无锡市九年级数学上册第二单元《二次函数》检测(答案解析)

一、选择题
1．将二次函数2
21y x x =+-化为2()y x h k =-+的形式时，结果正确的是（ ）
A ．2(1)2y x =+-
B ．2(1)2y x =--
C ．2(1)2y x =-+
D ．2(1)3y x =++
2．如图是抛物线y ＝ax 2+bx+c （a≠0）的部分图象，其顶点坐标为（1，n ），且与x 轴的一个交点在点（3，0）和（4，0）之间．则下列结论： ①a ﹣b+c ＞0； ②3a+b ＝0； ③b 2＝4a （c ﹣n ）；
④一元二次方程ax 2+bx+c ＝n ﹣1有两个不相等的实数根． 其中正确结论的个数是（ ）
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
3．某同学在利用描点法画二次函数y ＝ax2+bx+c （a≠0）的图象时，先取自变量x 的一些值，计算出相应的函数值y ，如下表所示： x … 0 1 2 3 4 … y
…
﹣3
﹣1
3
…
） A ．0
3
x y =⎧⎨
=-⎩
B ．2
1
x y =⎧⎨
=-⎩
C ．3
x y =⎧⎨
=⎩
D ．4
3x y =⎧⎨
=⎩
4．当0ab >时，2y ax =与y ax b =+的图象大致是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
5．设函数()()12y x x m =--，23
y x
=，若当1x =时，12y y =，则（ ） A ．当1x >时，12y y <
B ．当1x <时，12y y >
C ．当0.5x <时，12y y <
D ．当5x >时，12y y >
6．根据下列表格中的对应值：
x
1.98 1.99
2.00 2.01 2y ax bx c =++
-0.06
-0.05
-0.03
0.01
判断方程0ax bx c ++=（，a ，b ，c 为常数）一个根x 的范围是（ ）A ．1.00 1.98x << B ．1.98 1.99x << C ．1.99 2.00x << D ．2.00 2.01x <<
7．已知关于x 的二次函数y=（x-h ）2+3，当1≤x≤3时，函数有最小值2h ，则h 的值为
（ ） A ．
32
B ．
3
2
或2 C ．
3
2
或6 D ．
3
2
或2或6 8．若()14,A y -，()21,B y -，()30,C y 为二次函数2(2)3y x =-++的图象上的三点，则1y ，2y ，3y 的大小关系是（ ） A ．123y y y <=
B ．312y y y =<
C ．312 y y y <<
D ．123y y y =<
9．已知抛物线229(0)y x mx m =-->的顶点M 关于坐标原点O 的对称点为M '，若点
M '在这条抛物线上，则点M 的坐标为（ ） A ．(1,5)- B ．(2,8)- C ．(3,18)-
D ．(4,20)-
10．把抛物线231y x =+向上平移2个单位，则所得抛物线的表达式为（ ）
A ．233y x =+
B ．231y x =-
C ．()2
321y x =++
D ．()2
321y x =-+
11．我校门口道路的隔离栏通常会涂上醒目的颜色，呈抛物线形状（如图1），图2是一个长为2米，宽为1米的矩形隔离栏，中间被4根栏杆五等分，每根栏杆的下面一部分涂上醒目的蓝色，颜色的分界处（点E ，点P ）以及点A ，点B 落上同一条抛物线上，若第1根栏杆涂色部分（EF ）与第2根栏杆未涂色部分（PQ ）长度相等，则EF 的长度是（ ）
A ．
13
米 B ．
12
米 C ．
25
米 D ．
35
米 12．如图是抛物线y 1＝ax 2+bx +c （a ≠0）图象的一部分，抛物线的顶点坐标是A （1，3），与x 轴的一个交点B （4，0），直线y 2＝mx +n （m ≠0）与抛物线交于A 、B 两点．下列结论：①2a +b ＝0；②abc ＞0；③方程ax 2+bx +c ＝3有两个相等的实数根；④抛物线与x 轴的另一个交点是（﹣1，0）；⑤当1＜x ＜4时，有y 2＜y 1；⑥a +b ≥m （am +b ）（m 实数）其中正确的是（ ）
A ．①②③⑥
B ．①③④
C ．①③⑤⑥
D ．②④⑤
二、填空题
