第二节数字滤波

差分方程为
y(n) = x(n) + x(n-1) + x(n-2) + ……+ x(n-k)
若p取0时，m也为0，但幅频特性不为0，所以不论fs、k取何值，都不能滤 除直流分量（具有低通特性）。
k
2 pf s pf 2 p pN 1 1 s 1 1 m1Ts m2f1 m f1 m
第二章 微型计算机继电保护的数字信号基础
2.2 数字滤波器
当bi全为零时，上式称为非 递归滤波器，非递归滤波器，即 当前的输出y(n)只与过去和当前 的输入值x(n-i)有关，而与过去 的输出值y(n-j)无关。 只含有前馈通道而无反馈通道 如果系数bj不全为0，即当前的 输出不仅与过去和当前的输入有关， 还与过去的输出有关，这就是递归 型滤波器。 含有反馈通道
H2( z ) z
k 0 7 k
H 3 ( z ) z k
k 0
9
采样频率为fs=1200Hz。试分析该滤波器能完全滤除多少次谐波？ 解：滤波器的转移函数为 H(z) = H1(z)H2(z)H3(z)= (1-z-6)(1-z-8)(1-z-10)/(1-z-1)2 幅频特性
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2.2 数字滤波器
（2）k为偶数时的幅频特性
H ( e jTs )
cos
( k 1 )Ts 2 Ts 2
s
j T H ( e ) 0 ，可得 代入，应使 m 1 要消除m次谐波，将 1 1 ( p ) fs ( p )N p=0，1，2，…… 2 2 k 1 1 m f1 m
高通滤波器 低通滤波器 按频率 特性分类 带通滤波器 带阻滤波器

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2.2 数字滤波器
按脉冲响应时间的不同分类

无限长冲击响应滤波器（IIR）
IIR滤波器的脉冲响应h(n)包括无限个采样值，h(n) 在 n1 n 区间内有无限个不等于零的采样值。 有限长脉冲响应滤波器（FIR） FIR滤波器的脉冲响应h(n)，在 n1 n n2区间内
2 p f s 2 p f s pfs pN k 1 1 1 1 m1 m2 f1 m f1 m
如果已知k，可得滤除的谐波次数
p=0，1，2，……
m p
N k 1
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2.2 数字滤波器
可见这种滤波器可以滤除N/(k+1)整数倍次谐波。当p=0，m=0时，幅频特 性也为零，即无论k、fs取何值，都能滤除直流分量。它的幅频特性曲线见图
X( z )
将
ze
jTs
代入得到它的幅频特性为
kTs 2
H ( e jTs ) 1 e jkTs 2 sin
通常令fs=N f1，N=1，2，…，即每基频周期内有N点采样。
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2.2 数字滤波器
H( e
jTs
) 1 e
jkTs
kTs 2 sin 2
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2.2 数字滤波器
一、数字滤波器基本概念
滤波器

