2022-2023学年山东省青岛第二中学分校高一年级上册学期期中考试数学试题【含答案】

2022-2023学年山东省青岛分校高一上学期期中数学试题
一、单选题
1．设集合，，则（ ）
{}3,2,1,0,1,2,3A =---{}
2
B x x x =-≤A B = A ．B ．
C ．
D ．{}
1,0,1-{}
0,1{}
0,1,2∅
B
【分析】解不等式得集合B ，再求A 与B 的交集即可得解.
2
0x x -≤【详解】解不等式得，
2
0x x -≤01x ≤≤于是得，
{}|01B x x =≤≤而
，
{}3,2,1,0,1,2,3A =---所以
.
{}0,1A B = 故选：B
2．下列四组函数中，表示相等函数的一组是（ ）
A ．
，
B ．()f x x
=()g x =()f x =()2
g x =
C ．，
D ．
，
()211x f x x -=
-()1g x x =+()f x =()g x =A
【分析】依次判断每个选项中两个函数的定义域和解析式是否完全相同，由此可得结果.
【详解】对于A ，与定义域均为与为相等函数，A 正确；
()f x ()g x R ()f x \()g x 对于B ，定义域为，定义域为，与不是相等函数，B 错误；()f x R ()g x [)0,∞+()f x \()g x 对于C ，定义域为，定义域为，与不是相等函数，C 错误；
()f x {}1x x ≠()g x R ()f x \()g x 对于D ，定义域为
，定义域为，与不是相等函数，()f x [)1,+∞()g x (][),11,-∞-⋃+∞()f x \()g x D 错误.故选：A.
3．函数 ）
()f x =
A ．
B ．
C ．
D ．
[)()1,22,⋃+∞()
1,+∞[)
2,+∞[)
1,2
A
【分析】由给定函数有意义，列出不等式组求解即得.
【详解】函数
，解得且，()f x =
1020x x -≥⎧⎨-≠⎩1x ≥2x ≠所以原函数的定义域是.[)(1,22),⋃+∞故选：A
4．设，则“”是“”的（ ）x ∈R 6x >5x >A ．充要条件B ．必要不充分条件C ．充分不必要条件D ．既不充分又不必要条件
C
【分析】根据充分条件与必要条件判断即可.
【详解】解：，则“”是“”的充分不必要条件.x ∈R 6x >5x >故选：C.
5．下列函数中，既是奇函数又在区间上单调递减的是（ ）
()0,1A ．B ．
C ．
D ．
2x
y =y x
=3
y x
=1
y x x
=+
D
【分析】利用函数的奇偶性和单调性定义逐一判断.【详解】A.为指数函数，为非奇非偶函数，A 排除；2x
y =B.，定义域为，则
，为偶函数，B 排除；
y x
=R ()()
f x x x f x -=-==C.在
上单调递增，C 排除；3
y x =()0,1D. ，定义域为，
1
y x x =+
()(),00,∞-+∞ 则
，为奇函数，
()()11f x x x f x x x ⎛
⎫-=-+
=-+=- ⎪-⎝⎭任取，
1201x x <<<()()()1212121
2121
111f x f x x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫-=+
-+=-- ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭
因为，，1201x x <<<120x x -<121
x x <，
12
1
10x x ∴-
<
，即()()()121212110
f x f x x x x x ⎛⎫
∴-=--> ⎪⎝⎭()()12f x f x >在区间上单调递减，D 正确.
1
y x x ∴=+()0,1故选：D.6．若函数为幂函数，则（ ）
()()245m
f x m m x =++A ．B ．函数
的定义域为R 2m =()
f x C ．函数是奇函数D ．函数
在区间
上单调递减
()
f x ()
f x ()0,∞+D
【分析】根据函数为幂函数求出，然后利用幂函数的性质逐一判断即可.2m =-【详解】因为函数
为幂函数，
()()245m
f x m m x =++，解得，A 错误；
2451m m ++=2m =-，其定义域为
，B 错误；
()2
f x x -=()(),00,∞-+∞ ，函数是偶函数，C 错误
()()
()2
2f
x x x f
x ---=-==()f x 函数在区间
上单调递减，D 正确.