13．已知二次函数y=x 2+x+m ，当x 取任意实数时，都有y ＞0，则m 的取值范围是________．
14．抛物线2y x x =+向下平移2个单位长度，再向左平移3个单位长度，得到的抛物线表达式为____．
15．已知函数223y x x =--，当函数值y 随x 的增大而减小时，x 的取值范围是______．
16．如图，在平面直角坐标系中，点A ，B 是一次函数y x =图像上两点，它们的横坐标分别为1，4，点E 是抛物线2
48y x x =-+图像上的一点，则ABE △的面积最小值是______．
17．如图，是一座拱形桥的竖直截面图，水面与截面交于AB 两点，拱顶C 到AB 的距离为4m ，AB=12m ，DE 为拱桥底部的两点，且DE ∥AB ，点E 到AB 的距离为5cm ，则DE 的长度为______________ m ．
18．二次函数2y ax bx c =++的图象经过(1,0)A ，对称轴为1x =-，其图像如图所示，则化简2244||b bc c a b c +++-+的结果为___________．
19．已知二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象如图所示，有下列结论：①0ac <；②20b a -=；③0a b c -+=；④当1x >时，y 随x 的增大而减小．其中正确的结论是______．（填序号）
20．将抛物线223y x x =---向右平移三个单位，再绕原点O 旋转180°，则所得抛物线的解析式____．
三、解答题
21．某工厂大门是抛物线形水泥建筑，大门地面宽AB 为4m ，顶部C 距离地面的高度为4.4m ，现有一辆货车，其装货宽度为2.4m ，高度2.8米，请通过计算说明该货车能否通过此大门？
22．在“万众创业、大众创新”的新时代下，大学毕业生小张响应国家号召，开办了家饰品店，该店购进一种今年新上市的饰品进行销售，饰品的进价为每件40元，售价为每件60元，每月可卖出300件．市场调查反映：售价每下降1元每月要多卖20件，为了获得更大的利润且让利给顾客，现将饰品售价降价x （元/件）（且x 为整数），每月饰品销量为y （件），月利润为w （元）． （1）写出y 与x 之间的函数解析式；
（2）如何确定销售价格才能使月利润最大？求最大月利润； （3）为了使每月利润等于6000元时，应如何确定销售价格．
23．（1）若抛物线23y x x a =++与x 轴只有一个交点，求实数a 的值； （2）已知点()3,0在抛物线()2
33y x k x k =-++-上，求此抛物线的对称轴．
24．某片果园有果树60棵，现准备多种一些果树提高果园产量，但是如果多种树，那么树与树之间的距离和每棵树所受光照就会减少，单棵树的产量随之降低．若该果园每棵果树产果y (千克)与增种果树x (棵)之间的函数关系如图所示． （1）求每棵果树产果y (千克)与增种果树x (棵)之间的函数关系式； （2）设果园的总产量为w (千克)，求w 与x 之间的函数表达式；
（3）试说明（2）中总产量w (千克)随增种果树x (棵)的变化而变化的情况，并指出增种果树x 为多少棵时获得最大产量，最大产量w 是多少？
25．二次函数2y ax bx c =++（a ，b ，c 是常数，0a ≠）的自变量x 与函数值y 的部分对应值如下表： x
…
3-
2- 1- 0
1 …
2y ax bx c =++ …
52
4
92
4 m …
（1）直接写出c ，m 的值； （2）求此二次函数的解析式．
26．如图，已知抛物线2y ax c =+过点()2,2-，()4,5，过定点()0,2F 的直线y kx b =+与抛物线交于A 、B 两点，点B 在点A 的右侧，过点B 作x 轴的垂线，垂足为
C ．
（1）直接写出抛物线的解析式． （2）求证：BF BC =．
（3）若1k =，在直线y kx b =+下方抛物线上是否存在点Q ，使得QBF 的面积最大？若存在，求出点Q 的坐标及QBF 的最大面积；若不存在，请说明理由．
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、选择题 1．A 解析：A 【分析】
加上一次项系数的一半的平方凑成完全平方式，把一般式化为顶点式． 【详解】
221y x x =+-=22111x x ++--=2(1)2y x =+-，
故选：A ． 【点睛】
