北师大版中考数学复习教案

中考总复习数学教案（北师⼤版）
有理数及其运算
⼀、中考要求：
1．理解有理数及其运算的意义，并能⽤数轴上的点表⽰有理数，会⽐较有理
数的⼤⼩．
2．借助数轴理解相反数和绝对值的意义，会求有理数的相反数与绝对值
⼆、知识要点：
1．整数与分数统称为有理数．有理数
2．规定了原点、正⽅向和单位长度的直线叫做数轴．
3．如果两个数只有符号不同，那么我们称其中⼀个数为另⼀个数的相反数，
也称这两个数互为相反数．0的相反数是0．
4．在数轴上，⼀个数所对应的点与原点的距离叫做该数的绝对值．
正数的绝对值是它本⾝；负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．
5．数轴上两个点表⽰的数，右边的总⽐左边的⼤；正数⼤于0，负数⼩于0，
正数⼤于负数；两个负数⽐较⼤⼩，绝对值⼤的反⽽⼩．
6．乘积为 1的两个有理数互为倒数．
7．有理数分类应注意：（1）则是整数但不是正整数；（2）整数分为三类：正整数、零、负整数，易把整数误认为分为⼆类：正整数、负整数．
8．两个数a、b在互为相反数，则a+b=0．
9．绝对值是易错点：如绝对值是5的数应为⼠5，易丢掉－5．
10．乘⽅的意义：求n个相同因数a的积的运算叫做乘⽅，乘⽅的结果叫做
幂．
11．有理数加法法则：同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；异号两数相加，绝对值相等时和为0；绝对值不等时，取绝对值较⼤的数的符号，
并⽤较⼤的绝对值减去较⼩的绝对值；⼀个数同0相加，仍得这个数．
12．有理数减法法则：减去⼀个数，等于加上这个数的相反数．
13．有理数乘法法则：两个有理数相乘，同号得正，异号得负，再把绝对值相乘；任何数与0相乘，积仍为0．
14．有理数除法法则：两个有理数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除；0除以任何⾮0的数都得0；除以⼀个数等于乘以这个数的倒数．
15．有理数的混合运算法则：先算乘⽅，再算乘除，最后算加减；如果有括号，先算括号⾥⾯的．
16．有理数的运算律：
加法交换律：a+b=b+a(a、b为任意有理数)
加法结合律：(a+ b)+c=a+(b+c)(a, b,c为任意有理数)
17．有理数加法运算技巧：
（1）⼏个带分数相加，把它们的整数部分与分数（或⼩数）部分分别结合起
来相加
（2）⼏个⾮整数的有理数相加，把相加得整数的数结合起来相加；
（3）⼏个有理数相加，把相加得零的数结合起来相加；
（4）⼏个有理数相加，把正数和负数分开相加；
（5）⼏个分数相加，把分母相同（或有倍数关系）的分数结合相加．
18．学习乘⽅注意事项：
（1）注意乘⽅的含义；
（2）注意分清底数，如：－an的底数是 a，⽽不是-a
三、经典例题剖析：
1．－（－4）的相反数是_______，－（+8）是______的相反数．
2．把下⾯各数填⼊表⽰它所在的数集⾥．
2 －3，7，－，0，2003，－1．41，0．608，－5 ％ 5
正有理数集｛ ?｝；负有理数集
｛ ?｝；
整数集｛ ?｝；有理数集
｛ ?｝；
3．计算：|－22|= ； 1－|－2|= ；（－3）3= ；（－2）×(－
3) =____ 。

4．数轴上点A到原点的距离是5，则A表⽰的数是_______
15．⼀个数的倒数的相反数是1则这个数是______ 5
6．今年我市⼆⽉份某⼀天的最低⽓温为－5oC，⽓温为13 oC，那么这⼀天
的⽓温⽐最低⽓温⾼______
7．⽐较－1529 与－的⼤⼩． 1632
