高考复习数学文一轮分层演练：第10章 概率、统计和统计案例 章末总结 Word版含解析

章末总结
知识点考纲展示
随机事件的概率❶了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，了解概率的意义，了解频率与概率的区别．
❷了解两个互斥事件的概率加法公式．
古典概型❶理解古典概型及其概率计算公式．
❷会用列举法计算一些随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率．
随机数与几何概型❶了解随机数的意义，能运用模拟方法估计概率．❷了解几何概型的意义．
随机抽样❶理解随机抽样的必要性和重要性．
❷会用简单随机抽样方法从总体中抽取样本；了解分层抽样和系统抽样的方法．
用样本估计总体❶了解分布的意义和作用，会列频率分布表，会画频率分布直方图、频率折线图、茎叶图，理解它们各自的特点．
❷理解样本数据标准差的意义和作用，会计算数据标准差．
❸能从样本数据中提取基本的数字特征(如平均数、标准差)，并给出合理的解释．
❹会用样本的频率分布估计总体分布，会用样本的基本数字特征估计总体的基本数字特征，理解用样本估计总体的思想．
❺会用随机抽样的基本方法和样本估计总体的思想解决一些简单的实际问题．
统计案例❶会作两个有关联变量的数据的散点图，会利用散点图认识变量间的相关关系．
❷了解最小二乘法的思想，能根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程．
❸通过典型案例了解回归分析的思想、方法，并能初步应用回归分析的思想、方法解决一些简单的实际问题．
❹通过典型案例了解独立性检验(只要求2×2列联表)的思想、方法，并能初步应用独立性检验的思想、方法解决一些简单的实际问题．
考点考题考源
样本估计(2017·高考全国卷Ⅰ，T2，5分)为评估一种农作物的种植效果，选了n块
地作试验田．这n块地的亩产量(单位：kg)分别为x1，x2，…，x n，下面给
必修
3 P79
总体的数字特征
出的指标中可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度的是( ) A ．x 1，x 2，…，x n 的平均数 B ．x 1，x 2，…，x n 的标准差 C ．x 1，x 2，…，x n 的最大值 D ．x 1，x 2，…，x n 的中位数
练习T 1
用样本估计总计
(2017·高考全国卷Ⅰ，T 19，12分)为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每隔30 min 从该生产线上随机抽取一个零件，并测量其尺寸(单位：cm)．下面是检验员在一天内依次抽取的16个零件的尺寸：
经计算得x －＝116∑i ＝1
16
x i ＝9．97，s ＝
116∑i ＝1
16
（x i －x －）2＝116⎝ ⎛⎭
⎪⎪⎫∑i ＝116x 2
i －16x －2≈0．212, ∑i ＝1
16x (x i －x －)(i －8．5)＝－2．78，其中x i 为抽取的第i 个零件的尺寸，i ＝1，2， (16)
(1)求(x i ，i )(i ＝1，2，…，16)的相关系数r ，并回答是否可以认为这一天生产的零件尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小(若|r |<0．25，则可以认为零件的尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小)．
(2)一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在(x －－3s ，x －
＋3s )之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查．
(i)从这一天抽检的结果看，是否需对当天的生产过程进行检查？ (ii)在(x －－3s ，x －
＋3s )之外的数据称为离群值，试剔除离群值，估计这条生产线当天生产的零件尺寸的均值与标准差．(精确到0．01) 附：样本(x i ，y i )(i ＝1，2，…，n )的相关系数r ＝
．0.008≈0．09．
必修3 P 79练习T 2
变量间的相关
(2016·高考全国卷Ⅲ，T 18，12分)下图是我国2008年至2014年生活垃圾无害化处理量(单位：亿吨)的折线图．
必修3 P 90例题、
关系
注：年份代码1－7分别对应年份2008－2014
(1)由折线图看出，可用线性回归模型拟合y 与t 的关系，请用相关系数加以说明；
(2)建立y 关于t 的回归方程(系数精确到0．01)，预测2016年我国生活垃圾无害化处理量． 附注：参考数据：
i ＝17
t i y
i ＝40．17，
＝0．55，7≈2．646．
参考公式：相关系数r ＝，
回归方程y ^＝a ^＋b ^
t 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：
b ^＝，a ^＝y －－b ^
t －．
P 95B 组T 1
考点
考题
考源
样本估计总体与独立性检验思想
(2017·高考全国卷Ⅱ，T 19，12分)海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了100个网箱，测量各箱水产品的产量(单位：kg), 其频率分布直方图如下：
(1)记A 表示事件“旧养殖法的箱产量低于50 kg ”，估计A 的概率； (2)填写下面列联表，并根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关：
箱产量＜50 kg 箱产量≥50 kg
旧养殖法 新养殖法
选修1-2 P 15练习
(3)根据箱产量的频率分布直方图，对这两种养殖方法的优劣进行比较．附：
P(K2≥k)0．0500．0100．001
k 3．8416．63510．828
K2＝n（ad－bc）2
（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d）
．
一、选择题
1．(必修3 P64A组T5改编)某校高一、高二、高三学生共有1 290人，其中高一480人，高二比高三多30人，为了解该校学生健康状况，现采用分层抽样方法进行调查，在抽取的样本中有高一学生96人，则该样本中的高三学生人数为()