此题考查二次函数的一般式转化为顶点式，掌握方法是解题的关键．
2．C
【分析】
由抛物线的开口方向判断a 与0的关系，由抛物线与y 轴的交点判断c 与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x 轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断． 【详解】
解：∵抛物线顶点坐标为（1，n ）， ∴抛物线的对称轴为直线x=1，
∵与x 轴的一个交点在点（3，0）和（4，0）之间， ∴当x=-1时，y ＞0，即a-b+c ＞0，故①正确； ∵抛物线的对称轴为直线x=1，即-2b
a
=1， ∴2a+b=0， ∵a≠0，
∴3a+b≠0，故②错误； ∵抛物线顶点坐标为（1，n ），
∴抛物线y=ax 2+bx+c （a≠0）与直线y=n 有唯一一个交点， 即方程ax 2+bx+c=n 有两个相等的实数根， ∴△=b 2-4a （c-n ）=0， ∴b 2=4a （c-n ），故③正确； ∵抛物线的开口向下， ∴y 最大=n ，
∴直线y=n-1与抛物线有两个交点，
∴一元二次方程ax 2+bx+c=n-1有两个不相等的实数根，故④正确； 故选：C ． 【点睛】
主要考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求2a 与b 的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用．
3．A
解析：A 【分析】
根据二次函数的对称性知：抛物线的对称轴为直线x ＝2，且抛物线的开口向上，由此确定答案． 【详解】
∵x ＝1和x ＝3时，y ＝0； ∴抛物线的对称轴为直线x ＝2， ∴顶点坐标为（2，﹣1）， ∴抛物线的开口向上，
∴x ＝0和x ＝4的函数值相等且大于0， ∴x ＝0，y ＝﹣3错误．
【点睛】
此题考查抛物线的对称性，抛物线的性质，读懂表格掌握二次函数的对称性解决问题是解题的关键．
4．D
解析：D 【分析】
根据选项中的二次函数图象和一次函数图象，判断a 和b 的正负，选出正确的选项． 【详解】
A 选项，抛物线开口向上，0a >，一次函数过一、三、四象限，0a >，0b <，不满足
0ab >，故错误；
B 选项，抛物线开口向上，0a >，一次函数过一、二、四象限，0a <，0b >，不满足ab>0，故错误；
C 选项，抛物线开口向下，0a <，一次函数过一、三、四象限，0a >，0b <，不满足ab>0，故错误；
D 选项，抛物线开口向下，0a <，一次函数过二、三、四象限，0a <，0b <，满足ab>0，正确 故选：D ． 【点睛】
本题考查二次函数图象和一次函数图象与各项系数的关系，解题的关键是掌握根据函数图象判断各项系数正负的方法．
5．D
解析：D 【分析】
当y 1＝y 2，即（x ﹣2）（x ﹣m ）＝3
x
，把x ＝1代入得，（1﹣2）（1﹣m ）＝3，则m ＝4，画出函数图象即可求解． 【详解】 解：当y 1＝y 2， 即（x ﹣2）（x ﹣m ）＝
3x
， 把x ＝1代入得，（1﹣2）（1﹣m ）＝3， ∴m ＝4，
∴y 1＝（x ﹣2）（x ﹣4）， 抛物线的对称轴为：x ＝3，
如下图：设点A 、B 的横坐标分别为1，5，
则点A 、B 关于抛物线的对称轴对称，从图象看在点B 处，即x ＝5时，y 1＞y 2， 故选：D ． 【点睛】
本题考查的是二次函数与不等式（组），主要要求学生通过观察函数图象的方式来求解不等式．
6．D
解析：D 【分析】
根据二次函数的性质、二次函数与一元二次方程的联系即可得． 【详解】
由表格可知，在1.98 2.01x ≤≤内，y 随x 的增大而增大， 当 2.00x =时，0.030y =-<， 当 2.01x =时，0.010y =>，
∴在2.00 2.01x <<内，必有一个x 的值对应的函数值0y =，
∴方程20ax bx c ++=（0a ≠，,,a b c 为常数）一个根x 的范围是2.00 2.01x <<，
故选：D ． 【点睛】
本题考查了二次函数的性质、二次函数与一元二次方程的联系，熟练掌握二次函数的性质是解题关键．
7．C
解析：C 【分析】
依据二次函数的增减性分1≤h≤3、h ＜1、h ＞3三种情况，由函数的最小值列出关于h 的方程，解之可得． 【详解】