8．若a的相反数是的负整数，b是绝对值最⼩的数，则a＋b=___________．9．计算12－|－18|+(－7)+(－15)
1111计算：?0.52+(-)2--22-4-(-1)3?()3?(-)4 2232
10.⽣物学指出，在⽣态系统中，每输⼈⼀个营养级的能量，⼤约只有10％的
能量能够流动到下⼀个营养级，在H1→H2→ H3→H4→H5→H6这条⽣物链中，（Hn 表⽰第n个营养级，n=l，2，?，6），要使H6获得10千焦的能量，需要H1提
供的能量约为（）千焦
A．104 B．105 C 106 D 107
11．（阅读理解题）
（1）阅读下⾯材料：点 A、B在数轴上分别表⽰实数a，b，A、B两点之间的
距离表⽰为|AB|，当A上两点中有⼀点在原点时，不妨设点A在原点，如图
1－2－4所⽰，|AB|=|BO|=|b|=|a－b|；当A、B两点都不在原点时，①如图1
－2－5所⽰，点A、B都在原点的右边，|AB|=|BO|－|OA|=|b|－|a|=b－a=|a
－b|；②如图1－2－6所⽰，点A、B都在原点的左边，|AB|=|BO|－|OA|=|b|
－|a|=－b－(－a)=|a－b|；③如图1－2－7所⽰，点A、B在原点的两边多边，
|AB|=|BO|+|OA|=|b|+|a|=a+(－b)=|a－
b|
综上，数轴上 A、B两点之间的距离|AB|=|a－b|
（1）回答下列问题：
①数轴上表⽰2和5的两点之间的距离是_____，数轴上表⽰－2和－5的两
点之间的距离是____，数轴上表⽰1和－3的两点之间的距离是______.
②数轴上表⽰x和－1的两点A和B之间的距离是________，如果 |AB|=2，
那么x为_________．
③当代数式|x+1|+|x－2|=2 取最⼩值时，相应的x 的取值范围是
_________
专题⼆：代数式
⼀、中考要求：
1．探索事物之间的数量关系，并⽤字母与代数式进⾏表⽰的过程，建⽴初
步的符号感，发展抽象思维．
2．在具体情境中进⼀步理解⽤字母表⽰数的意义，能分析简单问题的数量
关系，并⽤代数式表⽰．
3．理解代数式的含义，能解释⼀些简单代数式的实际背景或⼏何意义，体
会数学与现实世界的联系．
4．理解合并同类项和去括号的法则，并会进⾏运算．
5．会求代数式的值，能解释值的实际意义，能根据代数式的值推断代数式
反映的规律．
6．进⼀步熟悉计算器的使⽤，会借助计算器探索数量关系，解决某些问题．
⼆、知识要点：
1、代数式的定义：⽤基本的运算符号（运算包括加、减、乘、除以及乘⽅、
开⽅）把数、表⽰数的字母连接⽽成的式⼦．
2、代数式的写法应注意：（1）在代数式中出现的乘号，通常简写作“·”
或者省略不写，数字与数字相乘⼀般仍⽤“ ×”号；（2）在代数式中出现除法
运算时，⼀般按照分数的写法来写；（3）数字通常写在字母的前⾯；（4）带分数
要写成假分数的形式．
3、代数式的值：⼀般地，⽤数值代替代数式⾥的字母，按照代数式指明的
运算，计算出的结果，就叫做代数式的值．
4、列代数式的技巧：列代数式的关键是正确理解数量关系，弄清运算顺序
和括号的作⽤，要分清运算顺序，⼀般遵循先⾼级后低级，必要时加括号．除了和。

差、积、商、⼤⼩、多、少外，还要掌握下述数量关系：
⾏程问题：路程=速度×时间；
⼯程问题：⼯作量=⼯作效率×⼯作时间；
浓度问题：溶质质量=(溶液质量/溶液浓度)×100%
数字问题：百位数字×100+⼗位数字×10+个位数字=三位数．
5、同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项，叫做同类项．
