第一章 投影法和点线平面的投影

侧平线
(//W面，对V，H面倾斜）
水平线
(//H面，对V，W面倾斜）
V
V
V
2）在另外两个投 影面上的投影，平 行于投影轴。
（三）投影面的垂直线(倾角 = 900)
正垂线 铅垂线
(|H面，//V面，//W面）
侧垂线
(|W面，//V面，//H面）
表1－2列出了三种 投影面的垂直线的 投影和投影特性。 1）与直线垂直投 影面上的投影，积 聚成一点。 2）在另外两个 投影面上的投影 平 行于投影轴， 反映 真实长度。
⒊ 两直线交叉
c a
X
′
′
b′ d
′
V
b′ d′ B
O
a
d
c
c′ a′ A a
C
c
D d b H
b
两直线相交吗？ 不相交！ 为什么？ 交点不符合一个点的投影规律！
例1－4：作水平线MN与AB、CD、 EF分别交于点M、S、T，N点在 V面之前6mm（图1－16）
四、换面法以及直线在换面法上的基本情况
根据几何形体作平行与投影面的镜面投影，能直接反映真长和 投影面的倾斜角的启示，使几何形体在新的投影面体系上处于便利 解题的特殊位置，可在新的投影面体系中作图求解，这种方法称为： 变换投影面法，简称：换面法。
CAD的输入格式： @△X ,△Y, △Z
（四）重影点
从下图可知，点C在点A之后，两点无左右、上下距离差，这 两点的正面投影互相重合，点A和点C称为对正投影面的重影点。 同理，也有对水平投影面和测投影面的重影点。 表示重影点时，看不见点的投影，其代号用圆括号括起来,例 如上面所述的C点的正投影看不见，可表示为a’(c’)。
a 点 称为 ：投影（图象）
产生A点图象的方法称为: 投影法。 投影法分为两类： 中心投影法 平行投影法（称平行光源）
二、中心投影法
如图所示，点 S（投射中心）射 出过A点射线，在 投影面 P形成 a点的投影图案， 该方法称为： 中心投影法。
如图所示，投射线（由平行光源）平行投射，在投影面P形 成的投影图案，称为平行投影法。 平行投影法又可分为： 正投影法：投影线（平行光源）垂至于投影面的投影法 斜投影法：投影线（平行光源）倾斜于投影面的投影法
若AB、CD交叉，则a’b’和c‘d’的 交点分别是位于AB、CD上对正 面投影的重影点的投影。 添加W面，e“点投影不是共点。
3、红线1e//2b，所以E点在ab线上。 所以AD与CD交叉。
例：判断点C是否在线段AB上。
①
a
c
●
b
②
a
c
●
b b a c
a
③ a
●
c
●
a
●
b
c b a c
（三）两点的相对位置
如图1－8所示，两个点的投影沿左右、前后、上下三个方向 所反映的坐标差，即这两个点对应投影面W、V、H的距离差， 能反映两点的相对位置；反之，若已知两点的相对位置和其中 一点的投影，也能作出另一点的投影。
两点的相对位置
A(XA,YA,ZA) 和 B(XB,YB,ZB) 两点的相对位置： 如：b’→ a’ : a’(△X=Xa-Xb ，△Z =Za-Zb ) b → a : b (△X=Xa-Xb ，△Z =Za-Zb ) 如：a’→ b’ : b’(△X =Xb-Xa ，△Z =Zb-Za ) a → b : b (△X=Xb-Xa ，△Z =Zb-Za )
三、点在 三投影面体系第①分角中的投影
点在两个面的投影已基本能确定点在空间位置，但还不能清晰描述几何 图形的特牲，再设立一个与 V面和H面都垂直的侧立投影面（简称侧面或W 面）形成一个三投影面体系。 如图所示，三个投影面之间的交线 OX，OY，OZ ，它们必定互相垂直。 称为：三投影面体系的三根投影轴。
机 械 制 图
万婧 力学与工程科学系 wanjing@
第一章 投影法和点、线、平面的投影
1－1 投影法
一、投影的基本知识
在图中，点S和A均是 P平面外的点，从 S点过 A点交于P平面上的图象 a点。则将 S、A连成直线，作出 SA 与 平面P 的交点 a，a点称为点A的投影图象。 S点 称为：投射中心（称点光源） P平面称为：投影面 SA线称为 ：投射线
(|V面，//H面，//W面）
V
V
V
三、两直线的相对位置
图1－3表示了两直线的三种相对位置：平行、相交、交叉。
平行两直线
V V
相交两直线
V
交叉两直线
【例1－2】判断两直线的相对位置。(P77)
【例1－3】判断直线AB、CD的相对位置。
解： 1、由于两直线的同面投影不平行， 所以AB // CD； 2、若AB、CD相交，则a’b’和c‘d’的 交点是AB和CD的交点的投影；
直线倾斜于投影面 投影比空间线段短 ab=AB.cos