()
f x ()0,∞+故选: D.
7．已知，，，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）0.22a =30.3b =0.2
0.3c =A ．B ．C ．D ．a b c <<b a c <<b<c<a c<a<b
C
【分析】根据指数函数的单调性比较大小．【详解】∵是减函数，，
0.3x
y =30.20>>所以，
30.20
0.30.30.31<<=又，
0.2
02
21>=∴．b<c<a 故选：C ．
8．函数
，已知，则实数a 的取值范围是（ ）()3,01,0x x f x x x -⎧≤⎪=⎨
+>⎪⎩()3f a >A ．B ．
(
)1,2-()()
,12,-∞-+∞
C ．
D ．
()
2,+∞()()
,21,-∞-+∞ B
【分析】分段讨论后求解，
【详解】可化为或，解得或，()3
f a >01()33a
a ≤⎧⎪⎨>⎪⎩013a a >⎧⎨+>⎩1a <-2a >故选：B
二、多选题
9．若a 、b 、，，，则下列不等式一定成立的是（ ）
R c ∈0a b >>0c d >>A ．B ．C ．
D ．11a b <a c b d
->-a b c d >ac bd
>AD
【分析】由不等式的性质对选项逐一判断，
【详解】对于A ，，则，故A 正确，0a b >>11
a b <对于B ，若，则，故B 错误，4,3,2,1a b c d ====a c b d -=-对于C ，若，则，故C 错误，
4,3,2,1a b c d ====2,3
a b c d ==对于D ，由，，故，故D 正确，0a b >>0c d >>ac bd >故选：AD
10．若集合，，且，则满足条件的实数a 可以
{}2|560A x x x =+-=}
1{R |0,B x ax a =+=∈B A ⊆为（ ）A ．B ．0
C ．
D ．1-1
613
ABC
【分析】分和两类情况讨论即可求解.0a =0a ≠【详解】
，
{}2|560{6,1}
A x x x =+-==-当时，，满足；
0a =B =∅B A ⊆当时，
，0a ≠}
1{|B x x a ==-若，解得；1
1a -
=1a =-
若，解得.16a -
=-16a =
所以满足条件的实数a 可以为.
10,1,
6-故选：ABC
11．函数与在同一坐标系中的图像可能为（ ）
2()21f x ax x =++()a
g x x =
A ．
B ．
C ．
D ．
ACD 可令，
和
三种情况讨论，先分析函数的图象性质，再分
a<0()2a n n N
+
=∈()1
2a n N n +=
∈()a
g x x =析函数的图象性质，观察选项是否符合．
2
()21f x ax x =++【详解】当时，为奇函数，定义域为
，且在上递减，而
a<0()a
g x x ={}|0x x ≠()0,∞+开口向下，对称轴为
，，故A 符合；
2
()21f x ax x =++1
0x a =-
>(0)1f =当时，为偶函数，且在
上递增，开口向上，且对
()2a n n N +=∈()a g x x =()0,∞+2()21f x ax x =++称轴为，，其图象和轴没有交点，故D 符合；
1
0x a =-
<440a ∆=-<x 当
时，函数的定义域为，且在上递增，
开()1
2a n N n +=
∈()a g x x =[)0,∞+[)0,∞+2()21f x ax x =++口向上，且对称轴为，，图象和轴有两个交点，故C 符合．
1
0x a =-
<440∆=->a x 故选：ACD ．
本题考查根据函数的解析式选择函数图象，考查二次函数图象性质、幂函数图象性质的运用，解答时，针对的不同取值，观察所给两个函数图象是否符合即可．
a
12．已知函数（，且），则下列结论正确的是（ ）
()1
x f x a =-0a >1a ≠A ．函数恒过定点
()f x ()
0,1B ．函数的值域为()f x [
)0,∞+C ．函数
在区间上单调递增
()
f x [)0,∞+D ．若直线与函数的图像有两个公共点，则实数a 的取值范围是
2y a =()
f x ()
0,1BC
【分析】根据函数解析式确定
即可判断A ；根据指数函数的值域来判断B ；利用函数单调性
()