6、合并同类项：把同类项合并成⼀项就叫做合并同类项．
7、合并同类项法则：在合并同类项时，把同类项的系数相加，字母和字母
的指数不变．
8、去括号法则：括号前是“+”号，把括号和它前⾯的“+”号去掉后，原
括号⾥各项的符号都不改变；括号前是“－”号，把括号和它前⾯的“－”号去
掉后，原括号⾥各项的符号都要改变．
三、经典例题剖析：
1、有⼀⼤捆粗细均匀的钢筋，现要确定其长度，先称出这捆钢筋的总质量
为m千克，再从中截取5⽶长的钢筋，称出它的质量为n千克，那么这捆钢筋的总长度为（）⽶
mmn5m5m A、 B、、 D、( －5) n55n
2、数轴上点A所表⽰的是实数a，则到原点的距离是（）
A、a B．－a C．±a D．－|a|
3、若abx与ayb2是同类项，下列结论正确的是（）
A．X＝2，y=1 B．X=0，y=0 C．X＝2，y=0 D、X=1，y=1
4、x－（2x－y）的运算结果是（）
A．－x+y B．－x－y C．x－y D．3x－y
5、下列各式不是代数式的是（）
2 A．0 B．4x2－3x+1 C．a＋b= b+a D、y
6、两个数的和是25，其中⼀个数⽤字母x表⽰，那么x与另⼀个数之积⽤代数
式表⽰为（）
A．x（x＋25） B．x（x—25） C．25x D．x（25－x）
7、下列各组的两个代数式是同类项的是（）
11 A、－ x2与0.1y2 B、－a2与a C、－3a2b与2ba2 D、 a2b与22
2ab2
axy28、－2xy的系数是_____，－的系数是____；－a2b的系数是____，πR2的3 3
系数是____．
9、观察下列算式：21=2，22=4,23=8,24=16,25=32,26=64,27=128,28=256，?那么
227的未位数字是_______.
10、研究下列各式，你发现什么规律
将你找到的规律⽤含n的等式表⽰出来__________
11、观察下列数表：
根据数表所反映的规律，猜想第6⾏与第6列的交叉点上的数应为________，第n⾏与第n列交叉点上的数应为_________（⽤含有n的代数式表⽰，n为正整数）
解：11；2n－1 点拨：由已知的四个特例即可得到第n⾏与第n列交叉点上的数满⾜2n—1.
12、观察下列各等式：
（1）以上各等式都有⼀个共同的特征：某两个实数的⼀等于这两个实数的___________；如果等号左边的第⼀个实数⽤x表⽰，第⼆个实数⽤y表⽰，那么这些等式的共同特征可⽤含x，y的等式表⽰为_
____________________.
（2）将以上等式变形，⽤含y的代数式表⽰x为_________________；
（3）请你再找出⼀组满⾜以上特征的两个实数，并写出等式形式：__________________
解：
x⑴差；商；x－y= (y≠0,且y＝1) y
⑵x=y2
(y?0且y?1) y?1
⑶如：16161616-4=?4-4=?4 3333
专题三:整式
⼀、中考要求：
1、经历⽤字母表⽰数量关系的过程，在现实情境中进⼀步理解字母表⽰数的意
义，发展符号感．
2、经历探索整式运算法则的过程，理解整式运算的算理，进⼀步发展观察、归
纳、类⽐、概括等能⼒，发展有条理的思考及语⾔表达能⼒．
3、了解整数指数幂的意义和正整数指数幂的运算性质；了解整式产⽣的背景和
整式的概念，会进⾏简单的整式加、减、乘、除运算（其中多项式相乘仅限于⼀次式相乘，整式的除法只要求到多项式除以单项式且结果是整式）．
222224、会推导乘法公式：（a+b）（a－b）=a+b，（a±b）=a±2ab+b，了解公式的