∵()2
=+3y x h -中a=1＞0，
∴当x ＜h 时，y 随x 的增大而减小；当x ＞h 时，y 随x 的增大而增大； ①若1≤h≤3，
则当x=h 时，函数取得最小值2h ，即3=2h ，
解得：h=
32
； ②若h ＜1，则在1≤x≤3范围内，x=1时，函数取得最小值2h ， 即()2
132h h -+=， 解得：h=2＞1（舍去）；
③若h ＞3，则在1≤x≤3范围内，x=3时，函数取得最小值2h ， 即()2332h h -+=， 解得：h=2（舍）或h=6， 综上，h 的值为3
2
或6， 故选C ． 【点睛】
本题主要考查二次函数的最值，熟练掌握分类讨论思想和二次函数的增减性是解题的关键．
8．B
解析：B 【分析】
根据二次函数的解析式可得图象开口向下，对称轴为2x =-，故点()14,A y -与点
()30,C y 关于对称轴对称，即13y y =，再根据点()21,B y -与点()30,C y 在对称轴右
侧，y 随x 增大而减小即可得出结论． 【详解】
解：二次函数2
(2)3y x =-++的图象开口向下，对称轴为2x =-， ∴点()14,A y -与点()30,C y 关于对称轴对称， ∴13y y =，
∵点()21,B y -与点()30,C y 在对称轴右侧，y 随x 增大而减小， ∴23y y >， ∴312y y y =<， 故选：B ． 【点睛】
本题考查二次函数的性质，根据二次函数解析式得到对称轴是解题的关键．
9．C
解析：C 【分析】
先利用配方法求得点M 的坐标，然后利用关于原点对称点的特点得到点M′的坐标，然后将点M′的坐标代入抛物线的解析式求解即可． 【详解】
解：∵22229()9y x mx x m m =--=---，
∴点M 为（m ，29m --），
∴点M′的坐标为（m -，29m +），
∴222299m m m -=++，
解得：3m =±；
∵0m >，
∴3m =；
∴点M 的坐标为：（3，18-）．
故选：C ．
【点睛】
本题主要考查的是二次函数的性质、关于原点对称的点的坐标特点，求得点M′的坐标是解题的关键．
10．A
解析：A
【分析】
根据二次函数图象的平移规律解答即可．
【详解】
解：把抛物线231y x =+向上平移2个单位可得2
33y x =+，
故选：A ．
【点睛】
本题考查了二次函数的平移变换，熟悉二次函数的平移规律是解题的关键． 11．C
解析：C
【分析】
根据抛物线形状建立二次函数模型，以AB 中点为原点，建立坐标系xOy ，通过已知线段长度求出A(1，0)B(-1,O)，由二次函数的性质确定y ＝ax 2－a ，利用PQ ＝EF 建立等式，求出二次函数中的参数a ，即可得出EF 的值．
【详解】
解：如图，令P 下方的点为H ，以AB 中点为原点，建立坐标系xOy ，则A(1，0)B(-1,O)， 设抛物线的方程为y=ax 2+bx+c
∴抛物线的对称轴为x=0，则2b a
-
＝0，即b ＝0． ∴y ＝ax 2 +c ． 将A(1，0)代入得a+c ＝0,则c ＝－a ．
∴y ＝ax 2－a ．
∵OH ＝2×
15×12
＝0.2，则点H 的坐标为（-0.2，0） 同理可得：点F 的坐标为（-0.6，0）．
∴PH ＝a×(-0.2)2-a ＝－0.96a
EF ＝a×(-0.6)2-a ＝－0.64a ．
又∵PQ ＝EF ＝1－（－0.96a ）＝－0.64a
∴1＋0.96a ＝－0.64a ． 解得a ＝58-．
∴y ＝5
8-x 2＋58
． ∴EF ＝（58
-）×（-0.6）２＋
58＝25． 故选：C ．
【点睛】 本题考查了二次函数的应用，解题的关键是能在几何图形中建立适当的坐标系并结合图形的特点建立等式求出二次函数表达式．
12．C
解析：C
【分析】
根据拋物线的开口方向以及对称轴为x ＝1，即可得出a 、b 之间的关系以及ab 的正负，由此得出①正确；根据抛物线与y 轴的交点在y 轴正半轴上，可知c 为正结合a ＜0、b ＞0即可得出②错误；将抛物线往下平移3个单位长度可知抛物线与x 轴只有一个交点从而得知③正确；根据拋物线的对称性结合抛物线的对称轴为x ＝1以及点B 的坐标，即可得出抛物线与x 轴的另一交点坐标，④正确；⑤根据两函数图象的上下位置关系即可判断y 2＜y 1，故⑤正确；当1x ＝时y 1有最大值，a ＋b ＋c ≥am 2＋bm ＋c ，即可判断⑥正确．