0f 定义及指数函数的性质即可判断C ；分情况作图分析，求直线与函数的图像有两个公共
2y a =()
f x 点时，可得实数a 的取值范围，可判断D.【详解】解：已知函数（，且），则()1
x f x a =-0a >1a ≠x ∈R 对于A ，
，函数
恒过定点
，故A 错误；
()0010
f a =-=()
f x ()0,0对于B ，，则，所以
，函数
的值域为，故B 正确；
x ∈R 11x
a ->-10
x a -≥()
f x [)0,∞+对于C ，任取，则，当时，函数单调递增，则120x x >≥()()12
1211x x f x f x a a -=---1a >x y a =，当，则恒成立，所以；
12x x a a >[)0,x ∈+∞10x a ->()()()1212
12110x x x x f x f x a a a a -=---=->当时，函数单调递减，则，当，则恒成立，所以
01a <<x y a =12x x a a <[
)0,x ∈+∞10x a -<，则
恒成立，所以函数
在区间
()()()
122112110
x x x x f x f x a a a a -=---=->()()
12f x f x >()
f x 上单调递增，故C 正确；
[)0,∞+对于D ，的图象由的图象向下平移一个单位，再将轴下方的图象翻折到轴上方
|1|x y a =-x
y a =x x 得到，分和两种情况分别作图，如图所示：
1a >01a <<
当时不合题意；时，需要，即
，故D 错误；
1a >01a <<021a <<1
02a <<
故选：BC.
三、填空题13．已知指数函数的图象经过点，则______．
()
f x ()3,27()2f -=
19
【分析】设
（且），根据函数过点，求出的值，即可求出函数解析式，
()x
f x a =0a >1a ≠()3,27a 再代入计算可得.【详解】解：设（且），则，所以，
()x
f x a =0a >1a ≠()3327f a ==3a =即
，所以
.
()3
x
f x =()21
239f --==
故19
14．写出命题“，”的否定______．
R x ∀∈2
230x x -+>，R x ∃∈2230
x x -+≤【分析】由全称命题的否定求解，
【详解】由题意得“，” 的否定是“，”
R x ∀∈2230x x -+>R x ∃∈2
230x x -+≤故，R x ∃∈2
230
x x -+≤15．函数的单调递增区间是______．
()2
2x
x
f x -=1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭
【分析】根据复合函数的单调规律来判断.【详解】设()22,t x t f x x ==-因为
在上单调递增，
()2t
f x =R 在上单调递减，在上单调递增，2t x x =-1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝
⎭1,2⎛⎫
+∞ ⎪
⎝⎭故函数的单调递增区间是()22x x f x -=1,2
⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭故1,2
⎛⎫+∞ ⎪
⎝⎭16．已知偶函数在上单调递增，，若，则x 的取值范围是
()
f x [)0,∞+()20f =()240
-<f x ______．
()
1,3【分析】利用偶函数的性质将不等式变形为，可得出
，解出该不等式
()()
242-<f x f 242
x -<即可.
【详解】偶函数在单调递增，，
()
y f x =[)0,∞+()20f =且
，则
，
()240
-<f x ()()
242-<f x f ，即，解得.
242
x ∴-<2242x -<-<13x <<因此，的取值范围是.
x ()1,3故答案为.
()
1,3四、解答题
17．（1）计算
)3
2
4
+（2）已知，求的值．
1
3a a -+=22a a -+（1）；（2）6π+7
【分析】（1）根据指数幂的运算性质即可求解；（2）根据指数幂的运算性质即可求解.【详解】（1）原式
.
3
232
12
31236
πππ⨯
=++-=++-=+（2）因为，所以
，
1
3a a -+=()2
12229
a a a a --+=++=所以.