⼏何背景，并能进⾏简单的计算．
5、在解决问题的过程中了解数学的价值，发展“⽤数学”的信⼼．
⼆、知识要点：
1、幂的意义：⼏个相同数的乘法
2、幂的运算性质：（1）am·an= am+n
（2）（am）n= amn；（3）（ab）n= anbn；
（4）am÷an=am－n（a≠0，a，n均为正；3、特别规定：（1）a0＝1（a≠0）；；（2）a-p=1(a?0,p是正整数)ap；4、幂的⼤⼩⽐较的常⽤⽅法：；102221022210222⑴求差⽐较法：如⽐；999；99999911999099?119990999；999；⑶乘⽅⽐较法：如a3=2，b3=3，⽐较a、b⼤；5331515（b）＝3=2
--------------------------------------------------------------------------------
（4）am÷an= am－n（a≠0，a，n均为正整数）
3、特别规定：（1）a0＝1（a≠0）；
（2）a-p=1(a?0,p是正整数) ap
4、幂的⼤⼩⽐较的常⽤⽅法：
102221022210222 ⑴求差⽐较法：如⽐较2和2的⼤⼩，可通过求差2-2<0可知.2>2 131313131313
999
99999911999099?119990999119 ⑵求商⽐较法：如99与99，可求99= 99 1，⽅可知=9911999119999119999990 999
⑶乘⽅⽐较法：如a3=2，b3=3，⽐较a、b⼤⼩可算 a15=（a3）5= 25=32，b15=
5331515（b）＝3=2 7，可得a＞b，即a＞b．
⑷底数⽐较法：就是把所⽐较的幂的指数化为相同的数，然后通过⽐较底数
的⼤⼩得出结果．
⑸指数⽐较法：就是把所⽐较的幂的底数化为相同的数，然后通过⽐较指数的⼤⼩，得出结果．
5、单项式：都是数与字母的乘积的代数式叫做单项式．单独的⼀个数或⼀个字
母也是单项式．
6、多项式：⼏个单项式的和叫做多项式．
7、整式：单项式和多项式统称整式．．
8、单项式的欢数：⼀个单项式中，所有字母的指数和叫做这个单项式的次数．
9、多项式的次数：⼀个多项式中，次数的项的次数，叫做这个多项式的次
数．
10、添括号法则：添括号后，括号前是“+”号，插到括号⾥的各项的符号都不
变；括号前是“－”号，括到括号⾥的各项的符号都改变．
11、单项式乘以单项式的法则：单项式与单项式相乘，把它们的系数，相同字母
的幂分别相乘，其余字母连同它的指数不变，作为积的因式．
12、单项式乘以多项式的法则：单项式与多项式相乘，就是根据分配律，⽤单项
式去乘多项式的每⼀项，再把所得的积相加．
13、多项式乘以多项式的法则：多项式与多项式相乘，先⽤⼀个多项式的每⼀项
乘另⼀个多项式的每⼀项，再把所得的积相加．
14、单项式除以单项式的法则：单项式相除，把系数、同底数幂分别相除后，作
为商的因式；对于只在被除武⾥含有的字母，则连同它的指数⼀起作为商的⼀个因式．
15、多项式除以单项式的法则：多项式除以单项式，先把这个多项式的每⼀项分
别除以单项式，再把所得的商相加．
16、整式乘法的常见错误：（1）漏乘如（在最后的结果中漏乘字母c．
（2）结果书写不规范在书写代数式时，项的系数不能⽤带分数表⽰，若有带分数⼀律要化成假分数或⼩数形式．
（3）忽略混合运算中的运算顺序整式的混合运算与有理数的混合运算相同，“有乘⽅，先算乘⽅，再算乘除，最后算加减：如果有括号，先算括号⾥⾯的．”
（4）运算结果不是最简形式运算结果中有同类项时，要合并同类项，化成
最简形式．