【例1－1】作出分线段AB为3:2的点C的两投影c和c’
V c' a' X A a
3
b' c' C
2
b' c" a" O a B c" b" O a" W a' X
b" c' a' X a
b' c" a" O
b"
c H b C0
c b B0
c b
B ( ob,0,ob”）
D(od,0,0）
C(oc ’,oc”,0）
例3 ：
已知：B点和 C点 的坐标：B(15,10,0) ，C(0,0,20)。 求作：两点的第三投影图。
例：A (ax ,ay ,az)， B (bx ,by ,bz)， C (cx ,0 ,cz)， D (dx ,dy ,0)， E (ex ,0 ,0)， F (0 ,fy ,fz)：
上遮下 左遮右 前遮后
1－3 直线的投影
一、直线及直线上点的投影特性
1）不垂直于投影面的直线在该投影面上的投影仍然是直线。 2）垂至于投影面的直线的投影，积聚成一点。 3）直线上点的投影必在直线的同面投影上（几何形体在同一 投影面上的投影，称为同面投影）。 4）不垂直于投影面的直线上的点，分割直线之比，在投影后 保持不变。
要准确地描述A点的空间位置,可应用 两个或更多的投影面，A点向多个投影 面作正投影，形成多面投影。来获得 A(x0,y0,z0)坐标值和点在空间的位置。
多面正投影 几何形体放在相互垂直的两个或更多的投影面 之间 ，向这些投影面投影，形成 ：多面投影。
国标规定：
物体在互相垂直的两个或多个投影面上得到的正投影后，将 这些投影面旋转展开到同一图面上，使物体的各正投影图 有 规则地配置，并相互之间形成对应关系，这样的图形称为： 两面投影 或 多面投影图
《三维空间线投影》
《三维空间投影展开后》
《三视图》
V
b′
b′
B
Z
c′
a′
C A
b″
c″ W a″
X
c′
a′
O
b″ c″ a″
Y
c b
H
c a
b
Y
a
◆若点在直线上,则点的投影必在直线的同面投影上。
即：
◆点的投影将线段的同名投影分割成与空间线段相同的比例。 AC:CB=ac:cb= ac : cb= ac : cb
《两面投影》
《三维立体图的多面投影》 《投影面展开图》
二、点在两面投影面体系第一角中的投影
如图所示，设立互相垂直的 正 立投影面（简称正面或V面） 水 平投影面（简称水平面或H面）组 成两投影面体系。 H 面和 V面相交于投影轴 OX (投影面的交线)将空间分为四个角。 我国制图标准规定将形体处在 《图2－4》①角中投影，本课程只 讲述 第①角投影法 。
如图2-5(a)所示，将空间点A分别向正投影面 V 和水平投影面V作出投影 a’ 和 a。然后V面不动，将H面绕投影轴OX向下旋转90度，就得到点A的投影图， 如图2-5(b)所示。实际上不画出边框和ax。点 a' (Aa')和 a(Aa)的连线称为投 影连线。
点的两面投影特性： （1）点的投影连线垂直投影轴。 （2）点的投影到投影轴的距离等于点到相邻投影面的距离。 A(x0,y0):V面的距离=y0 (Aa 或 axa’) 、H面的距离=x0 (Aa’或 axa)
点的每个投影反映它的两个坐标值： a(ax,ay) a’(ax,az) a”(ay,az)
（二）投影面和投影轴上的点
图表示了投影面和投影轴上点的投影特性： （1）投影面上的点有一个坐标分量为零(V面上B点、H面上C点) 在该投影面上的投影与该点重合(即投影面上的点)，在相邻的投影面上 的投影分别在相应的投影轴上。 （2）投影轴上的点有两个坐标分量为零：（OX轴上D点） 在包含该轴的两个投影面上的投影与该点重合(即投影轴上的点) ，在 另一个投影面上的投影与点O重合。
正投影法 斜投影法
三、平行投影法
中心投影法
平行投影法
1－2 多面正投影和点的投影
一、多面正投影
点的位置A(x0,y0,z0)由正投影获得。
如图，空间点A作垂至于投影面P的 投影线，相交与平面P唯一投影点a。
若又已知点A0(x1,y1,z1)与A点为同一 垂直线上的点，投影也相交与平面P上a 点，这样就出现问题，点 A的位置不能 被唯一确定。
直线的投影
两点确定一条直线，将两点的同面投影 用直线连接，就得到直线的同面投影。
a
●
●
a
●
●
b
b
a
直线对一个投影面的投影特性
A● M● B● A●
●
● ●
b
B ●
A●
●
B

●
a≡b≡m
直线垂直于投影面 投影重合为一点 积 聚 性
●
a
b
a
b
●
●
直线平行于投影面 投影反映线段实长 ab=AB
两个空间的点，发生重影的条件： 两对坐标值相等，一对坐标值不相等.