模拟滤波器
数字式滤波器
滤波器的作用 高速继电保护装置都工作在故障发生后的最初瞬变过程中， 这时的电压和电流信号由于混有衰减直流分量和复杂的谐波成 分而发生严重的畸变。目前大多数保护装置的原理是建立在反 映正弦基波或某些整倍数谐波基础上，所以滤波器一直是继电 保护装置的关键器件。目前所使用的微机继电保护几乎都采用 了数字滤波器。
H3(z) = (1+z-1+z-2)，―――4次
H4(z) = (1+z-1+z-2+z-3)―――3、6次 减法滤波单元可滤除直流分量和2、 4、6次谐波分量，两个积分单元可滤 除3、4、6次谐波，其幅频特性曲线 如图所示。
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2.2 数字滤波器
例7 有一个50Hz基频带通滤波器，分别由下列滤波单元组成 一个减法滤波器 两个积分滤波器 H1(z) = 1-z-6
要消除3、9、15……等次谐波，可令m=3(2p+1)，得k=2。
y(n) = x(n) + x(n-2)
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2.2 数字滤波器
3．积分滤波器
( k 1 ) 1 z H(z) = 1 + z-1 + z-2 + ……+z-k = 1 z变换为 1 z ( k 1 )Ts sin 2 H ( e jTs ) 幅频特性为 T sin s 2 j T s H ( e ) 0 ，可得 代入，应使 m 1 要消除m次谐波，将 ( k 1 )mTs p=0，1，2，…… p 2
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数字滤波器
2.2 数字滤波器
数字滤波器是将输入模拟信号x(t)经过采样和模数转换变成数字量后，进行某 种数学运算（所谓数字滤波器通常是指一种程序或算法（也可以用硬件实现））去 掉信号中的无用成分，然后再经过数模转换得到模拟量输出y(t)。
数字滤波器的优点：
（1）滤波精度高，具有高度的灵活性 通过改变滤波算法或某些参数，可以 非常灵活地调整滤波特性，易于适应不同应用场合的要求。 （2）稳定性和可靠性高 模拟器件受环境影响较大，而数字系统受影响要小得多。 （3）便于分时复用 采用模拟滤波器时，每一个输入通道都需要一个滤波器，而 数字滤波器通过分时复用，一套数字滤波器就可以完成所有通道的滤波任务，保 证了各通道的滤波特性完全一致。
y(n) = x(n) + x(n-k)
H(z) = 1+z-k
H ( e jTs ) 2 cos kTs 2
s
幅频特性为
j T H ( e ) 0 ，可得 代入，应使 m 1 要消除m次谐波，将
kmTs ( 2 p 1 )
k ( 1 2 p ) f s ( 2 p 1 )N 2m f1 2m
如果想消除m次谐波，确定参数k（滤波器的阶次）值，则应当使时
H ( e jTs ) 0
2 sin 2 sin
k 0 2 fs k 2f1 m 0 2 fs
kf1mTs p
pfs p N k p. m Ts f1 m f1 m
m p.
f N p s k kf1
p = 1，2，…….
例4：已知fs = 600Hz，则 k
12 p 1 m
若要消除3的整数倍谐波，可令m=3p，可得 k=3。
y(n) x(n) x(n 1) x(n 2) x(n 3)
若要消除偶次谐波，可令m=2p，得 k=5。 y(n) x(n) x(n 1) x(n 2) x(n 3) x(n 4) x(n 5)
m pfs N p. ( k 1 ) f1 k 1
如果已知k，可得滤除的谐波次数
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2.2 数字滤波器
频率特性：
例3 已知fs = 600Hz，代入上式得
k
12 p 1 m
（1）要滤除偶次谐波，可令m=2p，得k=5。 滤波器的差分方程为
y(n) = x(n) + x(n-1) + x(n-2) + ……+ x(n-5)
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2.2 数字滤波器
减法程序流程
减法滤波器程序入
取当前采样值 x(n) 取前6Ts时刻的采样值 x(n 6)
y(n) x(n) x(n 6)
滤波结果y (n) 存入RAM区 返回
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2.2 数字滤波器
2．知k，可得滤除的谐波次数
m
( 2 p 1 )N 2( k 1 )
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2.2 数字滤波器
例5：已知fs = 600Hz，则
6( 2 p 1 ) k 1 m
若令m=4p+2，则可滤除2、6、10……等次谐波，代入上式得k=2。
y(n) x(n) x(n 1) x(n 2)
5．简单滤波单元的组合 一个由m个简单滤波单元组成的级联滤波器的转移函数可表示为
m
H( z ) Hi ( z )
i 1
时延特性
幅频特性 相频特性
H( e
jTs
) H i ( e jTs )
i 1
m
c ci
i 1
m
( Ts ) i ( Ts )
i 1
1 2 k k
z变换为 H ( z ) 1 z z (1) z （1）k为奇数时的幅频特性
1 (1) k z ( k 1) 1 z 1
H ( e jTs
( k 1 )Ts sin 2 ) T cos s 2
s
j T H ( e ) 0 ，可得 代入，应使 m 1 要消除m次谐波，将
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2.2 数字滤波器
例1 已知采样频率fs=600Hz，基波频率f1=50Hz。则
k 12 p m
（1）要消除偶次谐波，取m=2p（p=0，1，2，….），代入上式得k=6，可消 去直流成分及2、4、6……等偶次谐波。滤波器的差分方程为 y(n) = x(n) – x(n-6) （2）要消除三次谐波及其整数倍的谐波，则可取m=3p，得k=4。 滤波器的差分方程为：y(n) = x(n) – x(x-4)。 （3）要消除直流、工频及其所有整数倍的谐波分量，可取m=p，k=12。 在电力系统稳态时，该滤波器没有输出；在系统发生故障后的一个基波 周期内，它只输出故障分量，所以可以用来使实现启动元件，选相元件及其 它利用故障分量原理构成的保护。
（2）若要滤除3的整数倍谐波，可令m=3p，得k=3，滤波器的差分方程为
y(n) = x(n) + x(n-1) + x(n-2) + x(n-3)
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2.2 数字滤波器
4．加减法滤波器
差分方程为
y( n ) x( n ) x( n 1 ) x( n 2 ) ( 1 )k x( n k )
第二章 微型计算机继电保护的数字信号基础
2.2 数字滤波器
二、简单滤波器及级联滤波器
最简单的数字滤波器是利用加、减法运算构成的线性滤波器。这种滤波器 是假定输入信号由稳态基波、稳态整次谐波和稳态直流所组成，不考虑暂态过 程和其它高频成分。所以这种滤波比较粗糙，但运算量较小。一般用于速度较 低的保护中。如过负荷保护、过电流保护和一些后备保护。 1.减法滤波器（差分滤波器） 差分方程为 y(n) = x(n) - x(n-k) z变换 Y(z) = X(z)(1 – z-k) 转移函数 H ( z ) Y ( z ) 1 z k
p=0，1，2，……
如果已知k，可得滤除的谐波次数
m
( 2 p 1) N . 2 k
第二章 微型计算机继电保护的数字信号基础
2.2 数字滤波器
例2 已知采样频率fs=600Hz，基波频率f1=50Hz，则N=fs / f1=12，得
k 6. 2p 1 m
要消除1、3、5……等奇次谐波，可令m=2p+1，得k=6，这种滤波器也不 输出基波分量。 y(n) = x(n) + x(n-6)
2数字滤波器数字滤波器shsgzezzekzezzzzkzghttt1111111?????????????ezzekz11?????第二章第二章微型计算机继电保护的数字信号基础微型计算机继电保护的数字信号基础2222数字滤波器数字滤波器ekzezzekzezzzzkshsgzzghttt1111111???????????????当k1时0368073602???zz解得482
H ( e jTs ) 2 sin
有有限个采样点，n1和n2是两个有限值。
按运算结构不同分类

递归型 非递归型
数字滤波器的运算过程可用下述常系数线性差分方程来描述
y( n ) ai x( n i ) b j y( n j )
t 0 j 0 m m
通过选择滤波器系数ai和bj，可以滤除输入信号序列x(n)中的某些无用频率成分。
m
第二章 微型计算机继电保护的数字信号基础
2.2 数字滤波器
例6 设采样频率为fs=600Hz，要求完全滤除直流分量和2、3、4、6次谐波分量。
pN pN m 解：采用两个减法滤波（带通 m ）单元和两个积分滤波（低通 ) k 1 k
单元级联：
H1(z) = (1-z-2)，―――0、6次 H2(z) = (1-z-6)，―――0、2、4次