（5）忽略符号⽽致错在运算过程中和计算结果中最容易忽略“⼀”号⽽致错．
17、乘法公式：平⽅差公式（a+b）（a－b）=a2+b2，，，完全平⽅公式：（a±b）
2=a2±2ab+b2
18、平⽅差公式的语⾔叙述：两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平
⽅差．’
19、平⽅差公式的结构特征：等号左边⼀般是两个⼆项式相乘，并且这两个⼆项式中有⼀项是完全相同，另⼀项互为相反项问系数互为相反数，其他因数相同⼈与这项在因式中的位置⽆关．等号右边是乘积中两项的平⽅差，即相同项的平⽅减去相反项的平⽅．
20、运⽤平⽅差公式应注意的问题：（1）公式中的a和b可以表⽰单项式，也可以是多项式；（2）有些多项式相乘，表⾯上不能⽤公式，但通过适当变形后可以⽤公式．如（a＋b－c）（b －a+c）=[（b+a）－c]]［b－（a－c）］=b2 －（a－c）21、完全平⽅式的语⾔叙述：（1）两数和(差)的平⽅等于它们的平⽅和加上它们乘积的2倍．字母表⽰为：
(a±b)2=a2±2ab+b2；
22、运⽤完全平⽅公式应注意的问题：（1）公式中的字母具有⼀般性，它可以表⽰单项式、多项式，只要符合公式的结构特征，就可以⽤公式计算；（2）在利⽤此公式进⾏计算时，不要丢掉中间项“2ab”或漏了乘积项中的系数积的“ 2”倍；（3）计算时，应先观察所给题⽬的特点是否符合公式的条件，如符合，则可以直接⽤公式进⾏计算；如不符合，应先变形为公式的结构特点，再利⽤公式进⾏计算，如变形后仍不具备公式的结构特点，则应运⽤乘法法则进⾏计算．
三、经典例题剖析：
1、计算（－3a3）2：a2的结果是（）
A．－9a2 B 6a2 C 9a2 D 9a4
2、下列计算正确的是（）
12626242nn22nnnA. x?x=x B.(-a)?(-a)=-a C. x?x=x D.(-a)?a=a
3、已知a=8131，b=2741,c=961,则a、b、c的⼤⼩关系
是（）
A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．a＜b＜c D．b＞c＞a
4、计算（2+1）（22 +1）（23+1）?（22n +1）的值是（）
A、42n －1
B、22
C、2n －1
D、22n －1 2n
5、三个连续奇数，若中间⼀个为n，则这三个连续奇数之积为（）
A．4n2－n B. n2－4n C．8n2－8a D．8n2－2n
6、计算：xx=_______； 0.2×5=________； 2399101
－m3·(－m4)·(－m)=_________ ；（a－2 b）(a+2 b)=________．
7、已知代数式2x2＋3x+7的值是8，则代数式4x2 + 6x+ 200=___________
8、已知x2+y2=25，x+y=7，且x＞y，x－y的值等于________．
9、若x2－2x+y2+6y+10=0．则x=_________，y= 。

10、⼀种电⼦计算机每秒可作8 ×108次运算，它⼯作 6×102秒可作多少次运算？（结果⽤科学记数法表⽰）
11、已知3m ·9m·27m·81m=330,求m的值．
12、证明代数式16＋a －｛8a－［a－9－（3－6a）］｝的值与a的取值⽆关．
13、试求不等式（3x+4）（3x－4）≥9（x－2）（x+3）的负整数解．
2214、已知x+y=25，x+y=7，且x＞y，x－y的值等于________．
解：本题考查了对完全平⽅公式(a±b)2=a2±2ab+b2的灵活运⽤．由（x+y）2=x2+2xy+y2，可得xy=12．所以（x－y）2=25－24=1．⼜因为x＞y，所以x—y＞0．所以x—y＝1
