x 的取值在－1≤x≤1的范围中时，函数有最小值n ，那么n 的最大值为__1
4__．。