专题07 平行线中的拐角问题(原卷版)

七年级数学下册解法技巧思维培优
专题07 平行线中的拐角问题
题型一过拐点作一条平行线
【典例1】（2019•自贡期末）学习完平行线的性质与判定之后，我们发现借助构造平行线的方法可以帮我们解决许多问题．
（1）小明遇到了下面的问题：如图1，l1∥l2，点P在l1，l2内部，探究∠A，∠APB，∠B的关系小明过点P作l1的平行线，可证∠APB，∠A，∠B之间的数量关系是：∠APB＝；
（2）如图2，若AC∥BD，点P在AC，BD外部，∠A，∠B，∠APB的数量关系是否发生变化？请写出证明过程；
（3）随着以后的学习你还会发现平行线的许多用途．
试构造平行线解决以下问题：
已知：如图3，三角形ABC，求证：∠A+∠B+∠C＝180°．
【典例2】（2019•无为期末）如图，AB∥CD∥EF，∠ABE＝70°，∠DCE＝144°，求∠BEC的度数．
【典例3】（2019•孟津期末）如图（1），AB∥CD，试求∠BPD与∠B、∠D的数量关系，说明理由．（1）填空：
解：过点P作EF∥AB，
∴∠B+∠BPE＝180°
∵AB∥CD，EF∥AB
∴（如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行）
∠EPD+＝180°
∴∠B+∠BPE+∠EPD+∠D＝360°
∴∠B+∠BPD+∠D＝360°
（2）依照上面的解题方法，观察图（2），已知AB∥CD，猜想图中的∠BPD与∠B、∠D的数量关系，并说明理由．
（3）观察图（3）和（4），已知AB∥CD，直接写出图中的∠BPD与∠B、∠D的数量关系，不用说明理由．
【典例4】（2019•浦东新区期中）（1）如图α示，AB∥CD，且点E在射线AB与CD之间，请说明∠AEC ＝∠A+∠C的理由．
（2）现在如图b示，仍有AB∥CD，但点E在AB与CD的上方，①请尝试探索∠1，∠2，∠E三者的数量关系．②请说明理由．
【典例5】（2019•滕州市期中）如图，AB∥CD，若∠ABE＝120°，∠DCE＝35°，求∠BEC的度数．
【典例6】（2019•孝南区校级月考）如图，AB∥CD，若∠ABE＝120°，∠DCE＝35°，求∠BEC的度数．
【典例7】（2019•浦东新区期中）（1）如图（a），如果∠B+∠E+∠D＝360°，那么AB、CD有怎样的关系？为什么？
解：过点E作EF∥AB①，如图（b），
则∠ABE+∠BEF＝180°，（）
因为∠ABE+∠BED+∠EDC＝360°（）
所以∠FED+∠EDC＝°（等式的性质）
所以FE∥CD②（）
由①、②得AB∥CD（）．
（2）如图（c），当∠1、∠2、∠3满足条件时，有AB∥CD．
（3）如图（d），当∠B、∠E、∠F、∠D满足条件时，有AB∥CD．
题型二过拐点作多条平行线
【典例8】（2019•北辰区校级月考）已知：如图，AB∥CD，试解决下列问题：
（1）∠1+∠2＝；（2）∠1+∠2+∠3＝；
（3）∠1+∠2+∠3+∠4＝_；（4）试探究∠1+∠2+∠3+∠4+…+∠n＝．
【典例9】（2019•召陵区期中）问题感知：如图（一），已知AB∥CD，点E是AB与CD间的一点，过点E作EM∥AB．易得∠B+∠D＝∠BED．
知识应用：如图（二），当点E在AB与CD之外时，其它条件不变，猜想∠B、∠D与∠E之间的关系，并说明理由．
应用提升：在图（三）、图（四）中，AB∥CD，直接写出∠B、∠D、∠E、∠F之间的数量关系．
【典例10】（2019•东莞校级月考）如图，已知AB∥CD，∠ABE和∠CDE的平分线相交于F，∠E＝140°．（1）直接写出：∠ABE+∠CDE＝°；
（2）求∠BFD的度数．
【典例11】（2019•莱城区期末）（1）如图①，MA1∥NA2，则∠A1+∠A2＝；
如图②，MA1∥NA3，则∠A1+∠A2+∠A3＝，请你说明理由；
（2）如图③，MA1∥NA4，则∠A1+∠A2+∠A3+∠A4＝；
（3）利用上述结论解决问题：如图④，AB∥CD，∠ABE和∠CDE的平分线相交于点F，∠E＝140°，求∠BFD的度数．
巩固练习
1．（2019•滕州市期末）如图，直线l∥m，将含有45°角的三角板ABC的直角顶点C放在直线m上，则∠1+∠2的度数为．
2．（2019•安徽期末）完成下面的证明：已知，如图，AB∥CD∥GH，EG平分∠BEF，FG平分∠EFD 求证：∠EGF＝90°
证明：∵HG∥AB（已知）
∴∠1＝∠3
又∵HG∥CD（已知）
∴∠2＝∠4
∵AB∥CD（已知）
∴∠BEF+＝180°
又∵EG平分∠BEF（已知）
∴∠1=1 2∠
又∵FG平分∠EFD（已知）
∴∠2=1 2∠
∴∠1+∠2=1
2（）
∴∠1+∠2＝90°
∴∠3+∠4＝90°即∠EGF＝90°．
3．（2019•武昌区校级月考）已知BE平分∠ABD，DE平分∠BDC，且∠BED＝∠ABE+∠EDC．（1）如图1，求证：AB∥CD；
（2）如图2，若∠ABE＝3∠ABF，且∠BFD＝30°时，试求∠CDF
∠FDE
的值；
（3）如图3，若H是直线CD上一动点（不与D重合），BI平分∠HBD，画出图形，并探究出∠EBI与∠BHD的数量关系．
4．（2019•凉州区期末）如图，已知AB∥ED，∠1＝35°，∠2＝80°，求∠ACD的度数．
5．（2019•南江期末）如图，已知AB∥CD，现将一直角三角形PMN放入图中，其中∠P＝90°，PM交AB 于点E，PN交CD于点F
（1）当△PMN所放位置如图①所示时，则∠PFD与∠AEM的数量关系为；
（2）当△PMN所放位置如图②所示时，求证：∠PFD﹣∠AEM＝90°；
（3）在（2）的条件下，若MN与CD交于点O，且∠DON＝30°，∠PEB＝15°，求∠N的度数．。