15、阅读材料并解答问题：我们已经知道，完全平⽅公式可以⽤平⾯⼏何图形的⾯积来表⽰，实际上还有⼀些代数恒等式也可以⽤这种形式表⽰，例如：（2a
22＋b）（a+b）=2a＋3ab+ b就可以⽤图l－l－l或图l－l－2等图形的⾯积表
⽰．
（1）请写出图l－1－3所表⽰的代数恒等式：
（2）试画出⼀个⼏何图形，使它的⾯积能表⽰：
（a+b）（a+3b）＝a2＋4ab⼗3b2．
（3）请仿照上述⽅法另写⼀下个含有a、b的代数恒等式，并画出与之对应的
⼏何图形．
解：（l）（2a+b）（a+2b）＝2a2+5ab +2b2
（2）如图l－1－4（只要⼏何图形符合题⽬要即可）．
（3）按题⽬要求写出⼀个与上述不同的代数恒等式，画出与所写代数恒等
⽣对应的平⾯⼏何图形即可（答案不）．
点拨：本题是⼀道阅读理解题，是中考的热点题型．
专题四：分解因式
⼀、中考要求：
1．经历探索分解因式⽅法的过程，体会数学知识之间的整体联系（整式乘法与
分解因式）．
2．了解分解因式的意义，会⽤提公因式法、平⽅差公式和完全平⽅公式（直接
⽤公式不超过两次）分解因式（指数是正整数）．
3、通过乘法公式(a?b)(a?b)?a2?b2，(a?b)2?a2?2ab?b2的逆向变形，进⼀步发展学
⽣观察、归纳、类⽐、概括等能⼒，发展有条理的思考及语⾔表达能⼒．
⼆、知识要点：
1．分解因式：把⼀个多项式化成⼏个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多
项式分解因式．
2．分解困式的⽅法：
⑴提公团式法：如果⼀个多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因
式提出来，从⽽将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的⽅法叫做提公因式法．
⑵运⽤公式法：公式a2?b2?(a?b)(a?b) ；a2?2ab?b2?(a?b)2
3．分解因式的步骤：分解因式时，⾸先考虑是否有公因式，如果有公因式，⼀
定先提取公团式，然后再考虑是否能⽤公式法分解．
4．分解因式时常见的思维误区：
提公因式时，其公因式应找字母指数最低的，⽽不是以⾸项为准．若有⼀项被全
部提出，括号内的项“ 1”易漏掉．分解不彻底，如保留中括号形式，还能继续分解等
三、经典例题剖析：
1．下列各式从左到右的变形，属于因式分解的是（）
.(a?b?1)?a2?ab?a B.a2-a-2=a(a-1)-2 Aa
C.?4a2?9b2?(?2a?3b)(2a?3b)
D.a2?4a?5?(a?2)2?9
2．把a2-c2+b2-2ab分解因式的结果是（）
A.(a+c)(a-c)+b(b-2a)
B.(a-b)2-c2
C.(a+b+c)(a+b-c)
D.(a-b+c)(a-b-c)
3．把2m6+6m2分解因式正确的是（）
A.2m2(m4+3)
B.2m2(m4-3)
C.2m2(m3-3)
D.2m2(m3+3)
4. 下列各组多项式中没有公因式的是（）
A．3x－2与 6x2－4x B.3（a－b）2与11（b－a）3
C．mx—my与 ny—nx D．ab—ac与 ab—bc
5. 分解因式：x2－9=___________， a3-2a2b+ab2=___________
6. 在实数范围内分解因式：ab2 －2a＝____________
7.分解因式的结果是（a2+2）（a2－2）的多项式是___________.