【详解】
解：由抛物线对称轴为直线x ＝2b a
-，从而b ＝﹣2a ，则2a ＋b ＝0，故①正确； 抛物线开口向下，与y 轴相交于正半轴，则a ＜0，c ＞0，而b ＝﹣2a ＞0，因而abc ＜0，故②错误；
方程ax 2＋bx ＋c ＝3从函数角度可以看做是y ＝ax 2＋bx ＋c 与直线y ＝3求交点，从图象可以知道，抛物线顶点为（1，3），则抛物线与直线有且只有一个交点
故方程ax 2＋bx ＋c ＝3有两个相等的实数根，故③正确；
由抛物线对称性，与x 轴的一个交点B （4，0），则另一个交点坐标为（﹣2，0），故④错误；
由图象可知，当1＜x ＜4时，y 2＜y 1，故⑤正确；
因为x ＝1时，y 1有最大值，所以a ＋b ＋c ≥am 2＋bm ＋c ，即a ＋b ≥m （am ＋b ）（m 实数），故⑥正确．
故选C ．
【点睛】
本题主要考查了二次函数的图像、一次函数图像、二次函数的图象与系数的关系等知识考查知识点较多．解答的关键在于读懂图象信息，掌握二次函数知识，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
二、填空题
13．＞【分析】二次函数开口向上当x 取任意实数时都有y ＞0则−4ac ＜0据此即可列不等式求解【详解】解：−4ac ＝1−4m ＜0解得：m ＞故答案为：＞【点睛】本题考查了抛物线与x 轴交点个数个数由−4ac 的符
解析：m ＞
14 【分析】
二次函数开口向上，当x 取任意实数时，都有y ＞0，则2b −4ac ＜0，据此即可列不等式求解．
【详解】
解：2b −4ac ＝1−4m ＜0，
解得：m ＞14
． 故答案为：m ＞
14． 【点睛】
本题考查了抛物线与x 轴交点个数，个数由2b −4ac 的符号确定，当△＝2b −4ac ＞0时，抛物线与x 轴有2个交点；△＝2b −4ac ＝0时，抛物线与x 轴有1个交点；△＝2b −4ac ＜0时，抛物线与x 轴没有交点．
14．【分析】先把配成顶点式再利用顶点式写出平移后的抛物线的解析式【详解】此抛物线的顶点坐标为()把点()向下平移个单位长度再向左平移个单位长度所得对应点的坐标为()即()所以平移后得到的抛物线的解析式为
解析：2710y x x =++
【分析】
先把2
y x x =+配成顶点式，再利用顶点式写出平移后的抛物线的解析式．
【详解】
2211()24y x x x =+=+-，此抛物线的顶点坐标为(12-，14
-)， 把点(12-，14
-)向下平移2个单位长度，再向左平移3个单位长度， 所得对应点的坐标为(132--，124--)，即(72-，94
-)， 所以平移后得到的抛物线的解析式为27
9()24
y x =+-
，即2710y x x =++． 故答案为：2710y x x =++．
【点睛】 本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a 不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式． 15．【分析】先求出函数图像的对称轴然后根据二次函数的增减性即可解答
【详解】解：∵函数图像的对称轴为x=1∴当数值随的增大而减小故答案为
【点睛】本题考查了二次函数的增减性确定二次函数的对称轴是解答本题的关键
解析：1x <
【分析】
先求出函数图像的对称轴，然后根据二次函数的增减性即可解答．
【详解】
解：∵函数223y x x =--图像的对称轴为x=1
∴当1x <，数值y 随x 的增大而减小．
故答案为1x <．
【点睛】
本题考查了二次函数的增减性，确定二次函数的对称轴是解答本题的关键．
16．【分析】设点E （mm2﹣4m+8）过E 作EM 垂直于x 轴交AB 于点M 作BF ⊥EMAG ⊥EM 垂足分别为FG 由题意可得M （mm ）从而可用含m 的式子表示出EM 的长根据二次函数的性质及三角形的面积公式可得答案 解析：218
【分析】
设点E （m ，m 2﹣4m +8），过E 作EM 垂直于x 轴交AB 于点M ，作BF ⊥EM ，AG ⊥EM ，垂足分别为F ，G ，由题意可得M （m ，m ），从而可用含m 的式子表示出EM 的长，根据二次函数的性质及三角形的面积公式可得答案．
【详解】
