数学与艺术(教师心得)

数学与艺术
是人类的共同语言，爱美的人就会对美术产生某种兴趣。

美术作品按材料和制作方法来分，大体上分为绘画、雕塑、工艺美术、建筑艺术等几个大门类。

无论那种美术作品，材质和色彩可以千变万化，却总离不开形状和尺寸。

形和数是数学的研究对象，形数和谐带来美感。

美术与数学密切相关。

许多优秀美术作品将算术和代数、平面几何、立体几何、解析几何、拓扑学、透视方法、对称性质运用其中。

数学使得美术更容易掌握，美术使得数学平易近人。

数学在美术的很多范畴都有应用。

一、黄金分割在美术中的运用
众所周知的维纳斯雕像令无数人惊叹、赞不绝口。

这座雕像虽不见双臂，仍显得美丽动人，仪态万方，充满青春活力。

此雕像为何如此迷人？古代希腊人认为，如果形体符合数学上的黄金比，会显得更加美丽。

这座雕像的尺寸在诸多地方符合黄金比。

维纳斯的美。

是理想的美。

法国画家米勒《拾穗者》的画面很美，金色的阳光，斜照在三位劳动妇女身上，清新明亮，她们的瞬间姿态如雕像般高贵尊严。

《拾穗者》的画面能够这样美，不但因为作者有高超的绘画技巧和坚实的生活基础，而且由于画中隐藏着黄金比。

二、点、线、几何图形在美术中的应用
点、线、面、几何图形是数学的研究对象。

数学把万事万物变得简单，简单是一种美。

以下是把数学技巧运用于美术的例子。

美术中分割画法，将点运用于美术中，作画的人不是先调好颜色再涂到画面上，而是将红、黄、蓝等各种颜色直接涂到画面上，让它们互相穿插，谁多谁少视需要而定。

退到
一定距离以后去看，就不会注意单个的彩色小点，而会感受不同颜色混合在一起产生的总体效果。

《大碗岛星期天的下午》这幅画的作者法国画家修拉发明了这种画法。

仔细看，画面是由一些竖直线和水平线组成，且它们不是连续线条，而是由许多小圆点组成的，整个画面也是由小圆点组成的，看起来井井有条，整体感强烈，并且显得特别宁静。

而德灵格的线画艺术则将线运用于作图中。

大家知道，平面上的折线是首尾衔接的线段构成的。

相邻的线段（向量）之间，后一个是前一个旋转一个角度做成的。

德国著名工业设计家、卡塞尔大学的德灵格教授认为：少数几条折线并不能给人特别的感觉。

然而，一旦折线的条数非常多，杂乱、随机摆放，将产生强烈的视觉冲击，于是他在电脑驱动的大型平板笔绘仪上，创造性地绘制了大量的线画作品。

德灵格的线画艺术作品在欧美各地巡回展出，在设计界引起巨大轰动轰动。

在设计或者作图中，恰当的利用几何图形会更好地展现主题或产生奇异的效果。

与普通邮票不同的是，异形邮票不是长方形，而是三角形、平行四边形、菱形、五边形、圆形或半圆形等。

这些异形邮票容易成为集邮爱好者的藏品。

为了纪念 1999 年 11 月20 日中国成功发射神“州”号载人试验航天飞船一周年而发行的三角形邮票下宽上窄，呈
上升趋势，更好地烘托了火箭喷云吐雾，直上九霄的壮丽景象。

莱洛三角形（圆弧三角形）是一种特殊的形状，它是这样画成的，先画一个辅助正三角形 ABC,然后以顶点 A 为圆心画弧过B 和 C ，以 B 为圆心画弧过 A 和 C ，以 C 为圆心画弧过A 和 B。