Xa = Xc
a'(c') Yc Za/Zc
Za = Zc
Ya > Yc
a'(c') c" a"
C A
c" a"
Za/Zc
c Ya
Yc c a Xa/Xc a Xa/Xc Ya
《三维空间线投影》
《三视图》
重影点的可见性问题：
在H面：上遮下；在W面：左遮右；在V面：前遮后
V
A a'
b
a"
r
X
b'
a a Bb
YH
图1－12 为一般位置直线的投影。
（二）投影面的平行线
表 1－1 列出 了 投影面平行线的投 影和投影特性。 1）在平行的投影 面上的投影反映实 长；它与投影轴的 夹角，分别反映直 线与另两个投影面 的夹角。
正平线
(//V面，对H，W面倾斜）
(倾角 = 00)
●
c
b
另一判断法? 应用定比定理
●
b
例：已知点K在线段AB上，求点K正面投影。
解法一： （应用第三投影）
解法二： （应用定比定理）
a k b b k a
● ●
k
●
a
a k b b k
●
●
●
●baFra bibliotek例：过C点作水平线CD与AB相交。
b c a
●
k
d
a c k
●
d b
先作正面投影
A (ax ,ay ,az) ax = Oax = ayHa =aZa’ ay = OayH = axa = 0ayw = aZa” az = Oaz = axa’= aywa”
立体图
展开图
投影图
点的三面投影特性：
（1）点的投影连线垂至于 投影轴。 （2）点的投影到投影轴的 距离，等于点的坐标 分量值，也就是该点 与对应的相邻投影面 的距离。
(注：三根投影轴与三维笛卡尔坐标系类似，在三维坐标系中A点的位置为A(ax ,ay ,az )）。
投影面展开
不动
V
Z
Z
向右翻
a
●
az
O
●
a
W
V
a
●
az
●
X
ax a
H
●
ay
Y
X ax
A
O
●
a ay
W
ay
Y 向下翻
a
●
H
Y
(一) 点的投影与坐标
A点在三投影面体系中： 用a 表示空间点A的(H)水平投影； 用a’表示空间点A的(V)正投影； 用a”表示空间点A的(W)侧投影。 点A ( ax ,ay ,az )的 坐标分量： ax=H 投影面的距离(Ya) 或 正投影到W投影面与Y轴的距离； ay=W投影面的距离(Xa) 或 正投影到W投影面与X轴的距离； az=A点到投影面H的垂直距离(Za) 或 ax与ay投影面在Z轴上的交点。
3、直线与投影面的夹角(倾角 00< αβ γ <900) ：
定义：、、分别为直线与投影面H、V、W面的夹角。
（一）一般位置的直线 (倾角 00< αβγ <900)
一般位置直线的投影特性为： 三个投影都倾斜于投影轴 投影长度小于直线的真实长度 投影与投影轴的夹角不反映直线对投影面的夹角
Z Z a' a" X b' b" b Y a O b" YW
定比定理
二、直线对投影面的各种相对位置
1、一般位置的直线(倾角 00< αβ γ <900) ： 对V、H、W面倾斜。 2、特殊位置的直线：
（a）投影面的平行线(倾角 = 00) ： 只平行于一个投影面的直线，投影面的平行线包括水平 线、正平线和侧平线(对其它两投影面都倾斜)。 （b）投影面的垂直线(倾角 = 900) ： 垂至于投影面的直线，它必定平行于另外两个投影面， 所以它是投影面的平行线的特例。投影面的垂直线 包括铅垂线、正垂线和侧垂线。