解：设点E （m ，m 2﹣4m +8），过E 作EM 垂直于x 轴交AB 于点M ，作BF ⊥EM ，AG ⊥EM ，垂足分别为F ，G ，
由题意得：M （m ，m ），
∴EM ＝m 2﹣4m +8﹣m
＝m 2﹣5m +8 ＝25
7()24
m -+， ∴S △ABE ＝S △AEM +S △EMB ＝1122
EM AG EM BF ⋅+⋅ 1()2EM AG BF =
+ 12
=(m 2﹣5m +8)×（4-1） 32=
(m 2﹣5m +8) ＝
23521()228m -+， 由302
>，得S △ABE 有最小值． ∴当m ＝52时，S △ABE 的最小值为218
． 故答案为：
218． 【点睛】
本题考查了二次函数的最值、一次函数与二次函数图象上的点与坐标的关系及三角形的面积计算等知识点，熟练掌握相关性质及定理并数形结合是解题的关键．
17．18【分析】先建立平面直角坐标系以直线DE 为x 轴y 轴为经过点C 且垂直于AB 的直线设AB 与y 轴交于H 求出OC 的长然后设该抛物线的解析式为：根
据条件求出解析式再令y=0求出x 的值即可得到DE 的长度【详解
解析：18
【分析】
先建立平面直角坐标系，以直线DE 为x 轴，y 轴为经过点C 且垂直于AB 的直线，设AB 与y 轴交于H ，求出OC 的长，然后设该抛物线的解析式为：2
y ax k =+，根据条件求出解析式，再令y =0，求出x 的值，即可得到DE 的长度．
【详解】
解：如图所示，建立平面直角坐标系，以直线DE 为x 轴，y 轴为经过点C 且垂直于AB 的直线，
设AB 与y 轴交于点H ，
∵AB=12，
∴AH=BH=6，
由题可知：
OH=5，CH=4，
∴OC=5+4=9，
∴B （6，5），C （0，9）
设该抛物线的解析式为：2y ax k =+，
∵顶点C （0，9），
∴抛物线29y ax =+，
代入B （6，5）
得5=36a +9，解得19
a =-， ∴抛物线解析式为2199y x =-
+， 当y=0时，21099
x =-
+， 解得x =±9， ∴E （9，0），D （-9，0），
∴OE=OD=9，
∴DE=OD+OE=9+9=18，
故答案为：18．
【点睛】
本题主要考查二次函数的综合应用问题，解答本题的关键是正确地建立平面直角坐标系，
是一道非常典型的试题．
18．【分析】根据二次函数的性质及绝对值的非负性二次根式的性质求解即可
【详解】解：观察图象得：a<0c>0把A(10)代入得a+b+c=0∴c=-a-b ∵=-1∴b=2a<0∴c=-a-2a=-3a>0∴
解析：2a b c -+-
【分析】
根据二次函数的性质及绝对值的非负性，二次根式的性质求解即可．
【详解】
解：观察图象得：a<0，c>0，
把A(1，0)代入2y ax bx c =++得a+b+c=0，∴c= -a-b ， ∵2b a -
= -1，∴b=2a<0，∴c=-a-2a=-3a>0，∴2b+c=4a-3a=a<0，a-b+c=a-2a-3a=-4a>0，
∴||a b c -+
=a b c -+
=-(2b+c)+a-b+c
=-2b-c+a-b+c
= -3b+a
=-5a ，
故答案为-5a ．
【点睛】
本题考查了二次函数的性质及绝对值的非负性，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质． 19．①③【分析】由抛物线的开口方向判断的符号由抛物线与轴的交点判断的符号然后根据对称轴抛物线的增减性进行推理进而对所得结论进行判断【详解】解：①图象开口向上与轴交于负半轴能得到：故①正确；②对称轴为直线
解析：①③
【分析】
由抛物线的开口方向判断a 的符号，由抛物线与y 轴的交点判断c 的符号，然后根据对称轴、抛物线的增减性进行推理，进而对所得结论进行判断．
【详解】
解：①图象开口向上，与y 轴交于负半轴，能得到：0a >，0c <，
0ac ∴<，故①正确； ②对称轴为直线1x =，
12b a
∴-=， 2b a ∴=-，
20b a ∴+=，故②错误；
③由图象可知，当1x =-时，0y a b c =-+=，故③正确；
④由图象可知，在对称轴的右侧，从左往右图象逐渐上升，所以当1x >时，y 随x 的增大而增大，故④错误．
故答案为：①③．
【点睛】
