第28届2017年希望杯全国数学邀请赛

第二十八届“希望杯”全国数学邀请赛

高一 第2试·参考答案

一、选择题（每小题4分，共40分.）

二、填空题（每小题4分，共40分.）

注：第18题，每空2分，共4分.

三、解答题 每题都要写出推算过程.

21 (1) 要使函数2

21()log [(1)1]a f x x a x +=+-+的定义域为R ，需要

2(1)10x a x +-+>恒成立.

所以 2

=(1)40a ∆--<，

解得 13a -<<. (2分) 因为 210a +>，且211a +≠， 所以 12

a >-，且0a ≠. (4分) 综上，a 的取值范围是 1

(,0)(0,3)2

-

U . (5分) (2) 要使函数2

21()log [(1)1]a f x x a x +=+-+的值域为R ，需要

函数2

()(1)1g x x a x =+-+的值域包含),0(+∞.

所以 2

=(1)40a ∆--≥，

解得 1a ≤-，或3a ≥. (7分) 因为 1

2

a >-

，且0a ≠， 所以 3a ≥. (10分)

22 (1) 由()()0f x f x +-=，得

函数()f x 是奇函数. (5分)

(2) 令4cos 5([1,9])t x t =+∈，则

5

cos 4

t x -=

， 所以 2

2

sin 1cos x x =-

210916

t t -+-=. (8分)

因此 22

sin (())4cos 5

x

f x x =+

1910

()1616

t t =-

++. (10分) 令9

()([1,9])g t t t t

=+

∈，得 ()g t 在[1,3]t ∈时，单调递减；

在(3,9]t ∈时，单调递增，

所以 当t =3时，min ()6g t =；

当t =1或t =9时，max ()10g t =，

即 6()10g x ≤≤.

因此 2

10(())4

f x ≤≤

， 于是 11

()22

f x -≤≤， (12分)

故当1cos ,2sin x x ⎧

=-⎪⎪

⎨⎪=⎪⎩即22(Z)3x k k ππ=+∈时，max 1()2f x =；

当1cos ,2sin x x ⎧=-⎪⎪

⎨⎪=⎪⎩即42(Z)3x k k ππ=+∈时，min 1()2f x =-. (15分)

23 (1) 因为 2

221n n n S a a =+-， ① 所以 2

111221n n n S a a +++=+-， ② 由②-①，得 22

11122()()n n n n n a a a a a +++=-+-， 即 22

112()()0n n n n a a a a ++--+=，

因此 11()(221)0n n n n a a a a +++--=， (3分) 因为 1n a +，n a 均为正数， 所以 10n n a a ++>， 于是 12210n n a a +--=， 即 112

n n a a +-=

. 又因为 当n =1时，2

11112221S a a a ==+-，

解得 11a =，或11

2

a =-

(舍去)， 所以 数列{}n a 是首项为1，公差为1

2的等差数列， (5分)

因此 11

1(1)22n n a n +=+-=. (7分)

(2) 因为 1

2

n n a +=，

212(1)

n

n n n a b b b n +=+-

+，

所以 2

114

n n n b b b +=+-， 即 2111

()22n n b b ++

=+， (9分) 又因为 13

2b =，

所以，对于任意*

n N ∈， 102n b +>，

因此 2

21211log ()log ()22

n n b b ++=+， (11分)

设21

log ()2

n n c b =+，则 12n n c c +=，

又 1211log ()12

c b =+=，

所以 {}n c 是首项为1，公比为2的等比数列， (13分)

因此 1

2n n c -=.

于是 121

222

n n c n b -+

==， 故 1

2122

n n b -=-. (15分)