8.分解因式：（1）25（a＋b）－9（a－b）22 （2）(m2+n2)2-4m2n2
9.（阅读理解题）分解因式：x2 －120x+3456
分析：由于常数项数值较⼤，则采⽤x 2 －120x变为差的平⽅的形式进⾏分解，这样简便易⾏：x2 －120x+3456 = x2 －2×60x+3600－3600+3456
= (x－60)2－144=(x－60+12)(x-60-12)=(x－48)(x－
72)
请按照上⾯的⽅法分解因式：x2+42x－3526
专题五：分式
⼀、中考要求：
1．经历⽤字母表⽰现实情境中数量关系(分式、分式⽅程）的过程，了解分式、
分式⽅程的概念，体会分式、分式⽅程的模型思想，进⼀步发展符号感．
2．经历通过观察、归纳、类⽐、猜想、获得分式的基本性质、分式乘除运算法
则、分式加减运算法则的过程，发展学⽣的合情推理能⼒与代数恒等变形能⼒．
3．熟练掌握分式的基本性质，会进⾏分式的约分、通分和加减乘除四则运算，
会解可化为⼀元⼀次⽅程的分式⽅程（⽅程中分式不超过两个）会检验分式⽅程的根．
4．能解决⼀些与分式、分式⽅程有关的实际问题，具有⼀定的分析问题、解决
问题的能⼒和应⽤意识．
5．通过学习，能获得学习代数知识的常⽤⽅法，能感受学习代数的价值．
⼆、知识要点：
A1．分式：整式A除以整式B，可以表⽰成的形式，如果除式B中含有字母，那么B
A称为分式． B
AA注：（1）若B≠0，则有意义；（2）若B=0，则⽆意义；（2）若A=0且B≠0，BB
A则 =0 B
2．分式的基本性质：分式的分⼦与分母都乘以（或除以）同⼀个不等于零的整式，分式的值不变．
3．约分：把⼀个分式的分⼦和分母的公团式约去，这种变形称为分式的约分．
4．通分：根据分式的基本性质，异分母的分式可以化为同分母的分式，这⼀过程称为分式的通分．
5．分式的加减法法则：（1）同分母的分式相加减，分母不变，把分⼦相加减；
（2）异分母的分式相加减，先通分，化为同分母的分式，然后再按同分母分式的加减法则进⾏计算．
6．分式的乘除法法则：两个分式相乘，把分⼦相乘的积作为积的分⼦，把分母相乘的积作为积的分母；两个分式相除，把除式的分⼦和分母颠倒位置后再与被除式相乘．
7．通分注意事项：（1）通分的关键是确定最简公分母，最简公分母应为各分母
系救的最⼩公倍数与所有相同因式的次幂的积；（；8．分式的混合运算顺序，先算乘⽅，再算乘除，最后；⾥⾯的．；9．对于化简求值的题型要注意解题格式，要先化简，；10．分式⽅程．分母中含有未知数的⽅程叫做分式⽅；11．分式⽅程的解法：解分式⽅程的关键是⼤分母（；12．分式⽅程的增根问题：；⑴增根的产⽣：分式⽅程本⾝隐含着分母不为0的条件；13．分式⽅程的应⽤：
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系救的最⼩公倍数与所有相同因式的次幂的积；（2）易把通分与去分母混淆，本是通分，却成了去分母，把分式中的分母丢掉．
8．分式的混合运算顺序，先算乘⽅，再算乘除，最后算加减，有括号先算括号
⾥⾯的．
9．对于化简求值的题型要注意解题格式，要先化简，再代⼈字母的值求值．
10．分式⽅程．分母中含有未知数的⽅程叫做分式⽅程．
11．分式⽅程的解法：解分式⽅程的关键是⼤分母（⽅程两边都乘以最简公分母⼈将分式⽅程转化为整式⽅程．
12．分式⽅程的增根问题：
⑴增根的产⽣：分式⽅程本⾝隐含着分母不为0的条件，当把分式⽅程转化为整式⽅程后，⽅程中未知数允许取值的范围扩⼤了，如果转化后的整式⽅程的根恰好使原⽅程中分母的值为0，那么就会出现不适合原⽅程的根l增根；⑵验根：因为解分式⽅程可能出现增根，所以解分式⽅程必须验根．
13．分式⽅程的应⽤：
列分式⽅程解应⽤题与列⼀元⼀次⽅程解应⽤题类似，但要稍复杂⼀些．解题时应抓住“找等量关系、恰当设未知数、确定主要等量关系、⽤含未知数的分式或整式表⽰未知量”等关键环节，从⽽正确列出⽅程，并进⾏求解．另外，还要注意从多⾓度思考、分析、解决问题，注意检验、解释结果的合理性．
14．通过解分式⽅程初步体验“转化”的数学思想⽅法，并能观察分析所给的各个特殊分式或分式⽅程，灵活应⽤不同的解法，特别是技巧性的解法解决问题．
三、经典例题剖析：
1、当x____时，分式3有意义． 1-x
3xxx2?12、先化简，再求值：(，其中x?2. ?)