主要考查二次函数的图象与系数之间的关系，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 20．【分析】先求出抛物线的顶点坐标再根据向右平移横坐标加求出平移后的抛物线的顶点坐标再根据旋转的性质求出旋转后的顶点坐标然后根据平移旋转只改变图形的位置不改变图形的大小和形状利用顶点式解析式写出即可【详 解析：2(2)2y x =++
【分析】
先求出抛物线的顶点坐标，再根据向右平移横坐标加求出平移后的抛物线的顶点坐标，再根据旋转的性质求出旋转后的顶点坐标，然后根据平移、旋转只改变图形的位置不改变图形的大小和形状利用顶点式解析式写出即可．
【详解】
223y x x =---
()
22113x x =-+++-
2(1)2x =-+-，
所以，抛物线的顶点坐标为（-1，-2）．
∵向右平移三个单位，
∴平移后的抛物线的顶点坐标为（2，-2）．
∵再绕原点O 旋转180°，
∴旋转后的抛物线的顶点坐标为（-2，2），且开口向上
∴所得抛物线解析式为2(2)2y x =++．
故答案为：2(2)2y x =++．
【点睛】
本题考查了二次函数图象与几何变换，平移的规律：左加右减，上加下减，此类题目，利用顶点的变化求解更简便． 三、解答题
21．能，理由见解析
【分析】
首先建立适当的平面直角坐标系，并利用图象中的数据确定二次函数的解析式，进而得到装货后的最大高度，即可求解．
【详解】
解：以C 为坐标原点，抛物线的对称轴为y 轴，建立如下图所示的平面直角坐标系，
根据题意知，A （﹣2，﹣4.4），B （2，﹣4.4），
设这个函数解析式为y ＝kx 2．
将A 的坐标代入，得y ＝﹣1.1x 2，
∵货车装货的宽度为2.4m ，
∴E 、F 两点的横坐标就应该是﹣1.2和1.2，
∴当x ＝1.2时 y ＝﹣1.584，
∴GH ＝CH ﹣CG ＝4.4﹣1.584＝2.816（m ），
因此这辆汽车装货后的最大高度为2.816m ，
∵2.8＜2.816，
所以该货车能够通过此大门．
【点睛】
本题考查点的坐标的求法及二次函数的实际应用关键是建立数学模型，借助二次函数解决实际问题，注意根据线段长度得出各点的坐标，难度一般．
22．（1）y ＝300+20x ；（2）当售价为57元时，利润最大，最大利润为6120元；（3）将销售价格为55元，才能使每月利润等于6000元．
【分析】
（1）由售价每下降1元每月要多卖20件，可得y 与x 之间的函数解析式；
（2）由月利润=单件利润×数量，可得w 与x 的函数解析式，由二次函数的性质可求解； （3）将w=6000代入解析式，解方程可求解．
【详解】
（1）由题意可得：30020y x =+；
（2）由题意可得：()()2
203002020( 2.5)6125w x x x =-+=--+， 由题意可知x 应取整数，当2x =或3元时，w 有最大值，
∵让利给顾客，
∴3x =，
即当售价为57元时，利润最大，
∴最大利润为6120元；
（3）由题意，令w=6000，即2
5
600020()61252x =--+，
解得10x =（舍去），25x =，
故将销售价格为55元，才能使每月利润等于6000元．
【点睛】
本题考查了二次函数的应用，一元二次方程的应用，二次函数的性质，找出正确的函数关系式是本题的关键．
23．（1）94
a =
；（2）2x = 【分析】
（1）由根的判别式进行计算，即可求出答案；
（2）先求出k 的值，然后代入计算，即可求出对称轴．
【详解】
解：（1）抛物线23y x x a =++与x 轴只有一个交点， 0∴∆=，
即940a -=， ∴94a =
． （2）点()3,0在抛物线()2
33y x k x k =-++-上， ()203333k k ∴=-⨯++-，
9k ∴=，
∴抛物线的解析式为：23129y x x =-+-，
∴对称轴为：1222(3)
x =-
=⨯-． 【点睛】 本题考查了一元二次方程根的判别式，二次函数的性质，解题的关键是掌握所学的知识，正确的求出参数的值．
24．（1）1802y x =-
+；（2）215048002w x x =-++ ；（3）当x=50时，w 的最大值为6050．
【分析】
（1）由图像可得坐标()()12,74,28,66，设y kx b =+，然后代入求解即可；
（2）根据（1）及题意可直接进行求解；
（3）由（2）及二次函数的性质可进行求解．
【详解】
解：（1））由图像可得坐标()()12,74,28,66，则设y kx b =+，把点()()12,74,28,66代入得：