22
7a a -+=18．已知函数是定义在R 上的偶函数，且当时，．
()
f x 0x ≤()22f x x x
=+(1)求函数
的解析式；
()()
R f x x ∈(2)写出函数
的单调区间和值域．
()()
R f x x ∈(1)
()22
2,02,0x x x f x x x x ⎧+≤=⎨->⎩(2)答案见解析
【分析】（1）直接根据偶函数的定义计算；
（2）利用二次函数的性质可得答案.【详解】（1）因为函数
是定义在R 上的偶函数
()
f x 当时，
0x >()()()()2
222=-=-+-=-f x f x x x x x ；
()22
2,02,0x x x f x x x x ⎧+≤∴=⎨->⎩（2）当时，，在
上单调递减，在上单调递增；0x >()22f x x x =-()0,1()1,+∞此时有
()()min 11
f x f ==-当时，，在
上单调递减，在上单调递增；0x ≤()22f x x x =+(),1-∞-()1,0-此时有
()()min 11
f x f =-=-综合得函数
的单调增区间为
，，单调减区间为，，值域为
()()
R f x x ∈()1,0-()1,+∞(),1-∞-()0,1[)
1,-+∞19．已知二次函数过坐标原点，且对任意实数x 都有
．
()
f x ()()123
f x f x x +=++(1)求函数
的解析式；
()
f x (2)在区间上，函数恒成立，求实数m 的取值范围．
[]1,1-()4f x x m >+(1)
()22f x x x
=+(2)1
m <-【分析】（1）根据题目条件求出，
，设
，利用待定系数法求出，最终
()
1f ()
2f ()2f x ax bx
=+,a b 求出答案；（2）化简
得，设,，求出的范围，从而求出
()4f x x m
>+22m x x <-2()2g x x x =-[]1,1x ∈-()g x 的取值范围.
m 【详解】（1）∵二次函数过坐标原点，
()
f x ∴
()00
f =根据对任意实数x 都有()()123
f x f x x +=++∴
，
()()102033f f =+⨯+=()()212138
f f =+⨯+=
设
()()
20f x ax bx a =+≠导入得3428a b a b +=⎧⎨
+=⎩解得1,2a b ==∴
()22f x x x
=+（2）根据
化简得，
()4f x x m
>+22m x x <-[]1,1x ∈-设,
2()2g x x x =-[]1,1x ∈-∴1()3g x -≤≤∴1
m <-20．某企业为实现产业转型升级，决定研发一款新型电子设备，生产这种电子设备的年固定成本为
500万元，每生产台，需另投入成本（万元）．当年产量不足60台时，（万
x ()c x ()220c x x x =+元）；当年产量不小于60台时，
（万元），若每台电子设备售价为100万
()9800
1022080c x x x =+
-元，通过市场分析，该企业生产的电子设备能全部售完．
(1)求年利润（万元）关于年产量（台）的函数关系式；（利润销售额成本）.y x =-(2)当年产量为多少台时，该企业在这一电子设备的生产中所获利润最大？并求出最大利润．
(1)
280500,060
490015802,60x x x y x x x ⎧-+-<<⎪=⎨⎛
⎫-+≥ ⎪⎪⎝⎭⎩(2)年产量为台时，该企业在这一款电子设备的生产中获利最大，最大利润为万元.
701300【分析】（1）根据条件，利润等于设备的售价减去投入成本
再减去年固定成本即可求解；
y ()
c x （2）对（1）中的函数关系式分别利用二次函数和基本不等式求两段的最大值，再取最大【详解】（1）解：由题意可得：时，，
060x <<()221002050080500y x x x x x =-+-=-+-当时，
60x ≥98001022080490010050015802x y x x x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭⎛
⎫=--=-+ ⎪
⎝⎭所以年利润（万元）关于年产量（台）的函数关系式为：
y x ，
280500,060490015802,60x x x y x x x ⎧-+-<<⎪=⎨⎛
⎫-+≥ ⎪⎪⎝⎭⎩
（2）解：由（1）得时，，开口向下的抛物线，对称轴为，
060x <<280500y x x =-+-40x =此时时，
万元，40x =2max 4080405001100y =-+⨯-=当时，，
60x
≥4900158021580158022701300y x x ⎛⎫=-+≤-=-⨯⨯= ⎪⎝⎭当且仅当即时等号成立，（万元），
4900
x x =70x =max 1300y =综上所述：年产量为台时，该企业在这一款电子设备的生产中获利最大，最大利润为万元.