x?1x?1x
23、先将x?2x?(1?1)化简，然后请你⾃选⼀个合理的x值，求原式的值。

x?1x
4、把分式⽅程11?x的两边同时乘以(x-2), 约去分母，得（） ??1x?22?x
A．1-(1-x)=1 B．1+(1-x)=1 C．1-(1-x)=x-2
D．1+(1-x)=x-2
5、当 k等于（）时，kk?1?2与是互为相反数。

k?5k
6532 A． B. C. D. 5623
6、正在修建的西塔（西宁～塔尔寺）⾼速公路上，有⼀段⼯程，若甲、⼄两个⼯程队单独完成，甲⼯程队⽐⼄⼯程队少⽤10天；若甲、⼄两队合作，12天可以完成．若没甲单独完成这项⼯程需要x天．则根据题意，可列⽅程为_______________-
7、解⽅程：
8、⽅程2?x11??1 x?1x?1x?1的解是________ x?3
9、某市今年1⽉10起调整居民⽤⽔价格，每⽴⽅⽶⽔费上涨25％，⼩明家去年12⽉份的⽔费是18元，⽽今年5⽉份的⽔费是36元，已知⼩明家今年5⽉份的⽤⽔量⽐去年12⽉份多6 m3，求该市今年居民⽤⽔的价格．
解：设市去年居民⽤⽔的价格为x元／m3，则今年⽤⽔价格为(1+25％) x元／m3．根据题意，得 3618??6，解得x=1.8 (1? 25%)xx
经检验，x=1．8是原⽅程的解．所以(1+25％）x=2．25．
3 答：该市今年居民⽤⽔的价格为 2．25 x元／m．
点拨：分式⽅程应注意验根．本题是⼀道和收⽔费有关的实际问题．解决本题的关键是根据题意找到相等关系：今年5⽉份的⽤⽔量⼀去年12⽉份的⽤量=6m3.
10、就要毕业了，⼏位要好的同学准备中考后结伴到某地游玩，预计共需费⽤1200元，后来⼜有2名同学参加进来，但总费⽤不变，于是每⼈可少分摊30元，试求原计划结伴游玩的⼈数．
专题六：数的开⽅与⼆次根式
⼀、中考要求：
1．在经历数系扩张、探求实数性质及其运算规律的过程；从事借助计算器探索数学规律的活动中，发展同学们的抽象概括能⼒，并在活动中进⼀步发展独⽴思考、合作交流的意识和能⼒．
2．结合具体情境，理解估算的意义，掌握估算的⽅法，发展数感和估算能⼒．
3．了解平⽅根、⽴⽅根、实数及其相关概念；会⽤根号表⽰并会求数的平⽅根、⽴⽅根；能进⾏有关实数的简单四则运算．4．能运⽤实数的运算解决简单的实际问题，提⾼应⽤意识，发展解决问题的能⼒，从中体会数学的应⽤价值．
⼆、考点讲解：
1．平⽅根：⼀般地，如果⼀个数x的平⽅等于a,即x2=a那么这个数a就叫做x的平⽅根（也叫做⼆次⽅根式），⼀个正数有两个平⽅根，它们互为相反数；0只有⼀个平⽅根，它是0本⾝；负数没有平⽅根．
2．开平⽅：求⼀个数a的平⽅根的运算，叫做开平⽅．。