12742866k b k b +=⎧⎨+=⎩，解得：1280
k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩， ∴1802
y x =-+； （2）由（1）及题意得：
()()16060802w x y x x ⎛⎫=+⋅=+⋅-+ ⎪⎝⎭
215048002x x =-++； （3）由（2）得：()221150480050605022w x x x =-
++=--+， ∴102
a =-<，开口向下，对称轴为直线50x =， ∴当50x ≤时，y 随x 的增大而增大，当50x ≥时，y 随x 的增大而减小，
∴当50x =时，w 取最大，最大值为6050．
【点睛】
本题主要考查二次函数的实际应用，熟练掌握二次函数的应用是解题的关键． 25．（1）4c =，52m =
；（2）219(1)22y x =-++或2142y x x =--+ 【分析】
（1）根据表格中对应值可知对称轴的值和抛物线与y 轴的交点，即可求得c 的值，根据抛物线的对称性即可求得m 的值；
（2）直接利用待定系数法求出二次函数解析式即可．
【详解】
解：（1）根据图表可知：
二次函数y=ax 2+bx+c 的图象过点（0，4），（-2，4），
∴对称轴为直线2012x -+=
=-，c=4， ∵（-3，
52）的对称点为（1，52）， ∴m=52
； （2）∵对称轴是直线x=-1，
∴顶点为（-1，
92
）， 设y=a （x+1）2+92， 将（0，4）代入y=a （x+1）2+92
得，
a+92
=4， 解得a=-
12， ∴这个二次函数的解析式为y=-
12（x+1）2+92
． 【点睛】 本题考查的是二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求二次函数的解析式，能熟练求解函数对称轴是解题的关键．
26．（1）2114
y x =+；（2）见解析；（3
）存在，最大值为2+，此时Q 点坐标为()2,2．
【分析】
（1）利用待定系数法求抛物线解析式；
（2）设B(x ，
2114x +)，而F （0，2），利用两点间的距离公式得到BF=2114x +，而BC=2114
x +，所以BF=BC ； （3）作//QE y 轴交AB 于点E ，设2114Q t t ⎛⎫+ ⎪⎝⎭
，，利用QBF EQF EQB S S S =+△△△和二次函数的性质即可求解．
【详解】
（1）把点（-2，2），（4，5）代入2y ax c =+得：
42165a c a c +=⎧⎨+=⎩
， 解得：141
a c ⎧=⎪⎨⎪=⎩， 所以抛物线解析式为2114y x =
+； （2）设B(x ，
2114x +)，已知F （0，2）， ∴2222222221111211444BF x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++-=+-=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
， ∴2114
BF x =+， ∵BC x ⊥轴，
∴21
14
BC x =
+， ∴BF BC =； （3）作//QE y 轴交AB 于点E ．
经过点F （0，2），且1k =时，
∴一次函数解析式为2y x =+， 解方程组22114y x y x =+⎧⎪⎨=+⎪⎩
， 得22242x y ⎧=+⎪⎨=+⎪⎩2242
x y ⎧=-⎪⎨=-⎪⎩ 则(22222B ++，
， 设21
14Q t t ⎛⎫+ ⎪⎝⎭
，，则()2E t t +，， ∴221121144EQ t t t t ⎛⎫=+-+=-++ ⎪⎝⎭
， ∴QBF EQF EQB S S S =+△△△
((21112222221224EQ t t ⎛⎫=⋅+⋅=⋅+-++ ⎪⎝⎭ )21222224
t +=--++当2t =时，QBF S △有最大值，最大值为222+，此时Q 点坐标为()22，
． 【点睛】
本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质；会利用待定系数法求函数解析式；要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．。