A．84 B．78
C．81 D．96
解析：选B．因为高一480人，高二比高三多30人，所以设高三有x人，则x＋x＋30＋480＝1 290，解得x＝390，故高二420人，高三390人，若在抽取的样本中有高一学生
96人，则该样本中的高三学生人数为96
480×390＝78(人)．
2．(选修1-2 P6例2改编)一只红铃虫的产卵y和温度x有关，根据收集的数据散点分布在曲线y＝c1e c2x的周围，若用线性回归模型建立回归关系，则应作下列哪个变换() A．t＝ln x B．t＝x2
C．t＝ln y D．t＝e y
解析：选C．由y＝c1e c2x得c2x＝ln y
c1
＝ln y－ln c1，令t＝ln y，得t＝c2x＋ln c1，故选C．3．(必修3 P70内文改编)
如图茎叶图记录了甲、乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩(单位：分)．已知甲组数据的中位数为15，乙组数据的平均数为16．8，则x，y的值分别为() A．2，5 B．5，5
C．5，8 D．8，8
解析：选C．由于甲组数据的中位数为15＝10＋x，
所以x＝5．
又乙组数据的平均数为9＋15＋（10＋y ）＋18＋24
5
＝16．8，所以y ＝8．所以x ，y 的值分别为5，8．
4．(必修3 P 79练习T 3改编)在一段时间内有2 000辆车通过高速公路上的某处，现随机抽取其中的200辆进行车速统计，统计结果如图所示．若该处高速公路规定正常行驶速度为90～120 km/h ，试估计这2 000辆车中，以正常速度通过该处的汽车有( )
A ．30辆
B ．300辆
C ．170辆
D ．1 700辆
解析：选D ．直方图中速度为90～120 km/h 的频率为0．03×10＋0．035×10＋0．02×10＝0．85．
用样本估计总体，可知2 000辆车中，以正常速度通过该处的汽车约有0．85×2 000＝1 700(辆)．故选D ．
二、填空题
5．(必修3 P 95B 组T 1改编)某科研所对新研发的一种产品进行合理定价，该产品按事先拟定的价格试销得如下统计数据．
单价x (元) 8 8．2 8．4 8．8 8．6 9 销量y (件)
90
84
83
75
80
68
回归方程为y ＝b x ＋a (其中已算出b ＝－20)；该产品的成本为4．5元/件，为使科研所获利最大，该产品的定价应为________元/件．
解析：依题意：
x －＝1
6(8＋8．2＋8．4＋8．8＋8．6＋9)＝8．5，
y －＝1
6(90＋84＋83＋75＋80＋68)＝80．
又b ^
＝－20，
所以a
^＝y－－b^x－＝80＋20×8．5＝250，
所以回归直线方程为y^＝－20x＋250．
设科研所所得利润为W，定价为x，
所以W＝(x－4．5)(－20x＋250)＝－20x2＋340x－1 125，
所以当x＝340
40
＝8．5时，W max＝320．
故当该产品定价为8．5元/件时，W取得最大值．
答案：8．5
6．(选修1-2 P15练习改编)通过随机询问110名性别不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下的列联表：
男女总计
爱好402060
不爱好203050
总计6050110
则有________
附：
K2＝n（ad－bc）2
（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d）
，
P(K2≥k0)0．0500．0100．001
k03．8416．63510．828
解析：K2＝110×（40×30－20×20）
60×50×60×50
≈7．8>6．635．可知我们在犯错误的概率不超
过0．01的前提下，即有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”．答案：99%
三、解答题
7．(必修3 P94A组T3改编)经调查得出，某型号的轿车使用年限x和所支出的维修保养费y(万元)的统计资料如下表(注：第一年该型号的轿车的维修保养费由商家负责，消费者不承担)．
x(年)23456
y(万元)2．23．85．56．57．0
(1)求y关于x
(2)若每年维修保养费超过10万元，该型号轿车就作报废处理，问该型号轿车最多使用年限为多少年？
附：
解：(1)列表如下
于是
＝112.3－5×4×5
90－5×42＝1．23．
a ^＝y －－
b ^x －
＝5－1．23×4＝0．08．
所以线性回归方程为y ^＝b ^x ＋a ^
＝1．23x ＋0．08．
由回归直线方程y ^＝1．23x ＋0．08知，回归直线的斜率b ^
＝1．23>0，所以x 与y 是正相关，即轿车使用年限越多，维修保养费越多．
(2)若每年维修保养费超过10万元，该型号轿车就作报废处理，则该型号轿车最多使用年限x 应满足
1．23x ＋0．08≤10，解得x ≤8．07， 故该型号轿车最多使用8年就应作报废处理．
8．(必修3 P 39练习T 3、选修1-2 P 19B 组T 2改编)某食品公司研发生产一种新的零售食品，从产品中抽取100件作为样本，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得到如下频率分布直方图：
(1)求直方图中a 的值；
(2)设生产成本为y ，质量指标值为x ，生产成本与质量指标值之间满足函数关系y ＝
⎩
⎪⎨⎪⎧0.4x ，x ≤2050.8x －80，x ＞205，假设同组中的每个数据用该组区间的右端点值代替，试计算生产该食品的平均成本．
解：(1)由已知，得(0．002＋0．009＋0．022＋a ＋0．024＋0．008＋0．002)×10＝1，解得a ＝0．033．
(2)由题设条件及食品的质量指标值的频率分布直方图，得食品生产成本分组与频率分布表如下： 组号 1
2
3
4
5
6
7
分组 [66，70] (70，74] (74，78] (78，82] (82，92] (92，100] (100，108] 频率
0．02
0．09
0．22
0．33
0．24
0．08
0．02
70×0．02＋74×0．09＋78×0．22＋82×0．33＋92×0．24＋100×0．08＋108×0．02＝84．52．。