70130021．已知函数为定义在R 上的奇函数，且．
()24ax
b
f x x +=+()1
24f =(1)求a 、b 的值；
(2)用定义证明函数在区间上的单调性．
()f x []22-,(1)，；
1a =0b =(2)证明见解析.
【分析】（1）结合已知条件和奇函数的定义即得；
（2）利用单调性定义即可证明.
【详解】（1）因为是定义在R 上的奇函数，
()24ax b
f x x +=+所以，即，
()()f x f x -=-()2
244ax b ax
b
x x -++=-+-+所以，可得，ax b ax b -+=--0b =所以，()24ax
f x x =+又由，
()2212244a f ==+可得；
1a =（2）由题可知，
2()4x
f x x =+设，，且，1x []22,2x ∈-12x x <则22
12121212122222
121244()()44(4)(4)
x x x x x x x x f x f x x x x x +---=
-=++++，
211222
12()(4)
(4)(4)x x x x x x --=++因为，
1222x x -≤<≤
所以
，，，210x x ->1240x x -<2212(4)(4)0x x ++>从而，即，
12())0(f x f x -<12()()f x f x <故在上单调递增.
()f x []22-,22．定义在上的函数，如果满足：对任意，存在常数，都有成立，则
D ()f x x D ∈0M >()f x M ≤称是上的“有上界函数”，其中称为函数的上界．已知函数
．()f x D M ()f x 11()139x x f x a ⎛⎫⎛⎫=+⋅+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（1）当时，求函数在上的值域，并判断函数在上是否为“有上界函12a =-()f x (,0)-∞()f x (,0)-∞数”，请说明理由；
（2）若函数在上是以4为上界的“有上界函数”，求实数的取值范围．
()f x [0,)+∞a （1）值域为，不是“有上界函数”；理由见解析；（2）3,2
⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭(,2]-∞【分析】（1）把代入函数的表达式，令，可得，可求出的值域，
12a =-13x
t ⎛⎫= ⎪⎝⎭1t >2112y t t =-+即为在的值域，结合“有上界函数”的定义进行判断即可；()f x (,0)-∞（2）由题意知，对恒成立，令，可得，整理得对()4f x ≤[0,)x ∈+∞13x
t ⎛⎫= ⎪⎝⎭(0,1]t ∈3a t t ⎛⎫≤- ⎪⎝⎭恒成立，只需即可.
(0,1]t ∈min 3a t t ⎛⎫≤- ⎪⎝⎭【详解】（1）当
时，，12a =-111()1239x x
f x ⎛⎫⎛⎫=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭令，，，，13x t ⎛⎫= ⎪⎝⎭0x < 1t ∴>2
112y t t =-+在上单调递增，
，2112y t t =-+ (1,)+∞111232y -∴>+=即在的值域为，()f x (,0)-∞3,2
⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭故不存在常数，使成立．
0M >()f x M ≤∴函数在上不是“有上界函数”
()f x (,0)-∞（2）由题意知，对恒成立，
()4f x ≤[0,)x ∈+∞
令，，，
13x t ⎛⎫= ⎪⎝⎭0x ≥ (0,1]t ∴∈对恒成立，即对恒成立，
214at t ∴++≤(0,1]t ∈3a t t ⎛⎫≤- ⎪⎝⎭(0,1]t ∈设，易知在上递减，3()g t t t =-()g t (0,1]t ∈在上的最小值为．()g t ∴(0,1]t ∈(1)2g =∴，
min ()2a g t ≤=∴实数的取值范围为a (,2]
-∞本题考查新定义，考查函数的值域与最值，考查学生的推理能力与计算求解能力，属于中档题.。