所得的三段圆弧组成的图形叫做莱洛三角形。

一幅画或一件平面工艺品采用这种轮廓，将显得工整而不呆板，灵活但非随意，因为有角显得刚毅，有弧显得圆润，刚柔相济。

图 3 是一幅吉祥图案，内有一琴一鹤，外有松针环绕，寓意松鹤延年，健康长寿。

有些图标用几何图形组成画面，简明生动，一目了然。

图 4 中的四个图标分别表示射箭、短跑、滑冰和双人跳水。

这些画面活灵活现地表示了所要表现的内容，如射箭运动员，脚踏弓箭步，，推弓拉弦，稳如泰山，蓄势待发。

也可以利用几何图形来设计装饰画。

图 5 中少女，弹着琴弦，踏着舞步，回眸一望百媚生。

她那弯曲的右臂，与身体围成一个正三角形。

整个画面环绕着这个正三角形展开，从她的头、颈、身体、四肢直到和衣服上的装饰花纹，数不清的平行线，长短不等，粗细有致。

稳定的正三角形结构，使她的舞步稳健有力。

斜倚的琴身，正六边形琴筒，角度略有变化，使画面平稳但不呆板。

画面还有一些曲线，主要是圆周和圆弧，与直线光滑连接，刚劲里透露着娇柔。

寥寥几笔，勾勒出明亮的眼和俏丽的嘴。

通过平移，使直线与曲线有规律的重复，形成节奏和韵律。

通过旋转，用线段组成绒球，为画面增添动感。

另外，几何图形大量应用于平面镶嵌中。

用多边形镶嵌出来的精美图案，让人赏心悦目，心旷神怡。

在正多边形中，只有正三角形、正方形、正六边形才能镶嵌整个平面；在非正多边形中，三角形、任何非凸四边形可以镶嵌整个平面；对于凸五边形，只有特定的凸五边形才能镶嵌一个平面；对于凸六边形，也只有特定的凸六边形（三组对边平行）才可以平面镶嵌。

在空间设计中，恰当地运用几何图形，会给人留下与众不同，涣然一新的印象。

图 6 是荷兰鹿特丹市商业街上的一个球形小屋，它将球面沿着当中分成两半，下半球做柜台，上半球做阳伞，柜台留有缺口，工作人员可以自由进出。

球面的外观设计成一个大橘子，老远就知道是卖水果的地方，既实用又美观，招来了很多游客。

在台湾的冬心花园里有多个造型奇特的凉亭。

凉亭的屋顶象正方体的一角，由相聚于一个顶点的两两垂直的正方形面组成。

整个凉亭象个大魔方。

三、透视在在美术中的应用
从遥远的太阳照射到我们身边的光线，可以认为是一束平行线。

通过在平行光线下的投影，长方形变成了平行四边形。

这种变换，在立体几何里叫做平行射影，在高等几何里叫做仿“射”。

它的特征，是把直线变成直线，平行线变成平行线，相交线变成相交线。

角的大小会改变，但是同一条直线上的线段比保持不变。

在中国画中，房屋和木器家具等物统称屋木。

画屋木有一种特殊方法，叫做界画法，利用平行投影原理，以直尺界笔为工具，画前经过精密计算。

擅长界画的画家，不但美术功底好，数学基础也好。

在界画中，把实物的轮廓里的平行线仍画成平行线（例如台阶），把实物位于同一直线上的相等线段仍画成相等线段（例如栏杆之间的距离和瓦行的宽度）。

实物中的竖直线条（z 轴方向），仍画成竖直线。

实物位于水平面里x 轴方向上的线条画成水平线。

y 轴方向的线条画成具有相同的斜角的斜线，斜角通常在30°到60°之间。

X 轴方向和 z 轴方向的线段长，按照同一个比例k 缩短,因而正面看到的景物全部保持实际形状。

y 轴方向的线段长，按比例k 缩短以后，再缩短一次，第二次缩短比例大约一半左右。

为了表现远近感将近景、中景和远景选取不同的比值k ，近处较大，越远越小，分出层次。

《汉宫春晓图》画的是汉朝的未央宫，这么一个宏伟的建筑，采用了界画法，顺着画卷一路从右看到左，就像在未央宫里走了一趟，留下了完整的印象。

四、平移、对称在美术中的的应用
把平面上（或者空间里）每一个点按照同一个方向移动相同的距离，叫做平面（或者空间）的一个平移。

对称分为轴对称、中心对称、旋转对称、平移对称和滑移对称。

如果两个图形沿着一条直线对折，两侧的图形能完全重合，你们这两个图形关于这条直线轴对称。

中心对称是指两个图形绕某一个点旋转180°后，能够完全重合，称这两个图形关于该点对称，该点称为对称中心。

如果将某个图形绕一个定点旋转定角以后，仍与原图形重合，就说这个图形是旋转对称，定点叫做旋转中心。

其中平移对称图案指一个单元图案沿直线平行移动产生的，滑移 =平移×轴对称。

剪纸历史悠久，外轮廓是圆形的装饰纹样叫做团花。

图 8 中的团花是轴对称图形也是旋转对称图形（旋转60°）。

图 9 中的方胜是古代妇女的一种发饰，是祥瑞之物，它是中心对称图形。

在平面镶嵌中，也运用了平移、对称等数学技巧。

图 10 中的骑士图的作者是埃舍尔，容易看出，骑士镶嵌图具有平移对称性和滑移对称性。

五、拓扑在美术中的应用
拓扑学主要研究拓扑空间在拓扑变换下的不变性质和不变量。

简单地说，拓扑就研究有形的物体在连续变换下，怎样还能保持性质不变。

这种变换是拉长或弯曲，但不是撕裂或折断。

埃舍尔对拓扑学的“视觉效果”很感兴趣。

跟踪图 11 中埃舍尔“莫比乌斯带上的蚂蚁”的路径，您将发现它们不是在相反的面上走，而是都走在同一个面上。

图 12 埃舍尔的《画廊》是拓扑变形的一个例子。